1. Numero triangolare
In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo,
ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile
disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangoloisoscele o un
triangolo equilatero, come nella figura sotto.
1 3 6 10 15 21
Formula di Gauss
L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss
Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e
contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a
quella della somma dei primi termini della progressione aritmetica di ragione 1.
È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo
un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati e , che è formato da punti, il
doppio di quelli del triangolo.
2 6 12 20 30 42
L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un
insieme di elementi.
Elenco di numeri triangolari
I primi numeri triangolari sono:
2. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351,
378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128,
1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080,
2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.
e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.
Relazioni con altri numeri figurati
La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato:
;
4 9 16 25 36
esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari
(eventualmente ripetuti, come in ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel
1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
la somma dei primi numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico;
l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per ; ogni altro numero
triangolare è un numero esagonale;
la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-
esimo numero triangolare.
Altre proprietà
(somma di numeri triangolari);
(prodotto di numeri triangolari);
tutti i numeri perfettisono triangolari;
i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale
pertanto 2;
il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi cubi:
