Ejercicios de cálculo diferencial

1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II luns, 28 de abril de 2014
Cálculo diferencial. Páx. 1
◦ Tes que ser capaz de:
1. Saber aplicar os conceptos de límite dunha función nun punto e de límites laterais para …
(a) Estudar a continuidade dunha función e se é descontinua, clasificar a descontinuidade (evitable,
salto finito, infinita).
(b) Obter de asíntotas verticais, horizontais e oblicuas.
2. Coñecer as propiedades alxébricas do cálculo de límites, tipos de indeterminacións e técnicas para
resolvelas.
3. Enunciar e dar a interpretación xeométrica dos teoremas de Bolzano e Weierstrass para funcións
continuas nun intervalo pechado.
4. Definir derivada dunha función nun punto, dar a súa interpretación xeométrica e interpretar o
concepto de derivada como razón de cambio dunha magnitude respecto a outra.
5. Determinar as ecuacións da recta tanxente e da normal á gráfica dunha función nun punto.
6. Coñecer a relación entre continuidade e derivabilidade dunha función nun punto.
Saber estudar a continuidade e a derivabilidade dunha función definida a anacos.
7. Coñecer os conceptos de función derivada, derivadas de orde superior, e a súa notación.
8. Calcular funcións derivadas aplicando as regras de derivación:
(a) Derivada da suma, do produto e do cociente de funcións.
(b) Derivada da función composta (regra da cadea).
9. Definir función crecente e decrecente nun punto, extremos relativos nun punto e diferencialos dos
extremos absolutos dun intervalo.
10. Aplicar os criterios para a determinación de extremos relativos.
11. Determinar os intervalos de monotonía, o cálculo de extremos e puntos de inflexión, así como os
intervalos de concavidade e convexidade 1.
12. Aplicar os criterios para a determinación de puntos de inflexión.
13. Resolver problemas de optimización.
14. Enunciar a regra de L'Hôpital e saber aplicala á resolución de límites indeterminados.
15. Enunciar e dar a interpretación xeométrica dos teoremas de Rolle e do valor medio do cálculo
diferencial.
16. Representar a gráfica de funcións polinomiais e racionais. Indicaranse os elementos estudables:
(a) Dominio. (b) Puntos de corte cos eixes.
(c) Simetrías. (d) Puntos críticos ou estacionarios.
(e) Intervalos de crecemento e decrecemento. (f) Máximos e mínimos relativos.
(g) Intervalos de concavidade e convexidade. (h) Puntos de inflexión.
(i) Asíntotas.
◦ Exercicios teóricos de continuidade:
1. Define función continua nun punto. ¿Cando se di que unha descontinuidade é evitable?
(a) ¿Que tipo de descontinuidade ten en x = 0 a función ( )
x2 f x
= ?
x
(b) Dada ( )
2
2
ìï + < = í
îï + ³
1 se 2
ax x
x 2 se 2
f x
e - x
. Calcula a para que f (x) sexa continua en x = 2 .
1 Enténdese que unha función é convexa nun punto do seu dominio de definición se, nun contorno dese punto, a
gráfica se mantén por encima da tanxente á curva nese punto; é dicir a parábola y = x2 é un exemplo de
función convexa.

2. Páx. 2 Matemáticas II
(c) ¿Que tipo de descontinuidade presenta a función ( ) ln (1 x2 )
f x
+
= en x = 0 ?
x
2. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Bolzano.
(a) Proba que a función f (x) = x3 + 2 x - 4 corta ao eixe OX nalgún punto do intervalo [1, 2].
¿Pode cortalo en máis dun punto?
(b) ¿Podemos asegurar que a gráfica da función f ( x ) = 3sen ( x ) - cos ( x 2 )
corta ao eixe OX
2
nalgún punto do intervalo (0, p ) ? Razoa a resposta.
(c) Dada a función f (x) = ex + 3x ln (1 + x2 ), xustifica se podemos asegurar que a súa gráfica
corta ao eixe OX nalgún punto do intervalo [-1, 0] .
3. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Weierstrass.
(a) ¿A función f (x) = x2 - 4 alcanza os seus extremos absolutos no intervalo [1, 3]? Calcula o
valor do mínimo absoluto e do máximo absoluto de f (x) en [1, 3].
(b) Se unha función f (x) é continua en [a, b] e é estritamente decrecente nese intervalo, ¿onde
alcanza a función o máximo e o mínimo absoluto?
(c) Sexa f (x) = x (x - 1) , 0 £ x £ 2. Razoa se f (x) ten máximo e mínimo absolutos no intervalo
[0, 2]. En caso afirmativo, calcúlaos.
◦ Solucións:
1. • Unha función real de variable real , f (x) , é continua en x = a , se está definida f (a) Î ¡ , existe
lim f ( x
)
x ®
a
Î ¡ e lim ( ) ( )
x a
f x f a
®
= . Ou equivalentemente, f (x) é continua en x = a se existen
f (a) Î ¡ , lim ( )
f x ® -
x a
Î ¡ e lim ( )
f x ® +
x a
Î ¡, e coinciden no seu valor, é dicir,
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( a )
x ® a - x ® a
+
= = .
• A función f (x) ten unha descontinuidade evitable en x = a se existe lim ( )
x a
f x
®
Î ¡ e non
existe f (a) Î ¡ , ou ben, lim ( ) lim ( ) ( )
f x f x f a ® - ® +
= ¹ .
x a x a
⦿
x2 f x
(a) A función ( )
x x
lim lim 0
x x
= non está definida en x = 0 . ( )
x
2
= =
® x ®
0 0
⤷ Polo tanto, esta función presenta, en x = 0 unha descontinuidade evitable .
• Evítase esta descontinuidade definindo f (x) = x ⦿
(b) ( ) = ( 2 + )
= + ; ( ) ( 2 ) 0
lim f x lim ax 1 4 a 1
x ® 2 - x
® 2
-
lim f x lim e x 2 e 2 3
x + x
+
= + = + = ;
2 2
-
® ®
f (2) = e0 + 2 = 3 ⟹ para que a función, f (x) , sexa continua en x = 2 ten que cumprirse
4a + 1 = 3 ⟹ 4a = 2 ⟹ a = 1 2 .
⤷ a función só é continua para a = 1 2 . ⦿
(c) A función ( ) ln (1 x2 )
f x
+
= non está definida en x = 0 .
x

3. Cálculo diferencial. Páx. 3
•
( 2 )
ln 1 +
x 2 x
0 0
0 (1) 0 2
1 1
lim lim
x x
® x ® x
= =
+
=
(1) Como ( 2 )
lim ln 1 x
ln 1 0
x
®
0
+ = = é unha indeterminación 0 0 , que resolvese aplicando a regra de
y x y x
L'Hôpital. ( 2 )
2
ln 1 2
1 n n
x
= + Þ ¢ =
+
; yd = x Þ y¢d = 1
⤷ Polo tanto, esta función presenta, en x = 0 unha descontinuidade evitable .
ì +
= ï ¹ íï
î = ⦿
f x x x
⤷ Evítase esta descontinuidade definindo ( )
ln (1 2 )
se 0
x
0 se x
0
2. • Teorema de Bolzano: Se f (x) é continua en [a, b] e toma valores de signo contrario nos
extremos do intervalo, é dicir f (a) × f (b) < 0, entón existe algún punto c Î (a, b) onde a
función se anula, é dicir f (c) = 0 . (Nota: Pode existir mais dun punto onde a función anúlase).
• Interpretación xeométrica:
• Se unha función continua nun intervalo pechado e toma
valores de distinto signo nos extremos do intervalo, entón
a función corta ao eixe OX polo menos nun punto. ⦿
(a) A función f (x) = x3 + 2 x - 4 é continua en  (por ser polinómica), e polo tanto en [1, 2].
⤷ f (1) = 1 + 2 - 4 = -1 < 0 ; f (2) = 8 + 4 - 4 = 8 > 0 ⟹ Aplicando o teorema de Bolzano,
existe polo menos un punto c Î (1, 2) no que f (x) corta ao eixe OX.
⤷ f ¢(x) = 3x2 + 2 > 0 " x Î ¡ ⟹ f (x) é crecente en todo  ⟹ se verifica que
( )
( )
0 se
0 se
f x x c
f x x c
< < ìí
î > >
, xa que f (c) = 0 ⟹
f (x) non corta ao eixe OX
se x ¹ c . ⦿
(b) ( ) ( ) ( 2 )
f x = 3sen x - cos x é continua en  (por selo as funcións polinómicas e as funcións
2
seno e coseno), e polo tanto en [0, p ] .
⤷ f (0) = 0 - 1 = -1 < 0 ; f (p ) = 3 - cos (p 2 ) > 0 xa que, cosq £ 1, "q Î ¡
• Polo teorema de Bolzano, f (x) corta ao eixe OX nalgún punto c Î (0, p ) . ⦿
(c) 1 + x2 ³ 1 > 0 , para todo x Î ¡ ⟹ f (x) = e x + 3x ln (1 + x2 ) é continua no
dom f = ¡ , e polo tanto, f (x) é continua en [-1, 0] .
• f ( - 1) = 1 - 3 ln 2 @ - 1,71 < 0
; f (0) = 1 + 0 = 1 > 0 ⟹ Aplicando o teorema de Bolzano,
e
existe polo menos un punto c Î (-1, 0) no que f (x) corta ao eixe OX. ⦿
3. • Teorema de Weierstrass: Se unha función, f (x) , é continua nun intervalo pechado [a, b] , existe al
menos un punto c Î [a, b] no que f (x) acada o valor máximo (absoluto) en [a, b] e al menos
outro punto d Î [a, b] no que acado o valor mínimo (absoluto) en [a, b] .
⤷ É dicir, se f (x) é continua en [a, b] , existen al menos dous puntos c, d Î [a, b] que verifican
que f (c) £ f (x) £ f (d ) para calquera valor de x Î [a, b] .

4. Páx. 4 Matemáticas II
• Interpretación xeométrica:
• Se unha función continua nun intervalo pechado,
entón a gráfica función está entre dúas rectas
horizontais que tocan á gráfica en polo menos nun
punto cada unha. Neses puntos a función acada os
valores máximo absoluto e mínimo absoluto na recta
superior e inferior, respectivamente.
• No debuxo:
⤷
máx
x a b
[ ]
( ) ( )
,
f x f a
Î
= e
mín
x a b
[ ]
( ) ( )
,
f x f d
Î
= .
⦿
(a) x2 - 4 = (x + 2) (x - 2) (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
(x + 2) (x − 2) (−)(−) = (+) (+)(−) = (−) (+)(+) = (+)
⤷ Polo tanto, ( )
2
ì - £ -
x se x
2 2
f x x x se x
2
4 2
4 4 2 2
4 2
x se x
ïï
= - = - - < < íï
îï - ³
. E como só nos interesa estudala no
intervalo [1, 3], considérase ( )
2
ìï - £ < = 2
- = í
4 1 2
2
4
x se x
4 2 3
f x x
x se x
îï - £ £
• Para poder aplicar o teorema de Weierstrass ten que ser f (x) continua en [1, 3], e como en cada
subintervalo é polinómica, falta só comprobar a súa continuidade en x = 2 .
• ( ) = ( - 2 )
= - = ; ( ) ( 2 ) ( )
lim f x lim 4 x 4 4 0
x ® 2 - x
® 2
-
lim f x = lim x - 4 = 4 - 4 = 0 =
f 2
x ® 2 + x
® 2
+
⤷ Polo tanto, f (x) é continua en [1, 3] ⟹ alcanza os seus extremos absolutos .
• Como os extremos absolutos, se están no interior do intervalo, tamén son extremos relativos.
( ) 2 x se 1 x
2
⤷ ì- < < ¢ = í < < î
2 2 3
f x
x se x
⟹
( ) ( )
( ) ( )
¢ < < Þ < Þ ìí
î < < Þ ¢ > Þ
Se 1 x 2 f x 0 f x
decrece
Se 2 x 3 f x 0 f x
crece
⤷ Ademais, como é continua en x = 2 ⟹ f (x) ten un mínimo relativo en x = 2 .
• f (1) = 4 - 1 = 3; f (2) = 4 - 4 = 0 ; f (3) = 9 - 4 = 5 ⟹ f (x) ten o valor mínimo
absoluto en x = 2 , e o máximo absoluto en x = 3 ⟹
máx 5
x
[ ]
( )
1,3
f x
Î
= e
mín 0
x
[ ]
( )
1,3
f x
Î
=
⦿
(b) Por ser f (x) continua en [a, b] , polo teorema de Weierstrass, alcanza nese intervalo o
máximo e o mínimo absolutos. Entón, como por hipótese a función é estritamente decrecente,
⤷ se x > a ⟹ f (x) < f (a) ⟹ f (x) alcanza o máximo absoluto en x = a .
⤷ se x < b ⟹ f (x) > f (b) ⟹ f (x) alcanza o mínimo absoluto en x = b . ⦿
(c) f (x) = x (x - 1) = x2 - x é continua en  (por ser polinómica), e polo tanto en [0, 2]. Polo
teorema de Weierstrass, f (x) alcanza en [0, 2] o máximo e o mínimo absolutos.
• f ¢(x) = 2x - 1, polo tanto, f ¢(x) = 0 ⟺ 2x - 1 = 0 ⟺ x = 1 2 .
⤷ f ¢¢(x) = 2 ⟹ f ¢¢(1 2) = 2 > 0 ⟹ f (x) ten un mínimo relativo en x = 1 2 .
• ( ) ( ) 1 1 1 1
f = × - = - ; f (0) = 0 (-1) = 0 ; f (2) = 2 (2 - 1) = 2 .
2 2 2 4
⤷ f (x) alcanza o máximo absoluto en x = 2 , e o mínimo absoluto en x = 1 2 . ⦿

5. Cálculo diferencial. Páx. 5
◦ Exercicios teóricos de derivadas:
1. Definición e interpretación xeométrica da derivada dunha función nun punto.
(a) ¿Pode haber dúas funcións distintas que teñan igual función derivada? Se a resposta é afirmativa,
poña un exemplo. Se, polo contrario, a resposta é negativa, xustifica que non existen.
(b) Calcule a derivada da función f ( x ) = x - 2 en x = 2 , se é posible. Represente a gráfica da
función e, sobre ela, razoe a súa resposta.
2. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema de Rolle.
(a) Se c > 2 , calcula os valores de a , b , c para que a función ( )
2 se 2
ì + + < = í
î + ³
f x x ax b x
1 se 2
x x
cumpra as hipóteses do teorema de Rolle no intervalo [0, c] .
(b) Calcula o valor de k para que a función f (x) = x3 - k x + 10 cumpra as hipóteses do teorema
de Rolle no intervalo [-2, 0] e para ese valor determina un punto do intervalo no que se anule a
derivada de f (x) .
3. Enunciado e interpretación xeométrica do teorema do valor medio do cálculo diferencial.
2 (a) Dada ( )
2 2
f x x x
- +
4
x
=
-
, escriba a ecuación da secante a f (x) que une os puntos
(-2, f (-2)) e (2, f (2)) . ¿Existe algún punto c no intervalo [-2, 2] verificando que a tanxente á
gráfica de f (x) en (c, f (c)) é paralela á secante anterior? En caso afirmativo, razoa a túa
resposta e calcula c ; e en caso negativo, xustifica que non existe.
(b) Determina o valor de m e n para os que ( )
2
3
ìï + < - = í
îï + ³ -
se 2
se 2
x nx x
f x
x m x
cumpra as hipóteses
do teorema do valor medio do cálculo diferencial no intervalo [-4, 2] . Para eses valores determina
os puntos do intervalo que teñen garantida a existencia por dito teorema.
◦ Solucións:
1. • A función f (x) é derivable no punto x = a se existe e é finito o seguinte límite:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f a f a h f a
- + - ¢ = = Î
-
lim lim
x a h
0
f a
® x a ® h
¡ .
A este límite chámaselle derivada de f (x) en x = a .
• Interpretación xeométrica:
f (a + h) -
f (a)
• O cociente
h
coincide ca pendente
da recta secante á gráfica de f (x) polos puntos
(a, f (a)) e (a + h, f (a + h)) .
• A medida que vai diminuíndo a amplitude, h , do intervalo [a, a + h] , os puntos de corte,
(a + h, f (a + h)) , determinados polas distintas secantes fanse máis e máis próximos ao punto
(a, f (a)) . No límite, a secante convértese na tanxente.
• Polo tanto, a derivada de f (x) en x = a coincide ca pendente da recta tanxente á gráfica de
f (x) no punto (a, f (a)) . ⦿
(a) Dúas funcións que se diferencien nun valor constante, k Î ¡ , teñen a mesma derivada.

6. Páx. 6 Matemáticas II
• Por exemplo: f (x) = x2 + 3x e g(x) = x2 + 3x + 5 son funcións distintas.
⤷ Pero f ¢(x) = 2x + 3 e g¢(x) = 2x + 3 son iguais. ⦿
(b) x - 2 < 0 ⟺ x < 2 . Polo tanto, ( ) 2 se 2
- £ = - 2
= ì í î
- > x x
2 se 2
f x x
x x
é continua e
derivable en (-¥, 2) e en (2, +¥) por ser polinómica en cada un dos intervalos abertos.
( ) 1 se x
2
• ¢ ì- < f x
= í î
1 se x
> 2
⤷ ( ) ( ) ( )
2 lim lim 1 1
¢ = ¢ = - = -
f f x - -
2 2
x x
-
® ®
⤷ ( ) ( ) ( )
2 lim lim 1 1
¢ = ¢ = =
f f x + +
2 2
x x
+
® ®
• Dado que f ¢(2- ) ¹ f ¢(2+ ) ⟹ f (x) non ten derivada en x = 2 . É dicir, a función non é
derivable no punto x = 2 , dado que a gráfica non ten tanxente nese punto. ⦿
2. • Teorema de Rolle: Se f (x) é unha función continua en [a, b] , derivable en (a, b) e ademais
f (a) = f (b) , entón existe polo menos un punto c Î (a, b) onde se anula a derivada, f ¢(c) = 0 .
(Nota: Pode existir mais dun punto onde a derivada da función anúlase).
• Interpretación xeométrica:
• Se f (x) é unha función continua en [a, b] e
derivable en (a, b) e ademais f (a) = f (b) ,
podemos garantir a existencia de polo menos un
punto c Î (a, b) tal que a recta tanxente á gráfica
de f (x) no punto (c, f (c)) é paralela ao eixe OX,
é dicir, é horizontal. ⦿
ì + + < = í
î + ³
f x x ax b x
(a) ( )
2 se 2
1 se 2
x x
é continua e derivable en (-¥, 2) e en (2, +¥) por ser
polinómica en cada un dos intervalos abertos.
lim lim 2
x x
• f (x) é continua en x = 2 se ( ) ( ) ( )
f x f x f ® - ® +
= = .
2 2
⤷ ( ) ( 2 )
lim lim 4 2
x x
lim lim 1 3 2
x x
= + + = + + ; ( ) ( ) ( )
f x x ax b a b ® - ® -
2 2
f x x f ® + ® +
= + = = .
2 2
⤷ 4 + 2a + b = 3 ⟺ 2a + b = -1. Entón, f (x) é continua en x = 2 ⟺ 2a + b = -1.
( ) 2 x a se x
2
• ì + < ¢ = í > î
1 se 2
f x
x
⟹ ( ) ( ) ( )
lim lim
lim lim
¢ = ¢ = + = +
2 2 4
2 1 1
f f x x a a
x 2 - x
2
-
f f x
( ) ( ) ( )
¢ = ¢ = =
+ +
2 2
x x
-
® ®
+
® ®
⤷ f (x) é derivable en x = 2 se f ¢(2- ) = f ¢(2+ ) ⟺ 4 + a = 1 ⟺ a = -3
2 1
⤷
5
+ = - ü ýþ
Þ = = - 3
a b
b
a
ì - + < = í
î + ³
f x x x x
⟹ ( )
2 3 5 se 2
1 se 2
x x
• Para verificar o teorema de Rolle no intervalo [0, c] , se c > 2 , debe verificarse que f (0) = f (c)
⤷ Entón, 5 = c + 1 ⟹ c = 4 . ⦿
(b) f (x) = x3 - k x + 10 é continua en [-2, 0] e derivable en (-2, 0) , por ser polinómica.

7. Cálculo diferencial. Páx. 7
⤷ f (-2) = -8 + 2k + 10 = 2k + 2 ; f (0) = 10 .
⤷ f (-2) = f (0) ⟺ 2k + 2 = 10 ⟺ 2k = 8 ⟺ k = 4 .
• En consecuencia, f (x) cumpre as hipóteses do teorema de Rolle en [-2, 0] se k = 4 .
• f (x) = x3 - 4 x + 10 ⟹ f ¢(x) = 3x2 - 4
⤷ f ¢(x) = 0 ⟺ 3x2 - 4 = 0 ⟺ x2 = 4 3 ⟺ x = ± 4 3 @ ±1,15
• 4 3 Ï (-2, 0) ⟹ Anúlase a derivada de f (x) en - 4 3 Î (-2, 0) . ⦿
3. • Teorema do valor medio do cálculo diferencial: Se f (x) é unha función continua en [a, b] e
derivable en (a, b) , entón existe polo menos un punto c Î (a, b) tal que
f (b) - f (a) =
f ¢ ( c
) b -
a
(Nota: Pode existir mais dun punto onde a función derivada toma dito valor).
• Interpretación xeométrica:
• Se f (x) é unha función continua en [a, b] e derivable en
(a, b) , entón existe polo menos un punto intermedio,
c Î (a, b) , tal que a recta tanxente á gráfica de f (x) no
punto (c, f (c)) é paralela á corda que une os puntos
(a, f (a)) e (b, f (b)) . ⦿
f x x x
(a) ( )
2 - 2 +
2
4
x
=
-
2 5
⟹ ( ) 10
- = = - ; ( ) 2
6
3
f -
2 f 2 1 -
= = - .
•
1 5 3 2 3 1
2 2 4 6
m
- +
= = =
+
é a pendente da corda que une puntos 2, 5
A æç- - ö÷
è ø
3
e B (2, -1)
⤷ ( ) 1 2 1
y = x - - ⟹
6
1 8
6 6
y = x - ⟹ x - 6y = 8 ecuación da recta secante AB.
f x x x
• ( )
2 - 2 +
2
4
x
=
-
é continua e derivable en (-¥, 4) e en (4, +¥) por ser cociente de
polinomios en intervalos abertos nos que non se anula o denominador.
⤷ Polo tanto, f (x) é unha función continua en [-2, 2] e derivable en (-2, 2) , entón, polo
teorema do valor medio do cálculo diferencial, existe polo menos un punto c Î (-2, 2) , tal que a
recta tanxente á gráfica de f (x) no punto (c, f (c)) é paralela á corda que une os puntos A e B
x x x x x x x x x x f x
- - - - + - + - + - - + ¢ = = =
• ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 2 2 2 10 8 2 2 8 6
( ) ( ) ( )
4 4 4
x x x
- - -
• O punto c Î (-2, 2) buscado verifica ( ) 1
f ¢ x = ⟺ 6 (x2 - 8x + 6) = (x - 4)2
6
⤷ 6x2 - 48x + 36 = x2 - 8x + 16 ⟺ 5x2 - 40x + 20 = 0 ⟺ x2 - 8x + 4 = 0
⤷
íï
ì 8 4 3
± - ± ï = + @ = = = 8 64 16 8 48 4 2 3 7,46
2
2 2 8 4 3
4 2 3 0,54
2
x
+
-
î = - @
• c = (4 - 2 3 ) Î (-2, 2) é o punto no que a tanxente á gráfica de f (x) é
paralela á corda que une os puntos A e B. ⦿

8. Páx. 8 Matemáticas II
(b) ( )
2
3
ìï + < - = í
îï + ³ -
se 2
se 2
x nx x
f x
x m x
é continua e derivable en (-¥, -2) e en (-2, +¥) por ser
polinómica en cada un dos intervalos abertos.
lim lim 2
x x
• f (x) é continua en x = -2 se ( ) ( ) ( )
= = - . f (-2) = -8 + m
f x f x f ®- - ®- +
2 2
⤷ ( ) ( 2 )
= + = - ; ( ) ( 3 )
lim lim 4 2
x x
f x x nx n ®- - ®- -
2 2
lim lim 8
x x
f x = x + m = - +
m ®- + ®- +
2 2
⤷ 4 - 2n = m - 8 ⟺ m + 2n = 12 . Entón, f (x) é continua en x = -2 se m + 2n = 12 .
2 x n se x
2
3 se 2
ì + < -
• f ( x
) 2
x x
¢ = í
î > -
⟹ ( ) ( ) ( )
lim lim
lim lim
¢ - = ¢ = + = - +
2 2 4
2 3 12
f f x x n n
x 2 - x
2
-
f f x x
( ) ( ) ( 2
)
¢ - = ¢ = =
+ +
2 2
x x
-
®- ®-
+
®- ®-
⤷ f (x) é derivable en x = -2 se f ¢(-2- ) = f ¢(-2+ ) ⟺ n - 4 = 12 ⟺ n = 16
⤷
2 12
+ = ü Þ = - = ýþ
20
m n
16
m
n
⟹ ( )
2
3
ìï + < - = í
îï - ³ -
16 se 2
20 se 2
x x x
f x
x x
Cumpre as condicións
do teorema do valor
medio do cálculo
diferencial en [-4, 2]
• Como f (x) cumpre o teorema do valor medio do cálculo diferencial no intervalo [-4, 2] , existe
f (2) - f
( - 4)
al menos un c Î (-4, 2) tal que ¢ ( ) =
2 4
f c
+
¢ ( ) - 12 + 48 36 ⟺ = = =
6
2 4 6
f c
+
2 x 16 se x
2
3 se 2
ì + < -
⤷ f ( x
) 2
x x
¢ = í
î ³ -
se 2 2 16 6 5 4
< - ® + = ® = - < - ìï
í ïì = > - ï ³ - ® = ® í î îï = - > -
⟹ 2
2 2
se 2 3 6
2 2
c c c
c
c c
c
• Os puntos son c1 = 2 Î (-4, 2) e c2 = - 2 Î (-4, 2) . ⦿
◦ Exercicios de límites, continuidade e derivabilidade:
1. Calcula o valor dos seguintes límites:
(a)
2 1
æ + ö
ç ÷
è + + ø
0 2
2
2
x
lim x
x
® x x
2 cos
(b) 0 sen
( 2 )
lim
x x
x
x
x
e e-
®
+ -
x
sen
2
lim
(c) x
0 2 4
x x
x x
e
®
-
+
2
1 cos 0
sen
lim
x
mx - +
x
2. Calcula o valor de m para que: ® 0 ( x
2
)
=
e =
3. ¿Para que valores de k , a función ( ) 2
x
f x
x +
k
é continua en todos os puntos da recta real?
4. Calcula, se existen, os valores de a e b , para que sexa derivable a función
( )
ì - ï < = î 2
+ + íï
³
1 se 0
se 0
x
x x
f x
e
x ax b x
5. Calcula os valores de a e b para que a función ( )
ax b x
ì + £
= í î
( )
+ > se 0
sen 2 1 se 0
f x
x x
sexa continua
e derivable en x = 0 .

9. Cálculo diferencial. Páx. 9
6. Determina os valores de a para que a función, ( )
2 se 1
2 se 1
ì a - x x
£
= ïí
f x
x
> ax
ïî
sexa continua en .
¿É derivable en x = 1 para algún valor de a ?
◦ Solucións:
1.
(a)
2 1
æ + ö
ç ÷
è + + ø
0 2
2
2
x
lim x
x
® x x
é unha indeterminación do tipo 1+¥ .
•
2 2
æ + ö æ + + + ö æ - ö -
ç - ÷ = ç - ÷ = ç ÷ =
è + + ø è + + + + ø è + + ø + +
1 x 2 1 1 x 2 x x 2 1 x
1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x x x
⤷
1 1
2 2 0
-
+ +
x
2
x x e
0 2
1 2 2 lim 1
2
lim x x x x
x
e e ®
®
æ + ö -
ç ÷ = = =
è + + ø ⦿
2 cos
(b) 0 sen
( 2 )
lim
x x
x
x
x
e e-
®
+ -
é unha indeterminación do tipo
0
0
. (1) Aplícase a regra de L'Hôpital.
x x x x x x
e e- e e- e e-
2 cos 2 sen 2 cos
x x x
+ - - + + +
lim = lim =
lim
• x ® 0 sen ( x 2 ) (1) x ® 0 2 x cos ( x 2 ) (1) x
®
0 2 cos ( x 2 ) -
4 x 2 sen
( x
2 )
x x x x
e e- e e-
2 cos x 2 cos x
4 2
+ - + +
lim lim
= = =
⤷ 0 ( 2 ) 0 ( 2 ) 2 ( 2 )
sen x 2 cos x 4 x sen x
2
x x
® ®
- ⦿
x
sen
2
lim
(c) x
0 2 4
x x
x x
e
®
-
+
é unha indeterminación do tipo
0
0
. (1) Aplícase a regra de L'Hôpital.
x x x
e e e
sen x - x sen x + cos x
-
1
2 4 4
lim lim
= =
• 2 4 3 0 (1) 0 (1)
x + x x +
x
x x
® ®
x x x x x
e e e e e
sen x + cos x + cos x -
sen x 2 cos x
2 1
lim lim
= = = =
(1) 0 2 0 2
4 12 x 4 12 x
4 2
+ + ⦿
x x
® ®
2.
2
• ( )
1 cos
sen
lim
x
mx - +
x
0 2
® x
é unha indeterminación do tipo
0
0
. (1) Aplícase a regra de L'Hôpital.
2
1 cos 2 sen 2 cos 2 1
sen 2 cos 2 cos 4 sen 2
mx x mx x m x m
- + - - -
lim lim lim
x x x
= = =
• ® 0 ( x 2 ) (1) ® 0 x ( x 2 ) (1) ® 0 ( x 2 ) -
x 2 ( x
2
)
2
1 cos 0
sen
lim
x
mx - +
x
⤷ ® 0 ( x
2
)
= ⟺ 2m - 1 = 0 ⟺
1
2
m =
⦿
3. • , é un cociente de funcións continuas en . Polo tanto, f (x) é continua en  se non se anula o
denominador para todo x Î ¡ . Entón tense que determinar os valores de k para os que a
ecuación, x2 + k = 0 , non ten solución real.
⤷ x2 + k = 0 ⟺ x2 = -k , non ten solución real se -k < 0 ⟺ k > 0 .
⤷ f (x) é continua en todo , se k > 0 . ⦿

10. Páx. 10 Matemáticas II
4.
• ( )
ì - ï < = î 2
+ + íï
³
1 se 0
se 0
x
x x
f x
e
x ax b x
é continua e derivable no intervalo (-¥, 0) por ser cociente
de funcións continuas e derivables, e non anularse o
denominador.
⤷ Ademais, f (x) é continua e derivable no intervalo (0, +¥) por ser polinómica.
• Para que f (x) sexa continua en x = 0 debe verificarse ( ) ( ) ( )
lim lim 0
x x
f x = f x = f =
b ® - ® +
0 0
f x x
• ( )
= = = ; ( ) ( 2 )
0 0
1 1 1
1
-
lim lim x x x
® - ® - e
lim lim
x x
= + + = ⟹ b = 1
f x x ax b b ® + ® +
0 0
• Calcularei de dúas formas o valor a = f ¢(0) = -2
i. Calculando as derivadas laterais por definición. [ f (0) = b = 1]
1 1 0 0 1
- - ¢ - - = = = =
• ( ) ( ) ( )
x
-
x x
e e
f x f x f
lim lim lim
x x x x
- x -
0
- x - x
e
0 0 0 (1)
-
® ® ®
(1) É unha indeterminación
da forma 0
0 e aplícase a
regra de L'Hôpital.
⤷
= = = -
0
e
1 2 2
- - -
1 0
lim
x
x x x x
® - e e
+ +
2
( ( ) ( ) 0 ) 0 1 1
• ( )
¢ f x - f + + - f = = x ax = x + a =
a
lim lim lim
x x x
0
+ x -
+ x +
0 0 0
+
® ® ®
• Para que f (x) sexa derivable en x = 0 debe verificarse f ¢(0- ) = f ¢(0+ ) ⟹ a = -2
ii. Calculando a función derivada, e a partir dela as derivadas laterais.
e e
ì - - - -
x x x f x
¢ = ï = < íï
• ( )
x x
( )
2
1 2 se 0
x x
2 se 0
e e
x a x
î + >
0 2 2
0 2
f ¢ = f ¢ x = x
- = -
f f x x a a
( ) lim ( )
lim
x 0 - x 0
- e
x
( ) lim ( ) lim
( )
¢ = ¢ = + =
+ +
0 0
x x
-
® ®
+
® ®
• Para que f (x) sexa derivable en x = 0 debe verificarse f ¢(0- ) = f ¢(0+ ) ⟹ a = -2 ⦿
5.
• ( )
ax b x
ì + £
= í î
( )
+ > se 0
sen 2 1 se 0
f x
x x
⟹ f (0) = b
lim lim 0
x x
• Para que f (x) sexa continua en x = 0 debe verificarse ( ) ( ) ( )
f x = f x =
f ® - ® +
0 0
= + = ; ( ) [ ( ) ]
lim lim
x x
• ( ) ( )
f x ax b b ® - ® -
0 0
lim lim sen 2 1 1
x x
= + = ⟹ b = 1
f x x ® + ® -
0 0
• Para que sexa derivable en x = 0 debe verificarse f ¢(0- ) = f ¢(0+ ) [ f (0) = b = 1]
f ( x ) - f ( 0 )
ax + 1 - 1
ax • f ¢ ( 0 ) = = = =
a
lim lim lim
x x x
0
- x -
- x - x
0 0 0
-
® ® ®
( ( ) 0 ) f x f ( 0 ) sen ( 2 x ) 1 1 sen ( 2
x
)
• ¢ - + - = = = =
lim lim lim
x x x
0
-
0 0 0 (1)
f
+ x + x + x
+
® ® ®
(1) É unha indeterminación da forma 0
0 e aplícase a regra de L'Hôpital.
⤷
( )
= = ⟹ a = 2 e ( )
0
2 cos 2 2
1
lim
x
x
® +
2 x 1 se x
0
sen 2 1 se 0
ì + £
= í î ( )
+ > ⦿
f x
x x

11. Cálculo diferencial. Páx. 11
6.
• ( )
2 se 1
2 se 1
ì a - x x
£
= ïí
f x
x
> ax
ïî
é continua e derivable no intervalo (-¥, 1) por ser una función
polinómica.
é continua e derivable no intervalo (1, +¥) por ser cociente de
funcións continuas e derivables, e non anularse o denominador.
• ( ) ( 2 ) ( )
lim lim 1 1
x x
lim lim 2 2
x x
= - = - = ; ( )
f x a x a f ® - ® -
1 1
f x
= =
® 1 + ® 1
+ ax a
lim lim 1
x x
• Para que f (x) sexa continua en x = 1 debe verificarse ( ) ( ) ( )
f x = f x =
f ® - ® +
1 1
• Entón debe ser
a 1 2
- = ⟺ a2 - a = 2 ⟺ a2 - a - 2 = 0
a
⤷
4
2
2
2
ì = ± + ± ï = = = íï
1 1 8 1 3 2
2 2 1
a
-
î = -
⟹ f (x) é continua se a = -1 ou a = 2 .
• Como para poder ser derivable nun punto, ten que ser continua nese punto, entón
f (x) non é derivable en x = 1 se a ¹ -1 e a ¹ 2 .
• Se a = -1 ⟹ ( )
1 2 se 1
2 se 1
ì- - £
= ïí
x x
f x
x
- > ïî
x
⟹ ( )
2 x se x
1
2 se 1
- < ìï
¢ = í > 2
ïî
f x
x
x
¢ = ¢ = - = - ; ( ) ( ) 1 1 2
⤷ ( ) ( ) ( )
1 lim lim 2 2
f f x x - -
1 1
x x
-
® ®
1 lim lim 2 2
¢ = ¢ = æ ö = ç ÷
f f x
+ + x
x x
+
® ®
è ø
⤷ Como f ¢(1- ) ¹ f ¢(1+ ) ⟹ f (x) non é derivable en x = 1 se a = -1.
• Se a = 2 ⟹ ( )
2 2 se 1
1 se 1
ì - £
= ïí
x x
f x
x
> ïî
x
- < ìï ¢ = í- > ïî
⟹ ( )
2 x se x
1
1 se 1
2
f x
x
x
¢ = ¢ = - = - ; ( ) ( ) 1 1 2
⤷ ( ) ( ) ( )
1 lim lim 2 2
f f x x - -
1 1
x x
-
® ®
1 lim lim 1 1
¢ = ¢ = æ- ö = - ç ÷
f f x
+ + x
x x
+
® ®
è ø
⤷ Como f ¢(1- ) ¹ f ¢(1+ ) ⟹ f (x) non é derivable en x = 1 se a = 2 .
• En resumo, f (x) non é derivable en x = 1 sexa cal sexa o valor de a. ⦿
◦ Exercicios de recta tanxente:
1. Calcula os valores de a , b e c sabendo que y = a x2 + b x + 1 e y = x3 + c , teñen a mesma
recta tanxente no punto (1, 2) .
2. Calcula a ecuación da recta tanxente á gráfica de f (x) = (1 + x2 ) e-x no punto de abscisa x = 0 .
f x e
3. Calcula un punto da gráfica da función ( )
x
x
( 1
e
)2 =
+
no que a recta tanxente sexa paralela ao
eixe OX; escribe a ecuación desa recta tanxente.
◦ Solucións:
1. • A gráfica dunha función f (x) pasa polo punto (1, 2) se f (1) = 2 .
⤷ Se y = a x2 + b x + 1 ⟹ a+ b + 1 = 2 ⟹ a+ b = 1

12. Páx. 12 Matemáticas II
⤷ Se y = x3 + c ⟹ 1 + c = 2 ⟹ c = 1
• Como teñen a mesma recta tanxente no punto (1, 2) , teñen a mesma derivada se x = 1.
⤷ Para y = a x2 + b x + 1 ⟹ y¢ = 2a x + b ⟹ y¢(1) = 2a + b
⤷ Para y = x3 + 1 ⟹ y = 3x2 ⟹ y¢ (1) = 3
• Para calcular a e b temos que resolver o sistema:
1
a b
a b
+ = ìí
î + =
2 3
•
1 1
1 2 1 0
2 1
= - = - ¹ ⟹ O sistema é compatible determinado.
1 1 1 ⤷ a = = - ( 1 - 3 ) =
2
1 3 1
-
1 1 1 ; b = = - ( 3 - 2 ) = -
1
1 2 3
-
.
⤷ Os valores para que as dúas funcións teñan as mesma tanxente no punto (1, 2)
son a = -1, b = 2 e c = 1 ⦿
2. • A ecuación da recta tanxente á gráfica de f (x) = (1 + x2 ) e-x no punto de abscisa x = 0 , ven
dada por: y = f ¢(0) × (x - 0) + f (0) .
⤷ f (0) = e0 = 1; f ¢(x) = 2 xe-x - (1 + x2 ) e-x = - (1 - 2 x + x2 ) e-x ⟹ f ¢(0) = -e0 = -1
⤷ A ecuación da recta tanxente no punto de abscisa x = 0 , é y = -x + 1 ⦿
3. • As rectas paralelas ao eixe OX teñen pendente 0 . Como a pendente da recta tanxente á gráfica
dunha función coincide coa derivada da función nese punto, temos que encontrar os valores que
anulan a derivada de ( )
x
x
f x e
( 1
e
)2 =
+
.
• ( ) ( ) ( )
x x x x x x x x x
1 2 1 1 2 1
+ - + + - -
¢ = = =
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
4 3 3
x x x
1 1 1
f x
e e e e e e e e e
e e e
+ + +
• Tendo en conta que ex > 0 para todo x Î ¡ , f ¢(x) = 0 ⟺ 1 - ex = 0 ⟺ ex = 1
⤷ En consecuencia, f ¢(x) = 0 ⟺ x = 0 . ( )
0
0 2
f e
0 1
= =
( )
1 4
e
+
• A recta tanxente á gráfica de f (x) no punto (0, 1 4) é paralela ao eixe OX
e ten por ecuación y = 1 4 . ⦿
◦ Problemas de máximos y mínimos:
1. Se a función B(x) = x3 - 9x 2 + 24 x da o beneficio mensual (en miles de euros) dunha empresa
metalúrxica depende da cantidade de metal, x (en toneladas). Se a cantidade mensual máxima que
pode transformar é de 4 toneladas, determina o beneficio máximo e a cantidade de metal que utiliza
nese caso.
2. Calcula os extremos relativos da función f (x) = x4 - 8 x2 + 1. Calcula tamén o máximo absoluto
e o mínimo absoluto desta función no intervalo [-3, 3] .
3. Descompón o número 40 en dous sumandos tales que o produto do cubo dun deles polo cadrado
do outro sexa máximo. ¿Canto vale ese produto?

13. Cálculo diferencial. Páx. 13
4. Nunha circunferencia de radio 10 cm, divídese un dos seus diámetros en dúas partes
que se toman como diámetros de dúas circunferencias tanxentes interiores a ela. ¿Que
lonxitude debe ter cada un destes dous diámetros para que sexa máxima a área
delimitada polas tres circunferencias (rexión sombreada)?
5. Determina os valores de a , b , c e d para que a función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d teña un
máximo relativo no punto (0, 4) e un mínimo relativo no punto (2, 0) .
6. Nunha circunferencia de centro O e radio 10 cm trázase un diámetro AB e unha
corda CD perpendicular a ese diámetro. ¿A que distancia do centro, O, da
circunferencia debe estar a corda CD, para que a diferencia entre as áreas dos
triángulos ADC e BCD sexa máxima?
◦ Solucións:
1. • B(x) = x3 - 9x2 + 24 x é continua e derivable en  (por ser polinómica)
⤷ Polo tanto, B(x) é continua en [0, 4] ⟹ polo teorema de Weierstrass B(x) alcanza os seus
extremos absolutos en [0, 4].
• Como os extremos absolutos, se están no interior do intervalo, tamén son extremos relativos.
• Como os extremos relativos dunha función derivable son puntos críticos, determinaranse os
valores x Î (0, 4) para os que B¢(x) = 0 ⟹ 3x2 - 18x + 24 = 0 ⟹ x2 - 6x + 8 = 0
⤷
8
2
4
2
6 36 32 6 2 4
2 2 2
x
ì = ± - ± ï = = = íï
î =
⟹ o único punto crítico a considerar é x = 2 .
• Determinaranse os beneficios nos estremos do intervalo en no punto crítico:
⤷ B(0) = 0 ; B(4) = 64 - 144 + 96 = 16 ; B(2) = 8 - 36 + 48 = 20 (máximo absoluto).
⤷ En consecuencia, o beneficio máximo mensual é de 20.000 €,
utilizando 2 toneladas de metal. ⦿
2. • f (x) = x4 - 8 x2 + 1 é continua e derivable en  (por ser polinómica).
• f (x) = x4 - 8 x2 + 1 ⟹ f ¢(x) = 4x3 - 16 x = 4x (x2 - 4) = 4x (x - 2) (x + 2)
• Puntos críticos: f ¢(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2 ou x = -2 .
• f ¢¢(x) = 12x2 - 16 = 4 (3x2 - 4). f (0) = 1 ; f (2) = f (-2) = 16 - 32 + 1 = -15
⤷ f ¢¢(0) = -16 < 0 ⟹ f (x) ten un máximo relativo en (0, 1)
⤷ f ¢¢(2) = f ¢¢(-2) = 48 - 16 = 32 > 0 ⟹ f (x) ten un mínimo relativo en (2, -15) , e
outro en (-2, -15)
• Polo teorema de Weierstrass, xa que f (x) é continua en [-3, 3] , f (x) alcanza o mínimo e o
máximo absolutos nese intervalo nos extremos relativos en (-3, 3) ou nos extremos de [-3, 3] .
• f (3) = f (-3) = 81 - 72 + 1 = 10 ; f (0) = 1 ; f (2) = f (-2) = 16 - 32 + 1 = -15
⤷ O valor mínimo absoluto de f (x) en [-3, 3] é −15, e alcánzase en x = 2 e en x = -2 ,
o valor máximo absoluto de f (x) en [-3, 3] é 10, e alcánzase en x = 3 e en x = -3. ⦿
3. • Sumandos: x e (40 - x) . Hai que maximizar a función f (x) = x3 (40 - x)2 en [0, 40] .
• f (x) = x3 (40 - x)2 = x3 (1600 - 80x + x2 ) = x5 - 80x4 + 1600 x3 é continua e derivable en 

14. Páx. 14 Matemáticas II
(por ser polinómica), polo tanto, é continua en [0, 40]. f (0) = f (40) = 0 .
• Aplicando o teorema de Weierstrass no intervalo [0, 40], está garantido que f (x) alcanza os
valores máximo e mínimo absoluto do intervalo [0, 40], nalgún punto crítico en (0, 40) ou nalgún
dos extremos do intervalo.
• Puntos críticos: f ¢(x) = 5x4 - 320x3 + 4800 x2 = 5x2(x2 - 64x + 960)
⤷ f ¢(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x2 - 64x + 960 = 0
⤷
80
2
48
2
64 4096 3840 64 256 64 16 40
2 2 2 24
x
ì = ± - ± ± ï = = = = íï
î =
⤷ f (x) ten un único punto crítico c = 24 Î (0, 40) . f (24) = 243 × 162 = 3.538.944
⤷ O produto máximo é 3.538.944, se alcanza cos sumandos 16 e 24. ⦿
4. • Se represéntase por x a un dos diámetros diámetros das circunferencias interiores, o outro
diámetro será (20 - x) . Xa que son circunferencias interiores, x Î [0, 20] e 20 - x Î [0, 20] .
• A área delimitada polas tres circunferencias en función do diámetro dunha das circunferencias
interiores ven dada por:
• A ( x ) 2 ( x ) 2 ( 20 x ) 2 p x 2 ( p
x x 2 ) ( x x
2
) = p - p - - p = éë - - - + ùû = -
10 400 400 40 40 2
2 2
4 4
⤷ ( ) ( 2 ) ( )
2 2 A x 20x x x 20 x = p - = p - é continua e derivable en  (por ser polinómica),
polo tanto, é continua en [0, 20].
• Aplicando o teorema de Weierstrass no intervalo , está garantido que A(x) alcanza os valores
máximo e mínimo absoluto do intervalo [0, 20], nalgún punto crítico c Î (0, 20) ou nalgún dos
extremos do intervalo. A(0) = A(20) = 0 cm2 .
• Puntos críticos: ( ) ( ) ( )
2 A x 20 2x 10 x ¢ = p - = p -
⤷ A¢(x) = 0 ⟺ x = 10 ® 20 - x = 10 ⟹ A(20) = 50p @ 157,08 cm2 (área máxima)
• Se as dúas circunferencias interiores teñen 10 cm de diámetro a área delimitada é máxima. ⦿
5. • f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ⟹ f ¢(x) = 3ax2 + 2bx + c ⟹ f ¢¢(x) = 6ax + 2b
• f (x) ten un máximo relativo no punto (0, 4) ⟹
( )
( )
0 4 4
0 0 0
f d
f c
= Þ = ìí
î ¢ = Þ =
⤷ Polo tanto, f (x) = ax3 + bx2 + 4 ⟹ f ¢(x) = 3ax2 + 2bx
• f (x) ten un mínimo relativo no punto (2, 0) ⟹
( )
( )
2 0 8 4 4
2 0 12 4 0
f a b
f a b
= Þ + = - ìí
î ¢ = Þ + =
⤷
2 a b
1
3 a b
0
+ = - ìí
î + =
É un sistema compatible determinado, xa que
2 1
2 3 1 0
3 1
= - = - ¹ .
1 1
-
⤷ 1 1
2 -
1
= = = ; 1 3
a -
1 1
1
0 1
- -
b - -
= = = -
1 1
3
3 0
⤷ Polo tanto verifícanse as condicións se a = 1; b = -3; c = 0 ; d = 4 ⦿

15. Cálculo diferencial. Páx. 15
6. • Sexa x a distancia do centro, O, da circunferencia á corda CD, e
y a metade da lonxitude da corda CD.
• Triángulo ADC: se considérase como base CD, que mide 2y ,
entón a súa altura mide 10 + x (todo en cm).
⤷ A súa área mide: A1 = y ( 10 + x ) ( cm 2 )
.
• Triángulo BCD: se considérase como base CD, que mide 2y ,
entón a súa altura mide 10 - x (todo en cm)
⤷ A súa área mide: A2 = y ( 10 - x ) ( cm
2 )
⤷ A diferenza das áreas: A1 - A2 = y (10 + x) - y (10 - x) = 2 x y
• O teorema de Pitágoras proporciónanos unha relación entre x e y : y = 102 - x2
• Polo tanto, da función da diferenza das áreas, d(x) = 2x 100 - x2 , temos que atopar o seu
valor máximo no intervalo dos posibles valores da variable x , [0, 10] .
• d(x) Î ¡ se 100 - x2 ³ 0 ⟺ (10 - x) (10 + x) ³ 0 .
⤷ Se x Î [0, 10] ⟹ ( ) ( ) 10 10 0
ì ³ - ³ í Þ - + ³ î £ + £
10 10 0
x
10 10 20
x x
x
⟹ d(x) ³ 0 en
[0, 10] , por ser produto de números positivos.
• d(x) é continua en [0, 10] , por estar definida operando funcións elementais.
d x x x
• d(x) é derivable en [0, 10] , sendo ( )
2
2
2
2 100 4
2 100
x
¢ = - -
-
⤷ ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 )
2 2 100 2 4 50 2 100
x - x - x -
x d ¢ x = - x
2
- = =
2 2 2
100 100 100
x x x
- - -
⤷ d¢(x) = 0 ⟺ 50 - x2 = 0 ⟺ x = ± 50 = ±5 2
⤷ -5 2 Ï [0, 10] ⟹ 5 2 Î [0, 10] é o único punto crítico de d(x) en (0, 10) .
• Xa que d(x) é continua en [0, 10] , polo teorema de Weierstrass, d(x) alcanza os seus extremos
absolutos en [0, 10] . Os extremos absolutos están nos extremos relativos en (0, 10) ou nos
extremos do intervalo [0, 10] .
• Xa que d(x) é derivable en (0, 10) , os extremos relativos en (0, 10) son puntos críticos. Polo
tanto, os posibles extremos son os puntos críticos e os extremos do intervalo [0, 10] .
⤷ d( 50 ) = 2× 50 × 50 = 100 ; d(0) = 0× 100 = 0 ; d(10) = 20× 0 = 0 ⟹ O máximo
absoluto en [0, 10] da función d(x) é 100, e alcánzase en x = 50 = 5 2
⤷ A diferencia máxima alcánzase a 5 2 @ 7,07 cm do centro da circunferencia. ⦿
◦ Exercicios de estudo de funcións:
1. Calcula as asíntotas e os intervalos de crecemento e decrecemento de ( ) ( )2
2
1
1
f x x
x
-
=
+
.
2. Calcula o dominio e os intervalos de crecemento e decrecemento da función ( )
2
2
æ - ö
ln 1
= ç ÷
1
g x x
x
è + ø
.

16. Páx. 16 Matemáticas II
3. Calcula os valores de a e b para que a función f (x) = ax2 + bx ln x teña un punto de inflexión
no punto (1, 2) . Para estes valores de a e b , calcula o dominio e os intervalos de concavidade e
convexidade de f (x) .
4. Calcula o dominio, as asíntotas, os intervalos de crecemento e decrecemento e os extremos
relativos da función ( )
2
2 1
f x x
x
=
-
.
5. Calcula os intervalos de crecemento e decrecemento, os extremos relativos e os puntos de inflexión
da función f (x) = 2x3 - 3x2 .
f x e
6. Calcula as asíntotas, se as ten, de ( )
x
x
( 1
e
)2 =
+
.
7. Dada a función real de variable real f (x) = x3 - 4x2 + 4x . Calcula os intervalos de crecemento e
decrecemento e os intervalos de concavidade e convexidade da función f (x) .
◦ Solucións:
1.
• Dominio de ( ) ( )2
2
1
1
f x x
x
-
=
+
: x2 + 1 ³ 1 > 0 para todo x Î ¡ ⟹ dom f (x) = ¡
⤷ dom f (x) = ¡ ⟹ Non ten asíntotas verticais.
•
( )2 2
1 1
1
x -
x
lim lim
x x
= =
2 2
®±¥ x +
®±¥ x
⟹ y = 1 é asíntota horizontal nas dúas ramas infinitas.
•
( )2 ( 2 ) ( 2 )
1 2 1 1 2 2 1 0
1 1 1
x x x x x
x x x x
æ - ö - + - + - -
çç - ÷÷ = = = = è + ø + +
lim lim lim lim
x 2 x 2 x 2
x
+
®-¥ ®±¥ ®-¥ ®-¥
•
( )2
æ x
- ö -
çç - ÷÷ = = x 2
è + ø
x
1 1 2 0
1
lim lim
x x
-
®+¥ ®+¥
. Polo tanto,
• Por ter asíntota horizontal na dúas ramas infinitas ⟹ Non ten asíntotas oblicuas.
• ( )
( ) ( ) ( )
2 2 3 2 2
2 x - 1 x + 1 - 2 x x - 1 2 x - x + x - 1 - 2 x x - 2 x
+
1
¢ = = =
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1
f x
x x
+ +
( )
( )
2 1 2 1 1
x x x
x x
- + -
( ) ( )
( )
2
= =
2 2 2 2
1 1
+ +
⟶ f ¢(x) = 0 ⟺ x = 1 ou x = -1
⤷ (-¥, -1) (-1, 1) (1, +¥)
( ) 2 ( x 1 ) ( x
1
)
¢ + - =
( 2 1
)2
f x
x
+
( ) ( )
( )
2 - -
>
0
+
( ) ( )
( )
2 + -
<
0
+
( ) ( )
( )
2 + +
>
0
+
f (x) Crecente Decrecente Crecente
⤷ Polo tanto, f (x) é crecente en (-¥, -1) U (1, +¥) e decrecente en (-1, 1) . ⦿
2.
• ( )
2
2
æ - ö
ln 1
= ç ÷
1
g x x
x
è + ø
. Posto que dom (ln x) = (0, +¥) ⟹ Debe verificarse
2
2
1 0
1
x
x
-
>
+

17. Cálculo diferencial. Páx. 17
2
2
1 0 1 1 0
1
x -
x x
x
• x2 + 1 ³ 1 > 0 para todo x Î ¡ ⟶ ( ) ( )
> Û + - >
+
⤷ (-¥, -1) (-1, 1) (1, +¥)
(x + 1) (x - 1) (-) (-) > 0 (+) (-) < 0 (+) (+) > 0
⟹
dom g(x) = (-¥, -1) U (1, +¥)
• ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 4 4
1 1 1 1 1 1 1
¢ x + x x + - x x - g x
x x = × = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x x
- + - + + - +
⤷ g¢(x) = 0 Û x = 0 Ï dom g (-¥, -1) (-1, 1) (1, +¥)
g¢(x) ( )
4 0 -
- - +
( )( )( )
< Non está no
dominio
( )
4 0 +
+ + +
( )( )( )
>
g(x) Decrecente Crecente
• A función g(x) é crecente en (1, +¥) e decrecente en (-¥, -1) . ⦿
3. • f (x) = ax2 + bx ln x ⟶ f (1) = a . Como pasa polo punto (1, 2) ⟹ a = 2
(x) 2x2 ln ¢(x) 4x + ⤷ f = + bx x ⟹ f = 4x + b ln b b
x + b ⟹ f ¢¢ ( x ) = 4 + =
x x
• Ten un punto de inflexión en (1, 2) ⟹ f ¢¢(1) = 0 ⟹ 4 + b = 0 ⟹ b = -4
• f (x) = 2x2 - 4x ln x = 2x (x - 2 ln x) . Xa que dom (ln x) = (0, +¥) ⟹ dom f = (0, +¥)
¢¢ ( ) 4 4 4x - 4 4 ( x - 1 ) • f x
= - = = ⟶ f ¢¢(x) = 0 Û x = 1Î dom f
x x x
• (0, 1) (1, +¥)
f ¢¢(x) ( )
4 0 -
+
( )
< ( )
4 0 +
+
( )
>
f (x) Cóncava Convexa A función f (x) é cóncava en (0, 1) e convexa en (1, +¥)
⦿
4. •
5. •
6. •
7. •