Osnovi gidrodinamici

2. Гідродинаміка - це розділ гідравліки, в
якому розглядаються закони руху і взаємодії рідин з
нерухомими і рухомими поверхнями.
Основним об'єктом вивчення в гідродинаміці є
потік рідини, тобто рух маси рідини між
обмежуючими поверхнями. Рух рідини
характеризується швидкостями руху частинок в
окремих точках потоку рідини, тиском, що виникають
на різних глибинах, а також загальною формою
потоку.
Розрізняють декілька видів руху рідини: сталий
і несталий, рівномірний і нерівномірний, напірний і
безнапірний.

3. Рух рідини може бути усталеним і неусталеним.
При усталеному русі рідини швидкість і тиск в усіх її точках з часом не
змінюються.
При неусталеному русі швидкість і тиск рідини змінюються з часом.
Під час руху рідини вирізняють лінію течії, елементарний струмінь, живий
переріз.
Лінія течії – це лінія, дотична до кожної точки якої в даний момент часу
збігається з вектором швидкості
Нескінченно малий об’єм, обмежений лініями течії, називається елементарним
струменем.
Передбачається, що потік рідини, що рухається, складається з окремих
елементарних струменів.

4. Траєкторією рідкої частинки називають криву лінію, яку описує рідка
частинка при русі. При цьому рідкою частинкою називають такий малий об'єм
рідини, для якого можна нехтувати зміною його форми.
При вирішенні практичних завдань предполагют, що потік рухомої рідини
складається з елементарних цівок, що не міняють своєї форми, тобто потік в думках
розбивають на ряд елементарних цівок (трубок), як це це показано на рис.
Модель, згідно такому положенню, називають струменистою моделлю руху рідини.
Розглянемо потік рідини, що знаходиться в сталому русі. В точках 1, 2, 3....
цього потоку, узятих на відстані ∆l один від одного, проведемо вектори u1, u2, u3...,
показуючу величину і напрям швидкостей руху частинок рідини в даний момент
часу.
Дотична крива, що проведена до векторів руху частинок рідини і
характеризує напрям руху ряду послідовно розташованих частинок в рідині в даний
момент часу, називається лінією струму. На відміну від траєкторії, яка показує шлях
руху однієї частинки рідини за певний проміжок часу ∆t, лінія струму сполучає різні
частинки і дає деяку миттєву характеристику рухомої рідини за час t.

5. Якщо в рухомій рідині виділити нескінченно малий замкнутий контур і
через всі його крапки провести лінії струму, відповідні даному моменту часу, то
вийде як би трубчаста непроникна поверхня, звана трубкою струму. Маса рідини,
рухомої усередині трубки струму, утворює елементарну цівку.
Елементарна цівка володіє двома властивостями:
1) швидкості і площі поперечних перетинів цівок в одному живому
перетині не міняються унаслідок їх трохи;
2) швидкості і площі поперечних перетинів цівок в різних живих перетинах
можуть мінятися, проте твір швидкості v окремих частинок цівки на площі їх
поперечного перетину  залишаються постійними (рівняння нразрывности
елементарної цівки).
v1S1 = v2S2 = v3S3 = vS = const.
Таким чином, потік рідини є сукупність елементарних цівок, що є
безперервною масою частинок, рухомих в якому-небудь напрямі.

6. Рівномірним називають такий сталий рух рідини, при якому живі
перетини і середня швидкість потоку не міняються по його довжині. Рівномірним
можна рахувати рух рідини в трубі або каналі незмінного перетину і постійної
глибини.
Нерівномірним називають такий сталий рух рідини, при якому живі
перетини і середні швидкості потоку змінюються по його довжині. Нерівномірним
вважають рух рідини в конічній трубці і в природному руслі.
Напірним називають такий рух рідини, при якому заповнюється весь
поперечний перетин трубопроводу під тиском вище атмосферного; рух рідини
здійснюється за рахунок сил тиску, тобто за рахунок натиску, що створюється
витратою додаткової енергії.
Безнапірним називається такий рух рідини, при якому у потоку є вільна
поверхня, що знаходиться під атмосферним тиском.

7. с
м3
,SVQ 
....2211 constSVSVSVQ nn 
Гідравличні елементи потоку
Живий переріз потоку – це поверхня в межах потоку рідини, перпендикулярна
в кожній своїй точці до вектора відповідної місцевої швидкості у цій точці.
R =
𝑺
𝝌
.
Витрата – кількість рідини, що протікає через живий переріз за одиницю часу.
В гідравліці застосовують об’ємну витрату Q,
де V – середня швидкість; S – площа живого перерізу.
При усталеному русі витрата через усі живі перерізи потоку дорівнює:
Даний вираз називається рівнянням суцільності витрати,
або рівнянням нерозривності потоку.

8. Іноді користуються поняттям масової витрати М (кг/с, т/ч), під яким мають
на увазі масу рідини, що протікає в одиницю часу через живий перетин потоку. Між
масовою і об'ємною витратами існує залежність
М =  Q.
Середньою швидкістю потоку v (м/с) називають приватне від ділення
витрати потоку на площу його живого перетину, тобто
v =
Q
S
.
Середня швидкість потоку при сталому русі рідини - це така фіктивна,
однакова для всіх точок потоку швидкість, з якою повинні б рухатися всі частинки
рідини в даному живому перетині S при витраті Q, відповідній дійсним швидкостям
цих частинок.

9. Рівняння Бернуллі
Рівняння Бернуллі є основним рівнянням гідродинаміки. Для двох перерізів
1-1 та 2-2 реальної рідини при усталеному русі рівняння Бернуллі має вигляд
  21
2
222
2
2
111
1
22
h
g
V
g
p
z
g
V
g
p
z




де z — відстань від довільно вибраної горизонтальної площини порівняння до центра ваги перерізу
потоку; р — тиск у центрі ваги перерізу; v — середня швидкість рідини в цьому перерізі. Індекси 1 і 2
належать відповідно до першого і другого перерізів; 𝛼 —коефіцієнт кінетичної енергії, який враховує
похибку при розрахунках; за середньою швидкістю v. Його значення в межах від 1 до 2. Потреба в цьому
коефіцієнті виникає тому, що середня швидкість v однакова для всіх точок перерізу, а місцеві швидкості и в
будь-яких точках перерізу різні.

10. Зменшення повного напору відносно довжини називається гідравлічним
похилом:
Відношення зміни п'єзометричного напору До довжини потоку —
п'єзометричний похил:
𝐼 𝑝 =
𝑧1 +
𝑝1
𝜌𝑔
− 𝑧2 +
𝑝2
𝜌𝑔
𝑙1−2
Відношення зміни геометричної висоти до довжини потоку називається
геометричним похилом:
𝑖 =
𝑧1−𝑧2
𝑙1−2
Геометричний і п'єзометричний похили можуть бути додатними,
нульовими і від'ємними. Гідравлічний похил завжди додатний, оскільки лінія
повного напору постійно знижується вздовж потоку.
𝐼 =
ℎ1−2
𝑙1−2
=
𝑧1 +
𝑝1
𝜌𝑔
+
𝛼 𝑝 𝑣1
2
2𝑔
− 𝑧2 +
𝑝2
𝜌𝑔
+
𝛼 𝑝 𝑣2
2
2𝑔
𝑙1−2

11. РЕЖИМИ РУХУ РІДИНИ
Течія рідини має два режими руху — ламінарний і турбулентний. При
ламінарному режимі частинки рідини рухаються паралельно одна до одної вздовж осі
труби зі сталими швидкостями. Цей рух усталений. При турбулентному режимі окремі
частинки рухаються хаотично, їхні траєкторії перетинаються, окремі об'єми
перемішуються й обертаються. У результаті виникають пульсації тисків і швидкостей,
тому рух неусталений.
Режим руху рідини визначають за допомогою безрозмірного числа Рейнольдса
𝑅𝑒 =
4𝑣𝑅
𝜗
де v — середня швидкість руху рідини; R — гідравлічний радіус; 𝜗 — кінематична
в'язкість рідини.
Для круглих труб R = d/4, тому
𝑅𝑒 =
𝑣𝑑
𝜗
=
4𝑄
𝜋𝑑𝜗
Експериментально визначено, що для круглих труб при Re < 2300 режим
ламінарний, при R > 4000 — турбулентний, при 2300 < Re < 4000 — перша перехідна
зона. У ній почергово існує то ламінарний режим, то турбулентний.
Ламінарний режим виникає в тонких капілярних трубках, під час руху високов'язких
рідин, фільтрації води в порах ґрунту, при малих швидкостях. Малов'язкі рідини (вода,
бензин, спирт) майже завжди рухаються при турбулентному режимі.

12. ПОЗДОВЖНІ ОПОРИ
Для визначення поздовжніх втрат напору hl використовують формулу Дарсі —
Вайсбаха
ℎ𝑙 = 𝜆
𝑙
𝑑
𝑣2
2𝑔
де λ — гідравлічний коефіцієнт тертя (коефіцієнт Дарсі); l – довжина трубопроводу; d —
його діаметр; v — середня швидкість рідини.
При ламінарному режимі коефіцієнт Дарсі обчислюють теоретично:
𝜆 = 64/𝑅𝑒
З урахуванням після перетворень отримаємо декілька видів формули Пуазейля:
ℎ𝑙 =
32𝜗𝑙𝑣
𝑔𝑑2 =
128𝜗𝑙𝑄
𝜋𝑔𝑑4 ; Δ𝑝𝑙 =
128𝜇𝑙𝑄
𝜋𝑑4
𝑄 =
𝜋𝑔ℎ𝑙 𝑑4
128𝜗𝑙
=
𝜋∆𝑝𝑙 𝑑4
128𝜇𝑙
=
𝜋∆𝑝𝑙 𝑟0
4
8𝜇𝑙
де 𝜗 — кінематична в'язкість; µ— динамічна в'язкість; Δрl = ρghl — втрати тиску на
тертя по довжині; Q — витрата рідини; rо — радіус труби.

13. Швидкість рідини в окремих точках перерізу круглоциліндричної труби
(місцева швидкість) описує формула Стокса
𝑢 =
Δ𝑝 𝑙 𝑟0
2−𝑟
4𝜇𝑙
де r — відстань від центра перерізу до точки, в якій визначають швидкість
При турбулентному режимі рідина перемішується, виникає
пульсація швидкостей і тисків. Місцева миттєва швидкість з часом коливається
навколо певного середнього значення — місцевої усередненої швидкості и0 (рис.
4.2). При турбулентному режимі ця швидкість замінює місцеву, чим, по суті,
неусталений рух зводиться до квазіусталеного (умовно усталеного).

14. Під час руху рідини вздовж стінки труби є тонкий в'язкий прошарок
(рис. 4.3), після невеликої перехідної зони — основна частина потоку: турбулентне
ядро, яке рухається майже з однаковими усередненими швидкостями uo. Зв'язок між
усередненою максимальною иом і середньою v швидкостями такий:
𝑢ом = 1.15 … 1.3 𝑣

15. Залежно від впливу перелічених факторів на коефіцієнт Дарсі в турбулентному
режимі виділяють три зони — гідравлічно гладких труб, другу перехідну і
квадратичну (гідравлічно шорстких труб).
Турбулентне ядро потоку під час руху не торкається виступів, і тому швидкість на
гідравлічний опір не впливає. Коефіцієнт Дарсі залежить тільки від числа
Рейнольдса, його обчислюють за формулами Блазіуса
𝜆 =
0,3164
𝑅𝑒0.25 =
1
1
100𝑅𝑒
або Конакова
𝜆 =
1
1,81 𝑙𝑔𝑅𝑒−1,5 2
У другій перехідній зоні 10
𝑑
∆𝑒
< 𝑅𝑒 < 500
𝑑
∆𝑒
зі збільшенням Re
висота в'язкого прошарку зменшується, і виступи шорсткості будуть контактувати
з турбулентним ядром. На коефіцієнт Дарсі впливають як шорсткість, так і число
Рейнольдса. У цій зоні можна користуватися формулами Колбрука—Уайта
1
𝜆
= −2𝑙𝑔
2,5
𝑅𝑒 𝜆
+
Δ 𝑒
3,7𝑑

16. або Альтшуля
𝜆 = 0,11
68
𝑅𝑒
+
Δ 𝑒
𝑑
0,25
У квадратичній зоні (гідравлічно шорстких труб), тобто при Re >500
d/Δe, висота в'язкого прошарку δв дуже мала, тому виступи шорсткості
обтікаються турбулентними ядром з вихорами (рис. 4.4, б). Коефіцієнт Дарсі
залежить тільки від шорсткості. Його можна обчислити за формулами
Прандтля—Нікурадзе
𝜆 =
1
2 𝑙𝑔
𝑑
Δ 𝑒
+1,14
2
або Шифрінсона
𝜆 = 0,11
Δ 𝑒
𝑑
0,25

17. МІСЦЕВІ ОПОРИ
На місцевих гідравлічних опорах; унаслідок зміни конфігурації потоку
на коротких ділянках змінюються швидкості руху рідини за значенням і
напрямком та утворюються вихорі. Це й є причиною місцевих втрат напору.
Місцевими опорами є розширення та звуження русла, поворот, розгалуження
потоку, шайба, діафрагма, вентиль, засувка, кран тощо
Втрати напору на місцевих опорах визначають за допомогою формули Вайсбаха
ℎ 𝑚 = 𝜉
𝑣2
2𝑔
де 𝜉 — коефіцієнт місцевого опору; 𝑣 — середня швидкість після місцевого опору,
іноді — до опору.
Використовують також формулу у вигляді
ℎМ = 𝜆
𝑙 𝑒
𝑑
𝑣2
2𝑔
де 𝑙 𝑒 — еквівалентна довжина місцевих опорів, тобто довжина трубопроводу,
втрати напору в якому такі ж, як і на місцевих опорах.