1. МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО
МАТЕМАТИКА
30.05.2012 Г. – ВАРИАНТ 1
Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!
1. Изразът с най-малка стойност е:
14
А) 15% от Б) 3% от 15 В) 20% от 2,5 Г) 0,2% от 250
5
( )
1
( −8 ) + 3 ( −2 ) +
2
3− 2 − 3 2 е:
2 3
2. Числената стойност на израза
А) 6 + 2 − 2 3 Б) − 2 В) 6 − 2 Г) 10 − 2
x −1
3. Допустимите стойности на израза са:
x−2
А) x ∈ [1;+∞ ) Б) x ∈ (1;2) ∪ (2;+∞ )
В) x ∈ [1;2) ∪ (2;+∞ ) Г) x ∈ (− ∞;2 ) ∪ (2;+∞ )
4. Решенията на неравенството
( x + 1)( x + 3) < 0 са:
( x + 1)( x − 3)
А) ( −3;3) Б) x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ )
В) x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −1;3) Г) x ∈ ( −3; −1) ∪ ( −1;3)
5. Стойността на израза log 1 81 − log 2 1 + lg1 е равна на:
3
8
А) –8 Б) –7 В) –1 Г) 7
1

2. 6. Ако x1 и x2 са корените на уравнението 2 x 2 − 4 x − 5 = 0 , то за израза
a = x1 x2 ( x1 + x2 ) е вярно, че:
А) a < 0 Б) a = 0
В) a > 0 Г) a ≥ 0 y
7. На чертежа е представена графиката на функцията:
А) y = x 2 − 3 x − 4 Б) y = − x 2 − 3 x + 4
–4 1 x
В) y = x 2 + 3 x − 4 Г) y = x 2 − 3 x + 4
 3π 
8. Ако x ∈  ;2π  , то стойностите на функцията f ( x) = cos x са в интервала:
2 
 1 
А)  − ; 0  Б) [ −1; 0 ) В) ( −1; 0 ) Г) [ 0 ; 1]
 2 
9. На чертежа за △ ABC е дадено AB = 6 cm , BC = 8cm и C
∠BAD = ∠ACB . Дължината на отсечката BD е равна на: D
А) 6 cm Б) 4,5cm
B
A
В) 4 cm Г) 3, 5cm
10. Катетите на правоъгълен триъгълник са с дължини 6 cm и 10 cm. Радиусът на
описаната около триъгълника окръжност е:
126
А) 4 cm Б) 5cm В) cm Г) 34 cm
2
x 2 − y = −1
11. Решенията на системата са:
y 2 + 2x 2 = 13
А) ( −6; −5 ) и ( 2;3) Б) ( 2;3)
(
В) − 2;3 и ) ( 2;3 ) (
Г) − 6; −5 и ) ( 6; −5 )
12. Дадена е редица с общ член an = ( 2n ) , n ∈ ℕ . Ако числото 28 : 2 −8 е член на
n
същата редица, то номерът му n е равен на:
А) 2 Б) 4 В) 8 Г) 16
13. Броят на членовете на крайната аритметична прогресия 3; 7;...;151 е:
А) 36 Б) 38 В) 48 Г) 50
2

3. 14. Ако Cn2 = C53 , то n е равно на:
А) −5 Б) −4 В) 4 Г) 5
15. На изпит по химия 25% от явилите се ученици имат оценка
отличен, 40% – оценка много добър, 30% – оценка добър и 5% –
оценка среден. Дъгата на сектора, отговарящ на оценка добър, е с
мярка:
А) 18° Б) 90° В) 108° Г) 144°
16. Даден е △ ABC със страни AB = 4 cm , BC = 2 3 cm и AC = 2 13 cm . Мярката на
∠ABC e равна на:
А) 150° Б) 120° В) 60° Г) 30°
17. За △ ABC на чертежа ∠BAC = 33° , ∠ACB = 87° и радиусът на
описаната около триъгълника окръжност е 6 . Страната AC е
равна на:
2
А) 6 Б) В) 2 3 Г) 3 2
8
18. В равнобедрен трапец диагоналът има дължина 6 3 cm и D C
сключва с голямата основа ъгъл 30° . Лицето на трапеца е:
А) 27 3 cm 2 Б) 18 3 cm
2 A B
В) 9 3 cm2 Г) 4,5 3 cm2
19. В успоредника ABCD височините DH и DQ са съответно
15 и 15 . Ако ∠HDQ = 60° , то лицето на успоредника е:
А) 10 3 Б) 15 5
В) 30 5 Г) 150 3
D
20. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако
AB = 3, AD = 2, BC = 1 и ∠BAD = 60° , то страната CD е C
2
равна на: 1
A) 7 Б) 5 В) 2 Г) 1,5 60°
A 3 B
3

4. Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за
свободните отговори!
k
1
21. Намерете числата k , за които ( 3 )
k k
  = 1.
3
22. Намерете корените на уравнението x + 4 − 3 = 2 6 .
x + 2 x + 4 x + 6x + 8
23. Колко различни петцифрени числа, които са с различни цифри, могат да се
запишат с цифрите 0, 3, 5, 7 и 9 ?
24. При записване на всичките 17 данни от проведен експеримент се оказало, че
числата в подредения статистически ред образуват геометрична прогресия, като
най-малкото от тях е 0, 03125 = 2−5 , а най-голямото е 2048 = 211 . Намерете медианата
на тази извадка.
16 8
25. Даден е △ ABC , за който ∠CAB + ∠CBA = 90° . Ако BC = cm и cos ∠ABC = ,
3 17
да се намери лицето на триъгълника.
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително
запишете в свитъка за свободните отговори!
xy + 3 y 2 + x + 14 y + 11 = 0
26. Да се реши системата .
2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0
27. С цифрите 0,1, 4,5, 6, 7 и 8 са записани всички четирицифрени числа, които се
делят на 5 , като в записа им няма повтарящи се цифри. Каква е вероятността едно
произволно избрано от тях число да се дели на 9 ?
28. Даден е ромб ABCD , в който ∠DAB < ∠ADC . Точките M и N са съответно
средите на страните BC и CD . Ако MN = 3 cm и радиусът на описаната окръжност
7 3
около △ AMN е равен на , да се намерят страната и ъглите на ромба.
3
4

5. ФОРМУЛИ
Квадратно уравнение
−b ± D
ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 D = b 2 − 4ac x1,2 = при D ≥ 0
2a
b c
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Формули на Виет: x1 + x2 = − x1 x2 =
a a
Квадратна функция
 b D
Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 
 

 2a 4a 

Корен. Степен и логаритъм
2 k +1
2k
a2k = a a 2 k +1 = a при k ∈ ℕ
m
1
m
= a− m , a ≠ 0 n
am = a n n k
a = nk a nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и
a
m, n, k ∈ ℕ
a x = b ⇔ log a b = x a log a b = b log a a x = x при a > 0, b > 0 и a ≠ 0
Комбинаторика
Брой на пермутациите на n елемента: Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас: Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
k Vnk n.(n −1)...(n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: C =
n =
Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A:
брой на благоприятните случаи
p ( A) = , 0 ≤ p ( A) ≤ 1
брой на възможните случаи
Прогресии
a1 + an 2a + (n −1) d
Аритметична прогресия: an = a1 + (n −1) d Sn = ⋅n = 1 ⋅n
2 2
q n −1
Геометрична прогресия: an = a1.q n−1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1
q −1
n
 p 

Формула за сложна лихва: K n = K .q n = K .1 +
 

 100 

5

6. Зависимости в триъгълник и успоредник
1 1
Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2 S = ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c
2 2
a +b−c a b a b
hc 2 = a1b1 r = sin α = cos α = tg α = cotg α =
2 c c b a
Произволен триъгълник:
a b c
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R
sin α sin β sin γ
Формула за медиана:
1 1 1
ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) mc 2 = (2a 2 + 2b2 − c 2 )
4 4 4
a n
= lc = ab − mn
2
Формула за ъглополовяща:
b m
Формула за диагоналите на успоредник: d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице
1 1
Триъгълник: S = chc S = ab sin γ S= p ( p − a )( p − b)( p − c )
2 2
abc
S = pr S =
4R
a +b
Успоредник: S = aha S = ab sin α Трапец: S = h
2
1
Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ
2
Описан многоъгълник: S = pr
Тригонометрични функции
α° 0° 30° 45° 60° 90°
π π π π
α rad 0
6 4 3 2
1 2 3
sin α 0 1
2 2 2
3 2 1
cos α 1 0
2 2 2
3
tg α 0 1 3 –
3
3
cotg α – 3 1 0
3
6

7. −α 90°−α 90° + α 180°−α
sin − sin α cos α cos α sin α
cos cos α sin α − sin α − cos α
tg − tg α cotg α − cotg α − tg α
cotg − cotg α tg α − tg α − cotg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg α ± tg β cotg α cotg β ∓ 1
tg (α ± β) = cotg (α ± β) =
1 ∓ tg α tg β cotg β ± cotg α
sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α
2 tg α cotg 2 α −1
tg 2α = cotg 2α =
1− tg 2 α 2 cotg α
1 1
sin 2 α = (1− cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α )
2 2
α +β α −β α −β α +β
sin α + sin β = 2 sin cos sin α − sin β = 2sin cos
2 2 2 2
α +β α −β α +β α −β
cos α + co s β = 2co s cos cos α − cos β = −2 sin sin
2 2 2 2
α α
1− cos α = 2sin 2 1 + cos α = 2 cos 2
2 2
1 1
sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β))
2 2
1
sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β))
2
7

8. МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА
И НАУКАТА
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО
Математика – 30 май 2012 г.
ВАРИАНТ 1
Ключ с верните отговори
Въпроси с изборен отговор
Въпрос № Верен отговор Брой точки
1 А 2
2 В 2
3 В 2
4 Г 2
5 В 2
6 А 2
7 В 2
8 Г 2
9 Б 2
10 Г 2
11 В 3
12 Б 3
13 Б 3
14 Г 3
15 В 3
16 А 3
17 Г 3
18 А 3
19 В 3
20 В 3
21 0 или 1 4
22 x = −1 4
23 96 4
24 8 4
25 80 4
S ABC = cm 2
3
26 ( 4; −5) и ( x ; −1) , x ∈ ℝ 10
27 22 1 10
P= =
220 10
28 AB = 6 cm ; 60° и 120° 10

9. Въпроси с решения
26. Критерии за оценяване на задача 26
1. ( 3 точки) Еквивалентни преобразувания на дадената система –
xy + 3 y 2 + x + 14 y + 11 = 0 −2 xy − 6 y 2 − 2 x − 28 y − 22 = 0
⇔ .
2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0
След почленно събиране на двете уравнения се получава уравнението y 2 + 6 y + 5 = 0 .
2. ( 2 точки) Решаване на уравнението y 2 + 6 y + 5 = 0 и намиране на корените y1 = −1
и y2 = −5 .
y = −1 y = −1
3. ( 2 точки) Решаване на системата ⇔ , откъдето
− x + 3 + x − 14 + 11 = 0 0.x = 0
решенията са ( x ; −1) , x ∈ ℝ .
y = −5 y = −5
4. ( 2 точки) Решаване на системата ⇔ , откъдето
−5 x + 75 + x − 70 + 11 = 0 −4.x = −16
решението е ( 4; −5 ) .
5. ( 1 точка) Отговор ( 4; −5) и ( x ; −1) , x ∈ ℝ .
27. Критерии за оценяване на задача 27.
1. ( 1 точка) Определяне броя на четирицифрените числа, завършващи на нула –
V63 = 120 .
2. ( 2 точки) Определяне броя на четирицифрените числа, завършващи на пет –
V63 − V52 = 100 .
3. ( 1 точка) Определяне броя на четирицифрените числа, кратни на пет –
100 + 120 = 220 .
4. ( 2 точки) Определяне на броя на кратните на 9 четирицифрени числа с цифра на
единиците 0. Той е сборът от пермутацията на 2 тройки цифри 5, 6, 7 и 4, 6,8 , т.е.
броят е 2.P3 = 12 .

10. 5. ( 3 точки) Определяне на броя на кратните на 9 четирицифрени числа, с цифра на
единиците 5. Той се пресмята с помощта на пермутациите на 2 тройки цифри 0, 6, 7 и
1, 4,8 , т.е. броят е 2.P3 − P2 = 10 .
22 1
6.(1 точка) Намиране на търсената вероятност P = = .
220 10
D N C
28. Критерии за оценяване на задача 28
3
1. ( 1 точка) Прилагане на синусова теорема за △ AMN
M
3 3 a
и намиране на sin ∠NAM = .
14 A B
2a
2.(1 точка) α < 90° ⇒ ∠NAM < 90° .
13
3. ( 1 точка) Намиране на cos ∠NAM = .
14
4. ( 1 точка) Доказване на AN = AM .
5. ( 1 точкA) Прилагане на косинусовата теорема за △ AMN и намиране на
AM = AN = 3 7 .
6. ( 1 точка) Нека AB = 2a и ∠DAB = α . Прилагане на косинусовата теорема за
△ ABM .
7. ( 1 точка) Прилагане на косинусовата теорема за △ MCN .
63 = 5a 2 + 4a 2 cos α
8. ( 1 точка) Съставяне на системата .
9 = 2a 2 − 2a 2 .cos α
9. ( 1 точка) Намиране на страната на ромба AB = a = 6 cm.
10.(1 точка) Намиране на ъглите на ромба 60° и 120° .