Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Методи
за решаване на
 квадратни
   уравнения
Класификация .

Квадратни уравнения.
                                  b = 0;
                               аx + c = 0
  ...
Непълни квадратни уравнения:
                                b =0; c ≠0
b ≠ 0; c = 0
                                axс +...
Теорема на Виет

Ако x1 и x2 са корени         Ако x1 и x2 са корени
на x2 + px + q = 0, то        на ax 2 + bx +c = 0, то...
Приложение формулите на Виет

 x 2 – 14 x + 24 = 0   x 2 + 3 x – 10 = 0
 D = b 2 – 4ac =       D = 32-4 ⋅1 ⋅ (-10 ) = 49
 ...
Специални методи:

1. Метод на отделяне на точен
  квадрат
2. Метод «прехвърляне» на
  старшия коефициент

3. С използване...
Метод на отделяне на точен квадрат.

Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид
        към непълно квадратно урав...
Метод «прехвърляне» на старшия
                   коефициент.
                 Корените на квадратните уравнения
         ...
С използването на теореми :
Ако в квадратното уравнение       Ако в квадратното уравнение
a+b+c=0, то единия от           ...
Общи методи:


 Разлагане на множители;

 Въвеждане на нова променлива;

 Графически метод.
Метод разлагане на множители
  Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към
             вида А(х)·В(х)=0,
     ...
Въвеждане на нова променлива.
   Умението удачно да се въведе нова променлива е важен
елемент от математическата култура. ...
Графически метод
    За решение на уравнението f(x) = g(x) е
  необходимо да се построят графиките на функциите
          ...
Примерни решения на квадратни
         уравнения чрез графически способ

   x2-2x-3=0;                                   x...
Решение на квадратни уравнения,
        съдържащи параметър*.
                   ( a − 1) x 2 + 2(2a + 1) x + (4a + 3) = 0...
Решение на квадратни уравнения с
            модул*.
        2
     x
 x +
  2
       −6 = 0
     x
 x = t, t > 0
        ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Metod Kv Uravnenie

2,043 views

Published on

Методи за решаване на квадратни уравнения

Published in: Education
  • Be the first to like this

Metod Kv Uravnenie

  1. 1. Методи за решаване на квадратни уравнения
  2. 2. Класификация . Квадратни уравнения. b = 0; аx + c = 0 2 непълни c = 0; аx + bx = 0 2 пълни аx + bx + c = 0 2 b = 0; c = 0; аx = 0 2 приведени x + px + q = 0 2
  3. 3. Непълни квадратни уравнения: b =0; c ≠0 b ≠ 0; c = 0 axс + =0, 2 b = 0; ax + bx = 0, 2 с c=0 x 2 =− x( ax + b ) = 0 а с ако − <0, то няма корени ax 2 = 0, x = 0 а x=0  с c x = − b ако − а >0, то x =± − a  a 3 x 2 + 4 x = 0, 2 x 2 += 8 0 7x2 = 0 x( 3 x + 4 ) = 0 x 2 =4няма корени −- x =0 x = 0  5x 2 − = 15 0 x = − 4 x2 =3  3 x =±3
  4. 4. Теорема на Виет Ако x1 и x2 са корени Ако x1 и x2 са корени на x2 + px + q = 0, то на ax 2 + bx +c = 0, то b с x1+x2= - , x1x2= x1+x2=-p, x1x2=q. a а Други съотношения между корените и коефициентите на приведеното квадратно уравнение x 2+ px + q=0: x12 + x2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 − 2 x1 x2 = 2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = p 2 − 2q 2
  5. 5. Приложение формулите на Виет x 2 – 14 x + 24 = 0 x 2 + 3 x – 10 = 0 D = b 2 – 4ac = D = 32-4 ⋅1 ⋅ (-10 ) = 49 196 – 96 = 100 x1 ⋅ x2 = −10 ,значи корените x1 = 2 , x2 = 12 имат различни x1 + x2 =14 , знаци = −3 x1 + x2 x1 ⋅ x2 = 24 , ,значи по-големия по модул корен е отрицателен Намираме корените : x1 = −5; x2 = 2
  6. 6. Специални методи: 1. Метод на отделяне на точен квадрат 2. Метод «прехвърляне» на старшия коефициент 3. С използването на теореми:
  7. 7. Метод на отделяне на точен квадрат. Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към непълно квадратно уравнение. Пример: x −6 x +8 =0 2 x −2 ⋅3 x +9 =9 −8 2 ( x −3) 2 =1 x −3 =1 _ или _ x −3 =−1 x =4 ________ x =2
  8. 8. Метод «прехвърляне» на старшия коефициент. Корените на квадратните уравнения ax + bx + c = 0 2 и y 2 +by +ac = 0 са свързани със съотношенията y1 y2 x1 = и x2 = a a В някои случаи е по-удобно да решим първо не даденото квадратно уравнение, а приведеното, получено чрез «прехвърляне» на коефициента а . 2 x −9 x −5 =0 2 Пример: y 2 −9 y − =0 10 D =81 +40 =121 y1 =10 ___ x1 =5 1 y 2 =− ___ x2 =− 1 2
  9. 9. С използването на теореми : Ако в квадратното уравнение Ако в квадратното уравнение a+b+c=0, то единия от a+c=b, то единия от корените е корените е равен на 1, а втория равен на -1, а втория по  c по формулите на Виет е c формулите на Виет е −  a  a 157 x 2 + 20 x − 177 = 0 203 х 2 + 220 х +17 = 0 157 + 20 − 177 = 0 203 − 220 +17 = 0 − 177 х = 1; х = −17 157 х1 = −1;х2 = 203 Примери:
  10. 10. Общи методи:  Разлагане на множители;  Въвеждане на нова променлива;  Графически метод.
  11. 11. Метод разлагане на множители Цел: привеждане на квадратното уравнение в общ вид към вида А(х)·В(х)=0, където А(х) и В(х) – са многочлени относно х. Способи:  Изнасяне на общ множител пред скоби;  Използване на формулите за съкратено умножение;  Способ на групиране. 3x 2 + x − = 2 1 0 Пример: 3x 2 + x − − = 3 x 1 0 3x( x + − x + = 1) ( 1) 0 (x +1)(3 x − = 1) 0 x1 = 1 − 1 x2 = 3
  12. 12. Въвеждане на нова променлива. Умението удачно да се въведе нова променлива е важен елемент от математическата култура. Удачния избор на нова променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна. ( 5 x + 3) 2 = 3( 5 x + 3) − 2 Пример: 5x + 3 = t t 2 − 3t + 2 = 0 D = 9 −8 =1 t1 = 2 ____ t 2 = 1 5 x + 3 = 2 ___ или ___ 5 x + 3 = 1 x1 = −0,2 ____ x 2 = −0,4
  13. 13. Графически метод За решение на уравнението f(x) = g(x) е необходимо да се построят графиките на функциите y = f(x), y = g(x) и да се намерят пресечните им точки; абсцисите на точките на пресичане ще са корени на уравнението. Графическия метод често се използва, не за намиране корените на уравнението, а за определяне на тяхното количество.
  14. 14. Примерни решения на квадратни уравнения чрез графически способ x2-2x-3=0; x2-2x-3=0; Y=x2-2x-3; x2-2x=3; y=x2-2x; (1;-4)- връх на y=3. параболата (1;-1)-връх на параболата. Отг: x=-1; x=3. Отг: x=-1; x=3. x2-2x-3=0; x2-2x-3=0; x2-3=2x; x2=2x+3; y=x2-3; y=x2; y=2x. y=2x+3. (0;-3)- връх на параболата. (0;0)- връх на параболата. Отг: x=-1; x=3. Отг: x=-1; x=3.
  15. 15. Решение на квадратни уравнения, съдържащи параметър*. ( a − 1) x 2 + 2(2a + 1) x + (4a + 3) = 0 7 1. Ако а =1, то имаме линейно уравнение 6х+7=0, х= − 6 2. Ако а ≠ 1 , то разглеждаме квадратното уравнение ( a − 1) x 2 + 2(2a + 1) x + (4a + 3) = 0 Dа=( 2 +1) −( − 2 1 а а 1)(4 +3) =5 +4 а 4 ако D1 <0, т.е.5а +4 <0, а <− няма корени 5 − а +1) (2 1 ако D1 =0, то има един корен х = =− а −1 3 − а +1) ± 5а +4 (2 ако D1 >0, то има два корена х = а −1 4 Отговор : ако а <− то няма корени 5 7 ако а =1, то х =− 6 4 − а +1) ± 5а +4 (2 ако а ≥− , а ≠1, то х1,2 = 5 а −1
  16. 16. Решение на квадратни уравнения с модул*. 2 x x + 2 −6 = 0 x x = t, t > 0 t 2 +t −6 = 0 D = 25, D > 0 t1 = −3 t2 = 2 х =2 х = ±2

×