1. Лекция по дисциплине:
Математические основы теории систем

2. В. Критерий Михайлова
Критерий Михайлова был получен в 1937 г.
и использует аппарат комплексного
переменного. Однако задолго до этой даты
он был открыт Ш. Эрмитом - французским
математиком. По этой причине этот
критерий иногда называют критерием
Эрмита- Михайлова. С точки зрения
технических приложений этот критерий
более значим, чем критерий Гурвица, так
как сопрягается со многими понятиями
автоматики, телемеханики и теории
управления.

3. Рассмотрим характеристический полином
Р(λ) на мнимой полуоси: λ =iw (W>
0):P(iw).Заметим, что при фиксированном
значении w=w0 : P(iw0) есть некоторая точка
(рис. 1.1) на плоскости комплексных
чисел:P(iw0) = U(w0) + iV(w0).
Соединим теперь с каждой точкой P(iw)
вектор, исходящий из начала координат.

4. Определение
Совокупность точек P(iw), w≥ 0
комплексной плоскости
называется годографом
Михайлова или амплитудно-
фазовой характеристикой
многочлена

6. Теорема
• Полином Р(λ) устойчив тогда и только тогда,
когда годограф Михайлова, начинаясь при
w=0 на положительной вещественной
полуоси комплексной плоскости, с
увеличением w от О до +∞ обходит
последовательно в положительном
направлении (т.е. против часовой стрелки)
п квадрантов, где п - степень
характеристического полинома Р(λ)

8. Следствие
• Для устойчивости полинома степени Pn(λ)
необходимо и достаточно, чтобы:
• а) нули
полиномовU(W)иV(W)чередовались,
• б) были вещественны,
• в) U(0)>0 и V'(0)> O.

9. Пример
Используя следствие из теоремы
1.3, исследовать на устойчивость
решениеx(t) = 0
дифференциального уравнения
х(4) + х(3) + 10*'+ 4х+ 9х = О.
Нарисовать годограф Михайлова.

10. Решение
Составим характеристический полином
Р4(λ)=λ4+λ3+10 λ2+4λ + 9.
Полагая λ = iw, вычислим Р4(iw) = w 4-iw3-10 w 2+ 4 iw + 9.
Отделяем вещественную и мнимую части функции Р4(iw)
U(w)=w4-10w2+9, V(w)=-w3+4w.
Определяем положительные корни уравненияU(w) = 0: w = 1,
w = 3.
Находим положительные корни уравненияV(w) =0: w = 0,
w= 2.
Так как U(0) = 9>0, V’(0) = 4 >0 и V(0) = U(1) = V(2) = U(3) = 0, то
согласно следствию из теоремы 1.4 полином Р4(λ) устойчив.
Следовательно, решение x(t) = 0 - асимптотически устойчиво.
Вычисляя U(0) = 9, V(1) = 3, U(2) = —15, V(3) = -15, строим
годограф Михайлова (рис. 1.3).

11. Отделяем вещественную и мнимую части функции
Р4(iw)
U(w)=w4-10w2+9, V(w)=-w3+4w.
Определяем положительные корни уравнения
U(w) = 0: w = 1,w = 3.
Находим положительные корни уравнения
V(w) =0: w = 0,w= 2.
Так как U(0) = 9>0,
V’(0) = 4 >0 и V(0) = U(1) = V(2) = U(3) = 0,
то согласно следствию из теоремы 1.4 полином Р4(λ)
устойчив.
Следовательно, решение x(t) = 0 - асимптотически
устойчиво.
Вычисляя U(0) = 9, V(1) = 3, U(2) = —15, V(3) = -
15, строим годограф Михайлова (рис. 1.3)

13. Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим обыкновенное
дифференциальное уравнение вида
L(х) = х(n) +а1х(n-1) + а2(n-2) + ... + аnх = f(t).(1.10)

14. Здесь, как и ранее, х=x(t) - неизвестная
функция времени t (t>0);
х(n) - производная и-го порядка от функцииx =
x(t),
ai- постоянные коэффициенты уравнения
f(t) - заданная функция времени (так
называемый силовой член)
L(x) -обозначение линейного
дифференциального оператора.

15. Уравнение (1.10) называется линейным
неоднородным дифференциальным
уравнением с постоянными
коэффициентами п-го порядка.
В теории обыкновенных дифференциальных
уравнений доказывается, что общее
решение уравнения (1.10) имеет
следующий вид *5,29+:

16. Здесь xl(t), x2(t)…, xn(t) - фундаментальная
система решений соответствующего
однородного уравненияL(x)= 0
а1а2,..., аn- произвольные постоянные,x(t) -
частное решение неоднородного уравнения
(1.10).
Если в (1.10) f(t)=f1(t) + f2(t),a xi(t) (i= 1,2) -частные
решения уравнений
L(x)= f1(t) (i=1,2),
То x(t) = х1 (t) + х2 (t) - частное решение
уравнения (1.10)