https://neculaifantanaru.com Manual fizica clasa xi (1992) george enescu

1. : MTNTSTERUU ilrrVAlAUfrVrUlUt $t gTilNTEt
GEgRGE ENESCU
NICOLAE GHERBANOVSCHI
MARIA PRODAN
$TEFAN r,EVAt
F[EIMANUAL PENTRU CLASA
e
A-Xl-A
EDTTURA D|DACT|CA $t PEDAGOGICA, R,A,
BUCURESTT--19e2

2. E
€
*s*;t"A'gii .$i ,"itr** ill*sY!fl*" ##Ti*ruE *g e*usTleA
,r,:, -4::ii;
; =. *:'' i it !,, | .i ;"';
: .,;t.lr'i , :'. ,..;,il. l ,'t . j.
li, i1 ,:''l . ,-.'rfiit,r*ui i't;"r:i.'l 'ri:'l !'4rll'iii:
*si,r: i.ilt,:t;i,:lrl;ti.rrl:1 rll lirii; r-)'ilil *i*r:ga!-i*i, ,':niifi':ittrli,indifcrent curn *iiii,t depi+'-
:3{ii, il:-iir 9si, ) ,.!'r'j" jl}ri:t; :li{:r3it -F}rL}
itozilitr de ecirilibru"
'i;tliilrr"r:r iir.L;,ijiaL :i. ;r',,-''t.rl,.rliri cr.rn14ai,ier se nume?tf eff$]ii'tuiliri-',
-+
A : :11,?."f, i jl j. ,L;;:.ciitud:neal esie 'ieri piizlrivS..
*:, .:-s'ji;1r,.,* i:-r. s-ar ct,ailiiii :rxnrssii.{n viierei ryi a*cci*ra}i*i onili}*.io*ului
rill,ltl',-!f:-", ): i'
:,i r::'.i: i',iiriiiilr 1*. rin r$$u-r*Irt ilgj,:':'ri' :.':til i.!]:
':!... i.;i. F i :11i1; 11, r' i:rii :;a'!1.:. .[:e'l: gri!i* !'*,{ii1!j'i; iil
:,i:.;.,iitj li. riii ienrl,,jr:ci are t,t,:t;,'j +'i,riii!i?.::i-r r:t,{:i;,
rii,.-, l;lr,:iii..t.0r:,li ale eir:::rg*!'i* ?i, R*.:lpra iui a*1i+*t*-4,;
;: - <od cr)g {*dl
g :.:: *61,4 .qin <rrl.
{f .3i
14 /. t
")

3. l.1.2. Corseteristicile migctrrii oseilatorii armonlco
l. Fam. Argumentul funcliei U : A sin otl, g : rol, se numegte /cza
mi4cdrii oscilntorii. Faza se mdsoard in radiani pi este una din mdrimile de
stare ale oscilatorului. La momentul inilial , : 0 faza rnigcdrii este zeno, ln
cazul ecualiei (1.I). Dacd oscilatorul ar fi la momentul inilial nu ln dreptul
poziliei de echilibru, ci la o depirtare oarecare fald de aceasta, faza la , :0
ar fi ge, iar la momentul l, g : g0 * orr. Ecualia de migcare este in acest
caz:
U : A sin (ort* Eo) (1.l',)
Se vede c[ (1.1) este un caz particular al ecua]iei (1.1') a cdrei fazd este
g : <o, * go, ct go fazd, iniliald.
Mdrimea co se nume$te pulsa{ie gi se mdsoard ln radiani pe secundd.
Este clar cd or este vitezg de varialie a fazei, daci se face comparalie cu
ecualia migcdrii circulare uniforme.
Obseroagie. Legile (1.3) 9i (l.A) do varialie a vitezei qi a accelerafiei au forma carac-
teristicd unei oscilafii armonice, Se obignuiegte str se spuni !n acest caz c{ viteza qi acce-
leratia slnt m{rimi caro osoileaz[. ln capitolul 2 slnt prczentate gi alto exemple de m{rimi
carp oscileaz[ avlnd logi de variatie asemdn{toale
Se observd c{, folosind rblalia cos otr: -t"(; * r,), (1.3) mai poare
fi scrisd: u :
Faza vitezei este ort + + . lntre viteza gi elonga!,ia oscilatorului armo-'2
nic consid,erate tn aiceastd. ordine existd o d.iferenld. de fazd. sau un itefaza,j,'
Se observd cd dacd ordinea se scdimbd, diferenla de fazd intre
elonga!,ie gi vitezd este Ag' - 6yf
- ,r-; :
-+. Dacd diferenla de
fazi lntre dou[ mdrimi oscilatorii armonice este r sau zero, mirimile slnt
respectiv tn opozilie de fazd. sau Xn concordan1d ile fazd*.
2. Perioaila. Caracterul periodic al migcdrii'oscilatorului armonie se
reflectd ln faptul cd ecualia lui de migcare este exprimatd printr-o funclie
periodicd. Calculdm lerioada t a func,tiei (1.1) considerlnd cd dupi un
interval de timp egal cu ? secunde oscilatorul revine trecind ln acelagi sens
r Pentru acmt caz se mai utilizeaztr expresia ,,tn fozt'.
co, sin ("'* f)
7t 7t
Ao:tot-1---6yl:-
2,2

4. l)rin aceea$i pozilie. Cum in acest interval faza a variat cu 2:r radiani, se
|oate scrie:
' "i' 1' : r2;, f ;1'iJ"3:';'
*'
otT :2n, perioada fiind
._
T -::. (1.5)
(r)
oscila!,ia-armoniea a pendulului elastic este determinatd de inerlie 9i
de forta de revenire de tip tllastic F : *k!t ,'are, conform legii a doua a
rlindmicii. imprimd pendulului de masd nl o at't't'lera,tie de aceeaqi orientare'
+++
*ileci F : ma :
- iy sau transcriind-o scalar ;i !,inind seama de (1.1) 9i
(1.4) se obtine succesiv :
?
- kA sin <ol
relalie satisfdcutd in orice moment.
k
gi folosind {1.5) avem succesiv k:
T:
- -mAuz
sin <ol
Rezultd:
: ry652.
4nz
nl_ sr
T2
2*11I.
Vt
Observdm cd perioada oscilayiei armonice depinde de proprietd.lile inerliale
(prin masa m);i etastice (prin k; constanta elasticd) 9i nu depinde de condi-
litte tniltate, ad,icd d.c onqtlitttdinea A. un anumit pendul elastic (m, k,
rlate) are o anumitd periaatld proprie ;i o frecvenYd proprie, fapt observat expe-
rimental.
": 1
]/E
2xlm
Relalia (1.7) reficctd condiliile idealizate ale oscilatorului armonic ideal,
pendulul elastic. Se mai spune cd indrimile care descriu proprietd,tile iner-
ii"l" 1*"r" - m) qi elastice (it-
-
constanta elasticd) ale oscilatorului armonic
sinL conrentrate. .
1.1,3. Reprezentarea miqc[rii oseilatorului armonie
l) Reprezentarea graficri. varialia func!,iei (1.1) este dat5 tn tabelul
urmdtor. in care s-au trecut citeva valori ale lui, in decurs de o perioadd:
t €10,
T]
, O."".ece funclia sinus este periodicd.
0
z(n (o
( 1.6)
(1.7t
I
I
I
I
I
,
"<o,
3rs 2*
%;
7c 3n
7C z1C
220
I
1
l
j
-A

5. irraficui iunclrei, iiegenat in iigrr.ra i, j.. rs, rile ' rijrrsu j,;a. S-o r;g..;:al }:i
.:raficui oscllalier {'! .i') i,ure i::i, ,:,{.;i ;..id iu ; : il,r.: ?i.-k;:c0
ir.aintea o'rciia!tei {1.1)" fntrurii p*iir'reri* r; anr.li id.r.i& rrn},-..,ior t,s,:ilal,ii
sl:ri aceiceqi. gr*ficul hri {i 1': sr. dere r:rir; rr i.r ;r.ii -r, iri*sia{i.. :n st.i!:Fa
?o{il .;,
&,
3:r ligurile 1.1, &, j.1, c sini r,epleerl:iate iunc4.j:ic :1 ."i sr.i ri, iisir:eat.e r,::
.I- li.
"tspe "'t.ir'.
lu rs inaintea eiong*!.iti ti :l )
-Aw2
Fig, t.t. Reprcrentama graiic.d
6
a elongafiei (a), vitorei (D) 9i acceleratiei oscilatorului
armonic (o).
t
I
i,
j - , sin iul t'f,.t i
:, a f ,:1
J*lt./ttt-t

6. {
?
i ' ;"'r :l'l ''i '''':': ;i' tl
si:."llpll; li" }-r:.'ai''il 1-?':';'ii,,32 "i'i:iill'::t'
j::'.,., .." ':t: l.j'. ".
i'"t',i:.'i.. ''-1r: ;':-",',]ll-;r.iiiji tit'i''.) iltrlil; ;: l
:. '.;l.iJi .Ji:i'!i.:;.:. ii i:ii':l1
" " :rl-:
":!;i;.
"-.2.
*tltirleie::. u&*i *-qi'*+F:ra::t;': i:'1
i-;.jr;o:'"Lij *S:;$rti r'ri;i:*ill'il.
ra:!.t:,itaN: ta. " i:.:. 111r.:r. cs:-':lri'i;l
n r,: ! - j :j 3 ij i :'1.' i:j :.1. l':.; i!it.' i eillQ'!i'j ir' r'l !l iir;i -
.i-:;jna, , i., a,t.!r.r,l.;lJi:..iq ir': '-r.1":g{'f.ii..;.1:. ;'
iril .::l:i;: ii:r'-l i:'. eili':.;i i: ci:ir-ila'lh"
F,:-,;a;',,i c :il ti:,:r ; t ra!i lli'i r i: ir'.' ::.- rr'
-il.tt't;^1,.,. j:irlilri'.1 ii. :r'i: ;jei1.'i'ai.ii"r- {r-i: !1
tbl,...- 'r' .:t ir.i :r . ,'- r.',.... .
tt ,Jti-,.;:':l Li!La::-- llt' '."t. StU4 ir it-
,.:e i ! l,: iir, l u"':.15',il': ir.- :':islr;, il.: :':';
atiij.'ri,t.Jtiri ) .ilg:!:iiSrF.fLi; tl'i;;fili::,''
f', Alrriai,t';;t:. :i-"":;-rrr. 5i,: .*a: 1--ti-,:?ii.1-i
:..: ;1r: . i.J f i'ii::iil lJ!';j :r.i s;- :! iri:,1'i: I :,
u :-; i r-: :
ii,i -: a;8.i :;iar ! rs : ::'.
: '." li
l*-q*Mr!"s'sif
'i,:
-i
lritii*!t-i.. I'" {i. as;t-;- ii:'i-irg:.:.i,!{i 'vi.' ,:liiii {}3'esnl gr .nl 'J&:'e ai'ir ii ilf!?irlil'{'
I ,,,ci.i l: I ., .',,. ,-.: iTr.'-'.' i' r'.,i:u r.:.;rl.; ; r, '.'.:. '. -i
la:i. *,,. iAl,in:.1 i:,', -*n rillltrlgri-r. '.ir,l:1. uli*;i,i'.:i ie fazi * =r dr: i1j siilra' ii
$l;. +:'ig'ne;- i'esaio'-'"
-j.
..':..: :... ' .: ' r:
eft p l; ;,i.iaj.: ii tj:1 fi :sr 5.ri j i-, rr-. i i*t+il: .
ri.!:t$i';:i-rniittr ailailalrll: i i. i'.'
"v+
a
/
h
Frg t.3 Rugrrezentare; prln faaori' -
* I$agi;iat,& de &ugusti$ "Iea$ Fresnel it?8E-t82?)' ficicie* francer'
i;: iii*ula
+
..'. [irr,Uj,,, riji ' ,;i,' .-.'.:,] ..
1.3, & e$ie reFr€fl.x1i,ai; f*i-'ir*.1
I
+
i
?t
d-r
l* .
{r

7. PROBLEME REZOLVATE
1- un oscilator armonic cu arnBtitudinea oscilafiei de g . 10-3 m se afld Ia 0,0t s
de la inceperea oscila[iei la o depdrtare de e . tOr m de pozi{ia de echiJibru in care S-a gdqitla momentul inilial. Se se calculeze:
a/ pulsalia oscilatorului;
D,/ Berioada oscilaliei;
c/ frecventa oscilatiei;
d.) ]giteza oscilatorului ln Bozilia datd;
e,i acceleralia oscllatorului in Bozilia datd.
Rezolpare:
o) Ecualia de migcarc este datd de {{.1)
I Y:,4sin<rt
care, grentru rnomentul I : 0,01 s, se scrie ..
4 ' tr0-o : 8' t6rssin ort,
de unde rezultA
sin <,rl- lr^u ., : Isi-: ! : *
-
t00n 5Onrad
2 6 il 6.{0-2 9 -s;'
b) Perioada se gdsegte aBlictnd nelalia {i.Ei:
T:2".:6*-.,..-
o 50n
cJ Frecvenla se calculeaz{ din relatia:
Iv:_=g,JJ Hz.
d) Yiteza este datd de relafia (4.8). inrocuind $i tinind seama c{ or:.7
ll
t' : A<ncos ot : 8 . t0*. 50t l'/ rn
J ' , :0,36-.
e/ Acceleratia, date de ({.4), este:
- -o.,y: - {+i'r 4 . {o-{ : -ro,e6
I.t J/ s2
2. Legea de migcare a unui oscilator armonic este exSrrirnattr in Si astfel:
! : 2. to-z sin f,roon, - " ;. /l)
i 6r
al sd se carcureze Berioada, frecven$a, arnplii,udinea, fdza ini{iard gi elongalia ra
momentul inifial.
$l Sd se reprezinte grafic legea de rnigcare.
c,) Sd se scrie gi sd se reprezinte grafic .legea de rnigcare a unui alt oscilator cu
aceleagi caracteristici, daicare oscileaztr in avans de fazd .u -3 futra au qI).
t2
Rezo lenre:
Se comBar{ direct legea de migcare cu legea generatrd (L.r,); g:.Asin (ou * go).
a) A :2 . 10-2 m, or : lo0r,
rad
, 9o : -; I.

8. Perioada gi frecvenla sint:
21 2n t-
---_
c
<o d00fi 50
u:1:50 Hz.
T
lar elongalia la momentul inilial
lo: 2. 1o-2 sin
i- * l - - 10-2 m..
b) Pentru simplificare, tn.loc de a reprrezenta oscilatia il),"ne ocuBdm rnai lntli de
oscila!ia:
! : 2 . 10=s sih 100nt (II)
defazath cuI radiani inaintea oscilaliei I: flntr-adevtrr,notind cu g, ;i 92 fazele osci-
$t
laliei l pi. resBectiv ll,se obline Ag: orr - pr: 100r,
- i00r, r +}. Se alcltuiegte1 .- i;l
tabelul de varialie ln care se determind-valorile Xui , Dentru fazele 9 care dau valorile E)rin-
cipale ale funcliei dintr-un interval, = fo,
I
l, aaice o Berioadd:
L 501
i
?{rad) ;0
r 'ln
22
!.
-l :oa+-
6i 6
_i
11
200 100 :00 50
ReBreientdm grafic oscilatia tII) qi apoi efectudm
spre dreapt a /fig. ! .{. a t.
4l Legea de miqcare a oscilatorului este
-2.10-r 0
o transla$ie a graficului
! : 2 . 10-2 sin {{00n1 -1- 9ai
unde p, este faza ia momentul inilial gi trebuie determinatd. iiottnd cu Ps'iaza acestui
oscilator. rezultd lg : p, - 9r -- I din enunt. Deci':
12
?g - er : iloorrt + 9r) - froo,r, -t
'E
cu
- rad
b
5aU
Deci legea de migcare
-!?:x
9r:*
[26{2
ceruttr are forma
t :2' 1o-2 sin {roo", - t'l
' t tz)
. {rrr)
Fazorial, I gi II slnt rcprn.care este reprezentatd. Be graficul 1.4, o Brintr-o linie groasA.
zentate pe figura La, $.

9. -tfl**
f:
unclc ll egie cri;i.cla*ta eias;'i,:i a
in !tgul";r f.i. -:a:'i
.ui {f o; ,'si,
falii tia axa #8, cu domeniul cle
irr al*lagi iltri;rcril I i:irergra
. mAZ<rr2 cos: o.rl
;.c :
-
_
2
t* i
I
:&
r--._-,4
-L siLreeln^6 .4
.iULj a
lgrn
Frg. i.4" ;,enirrr prchle*.ra !'ezojvatl I.
i"1.,i Energi;r oseilatorului arm.*nir. in limirul,Jpsfasriri,rri ucciluri!i,.,r
u*ui c,striiatlr arincnil. g. -)+r,lueaz! ur ilillc*g cont,inuri de transi )rii].arg e
i:nergiei rnei-:anice rii:l i+rmil llii,eniilri* 'i*,cine i,irF. si invers.
Le uir rnr.rrneni, ijat. l" clnrj eilngaiia esL€ f. tnergia p,,trn1;aid a,rsci;a-
t,,rui,L: cs;."
Jtr ''f-r : -T-,
i
resori,uiui. Funclia {{.E) esie reprezent,ai,E
,: perablia cu viriuj iii oriul iii origirrt. sirnetiirnr'tii: a
defirril.i, tt J i- 4. .._-,1';. r g L --,, ^.r.
linelicrl esNe
i ."Y;
r--t
{i.8 !
/rLu "
kAztl
-
sinz cot)
unt.le rn. qii u sini, nrasa-osciiat,oruiui si, respec'uii., vit,eza iui in a,-.ej ni.}rneni.
sd reprezentdm grafic pe figura f "5 ensrgia cineiicd. Forninri de ia i.g
se scrie foicsinci (1.1) qi if.J).
: !- p1 az-uzy
2
ii
"ff^. if
)*l :t

10. ,,:r
If rt.!ir e I iriiiei grali{. il^sit ilrl
i ,,:"i , ii sirnptrii'a fntd ,l- OE
r'.::';i :r: Stls. Situal in pir;:rt"ul
!
i'irr.;1{qrng1g..rl :0. E : L ,{-J: ii
.2
rir,nir:ni!ri de lli.firrilie in ii{"eiesi il-
icrvai ra i! trJ. pe ligura. . 1.5 I'air-'rile
energiilr,r rinetji'd li ircitelri ?a j,i sini
nlii!"( Htr pr Xil-ll 'i i ]r'il.{ ii1 'r' {'ill'6r't,iI
i,u &l'uiadt. f nloi:uinii in {.i.:,; ;i ({"9)
esl']:esijl€ t1.1 i ;i 11.4) se *bfir: r:,'ietiile :
F;g. 1.5. Graficul. energiei
. armonio.
mAE az c{rs2 0rl
I ).
tlu
rie
lu
1. F
tv2
kl 4'- i'
fi,i,'*!f ii ri ;.rt:a i l,6r :
tltt-il-12is'l,t tr,/ * t t sl <',1;
A
,|l
-
m.' -61' =: -
I{:t'rl '-)AL
1r,1 v
osciladcinllui
r i i{'
e,n.sgi$ m((:Gnicd.
ti 11'
tr.rl
'41
t
iF
t
ip
1
v!
'J
i
'l
I
I
J
r'8r'e insunl.a.!:e riau,
Eo -7 8,. :
deoaret'e gint e.rf -i- tlose tal :- ,!."
Surna rlinlre .r'ergia r:irterttiaiS ;i energia cineti':a este
ti:tald. E a oscilall}rtrlui" lJet i:
l- : i /r,.i:(,r : 1 n ir : 2::iv2nt-12
lt
llr.z.rrli a r'ii :
A1est rezultat esl,e firesc. riei:i:i'a,te s-a {.:{'in$!(lerat i'i:r dupa er:'iti}r€ri-i ini{ia15 a
oscilatcrului acesta erecut[ *."rilalii in condi!ii perfer,'te rjt' izolare. In e,xpresia
(1.11i intervin {actori {.are deJ,inrl tle r alacleristicile oscilalorului. v gi ru. ,<i
un factor -4i care nu riepinde de cscilailrr, ci de pertulba{ia ini!ia}n' (Sd nr,
reaminlim cX nscila!iile nrr delitiqesc amplitudint:a pelturbaliei ini{ialei'
Energia totald este rcprezentaLa de frrnc{ia constantd (fig. {.1}
n:!p;, t1.12)
2
cu aceiaqi domeniu ,ie clefinitie V € [-.{. -r ,'11.
Energia nlccanicd & osciletarltlui c-sre o cflraclerislitd a stdrii oscilatorLiltti'
.
Existd doud nrotluri cit' reprezentare a acestei mdrimil l
l. Printr-un specpti. AteasLa este o prezentare a energiei. in funcIie de
frecvenge, ro esiefrecvenl,aprcprie: 6 Hz (E=30 J)(fig.1.6, a). ln figura 1.6,&
se r,,e{le o fotirgrafie luatd de pe ecranul oscilografuiui unui anaiizator*. Sint
* ABarai, care analizeaad Brin procedec electronice frecven,ta 9i energia unei oscl-
ialii pi o fixeaz{ pe tubul unui oscilograf e}ectronic.
11

11. E(J)
50
n
30
?0
t0
50
u
30
20
tn
0
c
Fig. t.6. Un sBectru al unei oscilafii.
prezente oscila,tii de diferite frecvenle. Este evident ci energia oscilaliei
cu frecvenlo v : 660 Hz este cea mai mare.
2- Print-o schemd d.e ntvele enetgetice in care se inscrie numai energia
totald (fig. 1.6, c). Energia oscilatorurui este aceea,si in cazurile a qi c tgo Jt.
Graficul din figura 1.5 descrie gi transformarea energiei mecanice a unui
bscilator armonic din forma cineticd in potenliald gi invers. se observd cd in
momentul in care pendulul elastic igi atinge amplitudinea, energia oscilatorului
este exclusiv poten!,iald. ln migcarea de revenire energia poten,tiald scade, cres-
cind energia cineticr{; ln punctul o energia cineticd estemaximd, cea poten-
,tiald anulindu-se. Miqcindri-se in continuare datorita inerliei, transforrilflrile
au loc invers, pind la intoarcerea pendulului din nou cdtre pozi,tia de echili-
bru.
Aceastd transformare periodicd, a energiei unui
din forma potenfialfl ln cinetici qi invers constituio o
proeesului de oscilalie
oscilator mocanic ideal
carscteristic{ esonfiald a
se va reg{si aceastd caracteristica pentru orice fel de oscila}ie dar,
binein!,eles, pentru alte forme de energie.
72
I
I ,,,',

12. Groepd de energie potenfioltr. Conrlilio co un slstem str electueze orcllaflt ltbere.
Vom analiza- cei doi. gscilatori ideali, Bendulul elastic Ai Bendulul gravitalional*, din Bunct
de. vedere al energiei Botenfiale.
l. La pendulul elastic Iuind ea nivel energetic de referin!tr energia potenlialA a oscila-
torului in pozitia de echilibru, energia potenlialA cind oscilatorul are elongatia y este dat[
de funclia 1.8 ieprezentatl in figura 1.5. Se observtr ctr in pozifia de echilibru energia po-
ten{ialA'are un minim; intrucit forma curbei Er: L /qt2 este asem{nAtoare cu o groaBe,
'2
$e spune cE Bendulul se afld ln pozitia'de echilibru intro groapd, de energie potenliald.
Iegirea oscilatorului din aceastd Bozilie nu se pbate face de la sine, ci numai Brin
interventia unui sistem exterior, intr-un Broces d9 transfer de energie. DeindatA ce Bendulul
elastic a fost scos din pozifia de echilibru, aBare o forlA de revenire cano readuce oscilatorul
*in aceasttr Bozilie (y : Ol Bentru care tr' : 0. Din acest motiv Bozilia aceasta este de ecti-
libru stabil.
2. Lapend,ulul gravitalional luAm ca nivel energetic de referinlA energialui ln Bozilie
de echilibru. Astfel, intr-o pozilie lateralA energia potenlial5 este (fig. 1.7):
, Ep : mgh : mC$ - I cos a) : mgl - rngl cos a.
Fig. 1.7. Schemd Bentru calcu-
larea energiei pendulului gra-
. vitalional,
Fig. f.8. Graficul energiei potenfiale
Graficul acestei funcfii-e-ste.ar{tat ln figura 1.8. Se observd ctr exBresia energiei
potenliale este o diferenld de .doi termeni. Primul, nzgl, fiind constant, este reBrezentat
Brintr-un segment de dreaBtd paralel cu 0a la distanla mgl, iar al doilea printr-un arc de
cosinusoid{ care nu a fost figurat. Funcfia este definit[ Be un interval Bentru carc oscila'
liile Bendulului mai sint armonice (oscilalii mici).
Se observd cd in pozilia de echilibru (c:0) qi Eo:0, deci pendulul are energia
Botenlial[ minimd. La fel ca ln cazul pendulului elastic, oscilatorul nu B{r{seqte de la sino
aceastd Bozi[ie. Forla de revenire readuce pendulul ln pozitia de echilibru, care.este o pozi[io
stabilA. ln aceast[-pouilie (d: 0, G; : rzgsin a : 0).
Concluzie. ln ambele cazuri, energia Botenliali a oscilatorului este o funclie care ln
intervalul rl_e definilie admite un-minim. ln pozilia de echilibru oscilatorul se afl[ intr'o
groaBd de enerqie BotenfialA, ceea ce' conferd acestei Bozilii calitatea de a fi de echilibru
stabil. Scoaterea corBului din aeeastd Bozilie lexcitarea lui) gi lf,sarea lui liberd determini
,revenirea la pozifia de echilibru si efectuarea unor oscilafii.
t' Oscilator ideal studiat in manualul I'izicd, cls. a IX-a.
13

13. "',-:.-'::i,.:-ii: ::i,:7i],_.Jn:.1 L
i li,' l::t aasiiri 'ldfill ., {,i-i,t ,f itj ,i,,' -: f ji}}l j,.ii ..'_;i* Ct. i: ..
jjtli-1,i1 ir: lri, '-i4 riris:! /'i,.. r:,i r-n. I;i':rar.i:,i r,i,,irir.: .i;li,,r i'.rr:i,,rl
;r,'i: t ii.-tr :: ;,1 i;i,iltiia V: : J i;n: de po;.:it., Ll: cr;itiiil;ru {rsir ir:,._ ji..; i/
'r , 1.t:{r:_t ,ii,t nji;i'iit{1 ,'ia;:tr ii:iii:ri: ri:,iI jti;l,"ri.
;:,r :t1,-'ls-j3 :tlnei,i, ,t )i ;..qi.,i-, tr- ;;, -tltrjji:l1 j.iii 1I .i.lii. ir, .= 1
.l. ; rj"r
ir -; :i:ii.:'iLi::t :r, ilfll .jiil rr,l;tiit , i tr:
u: ',' t
i, i-f . -,,,.
Y Y ,:
Pani;':; .i ciilatLtiii ,r::"r;;i:i:trj:lr,ii, ir;jrr.:rr.;l ,_i:jrit,rr: rjtit,,
';lr r i.r -r . -i "i.:1' "
ti i;r:l*i.rtr! ,t. i a:t{i lii:lit ; ..i. __.
i
. !)t : r? . i -, r; .4 ,": r.iis d*tl : r,i .-I-- - { r:t-. r_ri,
_ .
:l'-ir,
it,rllr:jr;d i ;j Ii iii ir,.:lfiii r! a,.i,_iirjil,l,;-it sr, 1ri_)i)ii!
-^r
' ' - - llt l" - -'* -= 'r i:.'':lti.
Y -,r..:
'."3a' d l ! .r' S. c: t"l, :
3; == tl lr,:-:r.5i1s l:;:;.
1r .j:t: ! . .= ) .rr, Iri -d!;, i;utol:;ir,il ,,* ,
k:l'l ',' , j,-4
i.., _. _ -*-:. :_ .: .;" .1 j ."
ijrrr:rf!a r.ingtiii ;:n;ti;: fi ai.iatd ijr lJrin !.(r1 ,..1.., .; ,n irraaiJiril i,, Fiit.riiitijui vi
tCze
' r'i. rin,l lt? -= I I'rr. ii:j 'tl.in S(r,llj!r;,{jJ rjjtlifgt{)t i}oiit:iliald r.1.il ci-ilr{i:t lOi;l?:j.. t:i:la t:e
.:i,' :n.i-i -: ;i:yrir; ';.n !fi,.'i:1.'. ir: a;:tbottr :;.i,rrr
i. Pitla:u: vitczrt, , s:.
r f - ..i3rr': i,)s.: t;/
dar din ecuatia {.'i. sin <,lr: :ll ,*i lnl,:r:uind in rrr;iiir:: rir;cetienlu oi)ii;r-rlri:
A
'2
u,? - irr.r?ir - -z*i-.:c4 j t
1.Gi
't:i*4.Litl*l
)!)
i,i -
- .il
-={i
llrr - . t.t.*1. aiii, sii:i
ilir :irri:,:ii iI)lrii:iii:
li 1ir' 11 :; ' S,.. ,,,)
I ii-
l4

14. {;eci.4" : .10-r . g! : 2,.9 J
j. Fentru a dovedi cI FAmintul i;6 rcteste, lioucauit a ronslruit urr Fendul de $3 nt
"i1r o i;ild de-masd e,gal6 cu 2S kg. ili il suspendat pendr:lui sub ctBola Fanleonului
din Faris. Un indice riz.sal sub gunciui re iixare a bilei i5sa urfi'l€ *e nisipul i!n, strins sub
Iurma unui fpr{ ^Li.r,rza de:l.ir m. lenlrul iiidd pe veri.icala nenCuluir.ii i.ii3t in erhilibr'1.
jl.mplitudiriea csle de 3 rn. SA se caic'rie?e:
oj perioada ascilaliilor;
6l ecualia de migcare a bilei.
' c ) Ce demonstreazA deplasarea ccnt'inuA ;i in acela'ei sens a i:rntelor i6sate 9e nisip
ric indicele penduiului? Se ia g:9,8 m's-r.
clJ Snergia potenliald a penduiului in Bozilia !n care lase u.ma pe nislp"
tl
11
-
ini'i- :
-2-:
ivezi Fizica, cls. a
i-: r.=
vi:'" v#
i
i
I
,t l.
t;I
Y.t
1
I
I
i
,
l'
i1
,I
I
R.ezoloare:
cj Perioada este dat[ Ce
l" : :lrc
t
iX-at
tv i6,d s.
*- l
{t.38 __-
5
bl La o amplitudine de 3 m,5i penrru o iunsinre ile dl .rr. sin.! s i ry rr,0i;.
' $t
reoa ce ne dd dreptul sd considerdm oscilafia cvasiarrnonice. teci; ronsidertnd laza ini!ia16
nuitr,
' Y:'4sinol
i; .; i9,*Salr. CUm d:
- - 1l
-
-:
T y6;
y : 3 sin {},i}8 t.
cj Oscila{.ia liberd a unui pendui se face intr.un tistem iner}ial ntereu ln acelaqi
pian vertical. Deolasarea urmei if,sate ,)e nisiB Boate li interpretat* doar r,a migcare a P{mi*-
+-ului tnsuqi. Clnd Ptrmintul se roteqte tn jurul axei sale, ;caifia pardtsel.ei S)e care se afl*
nisiBui se rnodifici iald de pianul de osc.iia;ie l:Amas neschimbat. i.,i-.servalorui di:r sistemui
legat d* Pimint, caro iru-9i dI seanra de migcareaP:Lrninlti*i. $l;rrn{ r$lalia glanului pen'
Culului.
rJl Notind cu a' unghiul intre fir 9i T eritr'altr ln pozilia iata se ,biine:
ip : r*gl f t - cos a'; x; 315 ;:
x"2. C0MFUNERTA *SetLAT!!LCR
)aca rlOi Sau mai muilri ,,st'liai,Ir; ,.lir:r 'rri l(rllra!!a, 1l'-iCarPd. risLun"rii{lJl
lual,'r:a intreg este complexd. llilcar'ea fiec:1rr:: ,,sc;.1&i,8r tste iUlluen?aiii iiij
rrsrjliat,iiie cel-rialfi oscilatori ,.ci rlriluen!eazri ia ;'i;rttu-i oe {:stlal!i' ,{rt loc 'i,
-"lompunere de osciialii' !n general'
"sciiafiiie
ctrmpttnenit pol aYea direc{ii
tiiferite. ie ocupdm in cele {-'e xltmeazd de 'lazul ioarte sim-r:lu in -*are ri0ud
cscilalii cornponenie de aceeagi frecvenld au ace€a$i iiirecire jeci lint, paral€le'
Experienla aratd c{ in acest clz s9 poate :1piica lrincipiui sunrapunwir
inicilor oscitralii: an ptxn(:t.srzpDs 7ruGi lnuitcr rv;.isctiri esr:iiatrtrii,. iJstii{ixiii tn {t
elangaiie €gr;i;d e $ sum(r {Elgebr/cd. *'elong'a{iii*r mi,ry&ri'lar ,'otzwcn f r}rf *a "!;t'e
principiu, gi acesta rezultd din cxperien]& pri:i iniiuc.i'ie'
{r

15. 1. Compuneroa oscilaliilor paralele avind aceeagi pulsa,tie
Prin oscilalii paralele inlelegem oscilaliile care produc deplasari (elon-
ga!,ii) situate in lungul unei aceleia;i direc!,ii. Compunerea miqcdrilor armonice
simple de aceeaqi fredven!,d qi o aceeaqi direc,tie, dar cu amplitudini gi faze dife-
rite, prezintd un deosebit interes in studiui difractriei qi interferen!,ei undelor.,
a radiat,iei electromagnetice in general. Asemenea oscila!,ii pot fi reprezentatc
prin ecualiiie:
Ut : 6tsin (<ol * qt) li Az : a, sin (ol # pr). *' (1.13)
Conform principiului suprapunerii micilor oscilqlii, oscila,tia rezultantd
va avea elongalia pe aceeaqi direc,tie qi va fi
U : At.* yz: c, sin (<o1 -1- ?r) + c2 sin (<ot * pa). (.14]
Sd efectudm aceastd adunare cu ajutorul metodei fazorilor sau a vecto-
nilor ro[itori (reprezentarea Fresnel).
Cele doud mi;cdri oscilatorii descrise de ecuaJ,iile (1.13) pot fi reprezen-
++
tate prin fazorii arqi a, care se rotesc cu aceeaqi vitezd unghiulard,.con-
stantd co, fa,td de punctul O. Unghiul dintre
vectorii 6,, qi i, rdmine neschimbat ;i are
valoarea gz-er (fig. 1.9).
Deoarece suma proiecliilor a doi vec-
tori pe o axd este egald cu proiec!,ia pe
aceeaqi axd a vectorului sumd inseamnd cd
oscila!ia rezultantS. poate fi reprezentatd
prin vectorul rezultant
-i:
+++
a : Gr* dz. (1.15)
Vectorul rezultant a se roteqte evi-
dent cu aceeaqi vitezd unghiulard co ca gi
Fig.r.gvectoriialgicr'Pitratulamplitudinii
rezultante va fi:
Faza in ilia,u n" : #JtJi -:"'lfi ",
. Jl;;Ji;" ",". "" *0,"," i1',t :l
poate determina din rela!,ia:
tgg : ar sin 9r* az sin 9z :+ ,
o I a1 cos <p1f azcos gz DO
aqa cum se observS. in fig. (1.9).
oscila,tia rezultantd va fi datd deci de componenta vectorului rezultant
i p" u** Oy, adicd va'fi de forma i
U : Ar* Yr: a sin (<ol * q)' (1.17)
16
r!
i
i

16. Aqadar, migcarea rezultantd. este o migcare oscilatorie armonicd ce are
aceeagi direc,tie ca oscila.tiile componente ale cdror elonga!,ii sint yr gi ya li
aceeagi pulsalie <,r. Amplitudinea a qi faza iniliald g ale oscilaliei rezultante se
deterrnin{ ln func,tie de'amplitudinile qi de fazele iniliale aie oscilaliilor com-
ponente, conform relaliilor (1.16) gi (1.17).
Disculie: In func!,ie de valoarea diferen!,ei de fazd Ag :92-gr, deo-
sebim mai multe cazuri (posibilitdli) de compunere a oscilaliilor.
Astfel: a) Dacd Ag :2kr,k E I{,cos 2ln:1,a2: a7* a?f2arar,
a : d! f ar, adicd amplitudinea oscila,tiei rezultante va fi maximd; in acest
caz spunem cd. cele doud. oscila,tii sint in fazd.
b) Dacd Ag - (2k { 1)r, lc e trf, cos(2ft * 1)r" - -1 9i rezultd
a: ld1-azh in acest caz, spunem cd cele doud oscila,tii sint in opozi,tie
de fazd $i amplitudinea oscila,tiei rezultante va fi minimd.
c) Dacd Ag : (2k + 1) +, ft € N, cos(24 + 1)
+ :0 rezultd:
2t
a2: a?i a?.
2. Compunerea oscila$iilor paralele ile pulsafii pufin diterite. Fenomonul
ile ,,b$t[i"
Considerdm cazul particular al oscilafiilor de frecvenld aproBiatii 9i cu aceeaqi amplitudine.
Fie:
lr : Asin <ort gi Az: Asin <o.I
legile de miqcare alo celor doi oscilatori care respect{ condiliile de mai sus.
Oscilalia rezultantd va avea elongalia pe aceeaqi direclie gi va fi:
9 : lr * Yz :./. (sin <ott f sin ort).
Transformlnd suma ln produs, se obfine:
s : 2A.1n .!lI1d..n, ,ijl:9lj
expresie care, scrisd in functie de frecven!{, are forma:
g : zA ro, 2r {-U-l?! sin 2,, !-u' +-j".!
ceea ce exBrimd o oscilalie a cdrei amBlitudine variaztr Beriod.ic cu frecvenla
f
: "u*n'
gi a edrei frecven[{ este v : -t-*
2
Dac{ v, : vr, oscilalia rezultantd are amplitudine dubld ln comparalie cu cor,npo-
nentele pi aceeaqi frecven!5 cu ele, rezultat care se Butea intrevedea.
Dacd frecvenlele stnt diferite (u, # ur) dar au valori aBroBial,e se produce fenome-
nul de bdtdi. Frecvenla oscilaliei rezultate este egal5. cu media aritmetic5. a lrecvenfeior
oscilaliilor componente, iar amplitudinea este o funclie periodicd, valoarea ei maximtr fiind
atinsd Bentru
.o, &!t::!Jl - *i..)
2 - Fizi€, cl. a XI-a
"sB;-!
17

17. i,,iuli, i lner:iii:ri *:-
i-.-tl ;sie c,.: 1:l:l il::li ;-':i{:} ;:! -1. rl:Llr:ii:::;
,1;313rii.i.i i* t.. l*ca:ect i'rnb{:le';'r'lo*i ina:':ir:le'i!e trmpiil"Jdi:ir:
:-.a:l:<;;ie, f:'tr:Yai-l:'il ljii aalii i;;c Il:'oduf* an:piiir-ldiriea 1]11axt:.:l:j rsir
'.!a *- i.
-
., .;;--..*.- : 9-i * J.,
ri.tli -'- " .
.:.: ji.{-r:r il=:r.tr,,{r!ti-a f,i:icia di* lt'qnpc:li:nL* ':sl'ry !ilu}':i se riQaie icl';'l'::"itlc l'l'tc'oeLi"l ':t'1"'i-
ir:iiri-.iit:i{-:lei:lFrltncgciii*r:.-gcir;:r:'"'eoia*:L:il;;crc:-inercaiefid'sil-'.l'r'ili:i:llllpiicr:*r;
;c!:s:,;!1"
i'.lecveni;a
' j. ::Tug:ilU.1- :"${AhiSf r:nLrL{*il fi{[R$ifi'iiltTRg OSC:LqT*R
.;i t'lN 5!$TgM fXTfiRleR LUI
,l:i . gie 1ip rlr'm{lazrl -1rm ;iri'reprinrltl 1}n st'udiu sistein&t'io rriper;aent{rl
,, :,.r^:li?nrgi ira;lsferrijlui .l*ergciic !n'l*:h*:ie sensLli';, liie l*it,si:.:: in acest
-:|,;:l rie a-sar'8i1.ri iiin ;'!si;ri.L l-.:.-;, !:ar{r :re 'aiut'5 t"I ::c*rle15m l'}i{lcessle LSre
re lilietrseasri. t;1 :rrl'rlil pxpe inrentcis !'1'1i"r] u"{ir fi tfeciuate :;t'it sisicnirl
ilxi.tiAi{ii, iire.{ r&re i€deAzit gr}el"J'iei' cii Sl Cei e:ioilat icei r'-'dflira - se 'etieazi
'*ler;Xiej yor: l'i iisciiaiori. in ar:esi caz pendule gfavilalionale' l{otiiiicdrile
€neTUstite ,1ie i+lSXexnelOr ','Cr ilut'efi. i'i Urm.Srlte Eriri ChSef-"areit 1:Arleti€i'
ampiiiilciinii unghiuiare a ose ;ial,iiior m6surat,6 cu i:n rapr:riirr ataFat &na'
,atu iu l.
:. .i:an, ferr:i energeiic :rElrr' *sr':llatnr ,*'i metiiLl Foatc :tl i* *rirnui:inrJ
,.in ,renEfet .ie ia osclitfoy ;a meciiul inconjiir5tor. i.; disipare a tnerEiei osci-
:€

18. i<..'..;l rtl.;i.
-,.:-l ,l:-:.: 'f l i l' .'.2 . .
*J'rini frgli:.reiL eFi+ r'tii rjsl ii i-,.i r::r'l
lr,, aj. tl rlSi u i r.ri L": t:rr'i,.
li i {,i:: ;.;l'i;, ,^l 6i,, '., '. I il.
;.jr-rau nit &rotrLi i{*.ri.a ;-' g,.: : ! 1: i :
",-'l'. .'1 1:.1; i.
t*;ll-*ra i-r$.:iiaiiiir,l ii,,,,'ine ir,i lir:i.i i;,i,':i
iri ii:np, gri,i; i.: -.i'; -r"';: l,;
'.,.,;ri
i, r ,lii:,i fnr.! tl i,. l:.,',, tr,. . ": . f .,,ri
tii;!rc" tsa.iiitt,orul lasai i!i:er i:ri.r-., fr:,r71i, '
riii'srrt a ile ct,il tie ei:liiiibru fi'11 pr jai,.ii
e{fi l'.i. Ot,iJ;,iii. il:ii.r..i,-.p . t^,.,..:.,. . t,;.,t,
11i ; i.1..,,;1ii .Jr, C.. i'iril,L i,:rl':li.i i:,:t ;
rli;ipil.ii fiiiiiii i:i,:diuii;i ini,-iljr;i'6i rr.
il:.:p; ctlr'.1 lstii*.t,i-,rui ni;r:i::e irr r,:paris
lilr''l:":Q,1rl '.llil] r.ll iri:r:.:i,t,. th i.
,,,,,',,,..,, .,' .;.i, ,' ; .i":i,, I ,:.. ,,
i'.r.j.ef!.il-ii i]li iii.i: iiLii ;,i..i:[:,' :iiit g.r'irf iii]
'1
i,r,,,i rilli,:,jlil !q;; 'rtr '',n:ill; I ..:,..i r,..
.iltg i i i. Aplr,rl ,ir: l.iiiirl+ gi;ii.iir-
i:i;:-:re!r.:.
.i I
Wri
F-i r
.l
! i'
r,ig
x
* r,
ii ',: 'i! ]l i
iriir! !i
;i aj
lr ;J
i f 'j
'HI ir
,l!u , i
' . I i-
l .!{
il ri;6-
l'!;
l,-.
r'r I'
L:i
l;i rii ljiriira.a i.!e i'r:i':,liii'r: a irfil:julilit;i
s;11 f i'jir.'li::ir.-i1 r' ii1',:i'.ll i,-r,j. il'],:,r i;;i5,.'nt,
:1 i;' -' , ' ,: : .'::, :'... .
f . 1i: .tri,, i-'t tii';t:ra:i!zi'i ri ir,i;;.',- I
', ,
i'r;'; rli ii5:'i;.ri,'i'. ilr:,iii'in ririli lt]! ir ,::' : '
j,. ,, rr; ,r',!t 1 . I i
: .': .U r: ,i .: ir-i.. i ': r.;.J.
_1
t ';. f .i j, 't/
2a
1S

19. Fig. r.13. Aparatul din figura t.ll
modificat pentru studierea rezolan-
lei'
A'B' (fig. 1.13). Pendulele { qi "2'..slnt
puplate, prin intermidiul axului A'B',
lagdrului f,2 fixat de axul AB, ca gi
lagdrul Z,1. Cuplajul poate fi reglat prin
strlngerea gurubului ,Sr, frecafea axului'
,4.B fiind in acest mod mdritd. Oscilaliile
pendulului { vor fi astfel mai pulin sau
mai mult amortizate.
al. Cazul in care rni.gcwea pendululni
eicitat este mult amortiwtd^Incepem prin
' a pune ln oscilalie pendulul excitator (2')
al'cdrui corp C este fixat sus* (fig. 1.12).
Ii dAm o anumith amplitudine unghiu-
lari, de exemplu 20o, gi urr.nflrim oscilalia
pendulului excitat (l) a cirui perioad[
de oscilalie a fost determinatd ln prealabil (?:1,2s). Observdm cd
oscilalia lai are aceeasi pertwidd cu aceea a pendulului eacitator 9i este defa-
zati pulin ln urma acestuia, dar are o amplitudirr'e mult mai mic[.
Refacem de mai multe ori experimentul pdstrtnd fixd perioada pen-
dulului ugor gi mdrind treptat, perioada excitatorului prin coborlrea corpu-
lui C pe tij'd. ln tabelul urmdtor slnt inscrise'rezultatele unui astfel de expe'
riment:
Num{rul deLermin[rii 2 3 4'5 6 7 I 9 10 ll .12 t3 LtL
t;3 3. tr 4 5 6 7 6 5 322
AmBlitudinea pendulului
excitat (tn grade sexag€-
simale)
.s-au notat poziliile corpului c pe tijd pentru lncercflrile 7,8 qi 9 9i s-au
determinat separat cu cronometrul perioadele corespunz{toarb. S-au gdsit,
respbctiv, valorile 1,3.;7,4 9i 1,5s. Se constatd cd:
Amplitud.inea pend.ulului ercitat creSte ugor pentu valori ale perioed'ei
excitatorului situate lnt-un interpal'de valori apropiate de ealorile pe|ioadei
proprii a pendulului excitat.
Oscilaliile unui sistem sub ac,tiunea periodicd a altui sistem se numesc
oscilapii forlate. ln figura 1.14, prin curba L se reprezint[ grafic dependen,ta
amplitudinii oscilaliilor unui sistem excitat, care oscileazd cu o amortizare
mare ln. funclie de perioada unui siStem excitator de masd mare. Se contu-
reazd vag o cregtere a amplitudinii sistemului excitat de felul celei observate
ln experimentul precedent. Curbele trasate ln acest grafic slnt lnsd construite
pe baza unor date ob{,inute cu dispozitive experimentale care permit detet-
* Cu ajutorul qaibei cu filet, S.
20

20. lvnplitudinco
riilrfiulur
.xcitot
Cu gnortire noirica
1--,Cu oDortizora-' nYtra
P.rioodo
perdulului
.rcilqtor
1.14. Curbe ee arat6. r€aclia unui sistem oscilant excitat,cu o forl{' perturbatoare ,
periodictr.
mindri cantitative mai precise. Aceste curbe lnregistreazd.'rcatlia sistemului
excitat la excitaliile primite din afaii.
b) Cazul ln care mfyarea pendulului ercitat este purin gnxortizetd. DvpA
sldbirea gurubului 51, refacem lntocmai seria de experimente descrise la
punctul c. Frecare& din lagdrele / gi B se micAoreazd, ceea ce conduce la
miegorarea amortizirii oscila,tiilor pendulului 1. Se observd cd oscilaliile
pendulului excitat au aceeaqi perioadd c-u perioada excitatorului, dar slnt defa-
zate ln urma oscilaliilor excitatorului 9i au amplitudini mult mai mari.
In tabelul urmdtor sint date rezultatele unei serii de determindri cu ace-
leagi pendule ca ln cazul a gi aceeagi amplitudine inifiald a excitatorului (20").
Numdrul determinlrii r23456789101112!314
lCu onortirore stobd
Amotitudincq
{ctl'o sistc -
mului rxci -
kilor
furioo& propric
q rnddutti C:c -
ciht
Fig.
AmBlitudinea pendulului
excitat {ln grade sexage-
simale) 8 12 t4 16 1.8 22 23 19 L7 15 t3 13 t3 t3
S-au mdsurat perioadele de oscila,tie ale excitatorului corespunzdtoare
determinirilqr 6 gi 7 gi s-au gdsit valori apropiate de perioada pendulului
excitat (T : !,2 s), r{masd neschimbat5.
Se observd ci ln qoile condilii amplitudinea sistemului excitat cregte
ln mod evident pentru valori ale perioadei oscilaliilor excitatorului egale
aproximativ cu perioada proprie a sistemului excitat.
ln figura 1.14 este reprezentatd grafic (curba 2), pe baza datelor oblinute
cu dispozitive perfec,tionate, dependenla amplitudinii unui sistem excitat,
care oscileazd. cu o amortizare rnai slabd declt ln cazul curbei 1, in funclie
de perioada excitatorului. Se observd cd ln acest caz curba prezintd un m9-
xim pronunlat pentru intervalul de valori sitirat in vecindtatea perioadei
2l

21. pfi,r i:, ,: r.:';:'.if mujui *xr:i.*i l,g.v. 1: t,-,ale{i8 f r"eqierea ampiituciirii insearnli
lrar.ll.i t,rr.i.tir'; iiiir.:t,. {::. t.7:,. r. {.;:
transi+::u; *itergi{:; de Ja *xtiis,ior lir E;istesr:;i cxeitai. carr se faee p*rltrl
{,rife prr!0&da ;r *:icjtatorultri. este m*rim. Ii{.nf?'u peri*ade nflat$ tn vecinfi-
t*trs r erisad*i proprii a $iste:**lsi *xcital. ;ie+st tri'roces seiectiY de trartsfer
,-lt i-i'tigi+ itt'rrt r,uriI s!:lt'nlt liri';t "e flliit,t;;ie t t:otirt'niu'
1,..i :jat,r:r,'.i ercitet -e l:un'c:'i t' r! :';n 4;',r- i6Tsisienir"ri.ur'* aa.";, t) - rf rl'!(tiur.
t.,. tii rqit,lizarea t'ezriraturl'.r. r.ir mai siaba. cu atit turba arnpii-
ruti rr,ii preziniii in iiif mei inalt;i mai ingust 1t'trrba 3 de pe figurra 1.1/r;
Ciiiitat,jv, rcndi!!a s.pefitiej t,-'r,rmpniiju-: iie rezon&rld se poate rerilic,a
qu aparatul tiin figura 1,11. trentjulete 3;i 4 intrd in oscil*,tie perturbate
tii-rrci rje *sr;ilatorul tr sar.l 2" dar ar:i:iittrdinea icr lre;Le f{lart,e nirrli dat5. dis-
r:ul excilat,trul:i esle plins apr*:imativ ia ace*ali inli{ime cu tiiscurile pen-
duielor 3 se ir 4
AFL,CATii
aj In$r,:;iner"ett ctcilat,iilor. i..ama elasiicX'I a soner'iei este,un oscilatcr
care csci]*azi ru 0 ;,€ritari6 prcprie f srih acliunea unei fcrle elastit'e tle rt-
venire {fig. {.15)" La inchiderea intrerr,rpdtorului f eleci,rcmagnetul E ercitl
lama punlnd-c in oscilalie. Miqcarea ltrmei deterrnin5ddschiderea eircuitului
gi di*parilia fcrlei perturbatoare. Lama ipi cantinud oseilalia pin[ la contac-
lul C, ln drurn iovind eiopotul. Cind lama revine pe eoniact, se cornandS. un
ncil transler de energi* de ia electromagnel, ;i pnccesui se repetS. Perioada
procesui,:i de transfer este ccrnandai,d de oscilatorul insu;i, lama elasticd.
Fig, 1.t5. Un. model
s0nerle,
22
Este un {enomen de rezonanfn. Aplica!,i defor-
mafia precedent,d.
- b ) Evitarea rezans,n{ei Ei amortinarea pibra-
li.iior
Carcasele m otoarelor gi gener'atoareio,r,
grinzile qi plangeele construc,tiilor, podurile au
prin construc!ie o frecven!,d proprie de oscila,tie.
In funclicnare, aceste elemente executd osciialii
forlate datoritI unor sisteme exterioare care
pro{uc excitalii periodice sau neperiodice.
In cazul excita{,iilor periodice se poate
ajunge la rezonan,td, clnd frecvenla pBrturba-
toare are valoarea aproximativ. egald cu aceea
a elernentului excitat. ln aceastd situa,tie, ampli-
de tudinea orcilaliilor provocate sistemului excitat

22. iiind raaye du,;e i.a. nparli.ia un*r sciicitdricare depdges* limit,a rie pr.:parfi,,-
rlaLilalie ciln legea }ui xiool<s, pr{.iduc deforma,tii perrnanerrte s&ij *i:iii.:
drstruger"ea si*r,+muiui. Socluriie pe care sint rnontafe xraginri* se iis::ri::xi,.
co su dislrug, grinziir gi p:durii* ij€ rl-ur. Citeva exernpie:
Ln p'.;Pnirea gi *prir*a" il*r.ri mi;',"or frec:renla acesir:rie Fa:ril;sil i-,i:,r': y.et,J
pi vai*area de regin. *sciit"'fiile rn*tor-triui eini periuri:*lce.rr. ;-ir:ttr.i ari,
POii;t:v6l E!€ f A!'i €li,' lYlitll&;.
Gr*aiiri:i **r-tiorei ar'rtoc:obiiiliui. riesr:}riE iatr-r-, aau;:itS ptri;ie pr'.r-
d**r., r;;: a;:::iri*'i cui;errilf la anumile turalii alE nr*'tc:,.rlii.. -
La r,r*cerea etu: vehicutr gre* e ttrzl trepirieazil"" lrii:r.:ii!ie ira.:,rrr,1ii,inJ r:-;,,,
r:t€iilri-: $l'lt'ofi.r-:S. une+Pi vi}:ra.Lia.caraci;erlsiicE !:i::ecuncscl:i,;I- i;, geaur*rii,-.i.
tin punci'u]. d* vsdere *l ei.!itirii r*zonaniej- e,'iisti rirulir :i;€ili* ;::
ci p*ait,iv* Frirr c*rr s* ,l.r:aliseada acesf obieo".iiT. Se exen:;, r.: {*r.:},.,r.!,,"it:
{,rig" i.tS;" ui,i;asa;lir spetia! 3.* autovehicule, es+ue fixai, coaxiai c* arcui i:t
cl: un&. din iije F* carossrii-,, iar cu ceaialta. pe uir; din a:tri: ;ru:r,i..i. tllili
n$ai,a ?3:;iine+te a n*regui*.ritate e rirumuiui, axa i:nrtipts s5 osciieci' ie.r,i: *r,
larcrseri'l. fJsciSaiiiir: Bre]u.aie Ce arc sint asrortizaie rapid cii: i-it:,tr.,r!..i
,.i.e*arece spira ii*ii:-q a alcului esie solidar5. cu capd.tui dr jor- i), *ni0rii;.iy.,-iiL;i,
!nir';:?"; ::liE::aretr iceri,ura este fri*aid' dc frecarea. liciiiiurui :;i:: inler.ir:.,
,-tgi'ila.i,!a xi; ilj-:ij:;r:t d:.rpii i**-3 cut'Err.
Fig, {.{6. .&.mofiizorui mddiai
ia un ar-lio[urisiil" Fig. r.1?
lNraEsAai, EXtRCiTtt, PRoBIEME
1. Cu fascicuiui paralei al unui proiector se lumineaz6 un pendul elastic care osci-
leaz$ cu o frecven|6 lrir prea rnare (lig. 1.1?). urnbra P'a sferei P. fixat[ pe discul .D care
se roiepi,e unlform, apsre pe ecran aldturi de umbra C' a biiei C care osciieazi armoaic.
Luminind din pianui dist'ului, umbra C' a iui G ca qi umbra lui P efeciueaad oseilalii pe
z,)

23. miEcdrii.
8.* Lichidul din tubul ln formd
Desorieli-i miscarea. Care este
drepte paralele. Reglind perioada de rotalie a iui P astfel lnclt sd fie egall cu Betioada
de oscilalie a lui C, se v;observa c[mi$carea celor dou[ umbre se lace sin:roni;"dt,
Ce poate demonstra acest exBeriment3
2. Des$ieli miEcarea unui piston tn cilindrul unui motor cu ardere intern{' Cum se Boate
Brecrza Bozilia pistonului la un moment dat? Alegeli un parametru pentlu descrierea
de U este denivelat gi apoi este ldsat liber (fig. 1'{8)
lorfa de revenire? Cum se modifich situafia ln stare de
imponderabilitate?
4. Pentru a mdsura perioada unui pendul gravitalional se poate cronometra o oscilafie
sau se cronometreaze mai multe oscilatii qi se lmBarte timpul rndsurat la numlrul lor'
ln.care dintre cele doud moduri determinarea ar fi mai exactl qi aplicabiltr lntr'un
num[r mai mare de cazuri? (Temd exoerimentald)'
Fig. t.18 Coloana de apl denivelatd oscileazd'
IJe ce naturii este forla cle revenire in cazul oscilatiei trnei lustre iovite accidental?
X)ar in cazui unei frambuline de siirituri?
De la marginea unui rnojar de lorma rnei , alote slerice, Be partea lui inlerioar[,
estellsatsliberdpbild.Descrielimigcareabilei.Careesteforladerevenire?{Tem[
t'x perinfent al5 .
Amplitudinea oscilaliilor unui ieaglin poate fi sririlii chiar de cel care este in leagdn'
'fenipr aceasta el se apleac[ Be spate la sfirsitll semioscilaliei sore inapoi qi se apleac6
in lat,[ .la sflrgitul cursei sp"e inainte. Ar{tafi ce este ttn ienomen de rezcnanld $i
i-Jt*J";"",.m esle un.sistem rarp Doate oscila. cum ne putem da seama cu aproxi-
mafie dac[ amortizoarele sint ]rune?
g. Trecind peste o Bunte observdm la iln moment dat c[ osciia{iile se ;rmplificd in mod
periculcs. Cum putem continua trecerea evitind oericolu.l? c.
10. lineli cu mina capltul unui pendul elastic stispendat vert'rcal a ciirul frecvenll Broprie
esi,e delerminati. provocali oscilatia pendrilului. Migcali apoi mina in sus Ei in jos
astlel incit amBlitudinea oscilaliilor sf, creascd. Determinali astfel'o oscilalie for{atd'
ce oonstatali in privinla frecvenlei si fazei migcdrii de urcare Ei coborire a miinii in
situalia.de rezonanlA? {Tema experimentald).
La pornirea sau oBrirea moborului rrnui
un momeni, a zgomotului. Explicali.
lncercali sd duceli in minfl un vas cu
ficati freeventa palilor. Ce fenomen se
lrigider se poate sesiza creqterea brusc[, pentru
* Problemele notate cu asterisc au un grad de dificultate mai mare'
o.
!t.
t{.
11.
19. apd. Observali suprafala apei in timp oe modi'
produce? Ce efect Poate avea?
24

24. f8. Sd se sorie lcgile do miqcare ale oscilatiilor defazate ro I ti n tn urma oscilaliei a ctrnel
Iege este
_
ur:r.'^{+ -f}
$d se reprezinte pe acelagi grafic cele trei oscilatii.
R: Y, : o sin [I1 -
g]t ls : ssin {+ -
t"}'- tz tzJ'-- tz 6)
tr4.r Un Bendul elastic de masd rn :2.18-2 kg efectueaz5 o migcareoscilatorie armonicii,
descrisd de ecuafia: y : 0,05sin I'I ,+ I] (exprimat ln m).
{6 3J
t/3a) Duptr ctt timp accelenafia devine a.: -T-arnax!
6J Sd qe construiasc[ graficul dependenfei de timp a fortei.F ce acfioneaztr asupra
pendulului gi sd. se afle valoarea maximd a fortei.
cj Sd se reBrezinte grafic ln funclie de timp energiile cinetic{ si potentiald.
ci ) Sd se deterrnine momentul ln crre energiile cineticd 9i potenlial[ sint egale.
e,f Ce valoare are raBortul $ ,:ina g : 4 Z
"Ep2
*;a) t: cl3ft - t + {-lih*t;'. ift : r, 2,...'}; b) 3.3.lC*a N;
tt) t :{u^ -*}sr (/r: r, 2,...}: o1 & : r.
f" 1] Ep
X5. Un corB ile nnas6 m : 0,5 kg legat de un 6rerete ':ert,ical cu un resort de r,onslantl
elasticd r : 8 . N . m-t se poate @plasa l6rd frecare Be un plan orizontal. La momentul
e:0 cornul se afld la o distanld <ie 0,{ m iald de pozitia de echilibru gi este tisat si
oscileze liber. Se cere ecuafia rnigcdrii oscilatorii a corprului, precum si viteza matirn{.
R: Y:4.r f +r t :.l,
.,'n
:
:i{1. Care este lungimea unui pendul gravitagional care" oscilind
""
i,una, bite se"unda?
e pe supralafa Lunii este 0,17 g standard pe surrrafafa Ftrmintului f s,sr *) .
I strl
Ii: i.),168 m.
1?. Un punct material oscileazA duBf, legea
! : i'fi-z sil f ts,or 1 I1l 1in mi
t 3.t
S[ se calculeze pulsafia, perioada, frecvenla, faza inilial5 qi elorigaliiie la rnomentele
t ,, : I s. Sa se reBrezinte grafic. Cum se mod.ifictr cxpresia legii!i:0S, lz:;s,
B0
T
dac[ se alege originea timBului cu -a inaintea originiioq actuaie?
t(U .ro* m; - i,7e.{o-2 rn;R: 15,6
$ ; o,a s; 2,5 Hz; il rad;
{tr,u,
+
f,1.
4,99.10'2 mi ! :5,10-2 sin
25

25. i5. Sai $. scne scuat,iil lir:1t: os3iiaiii ar.rioni.t cuncscind. rriteeei*
!.',:; rn-zt : ',**5.3ii*;3 iorespuniS,u*are e!:ng*!!iir::t?i,:ir,ii)-: r:: gi
.t:
gr - 4" {l*' rl. ?,1. nti;nleni*i icilia! ie":rr esi.r, i:- "
i|
'.;;tj. ls, .r; 'i,l-i,i. . G,.lxr:li* e CsrilfiLr::,:..r::
i1: l, -- :i.': f i-e 53n gir,.l.+,, ' i i 5.1i'ri-r 'l- '
';i"
,1i;i. lie nrlrn{:ii1sL*,,a2} r:1 prerioiida u::di perlc:.rj graviialional s0 pa,Rie rlei.ti;ii l:riii exati
iL ajtriIr';. :rli.li':
:'l-.' ;
: - l-'l'
'-
. . - ''- ..ri t
i', ;-o'"' '- :
i-
'rrl5€ i-i asio aruriiiudlne* r*giriui:ir4 (* > +'-i5';. Car* cste eroar{:a pc care c facrr':r
-
ci,ld cabrri;iti re:ioaaa. rnu j pendu. r:rr trnpliiu,jlne2. d.' :i"', a*liciri'j r:3e.t,ia
{re:iiiir. rlirili *rcila!,i;': A1recia.1.r i:.darea illini il: reiaila prgiiedlrnl6 i,rt' ;i,:r,qnl
fl; Poaprri,ui perioadeior:; t,C7:."
2i"- t-itai' :.i 1:,,';, i:;nJ,inJ i Cr', rlrl.:. -e3t'nrt- ir. i'tflrrra j.ir r,srilea.;j oaJ) s. pr,J-
i,:ll: tj i-ierri:.riari'. Si.ibijii-i ri:ie':ii;. gri* ralrar s) noa.l:j calcuia perioada de oscii:;lie a
c*ioa*cr- ts* :reglijeaz;; ;reJarsa.,
E; ''-:*lj__
, t.:
*l*, ;{u 5e ixi:lirr.'?a raplri.r] .il]l.riii:rii*l a ilou:l pendLrli q;"aviia!rrnare t,are asiiieaz.i ir;
areiasi ilcr;;;i ior: rl/rc::v-.i:iei+ ie 28 :ii r:specilv ? liz.
T:. r{
g'J*" lir asre*srl'r:rc: r':ri.i,ral ia o lnlllircr' n -. ?8,4i m, ci: acceieralia consi,nnli. iiL;
3.3i firls2 qi colroarir inleriiai cu areea;s; aaeieratic. Timpul indicai cie ii pendgli
c&re eriis insi.Riaiii ir asoenscr esic oo;:::iarai. cri tirapirl inC.icai. de o a tioua pen<ir:li
l: iei ru ijr';i:;3- r.arr rii.;nr jns. $i se ali.]: +ia de lntoariere a ascensoruiui i;bserlati:
ja ceie ibi:il;.'+nduJ*:, cai-:rl i:,. plere.ra e$.:l!i4ri; ceas)-:rjie indilal iFz 1':,.
*r: i2h il pirr 5.6ii s: flii i! *riE 8:.,.
*S, ijr: perr,i:Ji esi:e mcnt,aj; pe piafernui urrui vaso$ cie caie feratS. I-tescrieli modui .rum evo-
ir-ieazd. osriialia pendriuiLii iuire <ioui,. -ci,alr1. ionsl{ieraii ce acceleratrti esie rc*sianii.
l.: 'rnrilir' .,
i fiIr:a:.c
2{" imagine.ii ui: uisplri'"rt.r; .:i:rr1r $5 ohi,ineir qralicili rniciior osciialii ale r:nur Bendir!.
25. Ur pendr;i grieviia-'ri,:nai b;lr.i: sgcunri* lr rr;ve.irii r*Ari;. Cum se modifici. peririaoa de
osiilalie a penduluiu': da.: es;u rid[ai p:r virfuJ Omu] l= ? 5rJ! m) sau da*t esie
coborii inir-; mir;:.. !{r. :;iJt n: sub niv*irii m&rii? iRaza trtdminlului : S.J6i} xnr.;
F: Fl*irlliu.i ,?cricarii:rcl rtiaiiv ia pericada,]a nivelul ze"* esls
1,00c39 9i 0,9999:.
P4. U* penciui gravlra.1,icaai rie iLi*girne ri; ==. {i.? rn oscileazl cvasiaraonic intr-un ascen-
ssr. !n-L;:e doul cpriri silual{r ia ditr'ereni,e de nivel tle h : 20C rn. ascensorul are urmi-
toarea misi:are: nj .orrnr$iij acceipi'a.. l* acceleral,ia a : gl10 i.irnp de' i': : 8s;
&i se rieoiaseaztr u:riform gi ci iilneaui cu aceeaqi acceleralie timp de 8 s. SA se
laiculeze sumerul tl" oscil:tfii ai': r,entiuiuiui gr liotpui depiasdrii.
R: n: 38 oscilajii; 33,48 s.
*?" Se modiiicli mersuj unei penriuie ia schinibarea temperaturii? De ce? Privili cu atenlie
c pendul.l. Ce a i{cui consirruciorutr pefitr; a r:orija acesi, neajuns? ExistS un dispoziliv
rie, reglare a rnersului Bendulei? Cum se rnodificd mersul unei pendule dacd este lrans-
,E
I
.1
.l.{

26. :::'
,,it
.llii:
,llil
i
I
fir:;il
llr r-. r.
j.' : ,.',.r-,ailul'!.1 Srit Lriit" !iiir.: e!:.i :i;.irisl.Orirti r:-. ....' ---.,. ,'};; j ., iiia n*
.!;lr iirscr,:i Irstdill*i;i arr ii!: ]riir:il,- ilr, tl!ir..::rf: ga* t:tu:olili F3 iil.4.i !i,ri:q!
:!-:lilf,ir. tiiillr'tli' .1. r :;i:l
2!1. i:llrl1i,, ltl,ii, '.ilr:Lr:lil:' iit' iitr.: +':n irrii;:':ii :ro:s+;ri di. r-a1iii:frix ijlrl-: t::.,::: !:1!.iil
,;tr;'1; 1-.r:}F: I ii l )l;r1'. I 1..r::: ,' ::' ij'i: j3.r.i:1.:. 1., l'... iii(:.r t.., . I':-
. ! irt;3;ai ila{ ;rl'.'1..}l"i:;1ia'i. t"-Fi ;,r:iti; +i':'.:'it:rt:ri tt-f'ten!,] "ir;t)'., 1-t '-, ,11 ,.111;i;.1i'] g::.1.;,1.
.: r . /I,,' .(i t..:l
-i{: iiir; t::1::.!i:rllli G* Fri{:i:1re Fe g se r"bsi:r'Ji r!*i':ri,':' i;r::i rir ..'.ij....::"{t ti;,rid:rri:
Jir'. i.'in-lorlstr:1 ;i'J*!iLir!.i, pr'rlrtii;n prriduri]i't*itil dLl, t,,...,)!'; r'.ir$t..iI,,:ri.-.Fa.
S{r lesen.r{i 5.:.i'Ie Srtfi-,tr'i.., j*.ir ,.:rr.,l* dl. 1.{, i,lr :t;t: - ;"i},iri: .,,..*', ,,. ,ir, ,y:,:..
l:nsi ?erii]tide, {-irrL:ii:':ii :rir,r ira:isicrl1':.:!.Ii:c elli,agi'i,iae r-'rres}iunz.Ii.j;:j i,.. ;}f iirafic}rl
. r' ,.i,;.:: ! :l ir,. jlti rli;.1 i..,i,;r.l l,r nCi.:tj. ii ri',,'; 'r ()r;H,ni:
Sl. ri,i: tr r.".,rr: i:l.i S,:,i,rn ,r, r::ti til,ri -a siri;rilii,la f.,ln;lniirtr., ,Jj, Ilil,(.i ttDt i.:.
.t.lii::al r'scil*;i:'r* letr-'rrr friilr f irii.ei, l:.ir lnir-uii *igirc; a;rr$erili{ iir}:iorr:r t'e e;!;cli-
t h:i) in i'i,. :,, . 'dr'?
S*. F:ru} ri+ sri:ir'ir're si l.r.iri pprrd::I grirl-iln!;{,:}i1I eslc ::ri'i.;rii,,r. Fcndu},"ri ;fti1i*ia:*?,n ,J1.1
.)'seciicde l* ::..r Ci *|rr iit ltrr*gcr{rLifa de ii'tl ri r*:r:inc: ili ui't{:il cu 3 sei:lritlg i;! ar'ir.
;45f iplgxtil) {.l* i.;r:rt! }a::ir"i]. ii{.qs di:li,'rmine r:::eli*it::i.i;i {* diiriaflrr i.i rlrii.t;ijliii C:n
I'at-r csif r'sn$.tI'E;i. ?'ir*1"
Fi:aIi.i ir- cr-l-r.
liS. ,rihii.,riii-r''! ,.1 oPrlCril:r! ir:; Fi,r:r';trrlt. r.irsltis u, p::l:l.ill .j* !r ir.rgira ,:
rst.e inst*.lilt, ia p,u1. i,a fa jniarrr.ai rle i;rlp sr iilf r1..1 ,irr:e {-'*r$rr:n'ri!,e i}t:
/ m
n,si'Jisn"i: i.:BuJl"
' o" i4''-
"
S4" I,rr: ieagi.ri oiciieitz{ a-i$d * peris*d{ de 1,3 s. c.j Cr irtr,-r:tdii:'rLr osciiafiiie!: i,; iiiie
otirlli{i i ldrP :l: Ftl S?
R,: a.t :I{; . ;:1, L,li,ii:,.ili iji, rirtil}rld,
35. {, lr L:ur;;r de rnasd egal5 ru iit0 g esle sirsprn{ia! tle r:* r'ilsori }uni{ 'ir ::s&r. Triig iir tm
!n ios" p6 direr:}ia arr:*lui osciklas{ cu o p*rioad{ de:} s- S* se caiuuleze: a} 'r'ilaza
in pcailia d* echilibru;
'/
cu eit se scurlearil rescrt,ul dacl sr lniepilrtcaa$ corFrli;
i:; oi!rr3 rst'e energia cineticll .rnaxi:*[?
R: 0,6?8 mis;
T
1 rn: 0,02 J.
8S. S*sescrie legea de miicare a unui ctrp de nas& ega}tr {ru { kgsuspre*i*t de un resort.
a cArui c(lnslalrl$ elaslicd ilste dr 36 N-rn*r" dacA ampliludinea oscilafiilor este de
2{.r c-m, iar rorErui trece in.ios Srin Bezilia de echilibru }a I : 0.' Sf, se reprezinte graiic.
, R, cu axa ori*nlatd irr $us, g:0,3sin i3l f lr) ; cu axa orientatl in
ios' 3l : S'l sin 3t'
8?. Care [rebuie sA fie amplitudinea osciiatiilor unui pendul elastic astlel incit, s[ exisie
o astelera$ie maxim{ egald cu 109 , dacd iret:venia este de 10 Ea?
Rl 2{' l0r m.
27

27. ,
i
il
!& lfiigcarea unui arc elicoidrl mte dat{ de esuatia o:4-{cos2, + I sin2r.at sr
2 2 '-' '--
ge aratc c{ migcarea ete oscilatorie armonic{; D,/ str se detemine elonga$ia, viteza gi
accelerafia unui Uunlt
la
momentul:
f
,, c,, str se reBrezinte grafic.
3: y semaiBoate soiey:rio(2, + ;)' r : *
4^3 : -r|; a:-2 li3.
E9' c,l Mdsumfi cu un cronometru perioadele de oscilafie a dou{ Bendule elastice con-
struite cu rrsorturi identice ilar avind suspendate doutr corBuri".a qi n'o* **" oiru_
rite' Lpgafi cele doud resorturi mai lntli tn serie gi aBoi ln B-aralel gi susBendati la un
cap{t al sistemului astfel format, ln ambele cazu;i, rinuf Ail co"B.,ri, d6 exemBlu /.Mdsurafi Berioadele noilor pendule. tTem{ experimentala.} a,; Jtalilili relatriiL care
dau perioadele ? qi ?'ale Bendulelor elastice astfel formate'cunosclnd .""" -o gi con-
etanta ft a unui resort. Verifieali rezultatele obfinute cu datele determinate'experi-
. mental.
B: ?: ,*:rl]i^^ i T, : z*:.14.
v ft Y:r,
40*. Un corB susperldat de un resort oscileazd armonic cu perioada Tt: 0,2 s. Se leagd,
1aj fltti ln serie 9i a[roi ln paralel cu resortul dat, un al ioilea
"uuo.t
'o" const antd elas-
ticd &3:2fri. S{ se calculeze Berioadele de osciiatie ale sistemelor astfel formaie.
-
R: ln serie 0,24 s; ln paralel 0,12 s.
41. Arrurile unui autoturism cu.masa de I 000 kg se comlrrim{ vertical cu z . l0€ m, clnd
se urc{ doi oameni, unyl- de 45 }g, iar cel{lalide bs r.b. crtr oJffi B" secund{ efectu-
eazd autoturismul astfel inctrrcat clnd intr{ rntr-o ailnciture,a gkJteit
B: v: l,B Hz.
48. cu aparatul depnat rn figura r.tr utiliztird pendulele t gi 2, se poate produce feno-
menul do btrt{i. cum? se observd. simultan qi fenomenul de rezonanp? cum ar trebui
str Broced{m Bentru a observi clar.acest ultim fenomen pe aparatul din figural.rt?
48. Care vorfi energiile cinetictr gi Srotentiald ale unui punct materiaide mas{ ne : 5 . l0--r kg
care oscileaz{ armonic cu amplitudine de b . t0{ m gi frecventa
"
: I Hz, clnd acesta
se g{sette la distanfa de 4 cm de pozitia de echilibru?
B: 9.t0-? J; 16.10-? J.
44. un corB suspendat de un cabru elastic oscireazd conform legii
e :.{ sin f., + 9I)------t--' zJ
unde z4 este dat ln centimetri, iat or ln radian pe secundtr. S{ se determine amplitu-
dinea gi puliafia oseilaliilor corBului dacr Brerioa-rla ete egald cu 0,4 s, iar ln momentul
inilial yo
- -4 om.
B: 4 cm; fS,ZO
kd .
s
46; ${ se comprund grafic oocilafiite
{r: 4 sin (100 rt); lt : 2 sin (t00 rl * E}
clnd 9 este: 0;3 t ,r.
2
28/
I
J

28. 46. Pe un drum cu ridic{turi echidistante (d: 4'10;r m) este tras un c{rucior eu maBa
de 20 kg corntruit pe o axil cu douil ro!i. Suspensia este fdcutd din dou{ resorturi
identice [f : aoo I). SE se ealculeze viteza eu care trebuie tras uniform cdruciorul
tmJ
pentru a s3 groduce zguduituri puternice (rezonanfr),
R: u : 0,4 m/s,
4?. Folosind neBr€zentarea lui Fresnel, sd.. se determine amplitudinea oscilaliei rezultate
din compunerea oscila$iilor paralele
f
- ^
. lt : 3 ' 1o-'coe
{or
+
f)$r
'!s: 8' r0-r sin (., * f)l
.c exBrimate.ln metri. I
R: a : lo,7o' lO-s m.
48. Prin comBunerea a doutr miqc{ri oscilatorii armonice de aceeagi frecvenfd, paralele 9i
cu amplitudinile de 5 . tt)-a m respectiv ? . 10-2.m, rezultd o migcare oscilatorie
ou amplitudinea de I . t0-2 m. a/ Sd se afle defazajul celor doutr migc{ri. b) Yiler,a
maximd a unui punct cqre execut{ migcarea rezultanttr. dacl viteza maximd. a unui
punct care efectuoazl prima miEcare ete de 5 ' tO*t I .
s
R:84o10';g'fO-t ?'s
y(tti2 n)
' :Fig. t.19. Pentru prroblema 50.
lntr-o tnc{Bere slnt'instalate doud maqini de cusut de aceliLqi tip acfionate de doud
electromotoare. Cind'se lucreaa{ la prima maqintr, un punct oarecare de pe podea osci-
leaz{ cu amBlitudinea de 4 . l0{ m gi cu frecvenfa de 23,5 Hz. Ctnd se lucreazil la
a doua magin{, acelagi pu"rict oscileazE Cu aceeagi amplitudine gi cu frecventa, de 24 Hz.
Ce efect va fi observat clad se lucreazd. la ambele maqini?
R,: Aparu fenomenul de bdtli. Aici v5n*1 : 0,5 Hz cu amplitudinea de 2 . 104 m.
Prin observaroa graficului din figura l.tg str se g{seasce frecvenlele qi amplitudinile
componentelor.
B:.5,75 Hzi 4,25 Hz; l0-2 m.
29
-j

29. lflllii:l :Jl il{ : l
I il:i:!:rr::r'ii:i,:i l:t:', ,;,lit l:ll'i::';,,1 j't ri;.:
.l-ij'i :ji', r': li : ' l;..,1:ii,.i:,-'r: i1 :la: i 1r.i'i, l', .- ".:'-'
I: .:.:.i: i ,:
t,, ":
j r'-l . ',
:,i
I
I
.
lj; l
r-

30. care plut€"qc pe aprd Bint !?use temporar i:ltr-c milcare iie ri*icare 1i cirbcrlre"
dupri care eorpufile r6mi* aprcximrrl;v ir aceiaryi icc.
5n taate acesie exernrie *nerf!* prlxelid, ful proeols"*l #s
"ertirrbare
+sta
Lransferat,* ds ia un ese!;at+r ia aitul filr,i .;ri se:,rodunaii ;trarisrlrul"' rle -qu*rtarrid,,
-ie cbser','5 cd tra.nsr*.lt,erea ::::ei pert,urballi au :;e iecg iir,qla;llariE.;"
Este necis&r un *n*ynii tt*terv&i ,le ti,tztT; pcnft& tin pcritrrbs,tia itr*riu.sd. tie :;zirsd,
sri se pr*.u*ge ptnd, f.ntr-u,n, pand a&rec{ire ai m.eri,iuitri,.
r -i.1, -qnds i::tr-un mediu -rritidi;nensional
i-Indo transvorsslo. Capdtul ,:nei ccr:i lntinse is'.: ius ir usc:;aL:e mi;-
crnii rnina !n sus gi ln jos o singurd dat6. trrin aceaste migcare se prcd:rce o
deformalie l,ransversaid pe tlirccLia clr'eii care ce ransmite plcgreslv iprc
i:eldla?t cap5t. Froragarea acestei perturbalii se face prin mi,scarea fiec5rei
seciiuni a carzii in sus gi-n jcs intr-o oscilalie eiectuati perpendicuiar pe
,lireclia miqcSrii ierturba,tiei. O astfel de undd se numegte transversalti.
Lanlul de osciiatori cuplali. ilin figura 1.22., raorieleazS un ryrediu uni-
.lirnensionai omcrgen, adicd un mediu {rare are aceieagi propriet,d-bi in cricare
punct al s5u. Funero lrr ascilalie penduiul 1 dindu-i o rrrigcare cerpenuticulara
pe eiirectia girului Ce sfere. Frin intermeciiul c'rplsjuiui errergia csciiatoruiui 1
se iransrnite succes;v in ;irui de cs0ilaicri. Fentru mediul aicdtuit din ascr-
Fig. L"22. tjn modei de tnediu unidimensionai elastic tle car€
se propagd o unC6 lransversalA.
iqtorii Ltin gir. care ia lnce-*ut se afiau in :epaus. erciiarea .penduiriiui J con-
stitui* :: perturbafie. Acesia devine s .qurs& iie enelgie, qrt;bi ; pent:u tare per-
dului il ;cate fi soc*tit sursd cie risciiatii. liac$ miscarea csciiatoruluj sursii
este rc.enlinutd. nrintr-*n rn;jicc {}arecare? ,nigc*rea eelrrlaili oscilatori coi'r-
timr;i. Flecare nscilaior exer:ut5. osciialii ilrrnttnice {orf,aie, r& itrmare a ener-
giei primite de }a sursd. Frecvenla oscilal,iiior fiecr{rui reniiul este aceeasi
eu freeventa sursei indiferent de frecventa oroprie. Frccesui de nrc'pagare se
t'ace in tinp.
gunind din aou in osciialie pendulul f, Cin girul cie sfere aflate in repaus,
prteni trc,nometra'rimpui rJupd , iii'+ rr':'t*rbla,tia ajunge la un anumit lendui
aflat, !u o dirtanld oarecare de surs6.. in irinciie de aceasid distanld tirnpul Ce
p,.
,r<
f-
.) -L

31. propagare este diferit. Fiecare oscilator intrd in oscila,tie mai tirziu declt cel
p.e"edent. RezultE cd faza miqc5rii fiecdrui oscilator diferi de a celui prece-
ient gi de a celui care urmeaz5. Presupunem ci viteza de propagare este con'
stantd, pfesupunere care este ralionali daci ne glndim cd toli oscilatorii sint
de acela;i felf iar cuplajele, identice. In timp ce perturba,tia avanseazd, osci'
latoiii care au inceput sd se miqte iqi continud miqcarea oscilatorie armonicd'
Acest proces este ilustrat in figura 1.23, unde intreg lan!'ul de oscilatori din
figura 1.22. este ardtat vdzut de sus. $irul pendulelor este figurat ln intregime,
r45q7891-012
o=-5--o-O._+#+'-o
- o'.
t,l o. 'c--G-'G-r.'_o-_o----G--G--G
o--.-
t=0
t=L
t{
t$
t=T
.-97r-a-
Fig. r.23.
. -5I'-L/ rJ
n
T[:
4
it r3,
,tt
t::i--.c-'-_o--{--'}--o
-.lr- " --a
;J
-Y--}--C--l- -.1
f;/
*' ,'---
.Jt '.Ct---o --{)- ')
-'o- .o'r
Transmiterea unei oscilafii
din figura 1.22 (vedere Be
ln zece momente diferite, incepind cumomentul in care pendulul r este exci-
tat gi sfirgind cu un mornent dupd incheierea primei lui oscila{'ii' klter-
valul dintre doui reprezentdri zuccesive este T/8. se observd cd, dup5
incheierea unei oscilalii a fendulului ./, existd in qir pendule care oscileaza
ln cqncordan!{ de fazd, de exemplu f 9i I sau 2 gi 10'
Repetind continuu migcarea miinii ln acelaqi fel ca mai sus' se'fofmeaz6
o undd continud
"*""
u.,run..uzd spr* tlreapta, aqa cum aratd figura I'.24' Frcc:
32
I
rj
J-_
---o
sf
ot c>___o---o_.l.--o--_+-.]--o
_zf---
/6
d )c____o-]-.3---r-3--_o
t=3rt-
,.t-'
armonice lntrelinute 6re girul
Blan orizontal).

32. venla cu care se mi$cd fiecare punct al corzii este aceeagi cu frecvenla sursei,
Fiecare punct al corzii va oscila forlat, continuu, inceplnd din momentu.l ln
care miqcarea oscilatorie a ajuns la el, migcarea lui fiind tntrelinuti de energia
sursei, Dacd oscilalia din figura 1.24. esf,'e efectuatd de cdtre sursi ln planul
1--
tn
r_T
'-L
-_tr
__,t
r_T
'-2
.37
aa
TT
r5T
l.
Fig. 1.24: O undd progresivd lnainteazd spre dreaBrta.
hlrtiei, atunci orice punct de pe direclia de propagare oscileazd tn planul hlr-
tiei.-Afirma,tia se poate dovddi experimental deplasind de-a lungul corzii,
tn planul in care oscileazd sursa, o deschidere (fantd) lngust5. Fanta nu lm-
piedic{ desfdgurarea propagdrii (fig. 1.25)" Se spune cd unda este polarizatd
tn planul ln care oscileazd sursa (planul hirtiei).
In figura 7.24 este ardtat aspectul undei pentru diferite momente, se-
parate Ia intervale de timp egale cu un sfert din perioada oscilaliei sursei. Pen-
1.25. O uncl[ plin polarizatd. Fanta.F'las[ punctele
corzii sI osoileze.
Fig.
3 - Fizict, cl. a xl-a
33

33. tru o perioadd a oscila,tiei sursei, migcarea oscilatorie avanseazd pe coardd
pe distan,ta )r. Dacd propagarea se face ,rnifo"m cu viteza u, atunci
sau exprimind prin frecven,td
tr se numeqte lungim,e de undd qi, fiind o lungime, se mdsoard in metri. pentru
exprimarea lungimii de undd cind aceasta este foarte micd se mai utilizeazd
angstrornul (At tA = 10-ro m. Dacd viteda nu se modificd cu tinpul sau de-a
lungul direc.tiei de propagare, lungimea de undd nu se schimbd, fiind deci o
caracteristicd a undei in acel mediu.
Producerea undei transyersale in coardd este posibild datoritd faptului
dd orice parte a corzii poate antrena, in ridicare qi coborire, pdrlile adiacente.
Migcdrile transversale creeazd in coardd o solicitare de forfecare. _Corpul
solid poate prelua aceste solicitdri, dar fluidele nu au aceastd capacitate,
deoarece au proprietatea de curgere, motiv pentru bare unda transversald
apare numai in corpuri solide.
. Se observd cd lungimea de undd este determinatd de doi factori: unul
(perioaila sau freevenla) care depinile de sursd gi aI doilea (viteza) care este
legat ile rirediul ln eare se propag5, unila, de proprietdlile lui elastice."Se
dovedegte teoretic qi se verificd experimentil cd viteza z- de propa-
gare a unei unde transversale pe o coardd depinde de tensiunea ? la cafe este
supusd coarda qi de masa p a unit5lii de lungime a corzii prin rela.tia
7..: aT
). :3v
(1.le)
(1.20)
(1.21)
expresie care include numai mdrimi fizice proprii co'rzii.
Dacd oscila,tia oscilatorului sursd nu este intrelinutd. procesul de amor-
tizare este extrem de rapid. Unda se stinge.
PROBLEMA REZOLVATA
O milcare oscilatorie se proBagl lntr-un mediu elastic omogen pi strdbate 9 900 m ln
3 s. Sd se calculeze: a) viteza de Bropagare a acestei miqcdri; D,) Berioada; c,) frecvenlar 6i,
gtiind cd lungimea de undd este ), : 33 m.
Rezolvare. a) Mediul fiind omogen, BroBagarea se face uniform cu o vitezd u
datl de
9900m :33003
s
b) Folosind relalia (1.{9) se scrie:
).
il
,r: l7U,
s
t 3s
33m
3 300 m/s
1
I
100
34

34. c) Frecventase calculeazd conform relaliei:
: 100 Hz.
I
-s
,t 00
'
t,4.3. Unile longiturlinale. ln figura 1.26 este desenat un resort de olel
lung qi spiralat, cu spirare ln repaus, echidistanlate. Putem considera r€sor:
tul ca un qir de spire (oscilatori) cuplate elagtic, fiecare spird puttnd oscila
de-a lungul axei sale in jurul pozi.tiei de echilibru. La un cap[t al resortului
se scoate o spird din pozilia de echilibru, trdgind-o gi lisind-o apoi liberH. Se
produce o perturba,tie care se propagd spre celdlalt capdt. Perturbalia consti
in p,rou""" in mi;care aifiecdrei splrg, pe direclia de propagare. O astfel de
,rTdd r" numeqte longitudinald.
$,
c
'!'-
'ta
<-r
l*:'
l
,zrrrbD
1
T
i.(
f),,Krr
Y
*
P)o
l-
t:5a
FI
EI.
ts
!s
|3
)c
Pt€
(1.22)
35
Ll
i4)
.I
)
x---
.c
JC
)c
)a
iO
l=,C'c
)a'lo
p
4f
Pp
l-D
l-)olo
lo(
,,2";
),
w)
)
F)ol
)ol
ov0o-
F
r=
lc
FD
k>
l-b
!.-
loIO
l-
(-
*
).
AJ'i
t-
F
ts9=t
E+'!cp
F>
F)rr
1..
r:/Y>
€lr
t-
T
EttP,
h)
tr
;
b
E+
F
t-
tr
E
{-:
F
,rb
Iig. 1'26- Propagarea defgrmaliei longitudinale .'
Be un rcsort lung, sPiralat.
Unexempludeunddlongitudinaldintr-unso]ideste.prolagareaper.
turba,tiei unei lovituri datd cu un ciocan la capdtul unei bare' pe direclia aces-
teia. iomprimarea barei prin loviturd este transmi:U di1 aqr:ape ln aproape
pind la capdtul cel[lalt. Acest lucru poate fi verificat -dacd la capdtul opus
celui ca"e s".produce perturbalia se pune o bili alaturatl de bara fixatd ri-
gid. Bila va ii proiectat_{ pe direclia barei ln sensll propagdrii perturbaliei.
Vitezadepropagarequneiundelongitudinale-ested.ependentddeca.
racteristicile mediuluil Se demonstreazd teoretic qi ie verifici experimental
cd. expresia vitezei u1 a unei unde longitudinale este
,r:'{?,

35. unde .E' este modulul de elasticitate, iar' 'p
densitatea substan,tei din care este alcd-
tuit mediul
Unile longitudinale lntr-o eoloanfl do
gaz. Presiunea coloanei de gaz aflatd ln
tubul reprezentat in figura !.2T este o
mdrime de stare a coloanei. Ne putem
inchipui intreaga coloand tmpdrlita in
straturi transyersale sub!iri. presupunem
cd oscilalia pistonului p incepe prirrtr_n
deplasare spre dreapta, stratul vecin este
lmpins ln acela;i sens. Aerul fiind com_
primat presiunea cregte fald de valoarea
iniliald. Comprimarea se transmite stra_
tului urmdtor gi din strat in strat mai
departe: ln miqcarea pistonului cdtre
sfinga aerul din imediata lui apropiere
Fig. 1.27. Re'rezent se destinder presiunea scade ;i ajunge
srrariricar{ a unui -#"ri#1ffi1f: sub valoarea iniliald. Depresiuneu.r."fd
tub ln care so pripage
" ,;;;.-- determind miqcarea aerului din straturile
rr n da e st e t on g iitud, inard. p..i ;ji:' :::iffi fi .i:::t:l,il ;T"T
"i::;cu perioada oscila,tiei pistonului.
- und"a poate fi consideratd o propagare a varialiei presiunii rn jurur uneivalori de echilibru. De exemplrr, iu ,"rir cerui mai poi"rnic sunet pe care ilpoate suporta timpanul urechii amplitudinea ,rariaiiei presiunii atrnosferice
este f 30 +. ln cer mai slab sunet perceput, varia,tia presiunii este dem2
t 2' 10'r JI-. linma seama de faptul cd presiunea atmosfericd normardm2
vu y! eDrurlEd dLlrIU
este de 10t +, ne ddm seama clt de sensibild este urechea omului.;112
LDUE urcvrlv'
ln tabelul urmdtor se dau vitezere de propagare are underor longitudi-
nale gi transversale in citeva substan,te aflate ta telnperaturd qi presiune nor_
mald:
36

36. PROBLEME REZOLVATE
t. La caB{tul unei ramuri a unui diapazon aqezat vertical cu ramurile in jos, se
leag{ un fir de lungime l:2 m gi de mase n, : 12 g. De acest fir se susBendd un corB
cu masa rq :960 g. DiaBazonul oscileazd. S{ se calculeze: a) viteza de proBagarc a
undelor ln fir; b/ frecventa diaBazonului dactr lungimea de und{ este de 40 cm; c,) cum se
modificd viteza de BroBagarc dacd se $ubleaztr masa corpului suspendat.
Rezoleare
a) 11 tir se propagd unde transve.sale. Viteza undelor este, conform relafiei (1.2f)
gi neglijtnd efectul masei firului gsuSrra tensiunii din fir,
I
)
I
i
,r:l _ l/
seo . ro* Le.s,a *. z*
= ao a .
V 12' 1o-r kg s
T 1 l*.e
;: V T
D/ Fiecare Bunct de pe undd oscileaz[ forlat, sursa fiind diaBazonul. Conform rela-
fiei (1.20),
40 I1
u:!- s
-{o!s-l:tosHz.r 40' l0-snn
c,) Masa corpului susBendat fiind nri,viteza ui este
ta
I
I
?
I
t
i
tt=
RaBortul vitezelor este:
ai-
,r-
2. Un muncitor de la calea ferat6. lovegte cu ciocanul caBdtul unei gine productnd o
undd longitudinald. Sunetul este auzit duBd 0,20 s de un al doilea muncitor care ascult[
cu urechea pe qind. Ce distan!{ existd intre cei doi muncitori? $ina este din otel cu densi-
tatea ? 800 kg/m8 9i cu modulul de elasticitate de 20 ' roto I .
Rezoleare
Distanfa poate fi caiculat[ dac[ se cunoagte viteza ul de deBlasare a [rertrirba]iei'
Conform nelafiei (f.22)
#:V
^md, :'utt : 5,06. 108 :1' 20' t0-2s : I 012 m.
s
,/+:rl*,: v 2
20 .rorc I
mt
7 Boolg
mr
: 5,Q6. tO'3;-s
de aici
c4

37. {t
{
$
;'
I
1.4'4. Energir trenslerstil lnprooerul ilepropogore. ln cele ce urmeaze vom considera
cd sursa de oscilaiii functioneazd ln rcgim permanent, adictr transferd coutinuu ln mediut
lnconjur{tor, omog€n qi izotroB, aceeagi energie tn unitatea de timB {are o Butereconstantd).
Dac{ E este energia emis{ ln timBul r de totalitatea Bunctelor care compun su6a,
cltul
p:€:o
t
(r.25)
U.2s)
defineqte pu:terca emisd, ile sarsd sau flurul de encrgi.e emis. Fluxul de eneqgie se mdsoart
ln watti.
Dtrm un exemBlu pentru a aprrecia ordinul de mdrime aI fluxului de energie aI unei
surse. un om, vorbind normal, emite un flux de _10* w, iar dacd strigtr emite un flux de
3'10-'g w. Dacd toli oamenii dintr-un ora9 ca Bucuregtiul ar vorbi simJtan, Buterea emisd,
considertnd poBula$ia canritalei noastre de 2 000 000 locuitori, ar fi de 2. 106. t0-6 w:: 20 w, Butere necesar{ pentru functionarea a doud becuri de pom de cr{ciun!
Eneryia emisd de sursil se transferd ln lntreg mediul. Puterea transferat{ printr-o
suBrafatd oarlecare aqezat{ Ia o anumitr depdrtare de sunsd descrie procesul de transfer
energetic Brin acea Suprafattr. puterea transferatd nroarttr, ln acst cai, acelagi nume _de
fluc dc energie prin acea suBrafa!tr. Citul lntre tluxul de energie p .gi aria $ a suprrafefei
BerBendicular€ pe direclia de propagare prin care este transferat{ energia,
I: P
s
definegte ilensintn, ile flw d,e energie,sau dntensitatec f, m{suratd. ln wattlm!. Intensitatea
miniml nec6ar{ perceperii unui sunet este de to-t'# . RaBortate la aceasttr intensitate,
ln tabelul urrndtor slnt date clteva intensittrli relative:
Pmgul de audibilitate t
Respirdgia normalfi io
Conversatie normaltr 106
Traficul unui bulevard l0?
AsBiratorul de Brai tgs
Avion clasic Ia decolare lgtr
Avion cu rcacfie Ia decolare lgri
Racheta la lansare {or?
I Senzajie durrroas{ gi,
I lncepind cu 1013,
I periculoasl
lntruclt enetgia transferatA printr-o Bortiune a unei suprafefe de und[ este.o tnsu-
maFe a energiei tutumr oscilatorilor de Be aceastd suBrafat{ de undd, rezult{ finind s€ama
de (f.11) c{ densitatea de energie este direct proporlionaltr cu Btrtratul amBlitudinii oscila-
torilor de pe aceast{ portiune.
f-Ae
Ewmplu. lntr'o sal{ de form{. semisfericl,avtnd raza de 20m, pentru o bun{ audifie
plnA la pereti se considertr necear{ o intensitato de {0-r flmr. Pentru aoeasta un confe-
rentiar aflat ln centru trebuie s{ emitd o putem
p : r . s : I '
,"*
: 2rrzl: 2 . g,t4 . 4 .tor . laa : 25,12. t0-. w,
38

38. adictr de 2,5 ori mai mult declt fluxul de energie emis lntr-o conversatie norm&ld. Dacl
sala ar dvea raza de dou{ ori mai marc, intensitatea la marginea ei ar fi de paf'ru orimai mictr
9i ar fi neeosar[ o instalalie de amplifioare
1.4.5. Suprafala ile unild,. Principiul lui Huygens. Considerdm o sursd
de oscilalii armonice care produce o undd lnts-un mediu material elastic.
Un4a se propagd in toate direcliib punind pe rind ln oscilalie particulele ma-
teriale ale mediului. Mull,imea punctelor care oscileazd ln fazd alcltuiegte o
suprafayd tle und,d. Existd o infinitate de suprafe,te de und[-. O suprafa]d de
undd are ln general o formd oarecare. La un moment dat t miqcarea oscilato-
rie a 4juns pe fiecare direclie ptn{ la un punct aflat la o distan,td oarecare de
* sursd. Mul,timea tuturor punctelor pind la care a ajuns oscila,tia la momentul t
alcdtuieqte cea mai avansatd suprafa!,d de undd care se numegte front de undd:
Toa[e punctele frontului de undd incep sd oscileze in acelaqi moment.
Forma suprafelelor de undd depinde atit de proprietdlile mediului, clt
gi de aspectul sursei. Pentru a simplifica explicalia, ln cele ce ufmeazd vom
considera mai intii ci unda se propagd intr-un mediu omogen 9i izotrop. Aga
cum am mai.ar[tat, omogenitatea cu privire la o mdrime fizicd constd in ln-
suqirea mediului de a avea pentru mdrimea.fizicd respectivd aceeati valoare
in fiecara punct. lntrucit fenomenul de propagare depinde de sursd, prin frec-
eenld, gi d,e med,iu prin vitezd, viteza undei pe o direc,tie oafecafe intr-un me-
diu omogen este constanti. Prin izotropia mediului cu privire la o anumitd
proprietate, se in!'elege faptul cd proprietatea consideratd se manifestd ln ace-
iaqi fel p_e orice direc!,ie. Referindu4e la propagare, rezultd cd modulul vite-
zei undei intr-un mediu omogen qi izotrop este constant pe orice direclie.
In acesb caz parLicular, d.acd sursa este punctiformd sau sfericd, supra-
felele de undd ryi deci gi frontul de undd sint sfere concentrice, iat undele se
numesc sferice (fig. 1.28, a). Dacd izvorul este o suprafa,td plani, supra-
' fe,tele de undd qi deci frontul de undd sint plane, iar unda este plwd
(fig. 1.28, b;.
ab
Fig; 1.28. O undd sfericd {a) Si una plane {b); $ esto Eurta
s' 39

39. Cristiaan Eluygens it6:S*1635)" S.iziciar:
6i asi,ronom olandez {n:lscrrt, ia Ft.iga). A studiat
oscii:rliiie penduluini 5i a inventai sistemul ou
ariccril da atiointreginer€ a raigcfrrii oscilat,orii
(x65?i. A prrlilicai in 1690 ,,Tratatul despre luruin6,,,
in c;rre a proBus ipoteza cndulatorie a lurninii care
avea sd fie coni'runtald cu ipoteza corBuscular5
sugerata de i'iewton. ln aceeagi carte a enunfat
BrinciBiul studiat in acest Baragraf! cu ajutorul
r;Srriia a demonstrat reflexia gi refracfia. A 6rer-
fec{ionaL ldneta astionomic&. A descoperit sate-
litul Titan al Blanetei Saturn.. S-a rernarcat 9i ca
matematician cu lucr5ri de geometrie, algebrd
(iogaritmi) 9i calcul probabilistic
o dreaptd perpendiculard pe frontul de undd se numeqte ruzd" Raza este
o'dreaptd de propagare. Pe figura 1.29 sint desenate citeva raze, sensul de
propagare fiind rnarcat cu sdge,ti.
La depdrtare mare de izvor o undd sfericd poate fi consideratd lntr-un
spa,tiu restrins ca o undd pland, deoarece suprafa,ta unei sfere de razd. mare
poate fi asimilatd pe porliuni nu prea mari cu o suprafald pland.
Construclia suprafe.telor de undd se poate face cu ajutorul principiului
Huygens, care rezultd dintr-o generalizare a faptelor experimentale. Descriem
doud experimente efectuate intr-o cuvd cu unde superficiale (unde generate
la suprafala apei), care condu6 la acest principiu.
1) cuva este despdr,titd in doud compartimente printr-un perete ln care
s-a ldsat o fhntd ingustd. In compartimentul din silnga se produc unde cir-
culare. Cind frontul de undd ajunge la des.chiadturd, unda se propagd mai
departe in al doilea'compartiment prin unde, de asemenea, circulare, care au
aspectul undelor provenite dintr-un izvor punctiform situat chiar ln fantd
(fig. 1.29, a).
2) Dacd din compartimentul din stlnga se propagd spre fantd unde li-
niare. Dupd ce frontul de undd ajunge la perete, in compartimentul din dreap-
ta apar unde ciiculare provenite din deschizdturd (fig. b.3g, D).
Fig. 1.29. Difracfia undelor circulare (a) qi a celor liniarc (b).
::t: :r!
:i: !:t:
:il:, t'tj;
..i: :!i
lf tl
s :i:
E :i!:
40
-l
:i

40. q
S2
q
s4
*
. Fenornenul reprezentat in figura 1.29, de ocolire a ohstacolelor de c{tre
unde, este cunoscut sub nurnele de difractrie
Oricare ar fi forma'undelor dirr cornpartimentul din stinga, aspeciutr
undelor dincolo de fantd este acela;i. Aceste unde se nurnesc und,e siecund,are.
Extinzind rezultat,ul pentru uncle spaliale de orice formd, ajungern la princi-
piul lui Huygens: arice punct rle pe o suprafatrd, de undd poate fi considerat ca
un nou centrw rle pert*rbalii d.e ia c&re se prapagd unde secund,are.
Cu ajutorul acestui principiu se poate constfui orice nou front de undd,
pornind cle la frontul de undd anterior, folosind undele secundere. ln
figura 1.30 este ardtatd metoda geometricd de construcJ,ie a frontului de
;rndd circular qi liniar pentru un mediu omogen qi izotrop rezultatd din apli-
carea principiului lui Huygens. De la izvoarele elementare So, Sr, ..., ^Sn
care
oscileazr{ in, fazd pornesc unde secundare circuiare ale cdror fronturi sint
figurate. .Suprafala tangentd la un moment dat tuturor acestot fronturi
elementare este compusd din puncte aflat'e ln concordan,td de fazd, deci
ele sint pe o suprafald de uncl6 care, fiind cea mai avansatd, este noul front de
und5. ln figura 1.30, c este fotografiat procesul descris ln figura i.30, D.
tr
Fig. 1.30. Constrocgia.frontudlor de iindd ou
ajutorul Brincinriului lui Huygens:
o, urd€ circulafe; D,l uade uniare; c,, ilurtratEa erDoli-
. uentau a oonstructtel tr csrul D.
?
4l

41. 1.4.6. Ecualia untlei plano. lntrucrt tntr-o undd pland toate suprafelele de
undd srnt plane paralele, procesul de propagare a undei este descris Ia fel pe
oricare razd. Fie ,Sr una din raze, .S fiind un punct al-sursei care emite unde
armonice transversale sau longiiudinale plane (fig. 7.31, a). Punctul ,S osci-
leaz{ transversal sau longitudinal dupd legea.
U : A sin <ot : ,4 sirr
2jl.
T
Dupd un irlterval de timp Al frontul de undd pland care se.propagd cu
viteza de fazd u rn mediul elastic omogen qi izotrop, ajunge rn punctul P aflat
la distan,ta r de ^9. P este excitat rntr-o mi;care oscilatorie armonicd, avrnd
aceeaqi perioad{ gi amplitudine cu oscilalia lui ,S, dar cu o. rntrziere de fazd,
fa!5 de ^9.
La momentul l, la care punctul ^l al sursei are elongalia datd mai
sus, punitul P are elongat,ia
up:Asin2J(tT
pe care a avut-o ,S cu At secunde rnainte de
- Ar)
momentul l. Dar
.rA/.: -a
astfel cd
ap: Ari., ?f
(, -+),
sau inlocuind l,: u? oblinern:
ap: A sin 2n(+_;) (1.25)
Aceast{ funclie, numitd i.mpropriu ecua{ia undei, exprimd legea de migcare
a oricdrui punct material de pe semidreapta ^fu gi, ca atare, descrie procesul
de propagare rn doud aspecte:
1. Erprimd elanga{ia la un moment dat t a oricdrui punct de pe semid,reapta
Sr aflat la distanla r de sursd. ln acest fel, pentru un I dat expresia (1.25) dd
irnaginea spaliald a punctelor de pe raza ,Sr. Se observd per iod.icita.tea spaliatd..
Scriind condilia ca la momentul t, doud puncte Pt gi P, sd oscileze rn fazd
(fig. 1.31, b), ob,tinem:
'"(+-+)
:
'"(+-+) | 2nk, unde /c e {z -q
izi
o #
. Rezultd:
frPz : frPt * ft)t sau
IPZ- IPt: k)"
adicd punctele aflate rn concordan!,i
de fazd srnt la diferenle de drum
egale cu un multiplu lntreg al lun-
gimii de und5.
t.3t P.entru demonstrarea ecualiei
uuclei.ltt'
42

42. t
I:
Condifia ca.punctele de pe direclia de propagare s{ oscileze rn opozilie
de fazd este ca (l.ig. t,31, bl
," (+- ?) :,"(+- +)+,eh *,)n
sau
frpz- frpr: Pna l;,
condilie realizatd de punotele,pentru care diferenfele dir ilrum sint un multiplu
lrmpar de
t.
2. Pentu un punct d.at (un r ita.t) funclil $.25) dd legea lui d.e mtscare.
n*
PROBLEMA REZOTVATA
O sursd de unde nrlane oecileazt'dup{ *t"tt
_
g :}'l0-' sin I t.
Dacd viteza o de proBagare a undelor este de 2mft: a)se. se scrie ecuatia undei; 17 o6 ae
afle difercnfa de faz{ lntm oscilafiile particulelor M qi N aflate la distanfa de 3 m, rel-
pectiv4mdesurs[.
Rezolsmre:
o,i Ecua$ia undei este relafia (1.25) ./
!': Asinz;[+ - l-1.
tr tJ.
Compartnd legea de oscilatie a sursei cu forma general{ oteervem c{ <o :
f Y' de unde
T : ?! : y :18 s ce€a ce permite calcularea lungimii de undtr:
Gr 7C
n
^
==aT72m!r.r8 s-gom.
Cu acestea ecuatia'undei este:
c: 3.10-lsin *(*- *l
sau
, y : ?.ro-r sir
"(+ - *].
D,/ Punctele M.gi N mcileaz{ dunr[ legilo
!y: 3.10-lsin
"(ti - lrlt o-: 3'10-1sin'r (+ - il
Diferenfa de faztr fiind
"(;-*)-"t+-t"):3 rad
1.4.7. Propagorea undelor la suprafafo ite separalie itintro ilou[ meilil
ombgene. ln paragrafele precedentg s-a studiat propagarea unei perturbalii
lntl-un mediu omogen. In urmito-arele dou{ paragrafe se cer6eteaz6 procesul
de propagare ln locuri de discontinuitateldicd !n locuri ln ca.re propriet{ile
*.Aiutrri se schimbd brusc.
tI
I
l
i
I
:
I
i
43

43. _t%
---"-1ffi
*a
.am
---r%
- t,,Ctr
It
---_.-^t/1
j
o lx'
----v
^#,-------/'l
----r-$rlll
--:
il
I
Fig.' 1.33. Reflexia pre
un mediu perfectmobil.
Fig. 1.S2. Rriflexia pe
un perete porfec[ rigid.
fn figura t-.32 este desenat un fir fixat la un capr{t de un suporr perfect
rigid. Perbtrba,tih care ajunge la suport exercitd o forld asupra aceit,rialncer-
clnd sd-l ridice. La rlndu-i suporiul fiind fix exercitd o forli opusd (conform
legii a III-a a dinamicii) gi produce o perturbalie ln jos care incepe sd se pro-
page inapoi. Semnalul venit cu o bucld ln sus se lntoarce cu o bucld tn los.
Un punct oarecd.re .d la care ajunge frontul undei reflectate lgi tncepe migcare.a
lntr-un sens contfar sensului ln care a lnceput sd se miqte cind a fost atins
de frontul undei incidente (momentele a gi /1. se spune cd reflexia pe supor-
tul perfect rigid s-a fdcut cu o schimbare de fazd de n radiani (180.).
-
ln figura 1.33 este desenatd aceeagi coardd prinsi de o curisi micd
putind aluneca fdr{ frecare pe o vergea. Unda avanseazd ln acelaqi mod ta
ln figqra 1.32. Ctnd perturbalia ajunge Ia culisi,"aceasta'este ridicatd fdrd
restrig,tii lntr-o miqcare oscilatorie ceea ct! produce o perturbalie de acelaqi
tip, care se propagd ca undi reflectatd lnceplnd cu o bucld in sus, ca qi unda
incidentd, oricare punct .4 tqi.tncepe oscila,tia in acela;i sens cind frontul
incident sau reflectat a ajuns in acel loc (momenfele aqi f ).
Reflsxia gi refraclia unilelor. vom studia experim'ental aceste procese
la undele superficiale transversale.
a) Refleria. lntr-o cuvd se produc unde cu un front liniar. punlnd
un obsbacol.ln calea undelor se ob,tine fenomenul de reflexie, undele emise
44

44. 4
i
a
I
!
i,"
I
I
I
.t
{r
I
I
I
I
I
b
Fig. 1.34. Reflexia un_dolor suplerficiale liniare:
a,) lotogralie ln cuvtr; b,, schema corespuDzetoare situatiei dtn o,r,
de izvor revenind in mediul in care s-au propagat la inciden,ta cu peretele
P care constituie un mediu cu alte caracteristici decit apa .(fig. 1.34). Se
observd cd direc,tia de propagare .9.I a unei incidente se schimbd deve-
nind .LR. Se poate studia experimental modul cum se schimbd direclia fron-
tului de undd dupd reflexie (vezi exerciliul 7). Se construiegte perpendicu-
lara IV/ pe peretele P ln punctul de inciden!5. Unghiul ft/ : i u" numegte
unghi ile incid.enpd, iar ft : i*" numegte unghi d.e reflexie (Iig. 1.34,b).
b) Refracyic. La acelagi aparat, modificlnd adlncimea unei pdrli prin
agezarea pe fundul cuvei a unei pldci, schimbdm caracteristicile mediului,
deoarece viteza undelor ln regiunea mai pulin adlncd este mai mici. Foto-
grafia 1.35, a arati rezultatul efectudrii unui astfel de experiment'. Direclia
undelor incidente .9/ se modifici la trecerea liniei care maroheazd sepafarea
celor doud regiuni. Noua direclie este IR (fig. 1.35, D).
Schimbarea direcliei de propagare a undei la suprafala de separa.tie
lntre doud regiuni in care viteza de propagafe este diferitd se numelte re-
fraclie. Unghiul i se nnmegtre unghi de refrrclie. Se observd c[ unghiul de
refraclie este mai mic dectt unghiul de incidenld ^fr. Concomitent se con-
statd micgorarea lungimii de und[.
Obs*w1ie. Cele dou{ fonomeno, rpflexia gi nrfrac}ia, se Brroduc simult'an. ac€st
fapt poate fi obs€rvat privind cu multtr atentie figura 1.35, d pe care tn mediul undei
incidente se observl, mai slab, 9i sugrafefele undei reflectate.
Legile rellodoi gi relraefiei. Voni demonstra legile reflexiei gi refracliei
pentru cazul undei plane pornind de la principiul lui Huygens.
a) Legea reflniei. Considerdm o porliune a frontului de undd plan
AA' care avangeazd cu viteza 9 pe direclia 8.I o[tre sriprafala de separa]ie P
s
45

45. Fig. 1.35. Refgcfia undelor suporficiale
liniare:
o) totostatle ltr cuvl: 0,, scbeme coresDunzS,-
toare rituatiel din o,r.
pe care o atinge la un moment dat h$1g.1.34, b). ln acest moment pozilia
frontului este IAr gi de la fiecare punct al frontului care va atinge suprafala
P vor porni unde secundare care se rror propaga lnapoi ln acelagi mediu.
In intervalul de timp, inceplnd cu momentul l, gi.sftrgind cu ,s ln care irlti-
mele puncte ale frontulai IAy au luat contact'cu peretele, undele secundare
produse succesiv de toate punctele dintre I qi B se propagi de la perete lna-
poi, ln mediul din care au venit.
' Suprafala tangenti fronturilor de und{ ale tuturor acestor unde secun-
-dare formeazi noul front de und[ BrB care se deplaseazd pe direclia .IR.
Se observi cd triunghiurile dreptu nghice I ArB qi BB,,I stnt egale avind
.I.B comun5,iat ArB - IBr: o(tz-tr),. Rezultd * AJB : lB,BI, sau
observind cd, + A,IB : i, ian X BPI : r, rez:ult{ egalitatea unghiurilor
de reflexie gi de incidenli:
(t.26)
Estc tocmai ceea ce se codstati experimental pe figura 1.34, a, m{surlnd
aceste unghiuri.
b). Legea refracliei. Portiunea BB, a frontului incident avanseazd. cu
viteza urpe direclia 81 rpre suprafala de separa{ie P, pe care o atinge ln B-
la momentul t, qi in .f la momentul t, (Iig. 1.35, bl. ln intervalul tr- t1' Euc-
cesiv din toate punctele situate lntue B gi .I se propagd unde gecundare eu
vitezau'u. Tangenta tuturor frcnturilor acestor unde fotrreazi frontul undei
refractate care la momentul t. ocupd pozilia CrI. Din triunghiurile BB{
46
i: r.

46. qi BAJ calculdm sin _ -BJ. _ vr(t,
- tr) _: ,- 4
BI BI
-
'T
STN
BA.
BI .
Fig. 1.36. Reflexia to-
tal{-
BPI BIAr
-uz? =tr). Fdctnd raportul. sirrplifictnd gi observrnd cd * BIBI : I I
BI
(unghiul de incidenld), iar * BIA,: *r (unghiul de rpfracfie) se obline
egea refracliei
srn , a,
,'2L-...-.-- (1.27)
sln I t2
unde n21se numegte ind,ice d,e refracgie al *"hirrlrri 2 fa![ de 1. Direc,tia de
?ropagare se apropie de normalE dacd u, ( ur"!i se depdrteazd de ea dacd
u27a1. Sd observ{-m cd folosind,rela,tia intre lungimea de undi, vitezd qi
perioadd, legea (1.2?) se scrie:
nr, : aJ
:,It' '- uz lz
Dacd unda trece din mediul II in mediul I
existd o valoafe i; a unghiului de inciden!fl pentru
care avem sin r : sin A : | (fiE. 1.36). ln acest
2I
caz relalia (1.28) se scrie
SIII l, A.
Jaao
- 7a,
iar is se numeqte unghi limitd. Toatd energia undei incidente trece in unda
-y, reflectatd; nu existd refrac,tie. Fenomenul se numeqte reflexie totald.
PROBLEMA REZOLVATA
Undele Brodusb htr-o cuv[ cu aBd trec dintr:o regiune mai putin adincl ln
una mai adlnc[ gi se refractd. Unghiul de incidenld este de !9o, iar oel de refrae$id
este. de 30o.
a) Carc mte raBortul vitezelor tn cele dou[ rcgiuni (medii)?
Dl Carc este raBortul lungimilor de und{ ln.cele dou{ medii?
c,) $ub ce unghi de incidenf[ trebuie trimise undele din merJiul mai pufin adlnc
prentru'ca s[ aib{ loc refloxia totald?
a/ Refraclia se face duBd legea (1.27)
sin i ar
sinr - uu
sau, trdocuind cu datele din enunt, gi notlnd cu u' . pi ua viteaele ln rogiunea pu$in adlnoA,
repectiv adlnc{ se obfine:
. sinlgo:lE:!,
' sin 30" aA 3
-€
l
I
I
4*'l

47. D/ Folosind (1.28)se obiine raportul dintre lungimite de und[ ln regiunile putin adtncd
pi adlncd:
c/ Conditia de reflexie total{ este:
sina 2
ffi-
: ;' uu unde a : 42o
unghiul a esle unghi limitll.
- 1.4.S. Interferenla undolor. Interferenta unilelor transmise pe un fir
elastic. De-a lungul firului .48 din figura I.37, a lncepe la un moment dat
s5. se propage o perturbalie armonicd transversald provocatd de oscilalia
lamei electrice a vibratorului electric IZ. Frontul de undd ajuns la capdtul
B se reflectd intorclndu-se cdtre .4. Cele doud unde, cea directd 9i cea re-
FrrsF--
flec.tatd, se suprapun ln fiecare punct
al firului. Aceste unde au lntr-un punct
aceeaqi frecvenld qi diferen,ta de fazd
constantd in timp. Prima afirmalie
este evidentd, deoarece cele doud unde
provin de la acelaqi izvor. A doua
afirmalie trebuie demonsir'atd.
Plnd tn punctul P, unda inci-
dent{ qi cea reflectatd, care se Fupra-
pun la momentul t, au parcurs drumul
AP: r, qi, respectiv, ,4Bf BP:rz
(fig. 1.37, b). Diferenla de drum este;
rz*nt:AP+PB+BP-AP:
:2pB:2s,
r fiind distan,ta PB.
La aceastd diferenld de drum trebuie addugatd o jumdtate de lungimi
d,e unild,, dchioalentd schimbd,rii ite fizicd. cu rEt pe cafe o iritroduce reflexia in
punctul B (vezi $ 1.4.7). lntruclt diferenla de drum nu depinde d1 timn,
ci numai de punctul considerat, diferenla de faz[ corespunzdtoare diferenlei
de drum 2r * ),/2 este constanti ln timp'
Doud unde care sosesc lntr-un punct avind aceeaqi irecven!6 9i dife-
renla de fazfl constantd i.n timp se numesc coerente, Undele slnt, aqadar, coe-
rente ln orice punct, al firului rlB. Astfel, aparatul din figura 1'37, c reali-
zeazd condilia de coerenli pentru orice punct' Experimental se obselVd ci
toatd lungimea firului ,48 se lmparte lntr-un numdr lntreg de'fuse avlnd,
d,e enemplu, aspectul din figura 7.37, acu punctele (C, D) ln care arnplitu-
48
uplp2
aAIAC
Fig. 1.37. Unde stafionare pe un fir:
a, spsratul de laborator; b,, dcsen pontru de'
monstrstle cantitativ[.

48. {".
dinea e maxim[ qi punctul (M) in
care amplitudinea este zero. Punctul
/ are 0 migcare de amplitudine foar-
te micF in compara,tie cu punctiele
C qi D.. El este tn nd^ ln punctele
din prima categorie, numite eenlre,
undele coereflte sosesc ln concordan-
!5 de faz{, iar ln punctele din a
doua categorie, numite noduri, un-
dele sosesc in opozilie de fazd.
. Imaginea undei stalionare re-
pr6Eentatd ln'figura 1.37, a este
rezultatul suprapunerii pe retin{ a
mai multor imagini ale firului care
se succed cu viteld. ln realitate,
firul aratd la intervale de un sfert
de prioadi ca in figura 1.38.
B l:0
, ,.1
'i r=l
c
I
_B t=fc
B t=T
Calculdm elonga!,ia punctului P aflatr la distanla r, de, .4. Dacd L
oscileazd dupd legea A: A sin 2zs (t/?),ecualia undei care vine din ,4. este,
conform relaliei (1.25), ,
(1.2e)
Ecualia undei reflectate este conform aceleiagi relalii (1.25) tn care se inlo-
ui : Asin 2rc
(+ _
?).'
cuie;te 11 cu l+ " + +,'
( /+,++)
ar:Asin2n[.;-
D
Fig. 1.38. Aspectul firului din figura 1.37, !a
intervale.de timp egale cu ?/4.
(1.29',)
Intrucit atit unda directd cit gi cea reflectatd slnt polarizate ln acelaqi
plan, P este supus la o migcare rezultantd compus5. din doud oscila!,ii paralele
(1.29) 9i (1.29'). Deci elongalia y a miqcdrii este
A : at* a,:
A
trl
:-),
t+
l+
,[,' z-fr-+)rsin
^l+
sin 27s (+ -
Transformdm suma ln
a*b a-b: Z -sln --:- CO^s
-
22
p.rodus prin aplicarea rela,tiei sin a f sin b :
Se obl,ine:
),
z),
+
2
r+ I
a"a rt (Y :2A
2r++
-
t.
2). )

49. Dar se ofggrvd cd / f r f -frr:2r* Deci:
I
n
.I
-L_t22t
,
2rtI
uo :2A cos 27E 2
,in
2),
),
ar -+-
-',
2r-.
2^
4r * 7,, :2k^,
rmax: Qk- 1)+, unde fr : l, 2, ...
4
,-(+
+ amplitudinea
2^
-----.../
taza
Intrucit c este variabil, aceastd rela,tie dd: a) configuralia firului la un
moment dat l, prin varialia lui c (0 ( c ( l),qi D) miqcarea unui punct oare-
care (pentru un r dat). Aceasta este ecualia unei unde de un alt tip decit
unda progresiod prin care se transferd energia izv'orului, de la u4 punctla altul
qi in care fiecare_punct oscileazd cu aceeaqi amplitudine. ln acest nou tip d6
und5, numit, undd sta[ionarii, amplitudinea fiecdrui punct variazd ln funclie
de pozi,tia lui pe fir. Punctele pentru care amplitudinea este rnaximd sint
gdsite prin condi,tia
.Izr-+
-
2r---z:kn,
2).
de unde:
sau :
Toate punctele situate la distan,t{ egald cu un num5.r impar de sferturi
de lungime de undd de capdtul din dreapta oscileazd cu amplitudine maxirrid
sint ventre. Pentru ca amplitudinea s[ fie zero este necesar ca
:(2h+ a
,"++:ek+t)
, unde k :0, tr, 2, ..., deoarece punctul I este t,ot.. un nod.
Toate punctele situate la o distan![ egali cu un num5.r lntreg de sernilun-
gimi de undd incepind cu capdtul din dreapta nu oscileazd, deci slnt noduri.
Distan,ta dintre un nod si un ventru este
rmt ^ t' n (zt-t)l: tr.'.n-Imax:lt
Z-, 4 4
Modificirrd tensiunea din fir prin addugarea -qau ridicarea de pe platan
a unor corpuri suplimentare, se poate varia numdrul urnflEturilor, de la 2 la 5.
Aceasti schimbare se explicd prin faptul cd, $odificind tens'iunea in fir,
50
|;2,:rr+,
-,1
trnin
-
n -;z
rr;Ir

50. Y
: ^-.,-"= --:a--- ,e nronasare conform l/Z ,t. in con-se schimbd viteza de propagare conform relaliei (1.21) a, - I *
, ,
secinld, lungimea de undd care se calculeazd. dupd rela,tia (1.19) ),:zr?. Astfel,
mdrind tensiunea, viteza cregte gi lungimea de undd creqte. Cum lntreaga
lungime a firului trebuie si fie un num5.r lntreg de semilungimi de qnd6,
numd.rul de umfldturi scade clnd tensiunea creqte. lntr-o undd stalionard
energia izvorului nu se mai transferd, dovadd fiind existen!a nodurilor care nu
oscileazd. Epergia fiecirui punct se schimbi din energie cineticfl ln energie
potenliald, dar pe ansamblul firului energia rdmlne aceeaqi. Acest lucru este
ilustrat pe figura 1.38. La momentul inilial, cind punctele C gi D, care slnt
vqatre, igi ating amplitudinea, energia pe coardi este exclusiv potenliald.
Punctele C gi D incep sd se intoarcd citre poziliile de echilibru. Dupd un
sfert de perioadd C qi D se afld in poziliile lor de echilibru, migcindu-se ln
sensul sdgelilor. Energia corzii este exclusiv cineticd, coarda nefiind'defor-
matd. Dupd incd un sfert de perioadd coarda e deformatd la maximum, C qi D
atinglndulgi amplitudinea ln pozilii simetrice fald de cele ocupate la t :0.
Energia corzii ,este
numai poten,tiald. La momentul t : {, g qi D, reve-
4
nite in pozilia de echilibru, au viteza maximd ca de altfel toate puncteleg
corzii. Energia sistemului este exclusiv cineticd, coarda nefiind deformatd.
Dupd incd un sfert de perioadd se intheie ciclul transformdrilor, situalia
redevenind identicd aceleia din momentul inilial.
In absenla pierderilor energia se p-onservd, firul fiind un sistem care poate
oscila dupi ce a fost excitat de sistemul exterior (vibratorul). ln realitate diste-
mul disipd o parte din energia primitd ln procesul de excitare, funclionarea
vibratorului fiind necesard tocmai pentru suplimentarea energiei disipate
prin frecdri. ln caz contrar unda se amortizeazd. repede qi dispare.
Armonici. Rezonanf5,
Pe firul de lungime I al aparatului din figura 1.37 se formeazd unde
stalionare. Deoarece la ambele capete trebuie sd fie noduri, intregul fir se
fragmenteazd sub forma unui numdr lntreg de umfldturi, adicd lunginlea
firului este un multiplu de semilungimi de undd. Deci:
, (k :1,2...). (1.gol
Dar ),: Cu aceasta, condi!,ia de mai gus se scrie
t: &]2
+:u+ +
Ypr
: r]|-+
*,
: r*ut
Deci firul are un
1)
(r.31)
1,2, ..,
51
gir de frecven!,e proprii care se oblin punln/ ft -

51. Fig.. 1.39. Aspectul firului din figura 1.37, Bentru
Brima, a doua gi a tr€ia amonicd (a, b, c).
valori ale tensiunii pentru
undd corespunzltoare
le
Frecven,ta proprie cea mai
joasd v, a corzii este datd de
k : 1. In acest caz se obline o
undd stalionard cu aspectul din
figura 1.39, a. Aceastd frecvenld
se numegtb fnndamentald. sau
armonicd de ordinul l. Urmdtoa-
rele frecvenle vr, vr,... se oblin
pentru valorile k : 2, 3,... gi se
nuTelc armonici superioare pur-
tind gi denumirile de armoniia d,e
ord,inul 2, 3... (fig. 1.3g, D, c).
Este clar cd
Yz:2Y:';
vs :3vr
Modifictnd tensiunea, amplitudi-
::...:119"::: ^p,,.::i:.:1: *lqi*: corzii este un mulripru al semilungimii
de undd, cu alte cuvinte frecvenla proprie este egald cu una di
;i;J&.iiii"",-,'.j'"-]ffi ;"J,ll,1'Tlll'-'iJf ;3T:i#iXl'*,","*:**leste deci un fenomen de rezonanld,.
este maximd:
Rezoleare:
Cu condilia pustr, lungimea
Viteza undei este, conform
nea oscilaliilor variazd, existind
care amplitudinea devine mare. Lungimea de
^:lT Yoibratot
firului / este:
r: a|:zt,
relafiei 1.21,
,r-li:
. obsercrayle: Iri-acest proces de stalionarizare apare situalia in care o
mdrime fizicd (v, l) nu poate lua valori lntr-un interval continuu ci numai
valori discrete. se obiqnuie?1"
ld se spund cd qirul valorilor frecvenlei gi lun_
gimii de undd este cuantjficat.
PROBTEMA REZOLVATA
Un fir orizontal de 1.,2 m Iungime a1e g,masa- m.:862. l0{ kg. Una dintreramurile unui dianazon agezat orizontal"este prinse. ta unut iit*ii.trri"rirului. Diapazonulare o JrecvenF dA 100 tta. cltetirti-capaT ir"rii,
*H
j*#*"ft ,"H*1-ili;r'"i.:Hiifiil$Hiffi Sffiil;Hi,xTin:ll;r:i::.*,r$
unde tr -
ul
, iar ? - mt4. lnbcuind gi f{elnd oBerafiile se obtine:
urlt: 3gL
62
-r-

52. _?
rnva),z m21 562 . 10_6 kg. tO4(Hz), f ,Z m
st 4g F:0,172ks.
S{ artrtdm cd. efectulnd oBerafiile indicate cu unit[lile de m{surd se obline rezu}ta-
tul ln kilograme. Se qtib cd Hz : s-.I. 1;ssi
le{:l -
ks's1m'sz _1o.
*
1.4.9. sunetul. No,tiunea de sunet este in,teleasd in legdturd cu senza[ia de
auz a omului. Organul auditiv uman receptioneazd sub formd de srzne, orice
oscila,tie mecanicd a cdrei frecvenld v este inclusd in intervalul (20 Hz-
20 000 Hz). Dacd frecvenla este inferioard limitei de 20 Hz sau superioard
celei de 20000 Hz, oscila,tia se numegte infrasunef, gi, respecliv, ulirrcunet.
lntrucit limitele de frecven,td depind de mai mulli factori cqre le fac variabile,
clasificarea are par!,ial un caracter de conven,tie.
oscilalia produsd intr-un loc se propagd sub formd de un,ld sonord,in orice
ye{iu: stind cu capul ln apd se poate auzi motorul unei bdrci, punind urechea
la pdmint auzim trepida,tia traficului. sunetul nu se propagd in vid. unda
sonord este e undd mecanicS longitudinald. Corpul care produce sunetul se
numeqte sursd. sonord.
Toate procesele de propagare observate gi studiate pentru undele
mecanice, ln general, se observd qi la undele sonore.
Propriett$i corscterlstloe ole uhul sunet. Un s'unet perceput dd ureche are anumite
propriet{fi care, parfial, se
-explic[.
prin mtrrimile fizice caraCteristice sunetului, parlial
prin particularitdliie organului auditiv. Se disting trei proprietd{i fizice: indlfimea,'inten-
sitatea gi timbrul. Toate
.acestea D^ot fi ex;rrimate in,termeni fizici Brin merimi care Bermit
caracterizarea unui sunet qi Bot fi reBibzentate grafic Brintr-un slectru specific.
. I. Indllimea. Senzalia fiziologicd de sunete asculite (inalte) {i grave-(loase) se dato-
regte exclusiv frecven$ei. In paragraful 1.4.8 s-a vdzut c{ orice sunei erhis este insolit Je
sunete de frecvenfe mai inalre. Vorbind despre lndllime se are in vedere nuirai frecvenla.
fundamcntall, adicd sunetul numit pur.
ln muzicd sunetele sint. ordonaie intr-un gir (scar5), criteriul fiind frecvenfa. Fiecare
sunet are o denumire care ll situeazl lntr-un anumit loc in qir. Se lncepe cu sunetul cu frec-
venla de 16,5 Hz care se numegte Do-r, considerat ca limitd inferioar[ a auzului uman gi
se stabilegte un interval de o octavd care este apoi reBetat. Prin interval se infelege .aport,.il
lntre frecventele a dou{ sunete, iar octava este intervalul dintre doud suneie p-entri care
raBortul este 2. Astfel, qirul (scaramuzical[) apare ca in tabloul urmdtor, undeiint treeute
intervalele celor 10 octave:
li
Nota
I Frecven{a (Hzi Observafii
16,5
(2?)
33
66
. 732
264
528
1 056
2 t12
. 4224
8 448
16 896
Do-t
(La-t)
Doo
Dot
Dot
Do,
Don
Dot
Do.
Dot
Dot
Doo
Limita inferioard, de ios a auzului omului
Sunetul cel mai profund al pianului
Claviatura pianului
Sunetul cel mai ascufit al pianului
53