Nicolae Cotfas - Introducere in analiza fourier laplace

Nicolae Cotfas
INTRODUCERE ˆIN ANALIZA
FOURIER-LAPLACE
- Versiunea 10 martie 2015 -
http://fpcm5.fizica.unibuc.ro/~ncotfas/
E-mail: ncotfas@yahoo.com Tel: 074 278 4634

Introducere
Prezentare centrat˘a pe exemple, aplicat¸ii ¸si calcul numeric cu teoria redus˘a
la elementele strict necesare, prezentate accesibil, precis, clar ¸si concis.
............
Bucure¸sti, 2013 Nicolae Cotfas
3

Cuprins
1 Introducere 7
1.1 Elemente de trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Funct¸ii complexe de variabil˘a real˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Derivarea funct¸iilor complexe de variabil˘a real˘a . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Integrarea funct¸iilor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Spat¸ii cu produs scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Serii Fourier 31
2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Deﬁnit¸ii ¸si rezultate fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Transformarea Fourier discret˘a 55
3.1 Deﬁnit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Transformarea Fourier rapid˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Propriet˘at¸i ale transform˘arii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Funct¸ii proprii ale transform˘arii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Transformarea Fourier bidimensional˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Transformarea Fourier a funct¸iilor 77
4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5

4.2 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Transformarea Fourier a distribut¸iilor 89
5.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Transformarea Laplace a funct¸iilor 119
6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 Transformarea Laplace a distribut¸iilor 121
7.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8 Transformarea Laplace ﬁnit˘a 123
8.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6

Capitolul 1
Introducere
Pe parcursul acestui capitol vom prezenta cateva elemente ale apartului matematic
care va fi utilizat ˆın capitolele urm˘atoare.
1.1 Elemente de trigonometrie
1.1.1 Se ¸stie c˘a unghiurile posibile, masurate ˆın radiani, pot fi reprezentate in mod
natural pe circumferint¸a cercului trigonometric (vezi fig. 1.1). Pentru fiecare
t∈R, unghiurile
..., t−4π, t−2π, t, t+2π, t+4π, ...
se reprezint˘a ˆın acela¸si punct.
1.1.2 Definit¸ie. Funct¸ia cosinus este funct¸ia (vezi fig. 1.1)
cos : R −→ [−1, 1] : t → cos t
unde cos t este coordonata proiect¸iei pe axa orizontal˘a a punctului
ˆın care se reprezint˘a t pe circumferint¸a cercului trigonometric.
1.1.3 Definit¸ie. Funct¸ia sinus este funct¸ia (vezi fig. 1.1)
sin : R −→ [−1, 1] : t → sin t
unde sin t este coordonata proiect¸iei pe axa vertical˘a a punctului
ˆın care se reprezint˘a t pe circumferint¸a cercului trigonometric.
7

8 Aplicat¸ii ale transform˘arilor Fourier ¸si Laplace
tsin t
cos t
1
Figura 1.1: Funct¸iile cosinus ¸si sinus.
10 5 5 10
1.0
0.5
0.5
1.0
Figura 1.2: Graficul funct¸iei cosinus.
1.1.4 Direct din definit¸iile anterioare rezult˘a c˘a:
- Funct¸iile cosinus ¸si sinus sunt periodice cu perioada principal˘a 2π
cos(t + 2π) = cos t
sin(t + 2π) = sin t
oricare ar fi t∈R.
- Funct¸ia cosinus este funct¸ie par˘a ¸si sinus impar˘a
cos(−t) = cos t
sin(−t) = − sin t
- Funct¸iile cosinus ¸si sinus verific˘a relat¸ia fundamental˘a
cos2
t + sin2
t = 1 oricare ar fi t∈R. (1.1)
1.1.5 Unele valori se pot determina simplu utilizând geometria elementar˘a
t = 0 t = π
6 t = π
4 t = π
3 t = π
2 t = π t = 3π
2
sin t 0 1
2
√
2
2
√
3
2 1 0 -1
cos t 1
√
3
2
√
2
2
1
2 0 -1 0

Introducere 9
10 5 5 10
1.0
0.5
0.5
1.0
Figura 1.3: Graficul funct¸iei sinus.
1.1.6 Utilizând geometria elementar˘a se poate ar˘ata c˘a au loc relat¸iile fundamentale
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
oricare ar fi a, b∈R.
adic˘a
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
oricare ar fi a, b∈R. (1.2)
1.1.7 Utilizând (1.1) ¸si (1.2) se pot obt¸ine relat¸iile
sin a = cos π
2 − a
cos a = sin π
2 − a
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a − sin2
a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2
a
cos2 a = 1+cos 2a
2
sin2
a = 1−cos 2a
2
sin a cos b = 1
2[sin(a+b) + sin(a−b)],
cos a cos b = 1
2 [cos(a+b) + cos(a−b)],
sin a sin b = 1
2[cos(a−b) − cos(a+b)]
sin a + sin b = 2 sin a+b
2 cos a−b
2
sin a − sin b = 2 sin a−b
2 cos a+b
2
cos a + cos b = 2 cos a+b
2 cos a−b
2
cos a − cos b = −2 sin a−b
2 sin a+b
2

1.2 Numere complexe
1.2.1 Deﬁnit¸ie. In cazul unui num˘ar complex
z = x + yi
Re z = x se nume¸ste partea real˘a a lui z.
Im z = y se nume¸ste partea imaginar˘a a lui z.
¯z = x − yi se nume¸ste conjugatul lui z.
|z| = x2 + y2 se nume¸ste modulul lui z.
1.2.2 Direct din deﬁnit¸ie rezult˘a urm˘atoarele relat¸ii
z1 ± z2 = ¯z1 ± ¯z2 z1 z2 = ¯z1 ¯z2 (zn) = (¯z)n
|¯z| = |z| |z|2 = z ¯z (¯z) = z
Re z = z+¯z
2 Im z = z−¯z
2 i z =Re z+i Im z.
1.2.3 MATHEMATICA Re[x+y I], Im[x+y I], Abs[x+y I], Conjugate[x+y I]
In[1]:=I → Out[1]= ıi In[5]:=Re[3+4 I] → Out[5]=3
In[2]:=Sqrt[-4] → Out[2]=2 ıi In[6]:=Im[3+4 I] → Out[6]=4
In[3]:=(3+2 I)^2 → Out[3]=5+12 ıi In[7]:=Abs[3+4 I] → Out[7]=5
In[4]:=(3+2 I)/(5-I) → Out[4]= 1
2
+ ıi
2
In[8]:=Conjugate[3+4 I] → Out[8]=3−4 ıi.
1.2.4 Se ¸stie c˘a i2 =−1 ¸si
(a + i) ± (α + βi) = (a ± α) + (b ± β)i
(a + bi)(α + βi) = (aα − bβ) + (aβ + bα)i
a+bi
α+βi = (a+bi)(α−βi)
(α+βi)(α−βi) = (aα+bβ)+(−aβ+bα)i
α2+β2 .
De exemplu,
(2 + 3i) + (1 + 2i) = 3 + 5i
(2 + 3i) − (1 + 2i) = 1 + i
(2 + 3i)(1 + 2i) = −4 + 7i
2+3i
1+2i = (2+3i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i) = 8−i
5 = 8
5 − 1
5i.

Introducere 11
1.2.5 Teorem˘a. Relat¸iile
a) |(x1+y1i) + (x2+y2i)| ≤ |x1+y1i| + |x2+y2i)|
b) |(x1+y1i)(x2+y2i)| = |x1+y1i| |x2+y2i)|
c)
|x|
|y|
≤ |x + yi| ≤ |x| + |y|
(1.3)
au loc oricare ar fi numerele x1+y1i, x2+y2i, x+yi.
Demonstrat¸ie. a) Relat¸ia
(x1x2 + y1y2)2
≤ (x2
1 + y2
1)(x2
2 + y2
2)
putând fi scris˘a sub forma
0 ≤ (x1y2 − x2y1)2
¸si deci adev˘arat˘a, avem
|x1x2 + y1y2| ≤ x2
1 + y2
1 x2
2 + y2
2
¸si prin urmare,
|(x1+y1i) + (x2+y2i)|2 = (x1+x2)2 + (y1+y2)2
= x2
1 + y2
1 + x2
2 + y2
2 + 2x1x2 + 2y1y2
≤ x2
1 + y2
1 + x2
2 + y2
2 + 2|x1x2 + y1y2|
≤ x2
1 + y2
1 + x2
2 + y2
2 + 2 x2
1 + y2
1 x2
2 + y2
2
= |x1+y1i|2 + |x2+y2i|2 + 2|x1+y1i| |x2+y2i|
= (|x1+y1i| + |x2+y2i)|)2.
b) Avem
|(x1+y1i)(x2+y2i)|2 = (x1x2 − y1y2)2 + (x1y2 + x2y1)2
= x2
1x2
2 + y2
1y2
2 + x2
1y2
2 + x2
2y2
1
= (x2
1 + y2
1)(x2
2 + y2
2) = |x1+y1i|2 |x2+y2i)|2.
c) Avem
|x + yi| = x2 + y2 ≥
√
x2 = |x|
|x + yi| = x2 + y2 ≥ y2 = |y|
iar relat¸ia

x2 + y2 ≤ |x| + |y|
este echivalent˘a cu relat¸ia evident adev˘arat˘a
x2
+ y2
≤ (|x| + |y|)2
.
1.2.6 Relat¸iile (1.3) se mai pot scrie
a) |z1+z2| ≤ |z1| + |z2|
b) |z1 z2| = |z1| |z2|
c)
|Re z|
|Im z|
≤ |z| ≤ |Re z| + |Im z|.
1.2.7 Num˘arul
|(x + yi) − (a + bi)| = (x − a)2 + (y − b)2
reprezint˘a distant¸a ˆın planul complex ˆıntre x+yi ¸si a+bi.
1.2.8 Definit¸ie. Spunem c˘a ¸sirul (xn +yni)n≥0 converge la a+bi ¸si scriem
lim
n→∞
(xn+yni) = a+bi
dac˘a
lim
n→∞
|(xn + yni) − (a + bi)| = 0.
1.2.9 Teorem˘a. Avem
lim
n→∞
(xn+yni) = a+bi ⇐⇒



lim
n→∞
xn = a
lim
n→∞
yn = b
¸si
lim
n→∞
(xn +yni) = lim
n→∞
xn + i lim
n→∞
yn.
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘a din relat¸ia (a se vedea teorema de la pag. 11-5)
|xn − a|
|yn − b|
≤ |(xn − a) + (yn − b)i| ≤ |xn − a| + |yn − b|.
1.2.10 Formula lui Euler. Prin definit¸ie
eit
= cos t + i sin t oricare ar fi t∈R.
In particular,
ez
= ex+yi
= ex
eyi
= ex
(cos y + i sin y).

Introducere 13
1.2.11 Din relat¸ia
eiaeib = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)
= (cos a cos b − sin a sin b) + i(cos a sin b + sin a cos b)
= cos(a + b) + i sin(a + b) = ei(a+b)
rezult˘a c˘a
eia
eib
= ei(a+b)
oricare ar fi a, b∈R.
1.2.12 Pentru orice num˘ar nenul z =x+yi exist˘a arg z ∈(−π, π], numit
argumentul principal al lui z, astfel ˆıncât
z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z)) = |z| ei argz
.
De exemplu,
√
3 + i = 2 ei π
6 , 1−i =
√
2 e−i π
4 .
x
y z
|z|
arg z
Figura 1.4: Modulul ¸si argumentul unui num˘ar complex
1.3 Funct¸ii complexe de variabil˘a real˘a
1.3.1 Definit¸ie. Prin funct¸ie complex˘a se ˆınt¸elege o funct¸ie cu valori complexe.
In cazul unei funct¸ii complexe de variabil˘a real˘a
f : I −→ C, f(t) = u(t) + i v(t)
definite pe un interval I ⊆ R funct¸ia
u : I −→ R

reprezint˘a partea real˘a a lui f, iar
v : I −→ R
partea imaginar˘a a lui f.
1.3.2 Relat¸ia
f : R −→ C, f(t) = eit
= cos t + i sin t
deﬁne¸ste o funct¸ie periodic˘a
f(t + 2π) = cos(t + 2π) + i sin(t + 2π) = cos t + i sin t = f(t)
cu partea real˘a
u : R −→ R, u(t) = cos t
¸si partea imaginar˘a
v : R −→ R, v(t) = sin t.
1.3.3 Din relat¸iile
eit
= cos t + i sin t ¸si e−it
= cos t − i sin t
se obt¸in formulele
cos t =
eit + e−it
2
¸si sin t =
eit − e−it
2i
.
1.3.4 Pentru T ∈(0, ∞) ﬁxat, funct¸ia complex˘a
f : R −→ C, f(t) = ei 2π
T
t
= cos 2π
T t + i sin 2π
T t
este o funct¸ie periodic˘a cu perioada principal˘a T
f(t + T) = ei 2π
T
(t+T)
= ei 2π
T
t
ei2π
= ei 2π
T
t
= f(t).
1.3.5 Teorem˘a. Fie t0 ∈ I ¸si
f : I −→ C, f(t) = u(t) + i v(t).
Avem
f este continu˘a ˆın t0 ⇐⇒
u este continu˘a ˆın t0
v este continu˘a ˆın t0.
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia
|u(t) − u(t0)|
|v(t) − v(t0)|
≤ |f(t) − f(t0)| ≤ |u(t) − u(t0)| + |v(t) − v(t0)|

Introducere 15
rezult˘a c˘a
lim
t→t0
f(t) = f(t0) ⇐⇒
limt→t0 u(t) = u(t0)
limt→t0 v(t) = v(t0)
iar
lim
t→t0
f(t) = f(t0) = u(t0) + i v(t0) = lim
t→t0
u(t) + i lim
t→t0
v(t) = f(t0).
1.3.6 In cazul limitelor laterale
f(t0−) = lim
tրt0
f(t) = lim
tրt0
u(t) + i lim
tրt0
v(t) = u(t0−) + i v(t0−)
f(t0+) = lim
tցt0
f(t) = lim
tցt0
u(t) + i lim
tցt0
v(t) = u(t0+) + i v(t0+).
1.3.7 Definit¸ie. Spunem c˘a funct¸ia f c˘a este continu˘a pe port¸iuni ˆın [a, b]
dac˘a este continu˘a ˆın (a, b), exceptând eventual un num˘ar
finit de puncte t1, t2, ..., tn, iar limitele laterale
f(a+), f(t1−), f(t1+), ... , f(tn−), f(tn+), f(b−)
exist˘a ¸si sunt finite.
Spunem c˘a funct¸ia f c˘a este continu˘a pe port¸iuni ˆın R dac˘a
este continu˘a pe port¸iuni ˆın orice interval [a, b].
1.3.8 Funct¸ia (vezi Fig. 1.5)
f : [−1, 2] −→ R, f(t) =
t2 − 1 dac˘a −1 ≤ t ≤ 0
t dac˘a 0 < t ≤ 2
este continu˘a pe port¸iuni ˆın [−1, 2], dar funct¸ia
g : [−1, 2] −→ R, g(t) =
t2 − 1 dac˘a −1 ≤ t ≤ 0
1
t dac˘a 0 < t ≤ 2
nu este continu˘a pe port¸iuni ˆın [−1, 2] deoarece g(0+) = ∞.
1.3.9 Dac˘a se modific˘a valorile unei funct¸ii continue pe port¸iuni ˆıntr-un num˘ar finit
de puncte se obt¸ine tot o funct¸ie continu˘a pe port¸iuni.

2 1 1 2
1
1
2
3
2 1 1 2
1
1
2
3
4
5
6
Figura 1.5: Graficele funct¸iilor f ¸si g.
1.4 Derivarea funct¸iilor complexe de variabil˘a real˘a
1.4.1 Definit¸ie. Spunem c˘a funct¸ia f :I −→R este o funct¸ie derivabil˘a
ˆın punctul t0 ∈I dac˘a exist˘a ¸si este finit˘a limita
f′
(t0) = lim
t→t0
f(t) − f(t0)
t − t0
numit˘a derivata lui f ˆın t0.
1.4.2 Exemple.
a) Funct¸ia f : R −→ R, f(t) = t3 este derivabil˘a ˆın orice punct t0 ∈R deoarece
lim
t→a
f(t) − f(t0)
t − t0
= lim
x→a
t3 − t3
0
t − t0
= lim
x→a
(t2
+ t t0 + t2
0) = 3 t2
0.
In acest caz, f′(t0) = 3 t2
0, oricare ar fi t0 ∈R, adic˘a avem (t3)′ = 3t2.
b) Funct¸ia f :[0, ∞)−→R, f(t)=
√
t este derivabil˘a ˆın orice punct t0 ∈(0, ∞)
lim
t→t0
f(t) − f(t0)
t − t0
= lim
t→t0
√
t −
√
t0
t − t0
= lim
t→t0
1
√
t +
√
t0
=
1
2
√
t0
.
In acest caz, f′(t0) = 1
2
√
t0
, oricare ar fi t0 ∈(0, ∞), adic˘a avem (
√
t)′ = 1
2
√
t
.
1.4.3 Derivatele unor funct¸ii uzuale

Introducere 17
Funct¸ia Derivata Domeniul Condit¸ii
f :R −→ R f(x) = c f′(x) = 0 R
f :R −→ R f(x) = xn f′(x) = nxn−1 R n∈N∗
f :(0, ∞) −→ R f(x) = xα f′(x) = αxα−1 (0, ∞) α∈R
f :R∗ −→ R f(x) = 1
x f′(x) = − 1
x2 R∗
f :[0, ∞) −→ R f(x) =
√
x f′(x)= 1
2
√
x
(0, ∞)
f :[0, ∞) −→ R f(x) = n
√
x f′(x)= 1
n
n√
xn−1
(0, ∞) n∈2N∗
f :R −→ R f(x) = n
√
x f′(x)= 1
n
n√
xn−1
R∗ n∈2N+1
f :(0, ∞) −→ R f(x) = ln x f′(x) = 1
x (0, ∞)
f :R −→ R f(x) = ax f′(x)=ax ln a R 0<a=1
f :R −→ R f(x) = ex f′(x)=ex R
f :R −→ R f(x)=sin x f′(x) = cos x R
f :R −→ R f(x)=cos x f′(x)=− sin x R
f:R− π
2 +Zπ →R f(x) = tg x f′(x) = 1
cos2 x R− π
2 +Zπ
f :R−Zπ−→R f(x)=ctg x f′(x) = − 1
sin2 x
R−Zπ
f :[−1, 1] −→R f(x)=arcsin x f′(x) = 1√
1−x2
(−1, 1)
f :[−1, 1] −→R f(x)=arccos x f′(x) = − 1√
1−x2
(−1, 1)
f :R −→ R f(x)=arctgx f′(x)= 1
1+x2 R
f :R −→ R f(x)=arcctgx f′(x)=− 1
1+x2 R
f :R −→ R f(x)=sh x f′(x)=ch x R
f :R −→ R f(x)=ch x f′(x)=sh x R
1.4.4 MATHEMATICA: D[f[x], x]
In[1]:=D[f[x], x] → Out[1]=f′[x] In[5]:=D[Log[x], x → Out[5]= 1
x
In[2]:=D[x^n, x] → Out[2]=nx−1+n In[6]:=D[Sin[x], x] → Out[6]=Cos [x]
In[3]:=D[1/x, x] → Out[3]=− 1
x2 In[7]:=D[ArcSin[x], x] → Out[7]= 1√
1−x2
In[4]:=D[Sqrt[x], x] → Out[4]= 1
2
√
x
In[8]:=D[ArcTan[x], x] → Out[8]= 1
1+x2 .
1.4.5 Avem
(f +g)′
= f′
+g′
, (f +g)′′
= f′′
+g′′
, ...
dar
(fg)′
= f′
g+fg′
, (fg)′′
= f′′
g+2f′
g′
+fg′′
, ...
In cazul derivatei de ordinul n are loc formula lui Leibniz

(fg)(n) =
n
k=0
Ck
n f(n−k) g(k)
=C0
nf(n) g+C1
nf(n−1) g′+· · ·+Cn−1
n f′g(n−1) +Cn
n fg(n)
similar˘a cu binomul lui Newton
(a + b)n =
n
k=0
Ck
n an−k bk
=C0
nan+C1
nan−1b+· · ·+Cn−1
n abn−1+Cn
n bn.
1.4.6 In cazul unei funct¸ii complexe de variabil˘a real˘a
f : I −→ C, f(t) = u(t) + i v(t)
derivabile ˆın t0 avem
lim
t→t0
f(t) − f(t0)
t − t0
= lim
t→t0
u(t) − u(t0)
t − t0
+ i lim
t→t0
v(t) − v(t0)
t − t0
adic˘a,
f′
(t0) = u′
(t0) + i v′
(t0).
1.4.7 Pentru α∈R ﬁxat, avem
eiαt ′
= (cos αt)′ + i(sin αt)′
= −α sin αt + i α cos αt
= i α(cos αt + i sin αt) = iα eiαt
adic˘a,
eiαt ′
= iα eiαt
.
1.4.8 Dac˘a ϕ:R−→R este o funct¸ie derivabil˘a atunci
eiϕ(t)
′
= (cos ϕ(t))′ + i (sin ϕ(t))′
= −ϕ′(t) sin ϕ(t) + i ϕ′(t) cos ϕ(t)
= i ϕ′(t)(cos ϕ(t) + i sin ϕ(t)) = iϕ′(t) eiϕ(t)
adic˘a,
eiϕ(t)
′
= iϕ′
(t) eiϕ(t)
.
1.4.9 Deﬁnit¸ie. Spunem despre o funct¸ie continu˘a pe port¸iuni f c˘a este neted˘a pe
port¸iuni ˆın [a, b] dac˘a derivata f′ este continu˘a pe port¸iuni ˆın [a, b].
Spunem c˘a funct¸ia f c˘a este neted˘a pe port¸iuni ˆın R dac˘a
este neted˘a pe port¸iuni ˆın orice interval [a, b].

Introducere 19
1.5 Integrarea funct¸iilor complexe
1.5.1 Definit¸ie. Prin primitiv˘a a unei funct¸ii f : I →R se ˆınt¸elege
o funct¸ie derivabil˘a F : I →R cu proprietatea
F′
(x) = f(x) oricare ar fi x∈I.
1.5.2 Dac˘a F1, F2 : I −→R sunt dou˘a primitive ale funct¸iei f : I →R
atunci exist˘a c∈R astfel ˆıncât F1 = F2 + c.
Vom nota cu C mult¸imea funct¸iilor constante definite pe intervalul considerat.
Mult¸imea primitivelor unei funct¸ii f se noteaz˘a cu f(x)dx, adic˘a
f(x)dx = { F : I →R | F este primitiv˘a a lui f }.
1.5.3 Primitivele unor funct¸ii uzuale
(I este un interval inclus ˆın domeniul maxim de derivabilitate al primitivelor)
Funct¸ia Mult¸imea primitivelor Intervalul Condit¸ii
f(x) = 1 dx = x+C I ⊆R
f(x) = xn xndx = 1
n+1 xn+1+C I ⊆R n∈N
f(x) = xα xαdx = 1
α+1 xα+1+C I ⊆(0, ∞) α∈R−{−1}
f(x) = 1
x
1
x dx = ln |x|+C I ⊆R−{0}
f(x) = ex exdx = ex+C I ⊆R
f(x) = ax axdx = 1
ln a ax+C I ⊆R 0<a=1
f(x)=sin x sin x dx = − cos x+C I ⊆R
f(x)=cos x cos x dx = sin x+C I ⊆R
f(x) = 1
cos2 x
1
cos2 x dx = tg x+C I ⊆R− π
2 +Zπ
f(x)= 1
sin2 x
1
sin2 x
dx = −ctg x+C I ⊆R−Zπ
f(x)= 1√
a2−x2
1√
a2−x2
dx = arcsin x
a +C I ⊆(−a, a) a=0
f(x)= 1√
x2−a2
1√
x2−a2
dx=ln x+
√
x2−a2 +C I ⊆R−[−a, a] a>0
f(x)= 1√
x2+a2
1√
x2+a2
dx=ln x+
√
x2+a2 +C I ⊆R a=0
f(x)= 1
a2+x2
1
a2+x2 dx = 1
a arctg x
a +C I ⊆R a=0
f(x)= 1
x2−a2
1
x2−a2 dx = 1
2a ln x−a
x+a +C I ⊆R−{±a} a=0
f(x)=sh x sh x dx = ch x+C I ⊆R
f(x)=ch x ch x dx = sh x+C I ⊆R

1.5.4 MATHEMATICA: Integrate[f[x], x]
In[1]:=Integrate[f[x], x] → Out[1]= f(x) dx
In[2]:=Integrate[x^a, x] → Out[2]= x1+a
1+a
In[3]:=Integrate[a^x, x] → Out[3]= ax
Log [a]
In[4]:=Integrate[1/Sqrt[x^2+a^2], x] → Out[4]=Log [x+
√
a2+x2
]
1.5.5 Teorem˘a (Integrarea prin p˘art¸i).
Dac˘a funct¸iile f, g:I →R sunt derivabile ¸si au derivate continue atunci
f(x) g′
(x) dx=f(x) g(x)− f′
(x) g(x) dx.
1.5.6 Exercit¸iu. S˘a se calculeze
xex
dx, ln x dx.
Rezolvare. Avem
xexdx = x(ex)′dx = xex − exdx = xex − ex + C
ln x dx = x′ ln x dx = x ln x − x (ln x)′dx = x ln x − dx = x ln x − x + C
In[1]:=Integrate[x Exp[x], x] → Out[1]=ex(−1+x)
In[2]:=Integrate[Log[x], x] → Out[2]=−x+x Log [x]
1.5.8 Teorem˘a (Schimbarea de variabil˘a). Fie I, J ⊆ R intervale ¸si I
ϕ
−→ J
f
−→ R
dou˘a funct¸ii. Dac˘a ϕ : I −→ J este derivabil˘a ¸si F este o primitiv˘a a
lui f atunci I →R:x→(F ◦ϕ)(x)=F(ϕ(x)) este o primitiv˘a a funct¸iei
I →R:x→ f(ϕ(x)) ϕ′(x), adic˘a
f(ϕ(x)) ϕ′
(x) dx = f(t) dt ◦ϕ.
Demonstrat¸ie. Avem d
dx F(ϕ(x)) = F′(ϕ(x)) ϕ′(x) = f(ϕ(x)) ϕ′(x).
1.5.9 Exercit¸iu. S˘a se calculeze
e
√
x
√
x
dx
Rezolvare. Avem
e
√
x
√
x
dx = 2 e
√
x 1
2
√
x
dx = 2 e
√
x(
√
x)′dx = 2 etdt t=
√
x = 2e
√
x + C.

Introducere 21
In[1]:=Integrate[Exp[Sqrt[x]]/Sqrt[x], x] → Out[1]=2 e
√
x
1.5.11 Funct¸ia complex˘a
F : I −→ C, F(t) = U(t) + i V (t)
este o primitiv˘a a funct¸iei
f : I −→ C, f(t) = u(t) + i v(t)
dac˘a
F′
(t) = f(t) oricare ar fi t∈I.
adic˘a dac˘a
U′
(t) + i V ′
(t) = u(t) + i v(t) oricare ar fi t∈I.
Ultima relat¸ie are loc dac˘a ¸si numai dac˘a
U′(t) = u(t)
V ′(t) = v(t)
oricare ar fi t∈I
adic˘a dac˘a U este primitiv˘a a lui u ¸si V este primitiv˘a a lui v.
1.5.12 Pentru α = 0 fixat,
F : I −→ C, F(t) =
1
iα
eiαt
este o primitiv˘a a funct¸iei
f : I −→ C, f(t) = eiαt
deoarece
1
iα
eiαt
′
= eiαt
.
1.5.13 S¸tim c˘a dac˘a F :I −→ R este o primitiv˘a a funct¸iei f :I −→ R atunci
β
α
f(t) dt = F(t)|t=β
t=α = F(β) − F(α)
oricare ar fi intervalul [α, β]⊂I.
1.5.14 Dac˘a F : I −→ C, F(t) = U(t) + i V (t) este o primitiv˘a
a funct¸iei f : I −→ C, f(t) = u(t) + i v(t) atunci
β
α f(t) dt = β
α u(t) dt + i β
α v(t) dt
= U(t)|t=β
t=α + i V (t)|t=β
t=α = F(β) − F(α)
oricare ar fi intervalul [α, β]⊂I.

1.5.15 Exercit¸iu. S˘a se arate c˘a
1
2π
π
−π
eint eikt
dt = δnk.
Rezolvare. Dac˘a n = k atunci
1
2π
π
−π
eint eint
dt =
1
2π
π
−π
dt = 1
iar dac˘a n = k atunci
1
2π
π
−π
eint eikt
dt =
1
2π
π
−π
ei(k−n)t
dt =
1
2πi(k − n)
ei(k−n)t
π
−π
= 0.
1.5.16 O funct¸ie continu˘a pe port¸iuni este integrabil˘a pe orice interval finit.
1.5.17 Teorem˘a (Formula de integrare prin p˘art¸i).
Dac˘a funct¸iile f, g:I →R au derivate continue pe intervalul I atunci
b
a
f′
(t) g(t) dt = f(t) g(t)
b
a −
b
a
f(t) g′
(t) dt
oricare ar fi a, b∈I.
Demonstrat¸ie. Utilizând formula Leibniz-Newton obt¸inem
f(t) g(t)|b
a = b
a (f · g)′(t) dt = b
a (f′(t)g(t) + f(t)g′(t))dt
= b
a f′(t) g(t) dt + b
a f(t) g′(t) dt.
1.5.18 Exercit¸iu. S˘a se calculeze integralele
π
0
x cos x dx
1
0
x2
ex
dx.
Rezolvare. Utilizând integrarea prin p˘art¸i obt¸inem
π
0 t cos t dt= π
0 t (sin t)′ dt = x (sin t)|π
0 − π
0 sin t dt=cos t|π
0 = −1 − 1 = −2
1
0 t2 et dt = 1
0 t2 (et)′ dt = t2 et 1
0 − 2 1
0 t et dt = e − 2 1
0 t (et)′ dt
= e − 2t et 1
0 + 2 1
0 et dt = −e + 2 et 1
0 = e − 2.
1.5.19 MATHEMATICA: Integrate[f[t], {t, a, b}] NIntegrate[f[t], {t, a, b}]
In[1]:=Integrate[t Cos[t], {t, 0, Pi}] → Out[1]=−2
In[2]:=Integrate[t^2 Exp[t], {t, 0, 1}] → Out[2]=−2+e

Introducere 23
1.5.20 Teorem˘a (Schimbarea de variabil˘a).
Fie funct¸iile [a, b]
ϕ
−→ J
f
−→ R, unde J ⊂ R este un interval.
Dac˘a f este continu˘a ¸si ϕ este derivabil˘a cu derivata continu˘a atunci
b
a
f(ϕ(t)) ϕ′
(t) dt =
ϕ(b)
ϕ(a)
f(x) dx.
Demonstrat¸ie. Dac˘a F′ =f atunci F ◦ϕ este o primitiv˘a a funct¸iei (f ◦ϕ)·ϕ′ ¸si
b
a
f(ϕ(t)) ϕ′
(t) dt= (F ◦ϕ)(t)|b
a =F(ϕ(b))−F(ϕ(a))=
ϕ(b)
ϕ(a)
f(x) dx.
1.5.21 Dac˘a f :R→R este funct¸ie impar˘a, adic˘a f(−t) = −f(t) oricare ar fi t, atunci
a
−a f(t) dt = 0
−a f(t) dt + a
0 f(t) dt = − 0
−a f(−t) dt + a
0 f(t) dt
= 0
a f(t) dt + a
0 f(t) dt = − a
0 f(t) dt + a
0 f(t) dt = 0.
Dac˘a f :R−→R este funct¸ie par˘a, adic˘a f(−t) = f(t) oricare ar fi t, atunci
a
−a f(t) dt = 0
−a f(t) dt + a
0 f(t) dt = 0
−a f(−t) dt + a
0 f(t) dt
=− 0
a f(t) dt + a
0 f(t) dt= a
0 f(t) dt + a
0 f(t) dt=2 a
0 f(t) dt.
1.6 Serii de puteri
1.6.1 S¸tim c˘a
lim
n→∞
xn
=



nu exist˘a dac˘a x ≤ −1
0 dac˘a −1 < x < 1
1 dac˘a x = 1
∞ dac˘a 1 < x.
Plecând de la formula diferent¸ei de cuburi
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
)
deducem relat¸ia
1 − q3
= (1 − q)(1 + q + q2
)
care in cazul q = 1 se poate scrie
1 + q + q2
=
1 − q3
1 − q
¸si reprezint˘a un caz particular pentru suma progresiei geometrice

1 + q + q2
+ · · · + qn
=
1 − qn+1
1 − q
pentru q = 1.
1.6.2 Dac˘a |x|<1 atunci
1 + x + x2 + · · · = lim
n→∞
(1 + x + x2 + · · · + xn)
= lim
n→∞
1−xn+1
1−x = 1
1−x
adic˘a funct¸ia
(−1, 1) −→ R : x →
1
1 − x
admite dezvoltarea in serie de puteri
1
1 − x
= 1 + x + x2
+ · · · .
1.6.3 In cazul unei serii de forma (numit˘a serie de puteri)
a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ a3(x − x0)3
+ · · ·
exist˘a 0≤R≤∞ numit raza de convergent¸˘a astfel ˆıncât seria este convergent˘a
ˆın intervalul (x0−R, x0 + R) ¸si divergent˘a ˆın (−∞, x0 − R) ∪ (x0 + R, ∞).
1.6.4 Dac˘a o funct¸ie f admite ˆın vecinatatea unui punct x0 o dezvoltare ˆın serie
de puteri de forma
f(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ a3(x − x0)3
+ · · ·
¸si dac˘a aceast˘a serie poate fi derivat˘a termen cu termen de oricâte ori, atunci
plecând de la relat¸ia dat˘a ¸si de la derivatele ei
f′(x)=a1 + 2 a2(x−x0)+3 a3(x−x0)2+4 a4(x−x0)3+· · ·
f′′(x) = 2 a2 + 3 · 2 a3(x − x0)2 + 4 · 3 a4(x − x0)2 + · · ·
............................................
obt¸inem
a0 = f(x0), a1 = f′
(x0), a2 =
f′′(x0)
2!
, ...
adic˘a
an =
f(n)(x0)
n!
oricare ar fi n∈{0, 1, 2, ...}

Introducere 25
¸si prin urmare,
f(x) = f(x0) +
f′(x0)
1!
(x − x0) +
f′′(x0)
2!
(x − x0)2
+ · · ·
1.6.5 In cazul unei funct¸ii indefinit derivabile f putem defini seria de puteri
f(x0) +
f′(x0)
1!
(x − x0) +
f′′(x0)
2!
(x − x0)2
+ · · ·
pentru fiecare punct x0 din domeniul ei de definit¸ie.
1.7 Spat¸ii cu produs scalar
1.7.1 Definit¸ie. Prin produs scalar pe un spat¸iu vectorial real V se ˆınt¸elege
o aplicat¸ie
, : V × V −→ R
astfel ˆıncât
a) x, αy+βz =α x, y +β x, z , ∀x, y, z ∈V ¸si ∀α, β ∈R
b) x, y = y, x , ∀x, y∈V
c) x, x ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si
x, x =0 ⇐⇒ x = 0.
1.7.2 Exemplu. Pe spat¸iul vectorial real
R2
= {x = (x1, x2) | x1, x2 ∈ R }
unde
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+y2)
α(x1, x2) = (αx1, αx2)
relat¸ia
x, y = x1y1 + x2y2
define¸ste un produs scalar. Num˘arul
||x|| = x, x
adic˘a
||(x1, x2)|| = x2
1 + x2
2
reprezint˘a lungimea vectorului x = (x1, x2).

x2
x2
e1
e2 x
Figura 1.6: Lungimea vectorului x=(x1, x2) din R2.
1.7.3 Utilizând formula
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
obtinem relat¸ia (a se vedea figura 1.7)
x, y =x1y1+x2y2 =||x|| ||y|| (cos a cos b − sin a sin b)=||x|| ||y|| cos(a−b)
din care rezult˘a c˘a produsul scalar x, y a doi vectori x ¸si y este egal cu
produsul lungimilor vectorilor ˆınmult¸it cu cosinusul unghiului dintre ei.
In particular, vectorii sunt ortogonali (perpendiculari) dac˘a ¸si numai dac˘a
x, y = 0.
x
y
a
b
Figura 1.7: Produsul scalar a doi vectori din R2.
1.7.4 Definit¸ie. Prin produs scalar pe un spat¸iu vectorial complex V se ˆınt¸elege
o aplicat¸ie

Introducere 27
, : V × V −→ C
astfel ˆıncât
a) x, αy+βz =α x, y +β x, z , ∀x, y, z ∈V ¸si ∀α, β ∈R
b) x, y = y, x , ∀x, y∈V
c) x, x ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si
x, x =0 ⇐⇒ x = 0.
1.7.5 Exemplu. Pe spat¸iul vectorial complex
C2
= {x = (x1, x2) | x1, x2 ∈ C }
unde
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+y2)
α(x1, x2) = (αx1, αx2)
relat¸ia
x, y = ¯x1 y1 + ¯x2 y2
define¸ste un produs scalar. Num˘arul
||x|| = x, x
adic˘a
||(x1, x2)|| = |x1|2+|x2|2
reprezint˘a lungimea vectorului x = (x1, x2).
1.7.6 Definit¸ie. Un vector u este numit vector unitar (sau versor) dac˘a ||u|| = 1.
Vectorul unitar corespunz˘ator vectorului nenul x este vectorul
u =
x
||x||
obt¸inut prin normarea lui x.
1.7.7 Propozit¸ie. Proiect¸ia ortogonal˘a a lui x pe v=0 este
Pvx =
v, x
v, v
v.
Demonstrat¸ie Proiect¸ia ortogonal˘a a lui x pe v este un vector de forma λv. Im-
punând condit¸ia (x − λv) ⊥ v, obt¸inem relat¸ia v, x − λv = 0 care conduce la
λ = v, x / v, v .

x
v
v, x v
Figura 1.8: Proiect¸ia ortogonal˘a lui x pe vectorul unitar v.
1.7.8 Proiect¸ia ortogonal˘a a vectorului x=(1, 2, 3) pe v=(1, 1, 1) este
P(1,1,1)(1, 2, 3) = (1,1,1),(1,2,3)
(1,1,1),(1,1,1) (1, 1, 1) = (2, 2, 2).
1.7.9 MATHEMATICA: Projection[x, v]
In[1]:=Projection[{1, 2, 3}, {1, 1, 1}] → Out[1]=(2,2,2)
1.7.10 Dac˘a u este un vector unitar, adic˘a dac˘a ||u|| = 1, atunci (vezi Fig. 1.8)
Pux = u, x u.
1.7.11 Deﬁnit¸ie. O baz˘a {e1, e2, ..., eN } a lui V este numit˘a baz˘a ortonormat˘a dac˘a
en, ek = δnk =
1 dac˘a n = k
0 dac˘a n = k.
1.7.12 Teorem˘a. Dac˘a {e1, e2, ..., eN } este baz˘a ortonormat˘a atunci orice
vector x∈V admite reprezentarea
x=
N
n=1
en, x en
adic˘a, x este suma proiect¸iilor pe vectorii bazei.
Demonstrat¸ie. Vectorul x se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘a de vectorii bazei
x = α1 e1 + α2 e2 + · · · + αN eN

¸si
e1, x = e1, α1 e1 + α2 e2 + · · · + αN eN
= α1 e1, e1 + α2 e1, e2 + · · · + αN e1, eN = α1
e2, x = e2, α1 e1 + α2 e2 + · · · + αN eN
= α1 e2, e1 + α2 e2, e2 + · · · + αN e2, eN = α2
......... ............................................
eN , x = eN , α1 e1 + α2 e2 + · · · + αN eN
= α1 eN , e1 + α2 eN , e2 + · · · + αN eN , eN = αN .
1.7.13 Exemplu. Sistemul {e1 =(1, 0), e2 =(0, 1)} este baz˘a ortonormat˘a ˆın R2 ¸si
(x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1) = x1e1 + x2e2
= (1, 0), (x1, x2) e1 + (0, 1), (x1, x2) e2
= e1, x e1 + e2, x e2.
1.7.14 Exercit¸iu. S˘a se arate c˘a e′
1 = 1√
2
, 1√
2
, e′
2 = 1√
2
, − 1√
2
este baz˘a orto-
normat˘a ˆın R2 ¸si s˘a se scrie vectorul x=(2, 3) ca o combinat¸ie liniar˘a de e′
1 ¸si e′
2.
Rezolvare. Avem
e′
1, e′
1 = e′
2, e′
2 = 1, e′
1, e′
2 = e′
2, e′
1 = 0
¸si
x = e′
1, x e′
1 + e′
2, x e′
2 = 5√
2
e′
1 − 1√
2
e′
2.
29

Capitolul 2
Serii Fourier
2.1 Exemple
2.1.1 Definit¸ie. Un sistem de vectori dintr-un spat¸iu vectorial cu produs scalar
v0, v1, v2, ...
este numit sistem ortonormat dac˘a
vn, vk = δnk =
1 dac˘a n = k
0 dac˘a n = k.
2.1.2 Pe spat¸iul vectorial complex
C0
[−π, π] = { ϕ : [−π, π] −→ C | ϕ este funct¸ie continu˘a }
unde
(ϕ + ψ)(t) = ϕ(t) + ψ(t), (αϕ)(t) = α ϕ(t)
relat¸ia
ϕ, ψ =
1
π
π
−π
ϕ(t) ψ(t) dt
define¸ste un produs scalar.
2.1.3 Exercit¸iu. S˘a se arate c˘a sistemul infinit de funct¸ii
1√
2
, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, cos 3t, sin 3t, ... (2.1)
din C0[−π, π] este un sistem ortonormat.
31

Rezolvare. Avem
1√
2
, 1√
2
= 1
π
π
−π
1√
2
1√
2
dt = 1
2π
π
−π dt = 1
1√
2
, sin nt = 1
π
π
−π
1√
2
sin nt dt = − 1
nπ
√
2
cos nt
π
−π
= 0
1√
2
, cos nt = 1
π
π
−π
1√
2
cos nt dt = 1
nπ
√
2
sin nt
π
−π
= 0
cos nt, cos nt = 1
π
π
−π cos2 nt dt = 1
2π
π
−π(1 + cos 2nt)dt = 1
sin nt, sin nt = 1
π
π
−π sin2
nt dt = 1
2π
π
−π(1 − cos 2nt)dt = 1
cos nt, sin nt = 1
π
π
−π cos nt sin nt dt = 1
2π
π
−π sin 2nt dt = 0
oricare ar fi n. Pentru n = k obt¸inem
cos nt, cos kt = 1
π
π
−π cos nt cos kt dt = 1
2π
π
−π(cos(n+k)t + cos(n−k)t)dt = 0
sin nt, sin kt = 1
π
π
−π sin nt sin kt dt = 1
2π
π
−π(cos(n−k)t − cos(n+k)t)dt = 0
sin nt, cos kt = 1
π
π
−π sin nt cos kt dt = 1
2π
π
−π(sin(n+k)t + sin(n−k)t)dt = 0.
2.1.4 Definit¸ie. Un polinom trigonometric este o combinat¸ie liniar˘a finit˘a de
1√
2
, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, cos 3t, sin 3t, ...
adic˘a o expresie de forma
1
2a0 +
k
n=1
(an cos nt + bn sin nt).
O serie Fourier trigonometric˘a este o serie de funct¸ii de forma
1
2
a0 +
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx)
unde coeficient¸ii an, bn sunt numere complexe fixate.
ϕ(x) =
1
2
a0 + a1 cos t + b1 sin t =⇒



a0 = 1
π
π
−π ϕ(t) dt
a1 = 1
π
π
−π ϕ(t) cos t dt
b1 = 1
π
π
−π ϕ(t) sin t dt
¸si ˆın general,
ϕ(x)=
1
2
a0+
k
n=1
(an cos nt+bn sin nt) =⇒
an = 1
π
π
−π ϕ(t) cos nt dt
bn = 1
π
π
−π ϕ(t) sin nt dt.

Serii Fourier 33
Rezolvare. Avem
1
π
π
−π ϕ(t) dt = 1
π
π
−π
1
2a0 + a1 cos t + b1 sin t dt = a0
1
π
π
−π ϕ(t) cos t dt = 1
π
π
−π
1
2a0 + a1 cos t + b1 sin t cos t dt = a1
1
π
π
−π ϕ(t) sin t dt = 1
π
π
−π
1
2a0 + a1 cos t + b1 sin t sin t dt = b1.
2.1.6 Dac˘a seria este convergent˘a ¸si poate fi derivat˘a termen cu termen atunci
ϕ(x)=
1
2
a0+
∞
n=1
(an cos nt+bn sin nt) =⇒
an = 1
π
π
−π ϕ(t) cos nt dt
bn = 1
π
π
−π ϕ(t) sin nt dt.
2.1.7 Definit¸ie. Fiec˘arei funct¸ii periodice ϕ : R −→ C cu perioada 2π pentru care
coeficient¸ii
an =
1
π
π
−π
ϕ(t) cos nt dt, bn =
1
π
π
−π
ϕ(t) sin nt dt
exist˘a i se asociaz˘a seria
1
2
a0+
∞
n=1
(an cos nt+bn sin nt) (2.2)
numit˘a seria Fourier (trigonometric˘a) a lui ϕ.
2.1.8 Dac˘a not˘am funct¸iile din ¸sirul (2.1) cu e0, e1, e2, ... atunci
en, ek = δnk
coeficient¸ii seriei Fourier verific˘a relat¸iile
a0 = e0, ϕ , a1 = e1, ϕ , b1 = e2, ϕ , a2 = e3, ϕ , b2 = e4, ϕ , ...
iar seria Fourier (2.2) se poate scrie sub forma
∞
n=0
en, ϕ en.
2.1.9 In funct¸ie de anumite particularit˘at¸i ale lui ϕ, se poate ca:
- seria Fourier asociat˘a s˘a fie divergent˘a,
- seria Fourier asociat˘a s˘a fie convergent˘a dar suma ei s˘a nu coincid˘a cu ϕ,
- seria Fourier asociat˘a s˘a fie convergent˘a ¸si suma ei s˘a coincid˘a cu ϕ.

2.1.10 Dac˘a ϕ ia doar valori reale atunci coeficient¸ii an ¸si bn sunt numere reale.
In general, coeficient¸ii an ¸si bn sunt numere complexe.
2.1.11 Dac˘a se modific˘a valorile funct¸iei ϕ ˆıntr-un num˘ar finit de puncte, atunci
valorile coeficient¸ilor an, bn ¸si seria Fourier asociat˘a nu se schimb˘a.
2.1.12 In cazul ˆın care seria (2.2) este convergent˘a, relat¸ia
S(t) =
1
2
a0+
∞
n=1
(an cos nt+bn sin nt)
define¸ste o funct¸ie S : R −→ C periodic˘a cu perioada 2π.
Pentru ca o funct¸ie s˘a coincid˘a cu suma seriei Fourier
asociate trebuie ca ea s˘a fie periodic˘a cu perioada 2π.
2.1.13 Funct¸iile de forma ϕ : [−π, π) −→ C pot fi identificate cu funct¸iile periodice
ϕ : R −→ C cu perioada 2π (obt¸inute folosind prelungirea prin periodicitate).
2.1.14 Fie ϕ este o funct¸ie periodic˘a cu perioada 2π. Oricare ar fi t0 ∈R avem
1
π
π
−π ϕ(t) cos kt dt = 1
π
t0
−π ϕ(t) cos kt dt + 1
π
π
t0
ϕ(t) cos kt dt
= 1
π
t0
−π ϕ(t + 2π) cos k(t + 2π) dt + 1
π
π
t0
ϕ(t) cos kt dt
= 1
π
t0+2π
π ϕ(t) cos kt dt + 1
π
π
t0
ϕ(t) cos kt dt
= 1
π
t0+2π
t0
ϕ(t) cos kt dt.
Coeficient¸ii Fourier pot fi calculat¸i integrând pe orice interval de lungime 2π
an = 1
π
t0+2π
t0
ϕ(t) cos nt dt
bn = 1
π
t0+2π
t0
ϕ(t) sin nt dt
oricare ar fi t0 ∈R.
2.1.15
Seria Fourier asociat˘a unei functii pare este de forma 1
2a0 + ∞
n=1 an cos nt.
Seria Fourier asociat˘a unei functii pare este de forma ∞
n=1 bn sin nt.
2.1.16 Exercit¸iu (Seria Fourier a funct¸iei “dint¸i de fier˘astr˘au” (vezi Fig. 2.1)).
S˘a se arate c˘a seria Fourier asociat˘a funct¸iei periodice cu perioada 2π ¸si
ϕ(t) = t pentru t∈[−π, π)

Serii Fourier 35
5 5
3
2
1
1
2
3
Figura 2.1: Funct¸ia “dint¸i de fier˘astr˘au”.
este ∞
n=1
(−1)n−1 2
n
sin nt. (2.3)
Rezolvare. Utilizând integrarea prin p˘art¸i ¸si relat¸ia cos nπ=(−1)n obt¸inem
an = 1
π
π
−π t cos nt dt = 1
nπ
π
−π t(sin nt)′dt = 1
nπ t sin nt
π
−π
− 1
nπ
π
−π sin nt dt = 0
bn = 1
π
π
−π t sin nt dt = − 1
nπ
π
−π t(cos nt)′dt = − 1
nπ t cos nt
π
−π
+ 1
nπ
π
−π cos nt dt
= − 1
nπ [π cos nπ − (−π) cos(−nπ)] = − 2π
nπ cos nπ = − 2
n (−1)n = (−1)n−1 2
n .
2.1.17 MATHEMATICA: FourierTrigSeries[f[t], t, k]
In[1]=FourierTrigSeries[t, t, 4] → Out[1]=2 Sin[t]−Sin[2 t]+ 2
3
Sin[3 t]− 1
2
Sin[4 t]
2.1.18 Se poate ar˘ata (vezi ....) c˘a seria (2.3) este convergent˘a ¸si suma ei este
∞
n=1
(−1)n−1 2
n
sin nt =
0 dac˘a t ∈ Zπ
ϕ(t) dac˘a t ∈ Zπ.
Funct¸ia ϕ este continu˘a exceptând punctele t∈Zπ = { kπ | k∈Z }.
Se observ˘a c˘a suma seriei Fourier asociate coincide cu ϕ doar ˆın punctele
ˆın care aceasta este continu˘a. Deoarece
lim
n→∞
(−1)n−1 2
n
= 0
contribut¸iile termenilor devin din ce in ce mai mici pe m˘asur˘a ce n cre¸ste.
In Fig. 2.2 ¸si Fig. 2.3 prezent˘am sumele part¸iale
S5(t) =
5
n=1
(−1)n−1 2
n
sin nt ¸si S10(t) =
10
n=1
(−1)n−1 2
n
.

5 5
3
2
1
1
2
3
Figura 2.2: Suma part¸ial˘a S5(t).
5 5
3
2
1
1
2
3
2.1.19 Exercit¸iu. S˘a se arate c˘a seria Fourier asociat˘a funct¸iei
ϕ : [−π, π] −→ R, ϕ(t) = |t|
este
π
2
−
4
π
∞
k=0
1
(2k + 1)2
cos(2k + 1)t. (2.4)
Rezolvare. Avem
a0 = 1
π
π
−π |t| dt = 2
π
π
0 t dt = π
iar pentru n = 0
an = 1
π
π
−π |t| cos nt dt = 2
π
π
0 t cos nt dt = 2
nπ [t sin nt|π
0 − π
0 sin nt dt
= 2
n2π cos nt
π
0
= 2
n2π ((−1)n − 1)
bn = 1
π
π
−π |t| sin nt dt = 0 (funct¸ie impar˘a).
Funct¸ia obt¸inut˘a prelungind ϕ prin periodicitate este o funct¸ie continu˘a deoarece
ϕ(π) = ϕ(−π). Din teorema fundamental˘a (vezi pag. ??-??) rezult˘a c˘a seria (2.4)

Serii Fourier 37
este convergent˘a ¸si suma ei coincide cu ϕ, adic˘a
ϕ(t) =
π
2
−
4
π
∞
k=0
1
(2k + 1)2
cos(2k + 1)t oricare ar ﬁ t∈R.
In[1]=FourierTrigSeries[Abs[t], t, 2] → Out[1]= π
2
−
4 Cos[t]
π
5 5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 2.4: Prelungirea periodic˘a a funct¸iei |t| ¸si o sum˘a Fourier part¸ial˘a.
2.1.21 Exercit¸iu. S˘a se arate c˘a seria Fourier asociat˘a funct¸iei
ϕ : [−π, π] −→ R, ϕ(t) = t2
este
π2
3
+ 4
∞
n=1
(−1)n
n2
cos nt. (2.5)
Rezolvare. Avem
a0 = 1
π
π
−π t2 dt = 2π2
3
iar pentru n = 0
an = 1
π
π
−π t2 cos nt dt = 2
π
π
0 t2 cos nt dt = 2
nπ t2 sin nt
π
0 − 2 π
0 t sin nt dt
= − 4
nπ
π
0 t sin nt dt = 4
nπ [t cos nt|π
0 − π
0 cos nt dt = 4
n2 (−1)n
bn = 1
π
π
−π t2 sin nt dt = 0 (funct¸ie impar˘a).
Funct¸ia obt¸inut˘a prelungind ϕ prin periodicitate este o funct¸ie continu˘a deoarece
ϕ(π) = ϕ(−π). Din teorema fundamental˘a (vezi pag. ??-??) rezult˘a c˘a seria (2.5)
este convergent˘a ¸si suma ei coincide cu ϕ, adic˘a

ϕ(t) =
π2
3
+ 4
∞
n=1
(−1)n
n2
cos nt oricare ar fi t∈R.
In[1]=FourierTrigSeries[t^2, t, 2] → Out[1]= π2
3
+4(−Cos[t]+ 1
4
Cos[2 t])
5 5
2
4
6
8
10
Figura 2.5: Prelungirea periodic˘a a funct¸iei t2 ¸si o sum˘a Fourier part¸ial˘a.
2.1.23 In cazul ˆın care coeficient¸ii an ¸si bn sunt numere reale, relat¸ia
an cos nt+bn sin nt= a2
n+b2
n cos(nt+φn) unde



tan φn =− bn
an
dac˘a an =0
φn = −π
2 dac˘a an = 0
ne permite s˘a scriem seria Fourier asociat˘a unei funct¸ii sub forma
1
2
a0 +
∞
n=0
a2
n+b2
n cos(nt + φn)
unde a2
n+b2
n reprezint˘a amplitudinea armonicei de ordinul n iar φn faza init¸ial˘a.
2.1.24 Fie
1
2
a0+
∞
n=1
(an cos nt+bn sin nt)
seria Fourier asociat˘a unei funct¸ii periodice ϕ : R −→ C cu perioada 2π.
Utilizând formulele
cos nt =
eint + e−int
2
¸si sin nt =
eint − e−int
2i
obt¸inem

Serii Fourier 39
1
2 a0+
∞
n=1
(an cos nt+bn sin nt) = 1
2a0+
∞
n=1
an
eint+e−int
2 +bn
eint−e−int
2i
= 1
2a0+
∞
n=1
1
2(an − ibn)eint+ 1
2 (an + ibn)e−int
= c0+
∞
n=1
cneint+c−ne−int =
∞
n=−∞
cneint
unde
c0 = 1
2a0 = 1
2π
π
−π ϕ(t) dt
cn = 1
2 (an − ibn) = 1
2π
π
−π ϕ(t) e−intdt
c−n = 1
2 (an + ibn) = 1
2π
π
−π ϕ(t) eintdt
adic˘a
cn =
1
2π
π
−π
ϕ(t) e−int
dt oricare ar fi n∈Z.
2.1.25 S¸irul de funct¸ii periodice cu perioada 2π
..., e−3it
, e−2it
, e−it
, 0, eit
, e2it
, e3it
, ...
este ortonormat ˆın raport cu produsul scalar
ϕ, ψ =
1
2π
π
−π
ϕ(t) ψ(t) dt.
2.1.26 Definit¸ie. Fiec˘arei funct¸ii periodice ϕ : R −→ C cu perioada 2π pentru care
coeficient¸ii
cn =
1
2π
π
−π
ϕ(t) e−int
dt
exist˘a i se asociaz˘a seria
∞
n=−∞
cneint
(2.6)
numit˘a seria Fourier complex˘a a lui ϕ.
2.1.27 Exercit¸iu. Seria Fourier complex˘a a funct¸iei “dint¸i de fier˘astr˘au” este
n=0
(−1)n i
n
eint
. (2.7)
Rezolvare. Prin calcul direct, pentru n = 0, obt¸inem

cn = 1
2π
π
−π t e−intdt = − 1
2πin
π
−π t (e−int)′ dt = − 1
2πin t e−int π
−π − π
−π e−int dt
= − 1
2πin π e−inπ + π einπ + 1
in(e−inπ − einπ)
= − 1
2πin 2π cos nπ − 2
n sin nπ = i
n cos nπ = i
n (−1)n.
2.1.28 MATHEMATICA: FourierSeries[f[t], t, k]
In[1]=FourierSeries[t, t, 2] → Out[1]=i e−it−i eit− 1
2
i e−2it+ 1
2
i e2it
2.1.29 Rezultatele prezentate pot fi u¸sor extinse la funct¸ii periodice cu perioada T.
S¸irul de funct¸ii
1√
2
, cos ω0t, sin ω0t, cos 2ω0t, sin 2ω0t, cos 3ω0t, sin 3ω0t, ... (2.8)
unde
ω0 =
2π
T
este un sistem ortonormat ˆın raport cu produsul scalar
ϕ, ψ =
2
T
T/2
−T/2
ϕ(t) ψ(t) dt
¸si
ϕ(x)=
1
2
a0 +
k
n=1
(an cos nω0t+bn sin nω0t) ⇒



an = 2
T
T/2
−T/2 ϕ(t) cos nω0t dt
bn = 2
T
T/2
−T/2 ϕ(t) sin nω0t dt.
Seria Fourier asociat˘a unei funct¸ii periodice ϕ cu perioada T este
1
2
a0+
∞
n=1
(an cos nω0t+bn sin nω0t) cu



an = 2
T
T/2
−T/2 ϕ(t) cos nω0t dt
bn = 2
T
T/2
−T/2 ϕ(t) sin nω0t dt
iar seria Fourier complex˘a este
∞
n=−∞
cneinω0t
cu cn =
1
T
T/2
−T/2
ϕ(t) e−inω0t
dt.
Coeficient¸ii Fourier pot fi calculat¸i integrând pe orice interval de lungime T
an = 2
T
t0+T
t0
ϕ(t) cos ω0nt dt
bn = 2
T
t0+T
t0
ϕ(t) sin ω0nt dt
cn = 1
T
t0+T
t0
ϕ(t) e−inω0tdt
oricare ar fi t0 ∈R.

Serii Fourier 41
2.1.30 Cazul T = 1. S¸irul de funct¸ii
1√
2
, cos 2πt, sin 2πt, cos 4πt, sin 4πt, cos 6πt, sin 6πt, ... (2.9)
este un sistem ortonormat ˆın raport cu produsul scalar
ϕ, ψ = 2
1/2
−1/2
ϕ(t) ψ(t) dt.
Seria Fourier asociat˘a unei funct¸ii periodice ϕ cu perioada T = 1 este
1
2
a0+
∞
n=1
(an cos 2πnt+bn sin 2πnt) cu



an =2
1/2
−1/2 ϕ(t) cos nω0t dt
bn =2
1/2
−1/2 ϕ(t) sin nω0t dt
iar seria Fourier complex˘a este
∞
n=−∞
cne2πint
cu cn =
1/2
−1/2
ϕ(t) e−2πint
dt.
10 5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2.6: Funct¸ia dreptunghiular˘a periodic˘a ˆın cazul T = 2π, a = π.
2.1.31 Exercit¸iu (Seria Fourier a funct¸iei dreptunghiulare periodice (vezi Fig. 2.6)).
Fie 0 ≤ a ≤ T. S˘a se arate c˘a seria Fourier complex˘a asociat˘a
funct¸iei periodice ϕ : R −→ C cu perioada T ¸si astfel ˆıncˆat
ϕ(t) =



0 pentru −T/2 ≤ t ≤ −a/2
1 pentru −a/2 ≤ t ≤ a/2
0 pentru a/2 ≤ t ≤ T/2
este ∞
n=−∞
2
T
sin(nω0a/2)
nω0
einω0t
. (2.10)

Rezolvare. Avem
c0 = 1
T
a/2
−a/2 1 dt = a
T
iar pentru n = 0
cn = 1
T
a/2
−a/2 e−inω0tdt = − 1
inω0T e−inω0t
a/2
−a/2
= 2
nω0T
einω0a/2−e−inω0a/2
2i = 2
T
sin(nω0a/2)
nω0
.
2.1.32 Coeficient¸ii cn sunt valorile funct¸iei
f : R −→ R, f(x) =
2 sin(ax/2)
Tx
in punctele nω0 cu n∈Z (vezi Fig. 2.7).
5 5
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 2.7: Coeficient¸ii cn ¸si graficul funct¸iei f ˆın cazul T = 2π, a = π.
2.1.33 Deoarece
lim
n→±∞
2
T
sin(nω0a/2)
nω0
= 0
contribut¸iile termenilor devin din ce ˆın ce mai mici pe m˘asur˘a ce |n| cre¸ste.
S5(t) = 5
n=−5
2
T
sin(nω0a/2)
nω0
einω0t ¸si S10(t) = 10
n=−10
2
T
sin(nω0a/2)
nω0
einω0t
ˆın cazul T = 2π ¸si a = π.
2.1.34 Exercit¸iu (Seria Fourier a funct¸iei triunghiulare periodice (vezi Fig. 2.10 )).
Fie 0 < a ≤ T/2. S˘a se arate c˘a seria Fourier complex˘a asociat˘a

Serii Fourier 43
5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
funct¸iei periodice ϕ : R −→ C cu perioada T ¸si astfel ˆıncˆat
ϕ(t) =



0 pentru −T/2 ≤ t < −a
1 + t
a pentru −a ≤ t ≤ 0
1 − t
a pentru 0 < t ≤ a
0 pentru a < t ≤ T/2
este
∞
n=−∞
4 sin2
(nω0a/2)
n2ω2
0aT
einω0t
. (2.11)
Rezolvare. Avem
c0 = 1
T
0
−a 1 + t
a dt + 1
T
a
0 1 − t
a dt = a
T
iar pentru n = 0

cn = 1
T
0
−a 1 + t
a e−inω0t dt + 1
T
a
0 1 − t
a e−inω0t dt
= 1
T
a
0 1 − t
a einω0t dt + 1
T
a
0 1 − t
a e−inω0t dt
= 2
T
a
0 1 − t
a cos nω0t dt
= 2
T
1
nω0
1 − t
a sin nω0t
a
0
+ 1
a
a
0 sin nω0t dt
= 2
Tnω0
1
a
−1
nω0
cos nω0t
a
0
= 2(1−cos nω0a)
n2ω2
0aT
= 4 sin2(nω0a/2)
n2ω2
0aT
Funct¸ia ϕ este continu˘a. Din teorema fundamental˘a (vezi pag. ??-??) rezult˘a c˘a
seria (2.11) este convergent˘a ¸si suma ei coincide cu ϕ
ϕ(t) =
∞
n=−∞
4 sin2
(nω0a/2)
n2ω2
0aT
einω0t
5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2.10: Funct¸ia triunghiular˘a periodic˘a ˆın cazul T = 2π, a = π/2.
2.1.35 Coeﬁcient¸ii cn sunt valorile funct¸iei
f : R −→ R, f(x) =
4 sin2
(ax/2)
aTx2
ˆın punctele nω0 cu n∈Z (vezi Fig. 2.11).
2.1.36 Deoarece
lim
n→±∞
4 sin2
(nω0a/2)
n2ω2
0aT
= 0
contribut¸iile termenilor devin din ce ˆın ce mai mici pe m˘asur˘a ce |n| cre¸ste.

Serii Fourier 45
5 5
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Figura 2.11: Coeficient¸ii cn ¸si graficul funct¸iei f ˆın cazul T = 2π, a = π/2.
S3(t) = 3
n=−3
4 sin2(nω0a/2)
n2ω2
0aT
einω0t
¸si S5(t) = 5
n=−5
4 sin2(nω0a/2)
n2ω2
0aT
einω0t
ˆın cazul T = 2π ¸si a = π/2.
5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
2.1.37 Plecând de la orice funct¸ie continu˘a pe port¸iuni
f : [a, b] −→ R
putem considera restrict¸ia ei la un subinterval [α, β] ⊆ [a, b], iar apoi putem
extinde acest˘a restrict¸ie la R prin periodicitate cu perioada T = β − α.
Seria Fourier corespunz˘atoare funct¸iei periodice astfel obt¸inute poate fi

5 5
0.2
0.4
0.6
0.8
determinat˘a utilizˆand formulele prezentate la pag. 40-29. In Fig. 2.14
prezent˘am prelungirea prin periodicitate (perioada T = 3) a restrict¸iei
funct¸iei f(t) = t2 la intervalul [−1, 2] ¸si o sum˘a part¸ial˘a a seriei Fourier.
2.1.38 MATHEMATICA:
In[1]= f[t_] := t^2
alpha = -1; beta = 2; number = 10; T = beta - alpha
Plot[f[t], {t, alpha , beta}, AspectRatio -> 0.7]
Show[{Plot[f[t], {t, alpha , beta}],
Plot[f[t - T], {t, alpha + T, beta + T}],
Plot[f[t + T], {t, alpha - T, beta - T}]}, PlotRange -> All ,
AspectRatio -> 0.3]
a[n_] := (2/T) Integrate[f[t] Cos[2 Pi n t/T], {t, alpha, beta}]
b[n_] := (2/T) Integrate[f[t] Sin[2 Pi n t/T], {t, alpha, beta}]
Phi[t_] = a[0]/2 + Sum[
a[n] Cos[2 Pi n t /T] + b[n] Sin[2 Pi n t/T], {n, 1, number}]
Plot[Phi[t], {t, alpha - T, beta + T}, AspectRatio -> 0.3]
2.1.39 Seria Fourier asociat˘a unei funct¸ii de dou˘a variabile
ϕ : R2
−→ C
periodic˘a cu perioadele (2π, 0) ¸si (0, 2π)
ϕ(α, β) = ϕ(α+2π, β) = ϕ(α, β+2π) oricare ar ﬁ (α, β) ∈ R2
este
∞
n=−∞
∞
m=−∞
cn,m einα
eimβ

Serii Fourier 47
4 2 2 4
1
2
3
4
4 2 2 4
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Figura 2.14: Restrict¸ia funct¸iei f(t) = t2 la [−1, 2] extins˘a prin periodicitate ¸si o
sum˘a Fourier part¸ial˘a.
unde
cn,m =
1
4π2
π
−π
dα
π
−π
dβ ϕ(α, y) e−inα
e−imβ
sau echivalent
cn,m =
1
4π2
2π
0
dα
2π
0
dβ ϕ(α, β) e−inα
e−imβ
.
2.1.40 MATHEMATICA:
In[1]=Plot3D[x^2 y, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}]
Plot3D[FourierSeries[x^2 y, {x, y}, {2, 2}], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}]
Plot3D[FourierSeries[x^2 y, {x, y}, {2, 2}], {x, -3 Pi, 3 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]
2.1.41 Seria Fourier asociat˘a unei funct¸ii de dou˘a variabile
ϕ : R2
−→ C
periodic˘a cu perioadele (T1, 0) ¸si (0, T2)
ϕ(α, β) = ϕ(α+T1, β) = ϕ(α, β+T2) oricare ar ﬁ (α, β) ∈ R2
este

∞
n=−∞
∞
m=−∞
cn,m e
2πi
T1
nα
e
2πi
T2
mβ
unde
cn,m =
1
T1T2
T1
0
dα
T2
0
dβ ϕ(α, β) e
− 2πi
T1
nα
e
− 2πi
T2
mβ
.
2.1.42 Fie a1, a2 ∈ R2 doi vectori liniar independent¸i ¸si T1, T2 ∈ (0, ∞).
Unei funct¸ii periodice
ψ : R2
−→ C
cu perioadele T1a1 ¸si T2a2
ψ(x) = ψ(x + T1a1) = ψ(x + T2aa) oricare ar ﬁ x ∈ R2
ˆıi putem asocia funct¸ia periodic˘a
˜ψ : R2
−→ C, ˜ψ(x1, x2) = ψ(x1a1 + x2a2)
cu perioadele (T1, 0) ¸si (0, T2). Seria Fourier asociat˘a funct¸iei ˜ψ este
∞
k1=−∞
∞
k2=−∞
ck1,k2 e
2πi
T1
k1x1
e
2πi
T2
k2x2
(2.12)
unde
ck1,k2 =
1
T1T2
T1
0
dx1
T2
0
dx2
˜ψ(x1, x2) e
− 2πi
T1
k1x1
e
− 2πi
T2
k2x2
. (2.13)
2.1.43 In R2, unei baze
{a1 = (α1, β1), a2 = (α2, β2)}
ˆıi putem asocia baza
b1 =
β2
α1β2 − α2β1
,
−α2
α1β2 − α2β1
, b2 =
−β1
α1β2 − α2β1
,
α1
α1β2 − α2β1
cu proprietatea
bi, aj = δij (2.14)
numit˘a reciproca bazei {a1, a2}. Din relat¸ia (2.14) rezult˘a
k1b1 + k2b2, x1a1 + x2a2 = k1x1 + k2x2.

Serii Fourier 49
2.1.44 Exercit¸iu. Fie a1, a2 ∈ R2 doi vectori liniar independent¸i ¸si T1, T2 ∈ (0, ∞).
S˘a se determine k ∈ R2 astfel ˆıncât funct¸ia
ϕ : R2
−→ C, ϕ(x) = ei k,x
s˘a fie periodic˘a cu perioadele T1a1 ¸si T2a2.
Rezolvare. C˘aut˘am k de forma
k = q1b1 + q2b2
unde {b1, b2} este reciproca bazei {a1, a2}. Pentru a avea
ei k,x
= ei k,x+T1a1
¸si ei k,x
= ei k,x+T2a2
este necesar ¸si suficient ca
eiq1T1
= 1 ¸si eiq2T2
= 1
adic˘a s˘a aib˘a loc relat¸iile
q1T1 ∈ 2πZ ¸si q2T2 ∈ 2πZ
care se mai pot scrie
q1 ∈ 2π
T1
Z ¸si q2 ∈ 2π
T2
Z.
Funct¸ia ϕ este periodic˘a cu perioadele T1a1 ¸si T2a2 dac˘a ¸si numai dac˘a
k ∈
2π
T1
Zb1 +
2π
T2
Zb2
adic˘a dac˘a ¸si numai dac˘a este de forma
ϕ(x1a1 + x2a2) = e
2πi
T1
k1x1+ 2πi
T2
k2x2
cu k1, k2 ∈ Z.
2.1.45 Utilizând notat¸iile
x=x1a1+x2a2 =(α, β) ¸si R∗
=
2π
T1
Zb1 +
2π
T2
Zb2
seria Fourier (2.12) se poate scrie sub forma
k∈R∗
ck ei k,x
iar formula (2.13) pentru calculul coeficient¸ilor sub forma

ck =
1
aria(C) C
dα dβ ψ(x) e−i k,x
unde C este paralelogramul determinat de vectorii T1a1 ¸si T2a2.
2.2 Aplicat¸ii
2.2.1
2.3 Deﬁnit¸ii ¸si rezultate fundamentale
2.3.1 Teorem˘a. Dac˘a seria
1
2
a0 +
∞
n=1
[an cos nx + bn sin nx]
este uniform convergent˘a ¸si dac˘a suma ei este funct¸ia f : R −→ R atunci
an = 1
π
π
−π f(x) cos nx dx oricare ar fi n ∈ {0, 1, 2, ...}
bn = 1
π
π
−π f(x) sin nx dx oricare ar fi n ∈ {1, 2, 3, ...}.
(2.15)
¸si are loc egalitatea lui Parseval
1
2
a2
0 +
∞
n=1
(a2
n + b2
n) =
1
π
π
−π
f2
(x) dx. (2.16)
Demonstrat¸ie. Fie sk(x) = 1
2 a0 + k
n=1[an cos nx + bn sin nx]. Deoarece
|sk(x) cos nx − f(x) cos nx| = | cos nx| · |sk(x) − f(x)| ≤ |sk(x) − f(x)|
obt¸inem (a se vedea pag. ??-??)
sk
u
−→
R
f =⇒ sk cos nx
u
−→
R
f cos nx =⇒ lim
k→∞
π
−π
sk(x) cos nx dx=
π
−π
f(x) cos nx dx.
Dar conform propriet˘at¸ii de ortogonalitate (pag. ??-??) avem
π
−π
sk(x) cos nx dx=an
π
−π
cos2
nx dx=πan, pentru orice k ≥ n.

Serii Fourier 51
Funct¸ia periodic˘a f cu perioada 2π fiind limita unui ¸sir uniform convergent de funct¸ii
continue este continu˘a ¸si deci m˘arginit˘a. La fel ca mai sus, sk
u
−→
R
f =⇒ sk f
u
−→
R
f2 ¸si
π
−π
f2(x) dx = limk→∞
π
−π
sk(x) f(x) dx
= limk→∞
1
2 a0
π
−π
f(x) dx + k
n=1
π
−π
(an cos nx + bn sin nx)f(x) dx
= limk→∞ π 1
2 a2
0 + k
n=1(a2
n + b2
n) = π 1
2a2
0 + ∞
n=1(a2
n + b2
n) .
2.3.2 Propozit¸ie. Dac˘a f : [−π, π] −→ R este o funct¸ie continu˘a pe port¸iuni ¸si
tn : [−π, π] −→ R, tn(x) =
α0
2
+
n
k=1
(αk cos kx + βk sin kx)
un polinom trigonometric de gradul n atunci cea mai mic˘a valoare a integralei
δ2
n =
π
−π
[f(x) − tn(x)]2
dx (2.17)
se obt¸ine ˆın cazul ˆın care αk ¸si βk sunt coeficient¸ii Fourier (2.15) asociat¸i funct¸iei
f.
Demonstrat¸ie. Utilizând relat¸iile (??) ¸si (2.15) obt¸inem
δ2
n = π
−π f2(x) dx − 2 π
−π f(x) tn(x) dx + π
−π t2
n(x) dx
= π
−π f2(x) dx − α0
π
−π f(x) dx − 2 n
k=1 αk
π
−π f(x) cos kxdx
+βk
π
−π f(x) sin kxdx + π 1
2α2
0 + n
k=1(α2
k + β2
k)
= π
−π f2(x) dx + π 1
2(α2
0 − 2a0α0) + n
k=1(α2
k + β2
k − 2αkak − 2βkbk)
= π
−π f2(x) dx − π 1
2a2
0 + n
k=1(a2
k + b2
k)
+π 1
2(α0 − a0)2 + n
k=1[(αk − ak)2 + (βk − bk)2] .
(2.18)
2.3.3 Teorem˘a. Dac˘a f : [−π, π] −→ R este o funct¸ie continu˘a pe port¸iuni ¸si dac˘a
an, bn sunt coeficient¸ii Fourier asociat¸i funct¸iei f atunci seria ∞
n=1(a2
n + b2
n) este
convergent˘a ¸si are loc inegalitatea lui Bessel
1
2
a2
0 +
∞
n=1
(a2
n + b2
n) ≤
1
π
π
−π
f2
(x) dx.
Demonstrat¸ie. In cazul ˆın care αk = ak ¸si βk = bk, din (2.17) ¸si (2.18) rezult˘a

π
−π
f2
(x) dx − π
1
2
a2
0 +
n
k=1
(a2
k + b2
k) =
π
−π
[f(x) − tn(x)]2
dx ≥ 0
¸si
1
2
a2
0 +
∞
k=1
(a2
k + b2
k) = lim
n→∞
1
2
a2
0 +
n
k=1
(a2
k + b2
k) ≤
1
π
π
−π
f2
(x) dx.
2.3.4 Propozit¸ie. Dac˘a f : [−π, π] −→ R este o funct¸ie continu˘a pe port¸iuni atunci
coeficient¸ii Fourier an, bn asociat¸i funct¸iei f au proprietatea
lim
n→∞
an = 0 , lim
n→∞
bn = 0.
Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezult˘a din convergent¸a seriei ∞
n=1(a2
n + b2
n) ¸si din
0 ≤ |an| ≤ a2
n + b2
n, 0 ≤ |bn| ≤ a2
n + b2
n.
2.3.5 Dac˘a se modific˘a valorile luate de o funct¸ie continu˘a pe port¸iuniˆıntr-un num˘ar
finit de puncte, funct¸ia rezultat˘a r˘amâne continu˘a pe port¸iuni. Are sens s˘a se pun˘a
problema dac˘a o funct¸ie g :[−π, π]→R este sau nu continu˘a pe port¸iuni chiar dac˘a
exist˘a un num˘ar finit de puncte din [−π, π] ˆın care ea nu este definit˘a.
2.3.6 Teorem˘a. Dac˘a f :[−π, π]→R este o funct¸ie continu˘a, derivabil˘a exceptând
eventual un num˘ar finit de puncte, cu derivata f′ continu˘a pe port¸iuni ¸si astfel ˆıncât
f(−π)=f(π) atunci seria Fourier asociat˘a lui f este convergent˘a ¸si suma ei este f
1
2
a0 +
∞
n=1
[an cos nx + bn sin nx] = f(x), oricare ar fi x∈[−π, π].
Demonstrat¸ie. A se vedea [?], pag 120.
2.3.7 Fie f : [−π, π] −→ R o funct¸ie continu˘a pe port¸iuni. Dac˘a modific˘am valorile
pe care le ia f ˆıntr-un num˘ar finit de puncte din [−π, π] seria Fourier asociat˘a nu se
modific˘a. F˘ar˘a a restrânge generalitatea, vom considera doar funct¸ii cu proprietatea
f(−π)=f(π). Orice astfel de funct¸ie este restrict¸ia la [−π, π] a unei funct¸ii f :R−→R
periodice cu perioada 2π (pentru care am p˘astrat aceea¸si notat¸ie).
2.3.8 Teorem˘a. Dac˘a f : [−π, π] → R este o funct¸ie continu˘a, derivabil˘a ˆın inter-
valele de continuitate ¸si cu derivata f′ continu˘a pe port¸iuni atunci seria Fourier
asociat˘a lui f este convergent˘a ˆın orice punct ¸si

Serii Fourier 53
1
2
a0 +
∞
n=1
[an cos nx + bn sin nx] =
f(x−) + f(x+)
2
, oricare ar fi x∈R.
Demonstrat¸ie. A se vedea [?], pag 118.
2.3.9 Dac˘a funct¸ia f este continu˘a ˆın punctul x atunci f(x−)+f(x+)
2 = f(x).
2.3.10 Teorem˘a (A doua teorem˘a de aproximare a lui Weierstrass).
Orice funct¸ie continu˘a f : R −→ R, periodic˘a de perioad˘a 2π este
limita unui ¸sir uniform convergent de polinoame trigonometrice.
Demonstrat¸ie. A se vedea [?], vol.2, pag 119.
2.3.11 Aplicat¸ia
ϕ : [−π, π] −→ [a, b], ϕ(t) =
a + b
2
+
b − a
2π
t
este bijectiv˘a ¸si inversa ei este
ϕ−1
: [a, b] −→ [−π, π], ϕ−1
(x) =
π
b − a
(2x − a − b).
Fiecare funct¸ie f : [a, b] −→ R cu f(a) = f(b) se poate prelungi prin periodicitate
cu perioada (b − a) pˆan˘a la o funct¸ie f : R −→ R ¸si f = (f ◦ ϕ) ◦ ϕ−1, unde
f ◦ ϕ : [−π, π] −→ R, (f ◦ ϕ)(t) = f
a + b
2
+
b − a
2π
t
este o funct¸ie periodic˘a cu perioada 2π. Seria Fourier corespunz˘atoare lui f ◦ ϕ este
1
2
a0 +
∞
n=1
[an cos nt + bn sin nt] (2.19)
unde
an = 1
π
π
−π
f a+b
2 + b−a
2π t cos nt dx = 2
b−a
b
a
f(x) cos nπ
b−a (2x−a−b)dx
bn = 1
π
π
−π
f a+b
2 + b−a
2π t sin nt dx = 2
b−a
b
a
f(x) sin nπ
b−a (2x−a−b)dx
Deoarece f = (f ◦ϕ)◦ϕ−1 efectuˆandˆın (2.19) substitut¸ia t = π
b−a (2x−a−b) obt¸inem
seria Fourier corespunz˘atoare lui f
1
2
a0 +
∞
n=1
an cos
nπ
b − a
(2x−a−b) + bn sin
nπ
b − a
(2x−a−b) .

2.3.12 Notat¸ie. Vom scrie
ϕ(t) ↔ cn ˆın loc de coeﬁcient¸ii Fourier ai funct¸iei ϕ(t) sunt cn.
ϕ(t) ↔ ϕn
ψ(t) ↔ ψn
=⇒ αϕ(t) + βψ(t) ↔ αϕn + βψn.
Demonstrat¸ie. Aﬁrmat¸ia rezult˘a din relat¸ia
T/2
−T/2
(αϕ(t) + βψ(t))e−inω0t
dt = α
T/2
−T/2
ϕ(t) e−inω0t
dt + β
T/2
−T/2
ψ(t) e−inω0t
dt.
ϕ(t) ↔ cn =⇒
ϕ(t) ↔ c−n
ϕ(t−t0) ↔ e−inω0t0 cn
ϕ(−t) ↔ c−n
54

Capitolul 3
Transformarea Fourier discret˘a
3.1 Definit¸ie ¸si exemple
3.1.1 Definit¸ie. Spunem despre o funct¸ie de variabil˘a discret˘a
ϕ : Z −→ C
c˘a este periodic˘a cu perioada N dac˘a
ϕ(n+N) = ϕ(n) oricare ar fi n∈Z.
3.1.2 Oricare ar fi k∈{0, 1, ..., N −1}, funct¸ia exponent¸ial˘a
Z −→ C : n → e
2πi
N
kn
este o funct¸ie periodic˘a cu perioada N deoarece
e
2πi
N
k(n+N)
= e
2πi
N
kn
e2kπi
= e
2πi
N
kn
.
Am utilizat relat¸ia
e2kπi
= cos 2kπ + i sin 2kπ = 1.
3.1.3 Orice funct¸ie
ϕ : {0, 1, ..., N −1} −→ C
se poate prelungi prin periodicitate pân˘a la o funct¸ie periodic˘a
ϕ : Z −→ C
55

cu perioada N ¸si orice funct¸ie periodic˘a ϕ : Z −→ C cu perioada N este
complet determinat˘a de restrict¸ia ei la mult¸imea {0, 1, ..., N −1}, adic˘a
de numerele ϕ(0), ϕ(1), ... ϕ(N −1). Deoarece
... =ϕ(n−2N)=ϕ(n−N)=ϕ(n)=ϕ(n+N)=ϕ(n+2N)= ...
funct¸ia ϕ poate fi considerat˘a ca fiind definit˘a pe mult¸imea ZN a claselor de
resturi modulo N pentru care {0, 1, ..., N−1} este un sistem de reprezentant¸i,
adic˘a putem considera c˘a
ϕ : ZN −→ C.
3.1.4 Teorem˘a. Dac˘a ϕ : Z −→ C este funct¸ie periodic˘a cu perioada N atunci
ϕ(n) = 1
N
N−1
k=0
e
2πi
N
nk
N−1
m=0
e− 2πi
N
km
ϕ(m)
ϕ(n) = 1
N
N−1
k=0
e− 2πi
N
nk
N−1
m=0
e
2πi
N
km
ϕ(m).
(3.1)
Demonstrat¸ie. Din formula (suma seriei geometrice)
N−1
m=0
qm
= 1 + q + q2
+ · · · + qN−1
=



N dac˘a q = 1
1−qN
1−q dac˘a q = 1
rezult˘a relat¸ia
N−1
m=0
e
2πi
N
m(n−k)
=
N−1
m=0
e
2πi
N
(n−k)
m
=
N dac˘a k ≡ n (modulo N)
0 dac˘a k ≡ n (modulo N)
care conduce la
1
N
N−1
m=0
e
2πi
N
nm
N−1
k=0
e− 2πi
N
mk
ϕ(k)= 1
N
N−1
k=0
N−1
m=0
e
2πi
N
m(n−k)
ϕ(k)=ϕ(n).
3.1.5 S¸tim c˘a orice funct¸ie periodic˘a continu˘a f : R −→ C cu perioada T
f(t+T) = f(t) oricare ar fi t∈R
neted˘a pe port¸iuni este dezvoltabil˘a ˆın serie Fourier
f(t) =
∞
k=−∞
ck e
2πi
T
kt
cu ck =
1
T
T
0
e− 2πi
T
kt
f(t) dt. (3.2)
Din (3.1) rezult˘a c˘a ϕ:Z−→C periodic˘a cu perioada N admite reprezentarea

Transformarea Fourier discret˘a 57
ϕ(n) =
N−1
k=0
ck e
2πi
N
nk
cu ck =
1
N
N−1
m=0
e− 2πi
N
km
ϕ(m). (3.3)
3.1.6 Deﬁnit¸ie. Transformata Fourier a funct¸iei periodice
ϕ : Z −→ C
cu perioada N este funct¸ia
F[ϕ] : Z −→ C, F[ϕ](k) =
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
ϕ(n). (3.4)
Transformata Fourier invers˘a a lui ϕ este funct¸ia
F−1
[ϕ] : Z −→ C, F−1
[ϕ](k) =
1
N
N−1
n=0
e
2πi
N
kn
ϕ(n). (3.5)
3.1.7 Alte deﬁnit¸ii alternative utilizate ˆın literatur˘a sunt
F[ϕ](k) =
N−1
n=0
e
2πi
N
kn
ϕ(n) cu F−1[ϕ](k) = 1
N
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
ϕ(n)
F[ϕ](k) = 1√
N
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
ϕ(n) cu F−1[ϕ](k) = 1√
N
N−1
n=0
e
2πi
N
kn
ϕ(n).
3.1.8 Transformatele Fourier F[ϕ] ¸si F−1[ϕ] sunt funct¸ii periodice cu perioada N
F[ϕ](k+N)=F[ϕ](k), F−1
[ϕ](k+N)=F−1
[ϕ](k)
¸si din teorema prezentat˘a la pag. 56-4 rezult˘a c˘a
F[F−1
[ϕ]] = ϕ, F−1
[F[ϕ]] = ϕ.
3.1.9 In cazul N =2, transformata Fourier a unei funct¸ii
ϕ : {0, 1} −→ C
este funct¸ia
F[ϕ] : {0, 1} −→ C, F[ϕ](k) =
1
n=0
e− 2πi
2
kn
ϕ(n) =
1
n=0
(−1)kn
ϕ(n)
adic˘a avem
F[ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1)
F[ϕ](1) = ϕ(0) − ϕ(1).

3.1.10 In cazul N =3 avem
e− 2πi
3
kn
= e− 2πi
3
kn
=



1 dac˘a kn∈3Z
−1
2 − i
√
3
2 dac˘a kn∈3Z+1
−1
2 + i
√
3
2 dac˘a kn∈3Z+1
¸si prin urmare transformata Fourier a unei funct¸ii
ϕ : {0, 1, 2} −→ C
este funct¸ia
F[ϕ] : {0, 1, 2} −→ C, F[ϕ](k) =
2
n=0
e− 2πi
3
kn
ϕ(n)
adic˘a avem
F[ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1) + ϕ(2)
F[ϕ](1) = ϕ(0) + −1
2 − i
√
3
2 ϕ(1) + −1
2 + i
√
3
2 ϕ(2)
F[ϕ](2) = ϕ(0) + −1
2 + i
√
3
2 ϕ(1) − −1
2 + i
√
3
2 ϕ(2).
Ultimele relat¸ii se mai pot scrie



F[ϕ](0)
F[ϕ](1)
F[ϕ](2)


 =




1 1 1
1 −1
2 − i
√
3
2 −1
2 + i
√
3
2
1 −1
2 + i
√
3
2 −1
2 − i
√
3
2







ϕ(0)
ϕ(1)
ϕ(2)


 .
3.1.11 In cazul N =4, transformata Fourier a unei funct¸ii
ϕ : {0, 1, 2, 3} −→ C
este funct¸ia
F[ϕ] : {0, 1, 2, 3} −→ C, F[ϕ](k)=
3
n=0
e− 2πi
4
kn
ϕ(n) =
3
n=0
(−i)kn
ϕ(n)
adic˘a avem
F[ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3)
F[ϕ](1) = ϕ(0) − iϕ(1) − ϕ(2) + iϕ(3)
F[ϕ](2) = ϕ(0) − ϕ(1) + ϕ(2) − ϕ(3)
F[ϕ](3) = ϕ(0) + iϕ(1) − ϕ(2) − iϕ(3).

3.1.12 In relat¸iile (3.4) ¸si (3.5) putem considera c˘a n parcurge mult¸imea ZN
a claselor de resturi modulo N. Astfel, transformata Fourier a funct¸iei
ϕ : ZN −→ C
este funct¸ia
F[ϕ] : ZN −→ C, F[ϕ](k)=
n∈ZN
e− 2πi
N
kn
ϕ(n)
iar transformata Fourier invers˘a a lui ϕ este funct¸ia
F−1
[ϕ] : ZN −→ C, F−1
[ϕ](k)=
1
N n∈ZN
e
2πi
N
kn
ϕ(n).
De exemplu, ˆın cazul ˆın care N =2M +1 este impar, mult¸imea
{−M, −M +1, ..., M −1, M}
este sistem de reprezentant¸i pentru ZN ¸si prin urmare
F[ϕ](k)=
M
n=−M
e− 2πi
N
kn
ϕ(n) F−1[ϕ](k)= 1
N
M
n=−M
e
2πi
N
kn
ϕ(n).
In acest caz relat¸iile (3.1) devin
ϕ(n) = 1
N
M
k=−M
e
2πi
N
nk
m∈ZN
e− 2πi
N
km
ϕ(m)
ϕ(n) = 1
N
M
k=−M
e− 2πi
N
nk
m∈ZN
e
2πi
N
km
ϕ(m).
(3.6)
3.1.13 Funct¸ia ϕ poate fi aproximat˘a utilizând funct¸ii de forma
ϕL(n) = 1
N
L
k=−L
e
2πi
N
nk
m∈ZN
e− 2πi
N
km
ϕ(m) (3.7)
cu L∈{1, 2, ...} ales astfel ˆıncât 2L+1 < N. Dac˘a ϕ este funct¸ie real˘a atunci
utilizând schimbarea k → −k obt¸inem relat¸ia
ϕL(n) = 1
N
L
k=−L
e
2πi
N
nk
m∈ZN
e− 2πi
N
km
ϕ(m)
= 1
N
L
k=−L
e− 2πi
N
nk
m∈ZN
e
2πi
N
km
ϕ(m) = ϕL(n)
care arat˘a c˘a ϕL este funct¸ie real˘a. In figura 3.1 prezent˘am funct¸ia periodic˘a
ϕ : Z −→ R

cu perioada N =20 definit˘a prin
ϕ(n) = (n/10)2
pentru − 10 ≤ n ≤ 9
¸si funct¸ia periodic˘a
ϕ3 =
1
20
3
k=−3
e
2πi
20
nk
9
m=−10
e− 2πi
20
km
ϕ(m).
30 20 10 10 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
30 20 10 10 20 30
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 3.1: Funct¸iile ϕ ¸si ϕ3.
3.1.14 Spat¸iul funct¸iilor periodice ϕ : Z −→ C cu perioada N se poate identifica cu
CN asociind funct¸iei ϕ elementul (x0, ..., xN−1) = (ϕ(0), ..., ϕ(N −1))∈CN .
Transformarea Fourier poate fi considerat˘a ca fiind operatorul liniar
F :CN
−→CN
: x=(x0, x1, ..., xN−1) → F[x]=(F[x]0, F[x]1, ..., F[x]N−1)
unde
F[x]k =
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
xn.
Transformarea invers˘a este
F−1
[x]k =
1
N
N−1
n=0
e
2πi
N
kn
xn.

3.1.15 Exercit¸iu. Fie m∈{0, 1, ..., N −1} ﬁxat ¸si funct¸ia delta discret˘a
δm : {0, 1, ..., N −1} −→ C, δm(n) =
1 dac˘a n=m
0 dac˘a n=m.
S˘a se determine F[δm].
Rezolvare. Avem
F[δn0 ](k) =
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
δm(n) = e− 2πi
N
km
.
In particular, scriind δ ˆın loc de δ0, avem
F[δ](k) = 1,
F[δ1](k) = e− 2πi
N
k
,
F[δ2](k) = e− 4πi
N
k
, etc.
20 10 10 20
1.0
0.5
0.5
1.0
20 10 10 20
1.0
0.5
0.5
1.0
20 10 10 20
0.5
0.5
Figura 3.2: Funct¸ia δ3, partea real˘a (stˆanga) ¸si partea imaginar˘a a transformatei
Fourier F[δ3] ˆın cazul N =10.
3.1.16 Exercit¸iu. S˘a se calculeze transformata Fourier a funct¸iei
ϕ : {0, 1, ..., N −1} −→ C, ϕ(n) = an

unde a∈C este fixat.
Rezolvare. Utilizând formula (suma progresiei geometrice)
N−1
m=0
qm
= 1 + q + q2
+ · · · + qN−1
=



N dac˘a q = 1
1−qN
1−q dac˘a q = 1
obt¸inem
F[ϕ](k)=
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
an
=
N−1
n=0
a e− 2πi
N
k
n
=



N dac˘a a=e
2πi
N
k
1−aN
1−a e
− 2πi
N
k
dac˘a a=e
2πi
N
k
.
3.1.17 Exercit¸iu. Fie funct¸ia
ϕ : {0, 1, ..., N −1} −→ C, ϕ(n) = Cn
N−1.
S˘a se calculeze F[ϕ].
Rezolvare. Utilizând formula (binomul lui Newton)
(a + b)m
=
m
n=0
Cn
m am−n
bn
obt¸inem
F[ϕ](k)=
N−1
n=0
Cn
N−1e− 2πi
N
kn
= 1 + e− 2πi
N
k
N−1
.
3.1.18 Dac˘a funct¸ia real˘a
ϕ : {−M, −M +1, ..., M −1, M} −→ R
este par˘a
ϕ(−n) = ϕ(n)
atunci, utilizând schimbarea n → −n, obt¸inem
F[ϕ](k) =
M
n=−M
e− 2πi
N
kn
ϕ(n)=
M
n=−M
e
2πi
N
kn
ϕ(−n)
=
M
n=−M
e
2πi
N
kn
ϕ(n) = F[ϕ](k)
adic˘a transformata Fourier F[ϕ] este funct¸ie real˘a.
3.1.19 Mathematica + figure ..............

3.2 Transformarea Fourier rapid˘a
3.2.1 S¸tim c˘a ˆın cazul N =2, transformata Fourier a unei funct¸ii
ϕ : {0, 1} −→ C
este funct¸ia
F[ϕ] : {0, 1} −→ C,
F[ϕ](0) = ϕ(0) + ϕ(1)
F[ϕ](1) = ϕ(0) − ϕ(1).
3.2.2 In cazul ˆın care perioada este un num˘ar par 2N, unei funct¸ii
ϕ : {0, 1, ..., 2N −1} −→ C
ˆıi putem asocia funct¸iile
ϕpar : {0, 1, ..., N −1} −→ C, ϕpar(n) = ϕ(2n)
ϕimpar : {0, 1, ..., N −1} −→ C, ϕimpar(n) = ϕ(2n+1)
¸si avem
F[ϕ](k) =
2N−1
n=0
e− 2πi
2N
kn
ϕ(n)
=
N−1
m=0
e− 2πi
2N
k 2m
ϕ(2m) +
N−1
m=0
e− 2πi
2N
k (2m+1)
ϕ(2m + 1)
=
N−1
m=0
e− 2πi
N
k m
ϕpar(m) + e− πi
N
k
N−1
m=0
e− 2πi
N
k m
ϕimpar(m)
=



F[ϕpar](k) + e− πi
N
k
F[ϕimpar](k) dac˘a k∈{0, 1, ..., N −1}
F[ϕpar](k−N)+e− πi
N
k
F[ϕimpar](k−N) dac˘a k∈{N, N +1, ..., 2N −1}.
Utilizând formula obt¸inut˘a, calculul transformatelor Fourier ale funct¸iilor de forma
ϕ : {0, 1, ..., 2N
−1} −→ C
se poate reduce succesiv pân˘a la calculul transformatelor unor funct¸ii de forma
ψ : {0, 1} −→ C.
Aceast˘a metod˘a de calcul foarte eficient˘a este numit˘a transformarea Fourier rapid˘a.

3.2.3 Calculul transformatei Fourier a unei funct¸ii
ϕ : {0, 1, 2, 3} −→ C
se poate reduce la calculul transformatelor Fourier ale funct¸iilor
ϕpar : {0, 1} −→ C, ϕpar(n) = ϕ(2n)
ϕimpar : {0, 1} −→ C, ϕimpar(n) = ϕ(2n+1)
Avem
F[ϕ](k) =



F[ϕpar](k) + e− πi
2
k
F[ϕimpar](k) dac˘a k∈{0, 1}
F[ϕpar](k−2)+e− πi
2
k
F[ϕimpar](k−2) dac˘a k∈{2, 3}
=



ϕ(0) + ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3) dac˘a k=0
ϕ(0) − iϕ(1) − ϕ(2) + iϕ(3) dac˘a k=1
ϕ(0) − ϕ(1) + ϕ(2) − ϕ(3) dac˘a k=2
ϕ(0) + iϕ(1) − ϕ(2) − iϕ(3) dac˘a k=3.
3.2.4 In cazul unei funct¸ii de forma
ϕ : {0, 1, 2, ..., 23
− 1} −→ C
funct¸iilor
ϕpar : {0, 1, 2, 3} −→ C, ϕpar(n) = ϕ(2n)
ϕimpar : {0, 1, 2, 3} −→ C, ϕimpar(n) = ϕ(2n+1)
li se poate aplica direct formula obt¸inut˘a la punctul anterior.
3.3 Propriet˘at¸i ale transform˘arii Fourier
3.3.1
3.4 Funct¸ii proprii ale transform˘arii Fourier
3.4.1 Pe parcursul acestei sect¸iuni vom utiliza pentru transformarea Fourier deﬁnit¸ia
F[ϕ](k) = 1√
N
N−1
n=0
e− 2πi
N
kn
ϕ(n) cu F−1[ϕ](k) = 1√
N
N−1
n=0
e
2πi
N
kn
ϕ(n).

3.5 Transformarea Fourier bidimensional˘a
3.5.1 Fie N1, N2 ∈{2, 3, 4, ...}. Dac˘a k1, k2 ∈Z atunci funct¸ia
ϕ : Z × Z −→ C, ϕ(n1, n2)=e
2πi
N1
k1n1
e
2πi
N2
k2n2
(3.8)
este o funct¸ie periodic˘a cu perioadele (N1, 0) ¸si (0, N2), adic˘a
ϕ(n1, n2)=ϕ(n1+N1, n2)=ϕ(n1, n2+N2), ∀(n1, n2)∈Z×Z. (3.9)
Dac˘aˆın (3.8)ˆınlocuim k1 cu k1+N1 sau k2+N2 atunci funct¸ia ϕ nu se schimb˘a.
Dintre funct¸iile (3.8) doar N1N2 sunt distincte ¸si ele pot fi descrise utilizând
clase de resturi ca fiind cele corespunz˘atoare lui (k1, k2)∈ZN1 ×ZN2 .
Un sistem de reprezentant¸i pentru ZN1×ZN2 este {0, ..., N1−1}×{0, ..., N2−1}.
3.5.2 Funct¸iile periodice
ϕ : Z × Z −→ C
cu perioadele (N1, 0) ¸si (0, N2) se pot identifica cu funct¸iile
ϕ : {0, 1, ..., N1 −1} × {0, 1, ..., N2 −1} −→ C
iar ˆın cazul ˆın care N1 = 2M1+1 ¸si N2 = 2M2 +1 sunt impare cu
ϕ : {−M1, −M1+1, ..., M1} × {−M2, −M2+1, ..., M2} −→ C.
Din relat¸ia (3.9) rezult˘a c˘a putem considera ϕ definit˘a pe ZN1 ×ZN2 , adic˘a
ϕ : ZN1 × ZN2 −→ C.
3.5.3 Teorem˘a.
Dac˘a ϕ : Z×Z −→ C este periodic˘a cu perioadele (N1, 0) ¸si (0, N2) atunci
ϕ(n1, n2)= 1
N1N2
N1−1
k1=0
N2−1
k2=0
e
2πi
N1
n1k1
e
2πi
N2
n2k2
N1−1
m1=0
N2−1
m2=0
e
− 2πi
N1
k1m1
e
− 2πi
N2
k2m2
ϕ(m1, m2)
ϕ(n1, n2)= 1
N1N2
N1−1
k1=0
N2−1
k2=0
e
− 2πi
N1
n1k1
e
− 2πi
N2
n2k2
N1−1
m1=0
N2−1
m2=0
e
2πi
N1
k1m1
e
2πi
N2
k2m2
ϕ(m1, m2).
Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezult˘a direct din teorema prezentat˘a la pag. 56-4.

3.5.4 Definit¸ie.
Transformata Fourier a funct¸iei periodice
ϕ : Z×Z −→ C
cu perioadele (N1, 0) ¸si (0, N2) este funct¸ia
F[ϕ] : Z×Z −→ C, F[ϕ](k1, k2) =
N1−1
n1=0
N2−1
n2=0
e
− 2πi
N1
k1n1
e
− 2πi
N2
k2n2
ϕ(n1, n2).
Transformata Fourier invers˘a a lui ϕ este funct¸ia
F−1
[ϕ] : Z×Z −→ C, F−1
[ϕ](k1, k2)=
1
N1N2
N1−1
n1=0
N2−1
n2=0
e
2πi
N1
k1n1
e
2πi
N2
k2n2
ϕ(n1, n2).
3.5.5 Transformatele Fourier ale funct¸iilor periodice cu perioadele (N1, 0) ¸si (0, N2)
sunt funct¸ii periodice cu acelea¸si perioade ¸si
F[F−1
[ϕ]] = ϕ ¸si F−1
[F[ϕ]] = ϕ.
Astfel, transformata Fourier a funct¸iei
ϕ : ZN1 ×ZN2 −→ C
este funct¸ia F[ϕ] : ZN1 ×ZN2 −→ C definit˘a prin relat¸ia
F[ϕ](k1, k2) =
n1∈ZN1
n2∈ZN2
e
− 2πi
N1
k1n1
e
− 2πi
N2
k2n2
ϕ(n1, n2)
iar transformata Fourier invers˘a funct¸ia F−1[ϕ] : ZN1 ×ZN2 −→ C,
F−1
[ϕ](k1, k2)=
1
N1N2 n1∈ZN1
n2∈ZN2
e
2πi
N1
k1n1
e
2πi
N2
k2n2
ϕ(n1, n2).
3.5.6 Relat¸iile din teorema prezentat˘a la pag. 65-3 permit reobt¸inerea exact˘a sau
aproximativ˘a a unei funct¸ii din transformata ei Fourier. In figura ?? prezent˘am ˆın
diverse reprezentari grafice funct¸iile
f, g : {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} × {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} −→ R
definite prin
f(n1, n2) =
|n1n2|
n2
1 + n2
2 + 1
¸si

2
0
2
4
2
0
2
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
0
2
4
2
0
2
4
0.0
0.2
0.4
2
0
2 4
2
0
2
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
0
2 4
2
0
2
4
0.0
0.2
0.4
Figura 3.3: Funct¸iile f (stˆanga) ¸si g (dreapta) ˆın diverse reprezent˘ari graﬁce.
g(n1, n2)= 1
12
2
k1=−2
2
k2=−2
e
2πi
7
n1k1
e
2πi
9
n2k2
3
m1=−3
4
m2=−4
e− 2πi
7
k1m1
e− 2πi
9
k2m2
f(m1, m2).
3.5.7 MATHEMATICA:

In[1]= M1 = 3; M2 = 4; N1 = 2 M1 + 1; N2 = 2 M2 + 1
f[n_, k_] := N[Abs[n k]/(n^2 + k^2 + 1)]
Ff[n_, k_] := N[(1/(N1 N2)) Sum[Exp[2 Pi I a n/N1]
Exp[2 Pi I b k/N2] f[a, b], {a,-M1, M1}, {b,-M2, M2}]]
g[n_, k_] := N[Re[Sum[Ff[a, b] Exp[-2 Pi I a n/N1]
Exp[-2 Pi I b k/N2], {a,-2,2}, {b,-2, 2}]]]
DiscretePlot3D[f[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}]
DiscretePlot3D[g[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}]
DiscretePlot3D[f[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}, ExtentSize -> Full]
DiscretePlot3D[g[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}, ExtentSize -> Full]
Image[Table[f[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}] ]
Image[Table[g[n, k], {n, -M1, M1}, {k, -M2, M2}] ]
3.5.8 Fie a1, a2 ∈R2 doi vectori liniar independent¸i, N1, N2 ∈{2, 3, ...} ¸si
R = Za1+Za2 = { n1a1 + n2a2 | n1, n2 ∈ Z }
ret¸eaua Bravais cu baza {a1, a2}. O funct¸ie periodic˘a
ϕ : R −→ C
cu perioadele N1a1 ¸si N2a2 poate fi considerat˘a ca fiind o funct¸ie
ϕ : ˜R −→ C
definit˘a pe mult¸imea cu N1N2 elemente
˜R = ZN1 a1+ZN2 a2.
Funct¸iei ϕ ˆıi putem asocia funct¸ia periodic˘a
˜ϕ : ZN1 ×ZN2 −→ C, ˜ϕ(n1, n2)=ϕ(n1a1+n2a2)
cu transformata Fourier F[ ˜ϕ] : ZN1 ×ZN2 −→ C,
F[ ˜ϕ](k1, k2) =
n1∈ZN1
n2∈ZN2
e
− 2πi
N1
k1n1
e
− 2πi
N2
k2n2
˜ϕ(n1, n2). (3.10)
3.5.9 Dac˘a {b1, b2} este reciproca bazei {a1, a2} atunci
n = n1a1 + n2a2
k = 2π
N1
k1b1+ 2π
N2
k2b2
=⇒ k, n = 2π
N1
k1n1+ 2π
N2
k2n2.
S¸tim (vezi pag. 49-44) c˘a funct¸ia

ϕ : R2
−→ C, ϕ(x) = ei k,x
este periodic˘a cu perioadele N1a1 ¸si N2a2 dac˘a ¸si numai dac˘a
k ∈ 2π
N1
Zb1 + 2π
N2
Zb2
adic˘a dac˘a ¸si numai dac˘a este de forma
ϕ(x1a1 + x2a2) = e
2πi
N1
k1x1+ 2πi
N2
k2x2
cu k1, k2 ∈ Z.
Din relat¸ia (3.10) rezult˘a c˘a transformata Fourier a funct¸iei
ϕ : ˜R −→ C
se poate defini ca fiind funct¸ia
F[ϕ] : ˜R∗
−→ C, F[ϕ](k) =
n∈ ˜R
e−i k,n
ϕ(n)
definit˘a pe mult¸imea ˜R∗ cu N1N2 elemente
˜R∗
=
2π
N1
ZN1 b1 +
2π
N2
ZN2 b2.
care se poate obt¸ine din ret¸eaua Bravais
R∗
=
2π
N1
Zb1 +
2π
N2
Zb2
identificând punctele 2πi
N1
k1b1+ 2πi
N2
k2b2 ¸si 2πi
N1
k′
1b1+ 2πi
N2
k′
2b2 ˆın cazul ˆın care
k1−k′
1 este multiplu de N1 ¸si k2−k′
2 este multiplu de N2.
3.5.10 Dou˘a puncte ale planului (α1, β1) ¸si (α2, β2) sunt numite echivalente dac˘a
(α1−α2, β1−β2)∈2πZb1 +2πZb2. Relat¸ia astfel definit˘a este o relat¸ie de
echivalent¸˘a care permite ˆımp˘art¸irea mult¸imii punctelor planului ˆın clase
de echivalent¸˘a. Celula elementar˘a
{ 2παb1 + 2πβb2 | α, β ∈ [0, 1) }
contine un reprezentant al fiec˘arei clase de echivalent¸˘a ¸si numai unul.
Se ¸stie c˘a mediatoarea unui segment AB este format˘a din toate punctele egal
dep˘artate de A ¸si B. Mediatoarea ˆımparte planul ˆın dou˘a semiplane. Unul
dintre ele cont¸ine punctele mai apropiate de A iar cel˘alalt punctele mai
apropiate de B. In ret¸eaua Bravais 2πZb1 + 2πZb2, ducând mediatoarele
segmentelor ce unesc (0, 0) cu puncte ale ret¸elei putem determina poligonul

B0 care cont¸ine punctele mai apropiate de (0, 0) decât de oricare alt punct
al ret¸elei. Ad˘augând mult¸imii B0 anumite p˘art¸i ale frontierei sale se poate
obt¸ine o mult¸ime B care cont¸ine un reprezentant al fiec˘arei clase de
echivalent¸˘a ¸si numai unul, numit˘a prima zon˘a Brillouin.
3.5.11 Un sistem de reprezentant¸i pentru elementele lui ˜R∗ este
2π
N1
k1b1+
2π
N2
k2b2 k1 ∈{0, 1, ..., N1 −1}, k2 ∈{0, 1, ..., N2 −1} .
Un alt sistem de reprezentant¸i este
B ∩ 2π
N1
Zb1 + 2π
N2
Zb2
adic˘a mult¸imea punctelor de forma 2π
N1
k1b1+2π
N2
k2b2 din prima zon˘a Brillouin.
3.6 Aplicat¸ii
3.6.1 E¸santionare.
3.6.2 Teorem˘a (Shannon)
3.7.1 S¸tim c˘a orice funct¸ie periodic˘a continu˘a
f : R −→ C
cu perioada T
f(t+T) = f(t) oricare ar fi t∈R
neted˘a pe port¸iuni este dezvoltabil˘a ˆın serie Fourier
f(t) =
∞
n=−∞
cn e
2πi
T
nt
(3.11)
cu
cn =
1
T
T/2
−T/2
f(t)e− 2πi
T
nt
dt =
1
T
T
0
f(t) e− 2πi
T
nt
dt.

3.7.2 Relat¸ia (3.11) se mai poate scrie
1
T
∞
n=−∞
e
2πi
T
nt
T
0
f(t) e− 2πi
T
nt
dt = f(t). (3.12)
3.7.3 In aplicat¸ii, funct¸ia f este determinat˘a “experimental” ¸si se cunosc valorile
doar in anumite puncte t∈[0, T]. Admit¸ând c˘a ¸stim doar valorile
f(0), f T
N , f 2 T
N , ... f (N −1) T
N
unde N este un ˆıntreg pozitiv fixat, putem aproxima integrala
T
0
f(t) e− 2πi
T
nt
dt
cu suma Riemann
N−1
k=0
(k+1) T
N − k T
N f k T
N e− 2πi
T
nk T
N = T
N
N−1
k=0
e− 2πi
N
nk
f k T
N .
Avem
cn = limN→∞
T
N
N−1
k=0
e− 2πi
N
nk
f k T
N
dar pentru N fixat, aproximarea
cn ≈
1
N
N−1
k=0
e− 2πi
N
nk
f k
T
N
ar conduce la
cn+N ≈
1
N
N−1
k=0
e− 2πi
N
(n+N)k
f k
T
N
=
1
N
N−1
k=0
e− 2πi
N
nk
f k
T
N
≈ cn
ˆın contradict¸ie cu
lim
n→±∞
cn = 0.
3.7.4 Utilizând formula (suma seriei geometrice)
N−1
m=0
qm
= 1 + q + q2
+ · · · + qN−1
=



N dac˘a q = 1
1−qN
1−q dac˘a q = 1
obt¸inem ˆıns˘a relat¸ia
1
N
N−1
m=0
e
2πi
N
nm
N−1
k=0
e− 2πi
N
mk
f k
T
N
= f n
T
N
(3.13)

oricare ar fi n∈{0, 1, 2, ..., N − 1}. Intr-adev˘ar,
N−1
m=0
e
2πi
N
m(n−k)
=
N−1
m=0
e
2πi
N
(n−k)
m
=
N dac˘a k = n
0 dac˘a k = n.
¸si prin urmare
1
N
N−1
m=0
e
2πi
N
nm
N−1
k=0
e− 2πi
N
mk
f k T
N = 1
N
N−1
k=0
N−1
m=0
e
2πi
N
m(n−k)
f k T
N =f n T
N .
3.7.5 O funct¸ie ϕ : Z −→ C periodic˘a cu perioada N este complet determinat˘a de
restrict¸ia ei la mult¸imea {0, 1, ..., N −1}, adic˘a de
(ϕ(0), ϕ(1), ..., ϕ(N −1))∈CN
.
Invers, (x0, x1, ..., xN−1)∈CN corespunde funct¸iei periodice ϕ : Z −→ C cu
ϕ(0) = x0, ϕ(1) = x1, ... ϕ(N −1) = xN−1.
Spat¸iul funct¸iilor ϕ : Z → C periodice cu perioada N se poate identifica cu CN .
3.7.6 Teorem˘a. Fie d∈{2, 3, ...}. Transformarea Fourier finit˘a
F :Cd
−→Cd
:(x0, x1, ..., xd−1)→(y0, y1, ..., yd−1), yk =
1
√
d
d−1
n=0
e
2πi
d
kn
xn
este unitar˘a ¸si inversa ei este
F−1
:Cd
−→Cd
:(y0, y1, ..., yd−1)→(x0, x1, ..., xd−1), xn =
1
√
d
d−1
k=0
e− 2πi
d
kn
yk.
Demonstrat¸ie. Matricea ˆın raport cu baza canonic˘a
F =
1
√
d









1 1 1 · · · 1
1 e
2πi
d e
2πi
d
2
· · · e
2πi
d
(d−1)
1 e
2πi
d
2
e
2πi
d
4
· · · e
2πi
d
2(d−1)
...
...
...
...
...
1 e
2πi
d
(d−1)
e
2πi
d
2(d−1)
· · · e
2πi
d
(d−1)2









este o matrice unitar˘a deoarece
1
d
d−1
n=0
e
2πi
d
kn
e− 2πi
d
mn
=
1
d
d−1
n=0
e
2πi
d
(k−m)n
= δkm =
1 dac˘a k=m (modulo d)
0 dac˘a k=m (modulo d).

3.7.7 In cazul unui spat¸iu Hilbert d-dimensional este convenabil uneori sa index˘am
coordonatele folosind inelul Zd al claselor de resturi modulo d. Deoarece
e
2πi
d
kn
= e
2πi
d
(k+jd)n
= e
2πi
d
k(n+jd)
oricare ar fi j ∈Z, au sens relat¸iile
yk =
1
√
d n∈Zd
e
2πi
d
kn
xn, xn =
1
√
d k∈Zd
e− 2πi
d
kn
yk.
3.7.8 Orice spat¸iu Hilbert d-dimensional V poate fi identificat cu Cd alegand o baz˘a
ortonormat˘a {|vn }n∈Zd
. Spat¸iul V poate fi astfel identificat cu spat¸iul funct¸iilor
de forma ϕ : Zd −→ C. Transform˘arile Fourier direct˘a ¸si invers˘a se pot scrie
F =
1
√
d k,n∈Zd
e
2πi
d
kn
|vk vn|, F−1
=
1
√
d k,n∈Zd
e− 2πi
d
kn
|vk vn|=F∗
.
3.7.9 Deoarece F4 = I valorile proprii ale lui F apart¸in mult¸imii {1, −1, i, −i}.
3.7.10∗ Se ¸stie (a se vedea pag. 86-13) c˘a pentru transformarea Fourier continu˘a
ϕ → F[ϕ], unde F[ϕ](ξ) =
∞
−∞
eiξx
ϕ(x) dx
funct¸ia
fk : R −→ R, fk(x) = Hk(x) e− x2
2
definit˘a cu ajutorul polinomului Hermite Hk, este funct¸ie proprie
1
√
2π
∞
−∞
dx eiξx
Hk(x) e− x2
2 = ik
Hk(ξ) e− ξ2
2 .
3.7.11∗ Folosind funct¸ia periodic˘a
Fk : R −→ R, Fk(x) =
∞
α=−∞
Hk
2π
d (αd+x) e
− 1
2
2π
d
(αd+x)
2
cu perioada d definim funct¸ia
Zd −→ R : n → Fk(n) =
∞
α=−∞
Hk
2π
d (αd+n) e
− 1
2
2π
d
(αd+n)
2
adic˘a,
Zd −→ R : n → Fk(n) =
∞
α=−∞
Hk
2π
d (αd+n) e− π
d
(αd+n)2
unde Zd = {0, 1, ..., d−1} este mult¸imea ˆıntregilor modulo d.

3.7.12∗ Teorem˘a [?]. Pentru orice k∈{0, 1, 2, ...}, funct¸ia
Zd −→ R : n → Fk(n) =
∞
α=−∞
Hk
2π
d (αd+n) e− π
d
(αd+n)2
este funct¸ie proprie a transform˘arii Fourier finite
1
√
d
d−1
n=0
e
2πi
d
jn
Fk(n) = ik
Fk(j) oricare ar fi j ∈Zd.
Demonstrat¸ie. Funct¸ia periodic˘a Fk(x) admite dezvoltarea Fourier
Fk(x) =
∞
ℓ=−∞
aℓ e
2πi
d
ℓx
cu coeficient¸ii
aℓ = 1
d
d
0 e− 2πi
d
ℓx
Fk(x) dx
= 1
d
d
0 e− 2πi
d
ℓx ∞
α=−∞ e
− 1
2
2π
d
(αd+x)
2
Hk
2π
d (αd+x) dx
Notând t= 2π
d (αd+x) ¸si utilizând formulele Hk(−x)=(−1)kHk(x) ¸si
∞
α=−∞
(α+1)
√
2πd
α
√
2πd
g(t) dt=
∞
−∞
g(t) dt
obt¸inem
aℓ = 1√
2πd
∞
α=−∞
(α+1)
√
2πd
α
√
2πd
e
− 2πi
d
ℓ t d
2π
−αd
e− 1
2
t2
Hk(t) dt
= 1√
2πd
∞
α=−∞
(α+1)
√
2πd
α
√
2πd
e−iℓt 2π
d e− 1
2
t2
Hk(t) dt
= 1√
d
1√
2π
∞
−∞ e−iℓt 2π
d e− 1
2
t2
Hk(t) dt
= ik
√
d
e− π
d
ℓ2
Hk −ℓ 2π
d
= (−i)k
√
d
e− π
d
ℓ2
Hk ℓ 2π
d
de unde
Fk(x) = ∞
ℓ=−∞ aℓ e
2πi
d
ℓx
= (−i)k
√
d
∞
ℓ=−∞
e
2πi
d
ℓx
e− π
d
ℓ2
Hk ℓ 2π
d
Din relat¸ia

Fk(j) = (−i)k
√
d
∞
ℓ=−∞ e
2πi
d
jℓ
e− π
d
ℓ2
Hk ℓ 2π
d
= (−i)k 1√
d
d−1
n=0
∞
α=−∞ e
2πi
d
j(αd+n)
e− π
d
(αd+n)2
Hk
2π
d (αd + n)
= (−i)k 1√
d
d−1
n=0 e
2πi
d
jn ∞
α=−∞ e− π
d
(αd+n)2
Hk
2π
d (αd + n)
= (−i)k 1√
d
d−1
n=0 e
2πi
d
jn
Fk(n)
dedus˘a utilizând egalitatea
∞
ℓ=−∞
g(ℓ) =
d−1
n=0
∞
α=−∞
g(αd + n)
obt¸inem
1
√
d
d−1
n=0
e
2πi
d
jn
Fk(n) = ik
Fk(j) oricare ar fi j ∈Zd.
3.7.13 Dintre funct¸iile proprii Fk : Zd −→ R cel mult d pot fi liniar independente.
3.7.14∗ Funct¸ia lui Jacobi θ3 definit˘a prin relat¸ia [?, ?]
θ3(z, τ) =
∞
α=−∞
eiπτα2
e2πiαz
, Im (τ) > 0
este important˘a pentru fizica teoretic˘a datorit˘a propriet˘at¸ilor ei, dintre care ment¸ion˘am
θ3(z + m + nτ, τ) = e−iπτn2
e−2πinz
θ3(z, τ)
θ3(z, iτ) =
1
√
τ
exp− πz2
τ θ3
z
iτ
,
i
τ
.
3.7.15∗ Oricare ar fi κ∈(0, ∞), se poate ar˘ata [?, ?] c˘a
θ3
k
d
,
iκ
d
=
1
√
κd
d−1
n=0
e− 2πi
d
kn
θ3
n
d
,
i
κd
.
Din aceast˘a relat¸ie rezult˘a c˘a funct¸iile (vezi Figura 3.4)
gκ : Zd −→ R, gκ(n) =
∞
α=−∞
e− κπ
d
(αd+n)2
=
1
√
κd
θ3
n
d
,
i
κd

✲ ✲ ✲
✻ ✻ ✻
qqqqqqqq
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
qqqqqqqq qqqqqqqqqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq
q
q
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqqq
−15 15 −15 15 −15 15
1
n
g1/3(n)
1
n
g1(n)
1
0.5
n
g3(n)
Figura 3.4: The functions g1/3, g1 ¸si g3 ˆın cazul d = 31.
10 5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10 5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10 5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 3.5: Funct¸iile e− 1
6
x2
, e− 1
2
x2
, e− 3
2
x2
.
care pot fi privite ca versiuni discrete ale funct¸iilor (vezi Figura 3.5 )
gκ : R −→ R, gκ(x) = e− κ
2
x2
κ∈(0, ∞)
verific˘a relat¸ia
F[gκ] =
1
√
κ
g1
κ
.
3.7.16 Dac˘a alegem pentru transformata Fourier a unei funct¸ii continue definit¸ia
F[f](ξ) =
1
√
2π
∞
−∞
eiξx
f(x) dx
atunci (a se vedea pag. 80-9)
F[gκ] =
1
√
κ
g1
κ
.
76

Capitolul 4
Transformarea Fourier a
funct¸iilor
4.1 Exemple
4.1.1 Deﬁnit¸ie. Fie ϕ : R −→ C. Funct¸ia
F[ϕ] : R −→ C, F[ϕ](ξ) =
∞
−∞
eiξx
ϕ(x)dx
(ˆın cazul ˆın care exist˘a) se nume¸ste transformata Fourier a lui ϕ.
Figura 4.1: Funct¸ia (4.1) ˆın cazul a=1 ¸si transformata ei Fourier.
4.1.2 MATHEMATICA: Figura 4.1 s-a obt¸inut cu
In[1]:=Plot[HeavisidePi[x], {x, -4, 4}, Exclusions -> None]
Plot[FourierTransform[HeavisidePi[t], t, x], {x, -30, 30}, PlotRange -> All]
4.1.3 Exercit¸iu. Fie a ∈ (0, ∞) ¸si
ϕ : R −→ R, ϕ(x) =
1 dac˘a |x| ≤ a
0 dac˘a |x| > a.
(4.1)
S˘a se arate c˘a (vezi Fig. 4.1)
F[ϕ](ξ) =
2
ξ
sin aξ.
77

Rezolvare. Pentru ξ = 0 avem
F[ϕ](ξ) =
∞
−∞
eiξx
ϕ(x) dx =
a
−a
eiξx
dx =
1
iξ
eiξx
a
−a
=
eiξa − e−iξa
iξ
=
2
ξ
sin aξ.
4.1.4 MATHEMATICA: Deﬁnit¸ia utilizat˘a F[ϕ](x)= 1√
2π
∞
−∞
eitxϕ(t)dt
In[1]:=FourierTransform[HeavisidePi[t], t, x] → Out[1]= 1√
2π
Sinc [x
2 ]
6 4 2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
30 20 10 10 20 30
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 4.2: Funct¸ia (4.2) ˆın cazul a=1 ¸si transformata ei Fourier.
4.1.5 Exercit¸iu. Fie a ∈ (0, ∞) ¸si
ϕ : R −→ R, ϕ(x) =
1 − |x|
a dac˘a |x| ≤ a
0 dac˘a |x| > a.
(4.2)
S˘a se arate c˘a (vezi Fig. 4.2)
F[ϕ](ξ) =
4 sin2
(aξ/2)
aξ2
.
Rezolvare. In cazul ξ = 0, utilizˆand schimbarea de variabil˘a x → −x ¸si formulele
cos t =
eit − e−it
2
, sin2 t
2
=
1 − cost
2
obt¸inem
F[ϕ](ξ) = ∞
−∞ eixξϕ(x) dx = 0
−a eixξ 1 + x
a dx + a
0 eixξ 1 − x
a dx
= a
0 e−ixξ 1 − x
a dx + a
0 eixξ 1 − x
a dx = 2 a
0 1 − x
a cos xξ dx
= 2
ξ
a
0 1 − x
a (sin xξ)′ dx = 2
ξ 1 − x
a sin xξ
a
0
+ 2
aξ
a
0 sin xξ dx
= − 2
aξ2 cos xξ
a
0
= 2
aξ2 (1 − cos xξ) = 4 sin2(aξ/2)
aξ2 .
In cazul ξ = 0 avem
F[ϕ](0) = 0
−a 1 + x
a dx + a
0 1 − x
a dx = a.

Transformarea Fourier a funct¸iilor 79
Deoarece
lim
ξ→0
4 sin2
(aξ/2)
aξ2
= a lim
ξ→0
sin(aξ/2)
aξ/2
2
= a
transformata Fourier este o funct¸ie continu˘a.
2π
∞
−∞
eitxϕ(t)dt
In[1]:=FourierTransform[(1-Abs[t]) HeavisidePi[t/2], t, x] → Out[1]= −2+e−ix+eix
√
2π x2
4 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
Figura 4.3: Funct¸ia e−|x| ¸si transformata ei Fourier.
F[e−a|x|
](ξ) =
2a
a2 + ξ2
oricare ar fi a ∈ (0, ∞).
Rezolvare. Considerând integrala ˆın sensul valorii principale avem
F[e−a|x|](ξ) = ∞
−∞ eiξxe−a|x| dx = ∞
−∞ e−a|x|(cos ξx + i sin ξx) dx
= ∞
−∞ e−a|x| cos ξx dx = 2 ∞
0 e−ax cos ξx dx.
Integrând de dou˘a ori prin p˘art¸i obt¸inem relat¸ia
∞
0 e−ax cos ξx dx = 1
ξ e−ax sin ξx
∞
0
+ a
ξ
∞
0 e−ax sin ξx dx
= − a
ξ2 e−ax cos ξx
∞
0
− a2
ξ2
∞
0 e−ax cos ξx dx = a
ξ2 − a2
ξ2
∞
0 e−ax cos ξx dx
adic˘a
∞
0
e−ax
cos ξx dx =
a
ξ2
−
a2
ξ2
∞
0
e−ax
cos ξx dx
din care deducem
∞
0
e−ax
cos ξx dx =
a
a2 + ξ2
.

2π
∞
−∞
eitxϕ(t)dt
In[1]:=FourierTransform[1/(1 + t^2), t, x] → Out[1]=e−Abs[x]
√π
2
In[1]:=FourierTransform[Exp[-Abs[t]], t, x] → Out[1]=
√ 2
π
1+x2
4 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
4 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 4.4: Funct¸iile e−x2/2, e−x2
, e−2x2
(stânga) ¸si transformatele lor (dreapta).
F[e−ax2
](ξ) =
π
a
e− ξ2
4a
oricare ar fi a ∈ (0, ∞).
Rezolvare. Avem
F[e−ax2
](ξ) =
∞
−∞
e−ax2
eiξx
dx =
∞
−∞
e−ax2+iξx
dx = e− ξ2
4a
∞
−∞
e−a(x−i ξ
2a )
2
dx.
Plecând de la integrala
r
−r
e−at2
dt +
r−i ξ
2a
r
e−az2
dz −
r−i ξ
2a
−r−i ξ
2a
e−az2
dz +
−r
−r−i ξ
2a
e−az2
dz = 0
a funct¸iei
f : C −→ C, f(z) = e−az2
de-a lungul drumului dreptunghiular din Figura 4.5 ar˘at˘am c˘a
∞
−∞
e−a(t−i ξ
2a )
2
dt =
∞
−∞
e−at2
dt =
1
√
a
∞
−∞
e−x2
dx =
π
a
.

Avem
lim
r→∞
r
−r
e−at2
dt =
∞
−∞
e−at2
dt.
Alegˆand pentru drumul liniar ce une¸ste r cu r − i ξ
2a parametrizarea
γ1 : [0, 1] −→ C, γ1(t) = r − it
ξ
2a
obt¸inem relat¸ia
r−i ξ
2a
r
e−az2
dz =
1
0
e−a(r−it ξ
2a )
2
(−i)
ξ
2a
dt = −i
ξ
2a
e−ar2
1
0
eirtξ+ t2ξ2
4a dt
din care rezult˘a
lim
r→∞
r−i ξ
2a
r
e−az2
dz = 0.
r
r − ξ
2a i
−r
Figura 4.5: Drumul dreptunghiular utilizat.
Similar se arat˘a c˘a
lim
r→∞
−r
−r−i ξ
2a
e−az2
dz = 0.
Alegˆand pentru drumul liniar ce une¸ste −r − i ξ
2a cu r − i ξ
2a parametrizarea
γ2 : [−r, r] −→ C, γ2(t) = t − i
ξ
2a
obt¸inem relat¸ia
r−i ξ
2a
−r−i ξ
2a
e−az2
dz =
r
−r
e−a(t−i ξ
2a )
2
dt
din care rezult˘a
lim
r→∞
r−i ξ
2a
−r−i ξ
2a
e−az2
dz =
∞
−∞
e−a(t−i ξ
2a )
2
dt.

2π
∞
−∞
eitxϕ(t)dt
In[1]:=FourierTransform[Exp[-t^2/2], t, x] → Out[1]=e− x2
4
In[2]:=FourierTransform[Exp[-t^2], t, x] → Out[2]= e
− x2
4
√
2
In[3]:=FourierTransform[Exp[-2t^2], t, x] → Out[3]= e
− x2
8
2
4.2 Aplicat¸ii
4.2.1
4.3.1 Teorem˘a. Fie κ∈(0, ∞) o constant˘a fixat˘a.
Dac˘a ϕ:R−→C este astfel ˆıncât integralele sunt convergente atunci
∞
−∞
e−iκξx
∞
−∞
eiκξu
ϕ(u) du dξ =
2π
κ
ϕ(x)
¸si
∞
−∞
eiκξu
∞
−∞
e−iκux
ϕ(x) dx du =
2π
κ
ϕ(ξ).
Demonstrat¸ie. Oricare ar fi a ∈ (0, ∞) avem
∞
−∞ e−aξ2−iκξx ∞
−∞ eiκξuϕ(u) du dξ
= ∞
−∞ ϕ(u) ∞
−∞ eiκξ(u−x) e−aξ2
dξ du = π
a
∞
−∞ ϕ(u) e−
κ2(u−x)2
4a du.
Utilizând ˆın ultima integral˘a schimbarea de variabil˘a u = x + 2
√
a
κ t obt¸inem relat¸ia
∞
−∞
e−aξ2−iκξx
∞
−∞
eiκξu
ϕ(u) du dξ =
2
√
π
κ
∞
−∞
ϕ x + 2
√
a
κ
t e−t2
dt
care pentru a ց 0 devine
∞
−∞
e−iκξx
∞
−∞
eiκξu
ϕ(u) du dξ =
2
√
π
κ
∞
−∞
ϕ(x) e−t2
dt.
Dar
2
√
π
κ
∞
−∞
ϕ(x) e−t2
dt =
2
√
π
κ
ϕ(x)
∞
−∞
e−t2
dt =
2π
κ
ϕ(x).
A doua relat¸ie din enunt¸ul teoremei se poate demonstra similar.

4.3.2 Definit¸iile transform˘arilor Fourier direct˘a ¸si invers˘a se bazez˘a pe teorema
precedent˘a. Exist˘a mai multe posibilit˘at¸i de a defini aceste transform˘ari,
trecerea de la o variant˘a la alta f˘acându-se foarte u¸sor.
4.3.3 In cazul κ=1, relat¸iile din teorem˘a se pot scrie
1
2π
∞
−∞ e−iξx ∞
−∞ eiξuϕ(u) du dξ = ϕ(x)
∞
−∞ eiξu 1
2π
∞
−∞ e−iuxϕ(x) dx du = ϕ(ξ)
¸si sugereaz˘a pentru transform˘arile Fourier direct˘a ¸si invers˘a alegerile
ϕ → F[ϕ], F[ϕ](ξ) = ∞
−∞ eiξx ϕ(x) dx
ψ → F−1[ψ], F−1[ψ](x) = 1
2π
∞
−∞ e−iξx ψ(ξ) dξ.
Ea este alegerea preferat˘a ˆın unele c˘art¸i de ecuat¸iile fizicii matematice [9] ¸si va fi
utilizat˘a pe parcursul acestui capitol, exceptând ultima sect¸iune dedicat˘a aplicat¸iilor
ˆın mecanica cuantic˘a.
4.3.4 In cazul κ=1/ , relat¸iile din teorem˘a scrise sub forma
1√
2π
∞
−∞ e−iξx/ 1√
2π
∞
−∞ eiξu/ ϕ(u) du dξ = ϕ(x)
1√
2π
∞
−∞ eiξu/ 1√
2π
1
2π
∞
−∞ e−iux/ ϕ(x) dx du = ϕ(ξ)
sugereaz˘a alegerea
F[ϕ](ξ) = 1√
2π
∞
−∞ e−iξx/ ϕ(x) dx
F−1[ψ](x) = 1√
2π
∞
−∞ eiξx/ ψ(ξ) dξ.
Este alegerea preferat˘a ˆın multe c˘art¸i ¸si articole de mecanic˘a cuantic˘a ¸si va fi uti-
lizat˘a ˆın ultima sect¸iune a prezentului capitol. Intr-un sistem de unit˘at¸i de m˘asur˘a
ˆın care =1 relat¸iile anterioare devin
F[ϕ](ξ) = 1√
2π
∞
−∞ e−iξx ϕ(x) dx
F−1[ψ](x) = 1√
2π
∞
−∞ eiξx ψ(ξ) dξ.
4.3.5 In cazul κ=2π, relat¸iile din teorem˘a scrise sub forma
∞
−∞ e−2πiξx ∞
−∞ e2πiξuϕ(u) du dξ = ϕ(x)
∞
−∞ e2πiξu ∞
−∞ e−2πiuxϕ(x) dx du = ϕ(ξ)

sugereaz˘a alegerea
F[ϕ](ξ) = ∞
−∞ e−2πiξx ϕ(x) dx
F−1[ψ](x) = ∞
−∞ e2πiξx ψ(ξ) dξ.
Este alegerea preferat˘a ˆın unele c˘art¸i ¸si articole referitoare la fizica cristalelor.
4.3.6 Relat¸ia (a se vedea pag. 80-9)
∞
−∞
eiξx
e−ax2
dx =
π
a
e− ξ2
4a oricare ar fi a∈(0, ∞)
se poate scrie sub forma
F e−ax2
(ξ) =
π
a
e− ξ2
4a oricare ar fi a∈(0, ∞).
In particular, alegând a= 1
2 obt¸inem
F e− x2
2 (ξ) =
√
2π e− ξ2
2 .
2π
∞
−∞
eitxϕ(t)dt
In[1]:=FourierTransform[Exp[-t^2], t, x] → Out[1]= e
− x2
4
√
2
4.3.8 Teorem˘a. Dac˘a ϕ ∈ S(R) atunci transformata Fourier a lui ϕ
F[ϕ] : R −→ C, F[ϕ](ξ) =
∞
−∞
eiξx
ϕ(x) dx
apart¸ine de asemenea spat¸iului S(R) ¸si au loc relat¸iile
(F[ϕ])(k)
= F[(ix)k
ϕ] F[ϕ(k)
] = (−iξ)k
F[ϕ].
Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia F[ϕ] se define¸ste cu ajutorul unei integrale improprii cu
parametru. Din definit¸ia spat¸iului S(R) rezult˘a c˘a exist˘a M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncât
|x2
ϕ(x)| ≤ M oricare ar fi x ∈ R.
Din acest˘a relat¸ie rezult˘a c˘a pentru x = 0 avem majorarea
|eiξx
ϕ(x)| ≤
M
x2
.
Convergent¸a integralei ∞
−∞ eiξxϕ(x) dx rezult˘a din convergent¸a integralelor
−1
−∞
1
x2
dx
∞
1
1
x2
dx

pe baza criteriului comparat¸iei. Din faptul c˘a ϕ descre¸ste la infinit mai repede decât
orice putere a lui x rezult˘a posibilitatea de a deriva sub integral˘a de un num˘ar ne-
limitat de ori. Se obt¸ine astfel relat¸ia
(F[ϕ])(k)
(ξ) =
∞
−∞
(ix)k
eiξx
ϕ(x) dx
convergent¸a integralei rezultând din existent¸a unei constante Mk ∈(0, ∞) astfelˆıncât
|xk+2
ϕ(x)| ≤ Mk oricare ar fi x ∈ R
¸si a major˘arii
|(ix)k
eiξx
ϕ(x)| ≤
Mk
x2
.
Deducem astfel c˘a transformata Fourier F[ϕ] : R −→ C este o funct¸ie indefinit deriv-
abil˘a ¸si cu derivatele funct¸ii m˘arginite. Relat¸ia
F[ϕ(k)
](ξ) =
∞
−∞
eiξx
ϕ(k)
(x) dx = (−iξ)k
∞
−∞
eiξx
ϕ(x) dx = (−iξ)k
F[ϕ](ξ)
obt¸inut˘a utilizând integrarea prin p˘art¸i conduce la egalitatea
| ξk
F[ϕ](ξ) | = | F[ϕ(k)
](ξ) |
care arat˘a c˘a F[ϕ] ∈ S(R).
4.3.9 Teorem˘a. Transformarea Fourier a funct¸iilor de prob˘a
F : S(R) −→ S(R) : ϕ → F[ϕ], F[ϕ](ξ) =
∞
−∞
eiξx
ϕ(x) dx
este o aplicat¸ie bijectiv˘a ¸si inversa ei este transformarea
F−1
: S(R) −→ S(R) : ψ → F−1
[ψ], F−1
[ψ](x) =
1
2π
∞
−∞
e−iξx
ψ(ξ) dξ.
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia este o consecint¸˘a direct˘a a teoremelor anterioare.
4.3.10 Se poate ar˘ata [9] c˘a transform˘arile F±1 :S(R)−→S(R) sunt continue, adic˘a
ϕn −→ϕ =⇒ F±1
[ϕn]−→F±1
[ϕ].
4.3.11 Transform˘arile Fourier direct˘a ¸si invers˘a au expresii foarte asemanatoare.
Utilizând schimbarea de variabil˘a ξ = −y obt¸inem
F−1
[ψ](x) =
1
2π
∞
−∞
e−iξx
ψ(ξ) dξ =
1
2π
∞
−∞
eixy
ψ(−y) dy =
1
2π
F[ ˇψ](x)
adic˘a
F−1
[ψ] =
1
2π
F[ ˇψ]

unde ˇψ este aplicat¸ia
ˇψ : R −→ C, ˇψ(y) = ψ(−y).
In particular,
F [F[ϕ]] (p) = ˇϕ.
4.3.12 Polinoamele Hermite (a se vedea pag. ??-??)
Hn(x) = (−1)n
ex2 dn
dxn
e−x2
, n ∈ {0, 1, 2, ...}
verific˘a relat¸iile de recurent¸˘a
Hn+1(x) − 2x Hn(x) + 2n Hn−1(x) = 0, H′
n(x) = 2n Hn−1(x).
4.3.13∗ Teorem˘a. Oricare ar fi n∈{0, 1, 2, ...}, funct¸ia
ψn : R −→ R, ψn(x) = Hn(x) e− x2
2
este o funct¸ie proprie a transform˘arii Fourier
F Hn(x) e− x2
2 (ξ) =
√
2π in
Hn(ξ) e− ξ2
2 .
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia (F[ϕ])(k) =F[(ix)kϕ] care se poate scrie
F[xk
ϕ](ξ) = (−i)k dk
dξk
F[ϕ](ξ)
rezult˘a
F Hn(x) e− x2
2 = Hn −i
d
dξ
F e− x2
2
¸si prin urmare (a se vedea pag. 84-6)
F Hn(x) e− x2
2 =
√
2π Hn −i
d
dξ
e− ξ2
2 .
Folosind metoda induct¸iei matematice vom ar˘ata c˘a
Hn −i
d
dξ
e− ξ2
2 = in
Hn(ξ) e− ξ2
2 .
Relat¸ia are loc pentru n=0 ¸si presupunând c˘a
Hk −i
d
dξ
e− ξ2
2 = ik
Hk(ξ) e− ξ2
2 pentru orice k ≤ n−1

cu ajutorul relat¸iilor de recurent¸˘a obt¸inem
Hn −i d
dξ e− ξ2
2 = −2i d
dξ Hn−1 −i d
dξ e− ξ2
2 − 2(n−1) Hn−2 −i d
dξ e− ξ2
2
= −2i d
dξ in−1 Hn−1(ξ) e− ξ2
2 − 2(n−1) in−2 Hn−2(ξ) e− ξ2
2
= in −2H′
n−1(ξ) + 2 ξ Hn−1(ξ) + 2(n−1) Hn−2 (ξ) e− ξ2
2
= in [−4(n−1) Hn−2(ξ) + 2 ξ Hn−1(ξ) + 2(n−1) Hn−2 (ξ)] e− ξ2
2
= in [2 ξ Hn−1(ξ) − 2(n−1) Hn−2 (ξ)] e− ξ2
2 = in Hn(ξ) e− ξ2
2 .
87

Capitolul 5
Transformarea Fourier a
distribut¸iilor
5.1 Exemple
5.1.1 Se ¸stie c˘a
√
−4 nu exist˘a ˆın R. Dac˘a scufund˘am pe R ˆın C
R ֒→ C : x → x + 0i
identificând num˘arul real x cu num˘arul complex x+0i atunci
√
−4 exist˘a, dar
nu este un num˘ar real. Similar, o funct¸ie nederivabil˘a clasic poate deveni
derivabil˘a dac˘a scufund˘am funct¸iile uzuale (doar o parte dintre ele !) ˆın spat¸iul
distribut¸iilor, dar derivata nu mai este o funct¸ie uzual˘a ci o distribut¸ie.
5.1.2 O cunoa¸stere ˆın profunzime a teoriei distribut¸iilor este ceva mai dificil de
realizat, dar pentru a efectua anumite calcule cu distribut¸ii este suficient
s˘a cunoa¸stem câteva elemente simple:
• O distribut¸ie (temperat˘a) este o funct¸ie liniar˘a ¸si continu˘a
f : S(R) −→ C : ϕ → f, ϕ
(se prefer˘a s˘a se scrie f, ϕ ˆın loc de f(ϕ)) definit˘a pe spat¸iul vectorial
S(R) format din funct¸iile indefinit derivabile
ϕ : R −→ C : x → ϕ(x)
89

Nicolae Cotfas - Introducere in analiza fourier laplace

Nicolae Cotfas - Introducere in analiza fourier laplace

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Nicolae Cotfas - Introducere in analiza fourier laplace

Similar to Nicolae Cotfas - Introducere in analiza fourier laplace (18)

More from Robin Cruise Jr.

More from Robin Cruise Jr. (20)

Nicolae Cotfas - Introducere in analiza fourier laplace