Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

# Curs masterat 2010

1,793 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
Your message goes here
• Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,793
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
39
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Curs masterat 2010

1. 1. Capitole speciale de geometrie pentru profesori Camelia Frigioiu Galati, 2010 ¸
2. 2. 2
3. 3. Cuprins1 Geometrie sintetic˘ plan˘ a a 1 1.1 Concurenta liniilor importante ˆntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . ¸ ı 1 1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si ˆn˘ ltimilor ¸ ¸ ı a¸ ˆntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 1 1.1.2 Cercul ˆnscris ˆn triunghi, cercul circumscris si exˆ nscris unui ı ı ¸ a triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Teoremele MENELAUS si CEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ¸ 1.2.1 Teorema lui Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Teorema lui Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Teorema lui VAN AUBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Patrulatere inscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Teorema lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Patrulatere circumscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Cercul lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Probleme de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit˘¸ii unor puncte . . . . . 23 at 1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson . . . . . . . . . . . 23 1.5.3 Relatia lui Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ¸ ¸˘ 1.6 Probleme de concurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor drepte . . . . . . 27 ¸ 1.6.2 Teoremele lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.3 Teorema lui Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7 Relatii metrice ˆn triunghi si patrulater . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¸ ı ¸ 1.7.1 Teorema Pitagora generalizat˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 1.7.2 Relatia lui Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¸ 1.7.3 Teorema medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatere . . . . . . . . . . . . . . 33 ¸2 Transform˘ ri geometrice a 35 2.1 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 i
4. 4. ii CUPRINS 2.2 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸ 44 2.3 Rotatia ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸ ı 47 2.4 Propriet˘¸i generale ale izometriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . at 51 2.5 Asem˘ narea ˆn plan. Propriet˘¸i generale . . . . . . . . . . . . . . . a ı at 53 2.6 Omotetia ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 55 2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geo- metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7 Inversiunea ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 593 Geometrie ˆn spatiu ı ¸ 65 3.1 Introducere ˆn geometria tetraedrului ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Tetraedre Crelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Tetraedre echifaciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 Tetraedre ortocentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE ¸ ˆ 85 4.1 Elemente de trigonometrie aplicate ˆn geometrie . . . . . . . . . . . ı 85 4.1.1 Aplicatii practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸ 87 4.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 Aplicatii ale numerelor complexe ˆn geometrie . . . . . . . . . . . . ¸ ı 90 4.4 Teoreme clasice de geometrie demonstrate cu ajutorul numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5. 5. Capitolul 1Geometrie sintetic˘ plan˘ a aReamintim deﬁnitiile unor elemente importante ˆn triunghi. ¸ ıDEFINITIA 1.1 Numim bisectoare interioar˘ a unui unghi al unui triunghi, dreapta ¸ acare ˆmparte unghiul ˆn dou˘ unghiuri egale. ı ı aDEFINITIA 1.2 Numim ˆn˘ ltime a unui triunghi, dreapta care coboar˘ perpendi- ¸ ı a¸ acular dintr-un vˆ rf al triunghiului pe latura opus˘ a triunghiului. a aDEFINITIA 1.3 Numim mediatoare a unui triunghi, perpendiculara construit˘ pe ¸ amijlocul unei laturi a triunghiului.DEFINITIA 1.4 Numim median˘ a unui triunghi, dreapta care uneste un vˆ rf al ¸ a ¸ atriunghiului cu mijlocul laturii opuse.1.1 Concurenta liniilor importante ˆntr-un triunghi ¸ ıLinii importante ale unui triunghi sunt: 1. medianele 2. bisectorele interioare ale unghiurilor triunghiului 3. mediatoarele laturilor triunghiului 4. ˆnaltimile. ı ¸1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si ˆn˘ ltimilor ˆntr-un triunghi ¸ ¸ ı a¸ ıˆIntr-un triunghi se poate demonstra pentru ﬁecare categorie de linii importante c˘ asunt concurente si anume: ¸ 1. cele trei mediatoare ale laturilor unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care ı este centrul cercului circumscris triunghiului; 1
6. 6. 2 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA 2. cele trei bisectoare interioare ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct ı care este centrul cercului ˆnscris ˆn triunghi; ı ı 3. cele trei ˆn˘ ltimi ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care se numeste ı a¸ ı ¸ ortocentrul triunghiului; 4. cele mediane ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care se numeste ı ¸ centrul de greutate al triunghiului.ˆ continuare vom demonstra concurenta acestor linii importante ale triunghiului.In ¸ Vom demonstra concurenta mediatoarelor unui triunghi, folosind principala pro- ¸prietate a punctelor de pe mediatoarea unui segment: Toate punctele mediatoarei unui segment se aﬂ˘ la aceeasi distanta fata de ca- a ¸ ¸˘ ¸˘petele acestuia si reciproc toate punctele din plan care se aﬂ˘ la distante egale de ¸ a ¸capetele unui segment se aﬂ˘ pe mediatoarea acestuia. a ˆTEOREMA 1.1 Intr-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente. A N O B C M Figura 1.1: Concurenta mediatoarelor ¸ Demonstratie. ¸ Not˘ m cu M si N mijloacele laturilor [BC] si [AB] ale triunghiului ABC. Punc- a ¸ ¸tul de intersectie al perpendicularelor ˆn M si N pe laturile respective(mediatoarele ¸ ı ¸acestor laturi) va ﬁ notat cu O. Cele dou˘ mediatoare sunt concurente, altfel punctele aA, B, C ar ﬁ coliniare, ceea ce este imposibil. ¸˘ ¸˘ Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a ﬁ la egal˘ distanta fata de acapetele segmentului, putem scrie OA = OB, ON ﬁind mediatoarea lui [AB] si ¸ OB = OC, OM ﬁind mediatoarea lui [BC]. Rezult˘ din tranzitivitatea relatiei de egalitate c˘ OA = OC, deci punctul O se a ¸ aaﬂ˘ si pe mediatoarea laturii [AC]. a¸ q.e.d.
7. 7. ¸ ˆ1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 3 Vom demonstra concurenta bisectoarelor interioare ale unui triunghi, folosind ¸proprietatea punctelor de pe bisectoare de a ﬁ la egal˘ distanta fata de laturile aces- a ¸˘ ¸˘tuia. ˆTEOREMA 1.2 Intr-un triunghi bisectoarele interioare sunt concurente. A P M B1 C1 I B N A C 1 Figura 1.2: Concurenta bisectoarelor ¸ Demonstratie. Not˘ m [AA1 si [BB1 bisectoarele unghiurilor BAC si ABC ale ¸ a ¸ ¸triunghilui ABC si I punctul lor de intersectie. Aceste bisectoare sunt concurente, ¸ ¸altfel ar ﬁ paralele ceea ce ar ˆnsemna c˘ unghiurile BAA1 si ABB1 ar ﬁ unghiuri ı a ¸interne si de aceeasi parte a secantei AB, iar suma m˘ surilor lor ar ﬁ de 180◦ , ceea ¸ ¸ ace este imposibil c˘ ci suma m˘ surilor unghiurilor triunghiului ABC este 180◦ . a a Folosind proprietatea c˘ numai punctele de pe bisectoare sunt egal dep˘ rtate de a alaturile triunghiului putem scrie: IM = IN si IM = IP, (M ∈ (AB), N ∈ (BC), P ∈ (AC), IM ⊥ ¸AB, IN ⊥ BC, IP ⊥ AC). Folosind proprietatea de tranzitivitatea a egalit˘¸ii numerelor reale, rezult˘ at a IN = IPdeci punctul I se aﬂ˘ si pe bisectoarea unghiului ACB. a¸ q.e.d. De asemenea se poate demonstra: ˆTEOREMA 1.3 Intr-un triunghi ˆn˘ ltimile sunt concurente. ı a¸ Demonstratie. Consider˘ m un triunghi ABC, cu ˆn˘ ltimile [AA , [BB , [CC ¸ a ı a¸(AA ⊥ BC, BB ⊥ AC, CC ⊥ AB). Paralelele prin vˆ rfurile triunghiului la laturile opuse se intersecteaz˘ ˆn punc- a aıtele A1 , B1 , C1 . Din congruenta laturilor opuse ale paralelogramelor obtinute rezult˘ ¸ ¸ a
8. 8. 4 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA C1 A B1 B’ C’ B C A’ A 1 Figura 1.3: Concurenta ˆn˘ ltimilor ¸ ı a¸c˘ punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [B1 C1 ], [C1 A1 ], [A1 B1 ] ale triunghiului aA1 B1 C1 (AB1 = AC1 , BC1 = BA1 , CA1 = CB1 ). Din AA ⊥ BC si C1 B1 BC rezult˘ AA ⊥ C1 B1 . Analog pentru celelalte ¸ alaturi se g˘ seste c˘ BB ⊥ C1 A1 si CC ⊥ A1 B1 . a ¸ a ¸ Constat˘ m c˘ ˆn˘ ltimile triunghiului ABC sunt mediatoarele triunghiului A1 B1 C1 . a aı a ¸Dar, concurenta mediatoarelor a fost demonstrat˘ , asa c˘ si concurenta ˆn˘ ltimilor ¸ a ¸ a¸ ¸ ı a¸este demonstrat˘ .a q.e.d. Pentru a demonstra concurenta celor trei mediane ale unui triunghi vom reaminti ¸c˘ : a -linia mijlocie ˆntr-un triunghi este segmentul de dreapt˘ care uneste mijloacele a ı a ¸dou˘ laturi ale triunghiului, a -linia mijlocie este paralel˘ cu cea de-a treia latur˘ a triunghiului si este egal˘ cu a a ¸ ajum˘ tate din lungimea ei. a ˆTEOREMA 1.4 Intr-un triunghi medianele sunt concurente. Demonstratie. Not˘ m cu A , B , C mijloacele laturilor [BC], [AC], [AB] ale ¸ atriunghiului ABC. Punctul de intersectie al medianelor [AA ] si [CC ] este G. ¸ ¸Vom demonstra c˘ punctul G apartine si medianei [BB ]. Mijloacele segmentelor a ¸ ¸[AG], [CG] vor ﬁ notate cu A” respectiv C” AA” = A”G, CC” = C”G. [A”C”] este linie mijlocie ˆn triunghiul GAC, ceea ce implic˘ ı a 1 A”C” AC, A”C” = AC. (1.1) 2
9. 9. ¸ ˆ1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 5 A A" C’ B’ G C" B C A’ Figura 1.4: Concurenta medianelor ¸De asemenea, [A C ] este linie mijlocie ˆn triunghiul BAC si se obtine: ı ¸ ¸ 1 AC AC, A C = AC. (1.2) 2Din (1.1) si (1.2), folosind tranzitivitatea relatiei de paralelism si a celei de egalitate, ¸ ¸ ¸rezult˘ a A C A”C”, A C = A”C”.Deci patrulaterul A C A”C” este paralelogram, cu G punctul de intersectie al diago- ¸nalelor, ceea ce implic˘ a A G = GA”, C G = GC”.Cum AA” = A”G si CC” = C”G, rezult˘ : ¸ a 1 AA” = A”G = GA = AA 3si¸ 1 CC” = C”G = GC = CC . 3Am obtinut astfel: ¸ Punctul G de intersectie al medianelor [AA ] si [CC ] se aﬂ˘ pe ﬁecare dintre cele ¸ ¸ adou˘ mediane, la dou˘ treimi de vˆ rf si o treime de mijlocul laturii opuse. a a a ¸ Un rezultat asem˘ n˘ tor se poate demonstra si pentru medianele [AA ] si [BB ]. a a ¸ ¸ Cum pe [AA ] este un singur punct care se aﬂ˘ la dou˘ treimi de vˆ rf si o treime a a a ¸de mijlocul laturii opuse, rezult˘ c˘ acesta este G, deci mediana [BB ] trece si ea a a ¸prin punctul G. q.e.d.
10. 10. 6 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA1.1.2 Cercul ˆnscris ˆn triunghi, cercul circumscris si exˆ nscris unui triunghi ı ı ¸ aCercul ˆnscris ˆn triunghi ı ı A P M r r I r B N C Figura 1.5: Cerc ˆnscris ˆn triunghi ı ıDEFINITIA 1.5 1. Triunghiul care are toate laturile tangente la un cerc se numeste ¸ ¸ triunghi circumscris acelui cerc. 2. Cercul care este tangent la toate laturile unui triunghi se numeste cerc ˆnscris ¸ ı ˆn triunghi. ı Centrul cercului ˆnscris ˆntr-un triunghi, notat cu I, este punctul de intersectie al ı ı ¸bisectoarelor unghiurilor triunghiului. Raza cercului ˆnscris ˆntr-un triunghi o vom ı ınota cu r.Observatia 1.1 1. Dac˘ C(I; r) este cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC, atunci tri- ¸ a ı ı unghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r); 2. IM = IN = IP = r, unde M, N, P sunt punctele de tangenta ale laturile ¸˘ triunghiului la cercul ˆnscris. ıPROPOZITIA 1.1 ¸ 2A , r= Punde A este aria triunghiului ABC, iar P = AB + AC + BC. Demonstratie. ¸ ˆ Intr-adev˘ r, aria triunghiului ABC este suma ariilor triunghiurilor AIB, BIC, CIA. a AB · IM BC · IN AC · IP r·P A = AAIB + ABIC + ACIA = + + = . 2 2 2 2 q.e.d.
11. 11. ¸ ˆ1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 7 Cercul circumscris unui triunghi A N R P O R R B C M Figura 1.6: Cerc circumscris unui triunghiDEFINITIA 1.6 1. Triunghiul care are vˆ rfurile situate pe un cerc, iar laturile ¸ a sunt coarde ale cercului se numeste ˆnscris ˆn cerc. ¸ ı ı 2. Cercul ˆn care se ˆnscrie un triunghi se numeste cerc circumscris triunghiului. ı ı ¸Centrul cercului circumscris unui triunghi ABC este punctul de intersectie al medi- ¸atoarelor laturilor triunghiului, notat cu O. Raza cercului circumscris se noteaz˘ cu R. a Not˘ m cercul circumscris triunghiului ABC cu C(O; R). a 1. Triunghiul ABC este triunghiul inscris in cercul C(O; R); 2. OA = OB = OC = R.PROPOZITIA 1.2 Simetricele ortocentrului triunghiului fata de mijloacele laturi- ¸ ¸˘lor triunghiului apartin cercului circumscris triunghiului. ¸PROPOZITIA 1.3 Simetricele ortocentrului triunghiului fata de laturile triunghiu- ¸ ¸˘lui apartin cercului circumscris triunghiului. ¸ Demonstratie. Fie A2 punctul ˆn care ˆn˘ ltimea AA1 intersecteaz˘ cercul circum- ¸ ı ı a¸ ascris triunghiului. Deoarece m(BHA1 ) = m(BCA)) = m(AA2 B) rezult˘ triunghiul A2 BH isos- acel cu BA1 ˆn˘ ltime, mediana, mediatoare, adic˘ HA1 = A1 A2 . ı a¸ a q.e.d.
12. 12. 8 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA A H O A1 C B A2 Figura 1.7:PROPOZITIA 1.4 ¸ abc R= , 4Aunde a, b, c sunt lungimile laturilor, iar A este aria triunghiului ABC. Demonstratie. ¸ Formula de calcul pentru raza cercului circumscris se obtine astfel: ¸ A h O B C D E Figura 1.8: Raza cercului circumscris Prin vˆ rful A al triunghiului se construieste diametrul cercului circumscris, notat a ¸cu AE. Se obtine astfel triunghiul dreptunghic ABE (triunghi ˆnscris ˆn semicerc). ¸ ı ıPrin construirea ˆn˘ ltimii din punctul A se obtine triunghiul dreptunghic ADC ase- ı a¸ ¸menea cu ABE conform cazului U U . Not˘ m lungimea acestei ˆnaltimi cu h. a ı ¸ Laturile celor dou˘ triunghiuri asemenea sunt proportionale: a ¸ AE AB AC · AB = ⇒ 2Rh = AC · AB ⇒ R = . AC AD 2h
13. 13. ¸ ˆ1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 9 h · BCDar, aria triunghiului ABC, notat˘ cu A, este A = a , de unde rezult˘ : a 2 2A h= . BCˆInlocuind h ˆn expresia lui R se obtine formula de calcul a razei cercului circumscris ı ¸triunghiului ABC, abc R= . 4A q.e.d. O legatur˘ ˆntre raza cercului ˆnscris si raza cercului circumscris unui triunghi este aı ı ¸dat˘ de relatia lui Euler. a ¸PROPOZITIA 1.5 Relatia lui Euler ¸ ¸ d2 = R(R − 2r)unde d este distanta dintre centrul cercului circumscris si centrul cercului ˆnscris ¸ ¸ ıˆntr-un triunghi, R raza cercului circumscris si r raza cercului ˆnscris ˆn triunghi.ı ¸ ı ı Demonstratie. Fie D punctul ˆn care bisectoarea [AI intersecteaz˘ cercul circum- ¸ ı a A I’ I E O F B C D Figura 1.9: Relatia lui Euler ¸scris triunghiului ABC si ﬁe punctele {E, F } = C(O, R) ∩ OI. Din triunghiul ¸ AABD rezult˘ BD = 2R sin , iar din triunghiul dreptunghic AI I a 2 r AI = . A sin 2Dar [AI si [BI sunt bisectoarele unghiurilor BAC si ABC, se obtine BD = ID. ¸ ¸ ¸
14. 14. 10 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA ¸˘ Folosind puterea punctului I fata de cercul C(O, R), din ultimele relatii rezult˘ ¸ a 2Rr = ID · IA = IE · IF = (R − OI)(R + OI) = R2 − IO2 q.e.d. Se poate vedea c˘ si inegalitatea lui Euler a¸ R > 2reste veriﬁcat˘ . a Cercuri exˆ nscrise unui triunghi a A A1 B C A2 Figura 1.10: Cerc exˆ nscris unui triunghi aDEFINITIA 1.7 Un cerc tangent unei laturi a unui triunghi si prelungirilor celor- ¸ ¸lalte dou˘ laturi se numeste triunghi exˆ nscris triunghiului. a ¸ aCentrul unui cerc exˆ nscris unui triunghi se aﬂ˘ la intersectia bisectoarelor celor a a ¸dou˘ unghiuri exterioare si a bisectoarei unghiului interior neadiacent cu ele. a ¸ Exist˘ 3 cercuri exˆ nscrise unui triunghi. a a Proprietate Punctele de tangenta ale cercului exˆ nscris si cercului ˆnscris ˆntr-un triunghi sunt ¸˘ a ¸ ı ı ¸˘simetrice fata de mijlocul laturii la care sunt tangente amˆ ndou˘ . a aTEOREMA 1.5 Fie triunghiul ABC. Dac˘ M, N, P sunt punctele de tangenta ale a ¸˘cercurilor exˆ nscrise cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente aˆn punctul care se numeste punctul lui Nagel.ı ¸
15. 15. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA ¸ 111.2 Teoremele MENELAUS si CEVA ¸1.2.1 Teorema lui MenelausTeorema lui Menelaus este una dintre teoremele clasice ale geometriei. De-a lungul anilor ea a fost demonstrat˘ prin diverse metode folosind rezultatele adin geometria sintetic˘ , dar si cu metoda analitic˘ ¸ cu metoda vectorial˘ si cu ajutorul a ¸ a, a¸transform˘ rilor geometrice, al omotetiei. aTEOREMA 1.6 (TEOREMA LUI MENELAUS) Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB).Dac˘ punctele M, N, P asunt coliniare, atunci: M B CN AP · · = 1. (1.3) MC NA PB Demonstratie. Se construieste prin C paralela cu dreapta d care contine punctele ¸ ¸ ¸M, N, P . Aceasta intersecteaz˘ AB ˆn punctul notat cu R. a ı A P R N d B C M Figura 1.11: Teorema lui Menelaus Se aplic˘ teorema lui Thales ˆn triunghiul BM P cu CR a ı MP : MB PB = , (1.4) MC PRiar ˆn triunghiul ARC cu P N ı RC rezult˘ : a CN PR = . (1.5) NA PADin relatiile (1.4) si (1.5) rezult˘ : ¸ ¸ a M B CN AP P B P R AP · · = · · = 1. MC NA PB PR PA PB q.e.d.
16. 16. 12 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA A S P R N T d B C M Figura 1.12: Teorema lui Menelaus O alt˘ demonstratie a teoremei lui Menelaus, folosind geometria sintetic˘ : a ¸ a Demonstratie. Fie triunghiul ABC si transversala d care se intersecteaz˘ cu latu- ¸ ¸ arile triunghiului ˆn punctele M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB). ı Construim CT ⊥ d, BS ⊥ d, AR ⊥ d, lungimile acestor segmente reprezentˆ nd adistantele de la vˆ rfurile triunghiului la transversala d, vor ﬁ notate cu CT = dC , ¸ aBS = dB , AR = dA . Se formeaz˘ astfel perechile de triunghiuri dreptunghice asemenea: a ∆ARP ∼ ∆BP S, ∆BSM ∼ ∆CT M, ∆N CT ∼ ∆ARNpentru care scriem proportionalitatea laturilor: ¸ dA AP dB MB dC NC = ; = ; = . dB BP dC MC dA NAˆInmultind aceste relatii membru cu membru se va obtine relatia lui Menelaus. ¸ ¸ ¸ ¸ q.e.d. Vom prezenta ˆn continuare reciproca teoremei lui Menelaus: ıTEOREMA 1.7 Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB) astfelˆncˆ t are loc relatia:ı a ¸ M B CN AP · · = 1. (1.6) MC NA PBAtunci punctele M, N, P sunt coliniare. Demonstratie. Dreapta M N se intersecteaz˘ cu AB ˆn punctul pe care-l not˘ m ¸ a ı acu P1 . Punctele M, N, P1 ﬁind coliniare, aplic˘ m teorema lui Menelaus si obtinem: a ¸ ¸ M B CN AP1 · · = 1. (1.7) M C N A BP1
17. 17. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA ¸ 13Din relatiile (1.6), (1.7) rezult˘ ¸ a AP1 AP = BP1 PBadic˘ P = P1 . Deci punctele M, N, P sunt coliniare. a q.e.d. Teorema lui Menelaus se poate demonstra si ˆn cazul M ∈ (BC, N ∈ (AC, P ∈ ¸ ı(AB.TEOREMA 1.8 Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC, P ∈ (AB. Dac˘ apunctele M, N, P sunt coliniare, atunci: M B CN AP · · = 1. (1.8) MC NA PB Demonstratie. Construim dreapta d care se intersecteaz˘ cu (BC ˆn punctul M , ¸ a ıcu (AC ˆn N si cu (AB ˆn P . Ducem prin C paralela la d care se intersecteaz˘ cu ı ¸ ı aAB ˆn R. ı A B C R P N d M Figura 1.13: Aplic˘ m teorema lui Thales a • ˆn triunghiul BM P cu CR ı MP : MB PB = , (1.9) MC PR • ˆn triunghiul AP N cu P N RC: ı CN PR = . (1.10) NA PADin relatiile (1.9) si (1.10) rezult˘ : ¸ ¸ a M B CN AP P B P R AP · · = · · = 1. MC NA PB PR PA PB q.e.d.
18. 18. 14 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA ˆ continuare vom prezenta teorema lui Menelaus pentru un patrulater: InTEOREMA 1.9 Fie ABCD un patrulater si punctele M ∈ (CB, N ∈ (AB), P ∈ ¸(DC), Q ∈ (AD. Dac˘ punctele M, N, P, Q sunt coliniare, atunci a M C BN AQ P D · · · = 1. (1.11) M B N A QD P C Demonstratie. Not˘ m cu d dreapta care contine punctele M, N, P, Q. Se con- ¸ a ¸struiesc paralele la dreapta d prin punctele B si A care se intersecteaz˘ cu (CD ˆn ¸ a ıpunctele R si S. ¸ C D B R Q P N M d S A Figura 1.14: Teorema lui Menelaus ˆn patrulater ı Aplic˘ m teorema lui Thales a • ˆn triunghiul CM P cu BR ı MP : MC PC = , (1.12) MB PR • ˆn triunghiul ADS cu P Q ı AS: AQ PS = . (1.13) QD PDDreptele BR NP AS t˘ iate de secantele AB si CS determin˘ proportionalitatea a ¸ a ¸segmentelor: BN PR = . (1.14) NA PSDin relatiile (1.12), (1.13), (1.14) se obtine: ¸ ¸ M B BN AQ P D PC PR PS PD · · · = · · · = 1. M C N A QD P C PR PS PD PC q.e.d.
19. 19. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA ¸ 15 ˆ acelasi mod se poate demonstra o relatie ca cea din teorema lui Menelaus pentru In ¸ ¸un poligon cu n > 4 laturi convex sau concav.1.2.2 Teorema lui CevaTeorema lui Ceva este un rezultat din geometria triunghiului, cu aplicatii ˆn geome- ¸ ıtria proiectiv˘ . A fost descoperit˘ de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a a aformulat-o si a demonstrat-o ˆn 1678 ˆn lucrarea De lineis rectis se invicem secanti- ¸ ı ıbus statica constructio. Se pare c˘ aceast˘ teorem˘ era cunoscut˘ , cu multe secole ˆnainte (secolul al XI- a a a a ılea) de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu’taman ibn Hud).TEOREMA 1.10 (TEOREMA LUI CEVA) Fie triunghiul ABC si D, E, F trei puncte diferite de vˆ rfurile triunghiului, aﬂate ¸ arespectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB]. Dac˘ dreptele AD, BE si CF sunt a ¸concurente atunci: AF BD CE · · = 1. (1.15) F B DC EA A F M E B C D Figura 1.15: Teorema lui Ceva Demonstratie. Not˘ m cu M punctul de intersectie al dreptelor AD, BE si CF . ¸ a ¸ ¸ Aplic˘ m teorema lui Menelaus pentru: a -triunghiul ABD cu secanta CF CB M D F A · · = 1, (1.16) CD M A F Bde unde se obtine: ¸ MD F B CD = · ; (1.17) MA F A CB
20. 20. 16 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA-ˆn triunghiul ADC cu secanta BE ı BC M D AE · · = 1. (1.18) BD M A ECDin relatiile (1.17) si (1.18) se obtine: ¸ ¸ ¸ BC F B CD AE · · · = 1, BD F A CB ECadic˘ relatia din teorem˘ . a ¸ a q.e.d. ˆ Intr-un triunghi dreapta care uneste un vˆ rf al acestuia cu un punct de pe latura ¸ aopus˘ se numeste cevian˘ . a ¸ aTEOREMA 1.11 (Reciproca teoremei lui Ceva) Dac˘ AD, BE, CF sunt trei ceviene ˆn triunghiul ABC si a ı ¸ AF BD CE · · = 1. (1.19) F B DC EAatunci cevienele sunt concurente. Demonstratie. Demonstratia se face prin reducere la absurd. ¸ ¸ Presupunem c˘ AD nu trece prin punctul M , {M } = CF ∩ BE. Fie N punctul ade intersectie dintre AM si BC, AM ∩ BC = {N }. Aplicˆ nd teorema lui Ceva ¸ ¸ apentru punctele E, F si N si comparˆ nd cu relatia din enunt obtinem c˘ M = N . ¸ ¸ a ¸ ¸ ¸ a q.e.d.1.2.3 Teorema lui VAN AUBELTEOREMA 1.12 (TEOREMA LUI VAN AUBEL) Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB). Dac˘ AD, BE, CF asunt concurente ˆn M atunci ı EA F A MA + = . (1.20) EC F B MD Demonstratie. Se aplic˘ teorema lui Menelaus: ¸ a ˆn triunghiul ABD cu secanta F C ı F B AM DC · · = 1, (1.21) AF M D BCde unde rezult˘ a AM DC AF · = . (1.22) M D BC FB
21. 21. 1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 17 A B D C F M E Figura 1.16: Teorema lui Van Aubel si ˆn triunghiul ADC cu secanta BE ¸ ı CE AM BD · · =1 (1.23) AE M D BCde unde rezult˘ : a AM BD AE · = . (1.24) M D BC CEAdun˘ m relatiile (1.22) si (1.24): a ¸ ¸ AM DC BD AF AE + == + ⇒ MD BC BC F B CE EA F A MA + = . EC F B MD q.e.d.1.3 Patrulatere inscriptibileDac˘ ˆn cazul triunghiului ˆntotdeauna exist˘ un cerc circumscris acestuia, ˆn cazul aı ı a ıpatrulaterelor nu se aplic˘ acest rezultat, adic˘ nu orice patrulater poate ﬁ ˆnscris a a ıˆntr-un cerc.ıDEFINITIA 1.8 1. Patru puncte (sau mai multe) se numesc puncte concilice dac˘ ¸ a exist˘ un cerc c˘ ruia s˘ -i apartin˘ toate cele patru puncte. a a a ¸ a 2. Un patrulater se numeste inscriptibil dac˘ cele patru vˆ rfuri ale sale sunt puncte ¸ a a conciclice.
22. 22. 18 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA A B O D C Figura 1.17: Patrulater inscriptibilPROPOZITIA 1.6 Propriet˘ ¸i ale patrulaterului inscriptibil ¸ at ˆ 1. Intr-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare. 2. Unghiurile formate de diagonale cu dou˘ laturi opuse sunt congruente. a Demonstratia acestor aﬁrmatii este imediat˘ folosind m˘ rimea arcelor subˆ ntinse ¸ ¸ a a ade aceste unghiuri. Reciprocele acestor aﬁrmatii, de asemenea, se pot demonstra usor. ¸ ¸PROPOZITIA 1.7 Un patrulater este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ mediatoarele ¸ a¸ alaturilor sale sunt concurente. Demonstratie. “⇒” Se consider˘ un un patrulater ABCD, care este inscriptibil, ¸ a A B O D C Figura 1.18: Patrulater inscriptibiladic˘ exist˘ un cerc C(O, r) care contine punctele A, B, C, D. Atunci a a ¸ OA = OB = OC = OD = r,deci punctul O se aﬂ˘ pe mediatoarele segmentelor [AB], [BC], [AC], [AD]. a
23. 23. 1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 19 “⇐” Se consider˘ patrulaterul ABCD, cu mediatoarele laturilor sale [AB], [BC], a[AC], [AD], concurente ˆn punctul O. ı Atunci folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment de a se ¸ ¸˘ ¸˘aﬂa la aceeasi distanta fata de capetele lui se obtine ¸ OA = OB = OC = OD = r,adic˘ vˆ rfurile lui se aﬂ˘ pe cercul cu centrul ˆn punctul O si raz˘ r. a a a ı ¸ a q.e.d. Cazuri particulare de patrulatere inscriptibile: 1. Dreptunghiul, p˘ tratul sunt patrulatere inscriptibile; a 2. Un trapez este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ este isoscel. a¸ a1.3.1 Teorema lui PtolemeuInegalitatea lui Ptolemeu ˆ orice patrulater convex ABCD are loc relatia: In ¸ AC · BD ≤ AB · CD + BC · AD.TEOREMA 1.13 (TEOREMA LUI PTOLEMEU) Patrulaterul convex ABCD este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ a¸ a AC · BD = AB · CD + BC · AD.(Relatia lui P tolemeu) ¸ (1.25) A B K D C Figura 1.19: Teorema lui Ptolemeu Demonstratie. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe diagonala AC se consi- ¸der˘ punctul K astfel ˆncˆ t ABK = CBD. a ı a ABK + CBK = ABC = CBD + ABD ⇒ CBK = ABD.
24. 24. 20 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANASe observ˘ c˘ triunghiurile ABK ∼ DBC, de unde rezult˘ a a a AK AB = , (1.26) CD BDiar triunghiul ABD ∼ KBC, cu CK BC = . (1.27) DA BDPutem scrie: AK · BD = AB · CD CK · BD = AD · BCsi adunˆ nd aceste relatii obtinem relatia lui Ptolemeu.¸ a ¸ ¸ ¸ q.e.d.Observatia 1.2 Se pot deplasa punctele A, B, C, D pe cerc oricum, dar ca relatia ¸ ¸lui Ptolemeu s˘ se veriﬁce este necesar ca AC si BD s˘ r˘ mˆ n˘ diagonale. a ¸ a a a a ˆ In cazul ˆn care ABCD este dreptunghi, relatia lui Ptolemeu devine teorema lui ı ¸PITAGORA.1.4 Patrulatere circumscriptibileDEFINITIA 1.9 1. Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc se ¸ numeste patrulater circumscris cercului. ¸ 2. Un patrulater spunem c˘ este circumscriptibil dac˘ poate ﬁ circumscris unui a a cerc. Nu putem spune c˘ orice patrulater este circumscriptibil. aPROPOZITIA 1.8 Un patrulater poate ﬁ circumscris unui cerc dac˘ si numai dac˘ ¸ a¸ abisectoarele unghiurilor sale sunt concurente. Demonstratie. “⇒” Consider˘ m un patrulater ABCD circumscris unui cerc, ¸ aadic˘ laturile sale [AB], [BC], [AC], [AD] sunt tangente la un cerc C(O, r). Atunci a d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,deci punctul O se aﬂ˘ pe bisectoarele unghiurilor A, B, C, D. a “⇐” Se consider˘ patrulaterul ABCD, cu bisectoarele unghiurilor sale concu- arente ˆn punctul O. ı
25. 25. 1.4. PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE 21 A B O D C Figura 1.20: Patrulater circumscris Atunci folosind proprietatea punctelor de pe bisectoare de a se aﬂa la aceeasi ¸ ¸˘ ¸˘distanta fata de laturile unghiului se obtine ¸ d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,adic˘ cercul cu centrul ˆn punctul O si raz˘ r este tangent ﬁec˘ rei laturi a patrulate- a ı ¸ a arului. q.e.d.PROPOZITIA 1.9 Un patrulater este circumscriptibil dac˘ si numai dac˘ suma ¸ a ¸ alungimilor laturilor opuse este aceeasi, ¸ AB + CD = AD + BC.Aceasta proprietate poate ﬁ usor demonstrat˘ , deoarece stim c˘ tangentele duse dintr- ¸ a ¸ aun punct la un cerc au aceeasi lungime. ¸PROPOZITIA 1.10 1. Dac˘ un patrulater circumscris unui cerc este trapez, atunci ¸ a punctele de contact cu cercul ale bazelor si centrul cercului sunt colineare. ¸ 2. Dac˘ trapezul este isoscel, atunci lungimea diametrului cercului ˆnscris ˆn tra- a ı ı pez este media geometric˘ a lungimii bazelor. a Demonstratie. ¸ 1.Triunghiurile ∆DEO ≡ ∆DIO sunt congruente, pentru c˘ sunt dreptunghice asi au laturile respectiv egale.¸
26. 26. 22 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA A E D I O B F C Figura 1.21: Trapez circumscris Congruente sunt si triunghiurile ∆OIC ≡ ∆OF C (se poate demonstra tot folo- ¸ ¸˘sind cazul 3 de congruenta a triunghiurilor). Obtinem astfel congruenta unghiurilor ¸ ¸EOD ≡ DOI si IOC ≡ COF .Dar triunghiul DOC este dreptunghic cu unghiul ¸drept DOC. Atunci se observ˘ c˘ unghiul EOF este alungit, adic˘ m˘ sura lui este a a a a180◦ , ceea ce ne arat˘ coliniaritatea celor trei puncte. a 2.ˆ triunghiul dreptunghic DOC segmentul OI este ˆn˘ ltime pe ipotenuz˘ si cum In ı a¸ a¸DI = DE, CI = CF obtinem ¸ DE · CF = OI 2 = r2 ; AE · BF = r2 .Dac˘ trapezul este isoscel se obtine proprietatea anuntat˘ . a ¸ ¸ a q.e.d.1.4.1 Cercul lui EulerCercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte este cercul ce trece prin mijloacele laturilorunui triunghi ; picioarele ˆnˆ ltimilor ; mijloacele segmentelor cuprinse ˆntre vˆ rfuri ı a¸ ı asi ortocentru.¸ Centrul lui se g˘ seste la mijlocul segmentului HO ( H este ortocentrul; O este- a ¸centrul cercului circumscris) si are raza egal˘ cu jum˘ tatea razei cercului circumscris. ¸ a a Vom demonstra conciclitatea celor 9 puncte ˆn capitolul urm˘ tor, folosind trans- ı aform˘ rile geometrice. a
27. 27. 1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 231.5 Probleme de coliniaritate1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit˘ tii unor puncte a¸Coliniaritatea a trei puncte se poate demonstra prin mai multe metode: 1. folosind identitatea AB = AC + CB, unde AB, AC, BC sunt segmente de dreapt˘ ; a 2. utilizˆ nd reciproca teoremei unghiurilor opuse la vˆ rf; a a 3. cu ajutorul unghiului alungit; 4. identiﬁcarea apartenentei punctelor la o dreapt˘ remarcabil˘ (linie mijlocie, me- ¸ a a diatoare, bisectoare, etc.) ˆn conﬁguratia respectiv˘ . ı ¸ a 5. folosind postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralel˘ si numai una la acea dreapt˘ . a¸ a 6. cu ajutorul propriet˘¸ilor paralelogramului; at 7. folosind unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt˘ ; a 8. utilizˆ nd reciproca teoremei lui Menelaus; a 9. prin utilizarea axiomei 6 de incidenta (sau de situare): Dac˘ dou˘ plane distincte a a au un punct comun atunci intersectia lor este o dreapt˘ ; ¸ a10. prin metoda analitic˘ ; a11. prin metoda vectorial˘ ; a12. folosind transform˘ ri geometrice; a13. folosind numerele complexe: punctele M1 (z1 ), M2 (z2 ), M3 (z3 ) sunt colineare z3 − z1 dac˘ si numai dac˘ a¸ a ∈ R. z2 − z11.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui SimpsonDreapta lui Euler ˆTEOREMA 1.14 In orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G si centrul ¸cercului circumscris triunghiului sunt coliniare.
28. 28. 24 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANADreapta determinat˘ de cele trei puncte se numeste dreapta lui Euler. a ¸ Demonstratie. a)Dac˘ triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele ¸ atrei puncte se aﬂ˘ pe o median˘ . a a b)ˆ cazul triunghiului oarecare ABC, not˘ m cu A1 , B1 picioarele ˆn˘ ltimilor din In a ı a¸vˆ rfurile A si B, iar picioarele medianelor din aceste vˆ rfuri sunt A si B . Triunghiu- a ¸ a ¸rile HAB si OA B sunt asemenea pentru c˘ au laturile paralele. Folosind teorema ¸ afundamental˘ a asem˘ n˘ rii se obtine: a a a ¸ HA HB AB HA = = =2⇒ = 2. OA OB AB OA AGDar punctul G ˆmparte mediana ˆn raportul GA = 2. Atunci triunghiurile OGA si ı ı ¸ A B1 B’ H O G B C A1 A’ Figura 1.22:HGA sunt asemenea conform cazului al doilea de asem˘ nare si rezult˘ a ¸ a OGA = AGH,ceea ce implic˘ coliniaritatea punctelor O, G, H. a q.e.d. Dreapta lui SimpsonTEOREMA 1.15 Proiectiile ortogonale ale unui punct de pe cercul circumscris tri- ¸unghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.Dreapta care contine punctele coliniare din teorema anterioar˘ se numeste dreapta ¸ a ¸lui Simpson. Demonstratie. Consider˘ m un punct M pe cercul circumscris triunghiului ABC ¸ asi not˘ m proiectiile ortogonale ale acestuia pe laturile BC, AC, AB cu D, E, respec-¸ a ¸tiv F .
29. 29. 1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 25 F A M E B C D Figura 1.23: Dreapta lui Simpson Patrulaterele AEM F, F BDM sunt inscriptibile pentru c˘ au unghiurile opuse asuplementare, dar si M EDC este inscriptibil. ¸ Atunci DEC = DM C = 90◦ − DCM = 90◦ − F AM = F M A = F EA.Obtinem DEC = F EA, care sunt unghiuri opuse la vˆ rf, ceea ce implic˘ coliniari- ¸ a atatea punctelor D, E, F . q.e.d.1.5.3 Relatia lui Carnot ¸TEOREMA 1.16 (TEOREMA LUI CARNOT) Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB).Perpendicularele ˆn D ıpe (BC), ˆn E pe (AC) si ˆn F pe (AB) sunt concurente dac˘ si numai dac˘ ı ¸ ı a¸ a DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + F A2 − F B 2 = 0. (1.28)Relatia (1.28) se numeste relatia lui Carnot. ¸ ¸ ¸ Demonstratie. “⇒” Presupunem c˘ perpendicularele ˆn D pe (BC), ˆn E pe (AC) ¸ a ı ısi ˆn F pe (AB) sunt concurente. Se formeaz˘ triunghiurile dreptunghice DM B,¸ ı aDM C, EM C, EM A, AM F , F M B pentru care vom scrie teorema lui Pitagoraobtinˆ nd relatiile: ¸ a ¸ BM 2 = M D2 + DB 2 ; (1.29) CM 2 = M D2 + DC 2 ; (1.30)
30. 30. 26 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA A F E M B D C Figura 1.24: Relatia lui Carnot ¸ CM 2 = M E 2 + EC 2 ; (1.31) AM 2 = M E 2 + EA2 ; (1.32) AM 2 = F A2 + F M 2 ; (1.33) BM 2 = F M 2 + F B 2 . (1.34) Scazˆ nd relatiile dou˘ cˆ te dou˘ obtinem: a ¸ a a a ¸ BM 2 − CM 2 = DB 2 − DC 2 ; CM 2 − AM 2 = EC 2 − EA2 ; AM 2 − BM 2 = F A2 − F B 2 .Vom aduna aceste trei relatii si se va obtine relatia lui Carnot. ¸ ¸ ¸ ¸ “ ⇐ Presupunem c˘ relatia lui Carnot este adev˘ rat˘ , dar perpendicularele pe a ¸ a alaturile triunghiului construite ˆn punctele D, E, F nu sunt concurente. ı Perpendicularele construite ˆn dou˘ dintre aceste puncte sunt concurente, de exem- ı aplu cea construit˘ ˆn punctul D si cea din E. Punctul lor de concurenta va ﬁ M . aı ¸ ¸˘ Not˘ m proiectia punctului M pe latura AB cu N . Conform implicatiei directe a ¸ ¸care a fost demonstrat˘ , putem scrie relatia lui Carnot pentru punctele N, E, D: a ¸ DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + N A2 − N B 2 = 0. (1.35)Conform ipotezei: DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + F A2 − F B 2 = 0. (1.36)
31. 31. ¸˘1.6. PROBLEME DE CONCURENTA 27 A F N E M B D C Figura 1.25:Sc˘ zˆ nd (1.28) si (1.36), rezult˘ : a a ¸ a N A2 − N B 2 = F A 2 − F B 2 .Not˘ m BN = m, N F = x, AF = n si relatia anterioar˘ va ﬁ a ¸ ¸ a (n + x)2 − m2 = n2 − (m + x)2ceea ce implic˘ x = 0, adic˘ punctele N, F coincid. a a q.e.d.1.6 ¸˘ Probleme de concurenta1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor drepte ¸Pentru a demonstra concurenta a dou˘ sau mai multe drepte putem folosi una dintre ¸ aurm˘ toarele metode: a 1. folosind deﬁnitia dreptelor concurente, adic˘ s˘ ar˘ tam c˘ exist˘ un punct co- ¸ a a a a a mun dreptelor; 2. concurenta a trei drepte const˘ ˆn a ar˘ ta c˘ punctul de intersectie a dou˘ drepte ¸ aı a a ¸ a apartine si celei de a treia drepte; ¸ ¸ 3. pentru a demonstra concurenta a trei drepte putem s˘ folosim teoremele referi- ¸ a toare la concurenta liniilor importante ˆn triunghi; ¸ ı 4. folosind reciproca teoremei lui Ceva; 5. prin metoda analitic˘ , folosind ecuatiile analitice ale dreptelor; a ¸ 6. pentru concurenta a trei drepte, demonstr˘ m c˘ se intersecteaz˘ dou˘ cˆ te dou˘ ¸ a a a a a a si aria poligonului obtinut este 0. ¸ ¸
32. 32. 28 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA1.6.2 Teoremele lui GergonneTEOREMA 1.17 (TEOREMA LUI GERGONNE) Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB). Dac˘ AD, BE si CF a ¸sunt concurente ˆn punctul M atunci: ı DM EM F M + + = 1. (1.37) AD BE CF Demonstratie. Not˘ m cu ha distanta de la punctul A la BC; cu da distanta de ¸ a ¸ ¸la punctul M la BC; ABM C aria triunghiului BM C si cu AABC aria triunghiului ¸ABC. A F E M B C G I D Figura 1.26: Teorema lui Gergonne ABM C da Se observ˘ c˘ a a = (au aceeasi baz˘ ). ¸ a AABC ha Se construiesc ˆn˘ ltimile AG pentru triunghiul ABC si M I pentru triunghiul ı a¸ ¸BM C. Se formeaz˘ astfel triunghiurile asemenea AGD si M ID, pentru care putem a ¸scrie: da MD = . (1.38) ha ADSe obtine: ¸ ABM C MD = (1.39) AABC ADPrin procedee analoage se pot obtine: ¸ AAM B MF = ; (1.40) AABC CF AAM C ME = (1.41) AABC BE
33. 33. ¸˘1.6. PROBLEME DE CONCURENTA 29adunˆ nd relatiile (1.39), (1.40), (1.41) vom obtine: a ¸ ¸ ABM C AAM C AAM B DM EM F M 1= + + = + + . AABC AABC AABC AD BE CF q.e.d.TEOREMA 1.18 (PUNCTUL LUI GERGONNE) Fie cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC. Dac˘ M, N, P sunt punctele de tangenta ı ı a ¸˘ale cercului cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente ˆn punctul ılui Gergonne.Pentru demonstratie se foloseste reciproca teoremei lui Ceva. ¸ ¸1.6.3 Teorema lui SteinerReamintim c˘ o cevian˘ ˆntr-un triunghi este dreapta determinat˘ de un vˆ rf al triun- a aı a aghiului si un punct de pe latura opus˘ . ¸ a Ceviene izogonale sunt cevienele egal ˆnclinate fata de laturile care pleac˘ din ı ¸˘ aacelasi vˆ rf cu ele. ¸ aTEOREMA 1.19 (TEOREMA LUI STEINER) Dac˘ AM, AN sunt ceviene izogo- anale ˆn triunghiul ABC atunci are loc relatia: ı ¸ AB 2 BM · BN = (1.42) AC 2 CM · CN B A M E N D F C Figura 1.27: Teorema lui Steiner Demonstratie. Prin vˆ rfurile B , respectiv C ale triunghiului ABC construim ¸ aparalele la laturile opuse. Se obtine astfel paralelogramul ABDC. ¸ Not˘ m {E} = AM ∩ BD si {F } = AN ∩ CD. a ¸ BE BM AB BN Cu teorema fundamental˘ a asem˘ n˘ rii se obtine c˘ a a a ¸ a = si ¸ = . AC CM CF CN
34. 34. 30 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA BE AB Relatia de demonstrat devine ¸ = , adev˘ rat˘ din asem˘ narea triunghiuri- a a a CF AClor ABE si ACF . ¸ q.e.d. Un exemplu de ceviene izogonale sunt ˆnaltimea dintr-un vˆ rf si diametrul cercu- ı ¸ a ¸lui circumscris triunghiului, dus din vˆ rful respectiv. a A h O B C D E Figura 1.28: Ceviene izogonale1.7 Relatii metrice ˆn triunghi si patrulater ¸ ı ¸1.7.1 Teorema Pitagora generalizat˘ aEste bine cunoscut˘ teorema lui Pitagora, care se aplic˘ ˆn triunghiuri dreptunghice. a aıAcum prezent˘ m generalizarea ei, numit˘ si teorema cosinusului, care se poate aplica a a¸ˆn orice triunghi.ı aı ˆTEOREMA 1.20 Dac˘ ˆn triunghiul ABC, C este un unghi ascutit si D = prBC A, ¸ ¸atunci: AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC. Demonstratie. Vom discuta 3 cazuri: ¸ ˆ a) unghiul B este ascutit, not˘ m cu D = prBC A, atunci D ∈ (BC). ¸ a Triunghiurile ABD si ADC sunt dreptunghice si vom aplica teorema Pitagora: ¸ ¸ AB 2 = AD2 + BD2 (1.43) AD2 = AC 2 − DC 2 (1.44) BD = BC − DC. (1.45)
35. 35. ¸ ˆ1.7. RELATII METRICE IN TRIUNGHI SI PATRULATER ¸ 31 A B C D Figura 1.29: teorema lui Pitagora generalizat˘ aSe ˆnlocuieste ˆn (1.43) AD si BD date de egalit˘¸ile (1.44) si (1.45) ı ¸ ı ¸ at ¸ AB 2 = AC 2 − DC 2 + (BC − DC)2 , AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC. ˆa) dac˘ unghiul B este obtuz, atunci B ∈ (DC). Egalit˘¸ile (1.43) si (1.44) r˘ mˆ n a at ¸ a a A C D B Figura 1.30: teorema lui Pitagora generalizat˘ aadev˘ rate si a ¸ BD = DC − BC. (1.46)ˆInlocuind ˆn (1.43) AD si BD date de (1.44) si (1.46) se obtine: ı ¸ ¸ ¸ AB 2 = AC 2 − DC 2 + (DC − BC)2 , AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.c) pentru B unghi drept se aplic˘ Pitagora. a q.e.d.
36. 36. 32 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA1.7.2 Relatia lui Stewart ¸Teorema lui Stewart furnizeaz˘ o relatie ˆntre lungimile laturilor unui triunghi si a ¸ ı ¸lungimea segmentului care coboar˘ dintr-un vˆ rf la un punct de pe latura opus˘ . a a aTEOREMA 1.21 (TEOREMA LUI STEWART) Fie un triunghi ABC cu lungimile A c p b x y B C P a Figura 1.31: teorema Stewartlaturilor BC = a, AC = b, AB = c. Fie P un punct pe latura [BC] care dividelatura ˆn dou˘ segmente cu lungimile BP = x, P C = y. Lungimea segmentului AP ı ao vom nota cu p. Atunci: a(p2 + xy) = b2 x + c2 y. (1.47) Demonstratie. Aplic˘ m teorema Pitagora generalizat˘ ˆn triunghiurile ABP si ¸ a aı ¸AP C corespunz˘ toare unghiurilor suplementare AP B, respectiv AP C si adun˘ m a ¸ arelatiile obtinute, dar nu ˆnainte de a le ˆnmulti cu y respectiv x. ¸ ¸ ı ı ¸ q.e.d.1.7.3 Teorema medianeiˆ geometria plan˘ , teorema medianei stabileste o relatie ˆntre lungimea unei me-In a ¸ ¸ ıdiane dintr-un triunghi si lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un ¸caz particular al teoremei lui Stewart.TEOREMA 1.22 Fie triunghiul ABC cu M mijlocul laturii (BC). Atunci: 2(b2 + c2 ) − a2 m2 = a (1.48) 4unde ma = AM, a = BC, b = AC, c = AB. ˆCOROLARUL 1.1 Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz˘ toare aunghiului drept este egal˘ cu jum˘ tate din lungimea ipotenuzei. a a
37. 37. ¸ ˆ1.7. RELATII METRICE IN TRIUNGHI SI PATRULATER ¸ 331.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatere ¸TEOREMA 1.23 Fie patrulaterul ABCD, E mijlocul diagonalei AC si F mijlocul ¸lui BD. Atunci: AB 2 + BC 2 + CD2 + AD2 = AC 2 + BD2 + 4EF 2 . (1.49) Relatia (1.49) se numeste relatia lui Euler pentru patrulatere. ¸ ¸ ¸ A B E F D C Figura 1.32: Relatia Euler pentru patrulatere ¸ Demonstratie. Se construiesc AF, F C, BE, DE. Vom folosi teorema medianei ¸ˆn:ı • triunghiul ABD: 4AF 2 = 2(AB 2 + AD2 ) − BD2 ; (1.50) • triunghiul BCD: 4CF 2 = 2(BC 2 + CD2 ) − BD2 ; (1.51) • triunghiul ABC: 4BE 2 = 2(AB 2 + BC 2 ) − AC 2 ; (1.52) • triunghiul ADC: 4DE 2 = 2(AD2 + CD2 ) − AC 2 ; (1.53) • triunghiul AF C: 4EF 2 = 2(AF 2 + F C 2 ) − AC 2 ; (1.54) • triunghiul BED: 4EF 2 = 2(BE 2 + ED2 ) − BD2 . (1.55)
38. 38. 34 ˘ ˘ CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA Se adun˘ relatiile (1.50),(1.51), (1.52), (1.53) cu relatiile (1.54), (1.55) ˆnmultite a ¸ ¸ ı ¸cu 2 si se obtine (1.49). ¸ ¸ q.e.d.
39. 39. Capitolul 2Transform˘ ri geometrice aIstoria matematicii consemneaz˘ c˘ transform˘ rile geometrice au fost folosite pentru a a aobtinerea primelor demonstratii ale unor teoreme de geometrie. ¸ ¸ Astfel se aﬁrm˘ c˘ Thales din Milet a demonstrat prin suprapunerea ﬁgurilor, a afolosind ideea de miscare, tradus˘ ast˘ zi ˆn aceea de transformare geometric˘ , teore- ¸ a a ı amele: unghiurile opuse la vˆ rf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghi aisoscel sunt congruente; diametrul ˆmparte cercul ˆn dou˘ p˘¸i congruente s.a. ı ı a at ¸ Mai tˆ rziu, Aristotel a eliminat miscarea din geometrie si deci si transform˘ rile a ¸ ¸ ¸ ageometrice, considerˆ nd obiectele matematicii ca entit˘¸i abstracte. Aceast˘ conceptie a at a ¸a fost concretizat˘ de Euclid prin celebra sa carte ”Elementele”, ˆn care geometria a ıeste construit˘ f˘ r˘ utilizarea ideii de miscare pentru c˘ aceasta nu poate exista, con- a aa ¸ aform conceptiei lui Platon, Aristotel, Euclid, ˆn lumea formelor ideale. ¸ ı Pe aceeasi linie s-a situat D. Hilbert ˆn constructia sistemului cunoscut de axiome ¸ ı ¸ale geometriei. El a ˆnlocuit ideea de miscare cu ceea de ﬁguri congruente. ı ¸ Predarea geometriei ˆn spiritul axiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este im- ıplicat˘ , indiscutabil, ˆn diminuarea ponderii transform˘ rilor geometrice ˆn unele pro- a ı a ıgrame analitice si manuale. ¸ Intuitia asigur˘ ˆntelegerea de c˘ tre elevi a notiunilor de miscare, suprapunere, ¸ aı ¸ a ¸ ¸transformare a ﬁgurilor, ceea ce favorizeaz˘ ˆntelegerea ulterioar˘ a unor concepte aı ¸ afundamentale din geometrie sau ofer˘ o cale de a p˘ trunde ˆn corpul teoremelor geo- a a ımetrice f˘ r˘ supozitii complicate, greu de explicitat si de motivat. Acest fapt indic˘ aa ¸ ¸ aposibilitatea de a introduce ˆn geometrie transform˘ rile geometrice. ı a Transform˘ rile geometrice sunt ˆn esenta functii. Studiul lor este calea principal˘ a ı ¸˘ ¸ ape care notiunea de functie p˘ trunde ˆn geometrie. ¸ ¸ a ı Desi transform˘ rile geometrice erau folosite de mult timp ˆn rezolvarea unor pro- ¸ a ıbleme de geometrie, ele nu au fost gˆ ndite ca functii decˆ t relativ recent, cˆ nd ﬁgurile a ¸ a ageometrice au fost concepute ca multimi de puncte. ¸ Ca orice alte functii, transform˘ rile geometrice se pot compune. Exist˘ multe ¸ a asituatii ˆn care multimea transform˘ rilor geometrice de un anumit tip este ˆnchis˘ ¸ ı ¸ a ı a 35
40. 40. 36 ˘ CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICEla compunere, formˆ nd un grup. Amintim grupul translatiilor, grupul rotatiilor de a ¸ ¸acelasi centru, grupul asem˘ n˘ rilor. Asadar transform˘ rile geometrice furnizeaz˘ ¸ a a ¸ a aexemple netriviale de grupuri, fapt ce faciliteaz˘ ˆntelegerea notiunii abstracte de aı ¸ ¸grup la algebr˘ si care indic˘ rolul integrator al transform˘ rilor geometrice cu algebra a¸ a aabstract˘ . a Primele obiective operationale care se urm˘ resc ˆn predarea temei respective sunt: ¸ a ı - construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometric˘ ; a - determinarea punctelor ce corespund printr-o transformare care duce o ﬁgur˘ aˆntr-o alt˘ ﬁgur˘ ;ı a a - remarcarea elementelor care determin˘ o transformare geometric˘ : centrul si- a ametriei, centrul si unghiul rotatiei, etc.; ¸ ¸ - construirea imaginii unei ﬁguri printr-o transformare geometric˘ . a Prin atingerea acestor obiective elevii cap˘ t˘ deprinderea de a folosi transform˘ rile aa ageometrice ˆn rezolvarea problemelor. ı ˆ functie de timpul disponibil, se poate aborda structura grupal˘ a transform˘ rilor In ¸ a ageometrice si teoreme de exprimare a unor transform˘ ri geometrice ca o compunere ¸ ade transform˘ ri mai simple. De exemplu, orice izometrie este compunerea a cel mult atrei simetrii axiale. O structur˘ geometric˘ suﬁcient de simpl˘ si ˆn acelasi timp cu multe propriet˘¸i a a a¸ ı ¸ ateste structura metric˘ a planului (spatiului) dat˘ de distanta dintre dou˘ puncte. a ¸ a ¸ aAceast˘ structur˘ are si un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei ˆn a a ¸ ıclasele a VI-a si a VII-a.Transform˘ rile geometrice compatibile cu structura metric˘ ¸ a asunt interesante si bogate ˆn propriet˘¸i. Dou˘ asemenea clase de transform˘ ri sunt ¸ ı at a astudiate cu prec˘ dere: izometriile si asem˘ n˘ rile. a ¸ a a Gˆ ndim spatiul ﬁzic obisnuit ca o multime de elemente numite puncte, notat cu a ¸ ¸ ¸S. Distanta este o aplicatie , cu urm˘ toarele propriet˘¸i: ¸ ¸ a at 1. d(A, B) ≥ 0 si d(A, B) = 0 dac˘ si numai dac˘ A ≡ B; ¸ a¸ a 2. d(A, B) = d(B, A) 3. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), oricare ar ﬁ punctele A, B, C ∈ S. Aplicatia T : S → S se numeste izometrie dac˘ ¸ ¸ a d(T A, T B) = d(A, B),adic˘ p˘ streaz˘ distanta ˆntre puncte si a a a ¸ ı ¸ se numeste asem˘ nare dac˘ ¸ a a d(T A, T B) = k · d(A, B),adic˘ multiplic˘ distanta cu un factor real strict pozitiv k. a a ¸