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Grafico della circonferenza
- 2. In questa lezione vediamo… 1 Dall’equazione al grafico 2 Casi particolari
- 3. Sfida ?! Imparare a usare il radar per pilotare gli aerei non si fa solo con la pratica! Il tuo insegnante vi ha dato un test per vedere se siete in grado di lavorare con le coordinate. Nel test, lo schema del radar è rappresentato da un piano cartesiano e la torre di controllo è nell’origine degli assi. Tu percorri una traiettoria di equazione , mentre il Barone Rosso percorre Come sarà il disegno di queste traiettorie? x2 + y2 + 4x − 5 = 0 x2 + y2 −3x + 2y −8 = 0
- 4. Ora vediamo… ! 1 Dall’equazione al grafico 2 Casi particolari
- 5. Vediamo come rappresentare sul piano cartesiano l’equazione della circonferenza 1. Dall’equazione al grafico x2 + y2 + ax + by+c = 0 Ricaviamo da queste relazioni le coordinate del centro e la misura del raggio ! " ! # $ −+= −= −= 222 2 2 ryxc yb xa CC C C ! ! ! ! " !! ! ! # $ −+=−& ' ( ) * + −+& ' ( ) * + −=−+= −= −= c ba c ba cyxr b y a x CC C C 4422 2 2 2222 22 Iniziamo ricordando la relazione tra i coefficienti dell’equazione, il centro e il raggio
- 6. Esempio: Quindi il centro C ha coordinate e il raggio misura r = a2 4 + b2 4 −cC − a 2 ;− b 2 " # $ % & ' 1. Dall’equazione al grafico L’equazione con rappresenta la circonferenza di centro e raggio Per fare meglio il disegno, cerchiamo anche i punti di intersezione tra la circonferenza e gli assi cartesiani: 042422 =−−++ yxyx a = 4, b = −2, c = −4 C − 4 2 ;− −2 2 " # $ % & ' = −2;1( ) r = −2( ) 2 +12 + 4 = 9 = 3 C −2;1( ) −2 1 y xO r = 3 ! " # =−−++ = 0424 0 22 yxyx x ! " # =−−++ = 0424 0 22 yxyx y
- 7. 1. Dall’equazione al grafico Intersezione asse x y = 0 x2 + y2 + 4x − 2y − 4 = 0{ y = 0 x2 + 4x − 4 = 0{ y = 0 x1,2 = −2 ± 4+ 4 = −2 ± 2 2 " # $ x = 0 x2 + y2 + 4x − 2y − 4 = 0{ x = 0 y2 − 2y − 4 = 0{ x = 0 y1,2 =1± 1+ 4 =1± 5 " # $ Troviamo così i quattro punti di intersezione ( ) ( ) ( ) ( )0;22251;0 0;22251;0 +−+ −−− BE AD C −2;1( ) −2 1 y xO r = 3 A B D E Intersezione asse y
- 8. Ora vediamo… ! 1 Dall’equazione al grafico 2 Casi particolari
- 9. 2. Casi particolari Se uno o più coefficienti a, b, c sono nulli, possiamo disegnare la circonferenza più facilmente. Nell’equazione della circonferenza manca il termine di primo grado di x: il centro sta sull’asse y 0000 22 =+++⇒≠≠= cbyyxcbaCaso , e Il centro della circonferenza ha coordinate ! " # $ % & − 2 ;0 b C c b r −= 4 2 e il raggio misura y C 0;− b 2 " # $ % & ' xO c b r −= 4 2
- 10. 2. Casi particolari Questa volta, nell’equazione manca il termine di primo grado in y: il centro sta sull’asse x 0000 22 =+++⇒≠≠= caxyxcabCaso , e Il centro ha coordinate ! " # $ % & − 0; 2 a C c a r −= 4 2 e il raggio misura y C − a 2 ;0 " # $ % & ' xO c a r −= 4 2
- 11. 2. Casi particolari Se , la circonferenza passa per l’origine degli assi! 0000 22 =+++⇒≠≠= byaxyxbacCaso , e y CC! ! " # $ % & −− 2 ; 2 ba C xO 44 22 ba r += 0=c Il centro ha coordinate ! " # $ % & −− 2 ; 2 ba C 44 22 ba r +=e il raggio misura
- 12. 2. Casi particolari È il caso più semplice da disegnare! Non ci sono i termini di primo grado di x e y cr −= 0=Vediamo ora i casi in cui due coefficienti sono 0000 22 =++⇒≠== cyxcbaCaso , e y CC! ( )0;0C x cr −= Il centro è nell’origine O ( )0;0C e il raggio misura c < 0 Attenzione! Per essere una circonferenza deve valere
- 13. 2. Casi particolari ! " # $ % & − 2 ;0 b C 0000 22 =++⇒≠== byyxbcaCaso , e y C 0;− b 2 " # $ % & ' xO 2 b r = La circonferenza passa per l’origine perché Anche quindi il centro sta sull’asse y 0=c 0=a Le coordinate del centro sono 24 2 bb r ==e il raggio misura
- 14. 2. Casi particolari 0000 22 =++⇒≠== axyxacbCaso , e ! " # $ % & − 0; 2 a C In questo caso il centro sta sull’asse x perché La circonferenza passa per l’origine perché 0=c 0=b Le coordinate del centro sono 24 2 aa r ==e il raggio misura y C − a 2 ;0 " # $ % & ' xO 2 || a r =
- 15. !! Soluzione alla sfida Le due equazioni rappresentano delle circonferenze! In particolare, la circonferenza ha il centro sull’asse x, infatti , e raggio . Invece, la circonferenza ha centro e raggio x2 + y2 + 4x − 5 = 0 C1(−2;0) r1 = 4+ 0 + 5 = 3 x2 + y2 −3x + 2y −8 = 0 C2 3 2 ;−1 " # $ % & ' r2 = 9 4 +1+8 = 3 5 2 y xO r1 r2 C1(−2;0) C2 3 2 ;−1 " # $ % & '
- 16. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…! • Disegna la circonferenza di equazione indicandone centro e raggio. 0422 =−+ yyx • Senza fare calcoli, puoi dire se la circonferenza di equazione passa per l’origine?012933 22 =+−+ yxyx • Dove si trova il centro della circonferenza ?09822 =−++ xyx