1. ĐỀ THI THỬ SỐ 1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
(1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Chứng minh rằng 2 2 2 2 3
cos cos cos .
3 3 2
x x x
b) Giải phương trình 2
22
log ( 3) 8log 2 1 4.x x
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
0
( sin ) .I x x x dx
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2( 1) 3 (5 )z z i i . Tính môđun của z.
b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn
lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức
chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng
cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,
0
60 ,BAC cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3SA a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện 0
90 ,AIB chân đường cao kẻ từ A
đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng
đỉnh A có hoành độ dương.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và
C(4;1;–1). Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho
thể tích khối tứ diện MABC bằng 5.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2 2
2
4 2
3( 2) 1 3 1 .
1
x x x x
x x
Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 .S x y z
---------------- Hết ----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….……...
www.VNMATH.com
2. 1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
(Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang)
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1 2,00
a (1,00 điểm)
TXĐ: D = { 2}.
Giới hạn và tiệm cận:
2 2
lim 2; lim ; lim
x x x
y y y
Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2.
0,25
Sự biến thiên: 2
3
' 0, { 2}
( 2)
y x
x
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–;–2) và (–2;+).
0,25
Bảng biến thiên:
Hàm số không có cực trị.
0,25
Đồ thị:
0,25
b (1,00 điểm)
Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó y’(x0) = 3. 0,25
Ta có phương trình 02
02
00
13
3 ( 2) 1
3.( 2)
x
x
xx
0,25
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là:
3 2, 3 14y x y x . 0,25
Từ giả thiết ta được 3 2.y x 0,25
www.VNMATH.com
3. 2
2 1,00
a (0,5 điểm)
Ta có
3 1 2 4
cos2 cos 2 cos 2
2 2 3 3
A x x x
0,25
3 1 3 1 3
cos2 2cos 2 cos cos2 cos2 .
2 2 3 2 2 2
x x x x
0,25
b (0,5 điểm)
ĐK:
1
, 3.
2
x x Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
2 2 2
3
4 log 3 4log (2 1) 4 log 1
2 1
x
x x
x
0,25
3 4 23
2 3 4 2 1.
3 4 22 1
x xx
x x x
x xx
Phương trình có nghiệm 1.x
0,25
3 1,00
3 3
2
0 0 00
( sin ) sin sin .
3 3
x
I x x x dx x xdx x xdx
0,25
Tính 1
0
sin .I x xdx
Đặt
sin cos .
u x du dx
dv xdx v x
0,25
1 0 0
0
cos cos sin .I x x xdx x
0,25
3
.
3
I
0,25
4 1,0
a (0,5 điểm)
Đặt ,( , )z a bi a b . Khi đó:
2( 1) 3 (5 ) 2( 1) 3( ) 1 5 1 5(1 ) 0.z z i i a bi a bi i a b i
0,25
1
2.
1
a
z
b
0,25
b (0,5 điểm)
Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5
bạn nữ thuộc cùng một nhóm”.
Ta có 5 5 5 5
20 15 10 5C C C C cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D.
0,25
Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có 5 5 5
15 10 5C C C cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại
Do vai trò các nhóm như nhau, có 5 5 5
15 10 54C C C cách chia các bạn vào các nhóm A, B,
C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm.
Xác suất cần tìm là: 5
20
4 1
( )
3876
P X
C
.
0,25
5 1,00
www.VNMATH.com
4. 3
Xét tam giác ABC có
0
2
tan 60 2 3
2 3.ABC
BC AB a
S a
0,25
2 3
.
1 1
. 3.2 3 2 .
3 3
S ABCD ABCV SAS a a a 0,25
- Gọi N là trung điểm cạnh SA.
Do SB // (CMN) nên
( , ) ( ,( ))
( ,( ))
( ,( )).
d SB CM d SB CMN
d B CMN
d A CMN
- Kẻ ,AE MC E MC và kẻ
,AH NE H NE
Chứng minh được
( )AH CMN ( ,( )) .d A CMN AH
0,25
Tính
2 AMCS
AE
MC
trong đó:
21 1 3
. .sin .4 . 3 2 3
.2 2 2
13
13
AMCS AM AC CAM a a a a
AE
MC a
Tính được
2 3 2 3 2 3
( ,( )) ( , ) .
29 29 29
a a a
AH d A CMN d SB CM
0,25
6 1,00
Do 0
90AIB 0
45ACB hoặc
0
135ACB 0
45ACD tam giác
ACD vuông cân tại D nên DA = DC.
Hơn nữa, IA = IC.
Suy ra, DI AC đường thẳng AC
thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và
AC vuông góc ID.
0,25
Viết phương trình đường thẳng AC: 2 9 0x y .
Gọi (2 9; )A a a AC . Do 2 ( , ) 2 10DA d D AC nên
0,25
2 2 2 1 ( 7;1)
(2 8) ( 1) 2 10 6 5 0
5 (1;5)
a A
a a a a
a A
Theo giả thiết bài cho (1;5)A .
0,25
Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0. Gọi ( 3 4; ).B b b
Tam giác IAB vuông tại I nên
. 0 3( 3 2) 4( 1) 0 2IA IB b b b
(2; 2).B
Đáp số: (1;5), (2; 2).A B
0,25
7 1,0
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với (2;3;0).I 0,25
Bán kính của (S) là 3
2
AB
R .
Phương trình của (S): 2 2 2
( 2) ( 3) 3.x y z
0,25
www.VNMATH.com
5. 4
Gọi (0;0; )M t Oz . Do VMABC = 5 nên 1
[ , ] 5
6
AB AC AM
11 4 5.t 0,25
1 (0;0;1)
11 4 15
11 4 15 13 13
11 4 15 (0;0; ).
2 2
t M
t
t
t t M
0,25
8 1,00
ĐK: 1.x
Với điều kiện đó
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
8 2
6( 2) 2 6 1 0
1
4 2
3 1 1 2 5 0.
1
BPT x x x x x
x x
x x x x x x
x x
0,25
Xét hàm số
4 2
( ) 5
1
f t t
t
với 0.t Ta có
2 2
'( ) 1 .
( 1) 1
f t
t t
'( ) 0 1.f t t
Bảng xét dấu
Suy ra ( ) (1), [0;+ ) ( ) 0, [0;+ ).f t f t f t t Dấu “=” xảy ra t = 1.
0,25
Do 2 2
2
4 2
0, [0;+ ) 5 0, [0;+ ).
1
x x x x x x
x x
Dấu “=” xảy ra khi 2 1 5
1 .
2
x x x
0,25
Khi đó:
2 2
2 2 2
2
4 2
3 1 1 2 5 0
1
x x x x x x
x x
2
2
2
2
1 0
1 5
1 0 .
2
4 2
5 0
1
x x
x x x
x x
x x
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
1 5
[1; )
2
S
.
0,25
9 1,00
Ta có: 2( ) ( 7)x y z xy . Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0.
Khi đó, từ giả thiết ta được
2( )
.
7
x y
z
xy
Suy ra:
4( )
( ; ) 2
7
x y
S f x y x y
xy
với điều kiện 0, 0, 7x y xy (*)
0,25
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được:
2
'
2 2
4( 7) 4 ( ) 28 4
( ; ) 1 1 .
( 7) ( 7)
y
xy x x y x
f x y
xy xy
' 2 2 2
0 2
7 7
( ; ) 0 14 21 4 0 2 1 .yf x y x y xy x y
x x
www.VNMATH.com
6. 5
Suy ra: 0 2
11 7
( ; ) 2 4 1 .f x y x
x x
0,25
Xét hàm số 2
11 7
( ) 2 4 1g x x
x x
với x > 0 với 2
3
2
11 28
'( ) 2 .
7
1
g x
x
x
x
'( ) 0 3.g x x
Khi đó ( ) (3) ( ) 15.g x g g x
0,25
Với điều kiện (*), ta có 0( ; ) ( ) 15.S f x y g x
Vậy min 15S khi 3, 5, 2.x y z
0,25
------------ Hết -------------
www.VNMATH.com
