Kalkulus

1. SEMESTER I
Tahun akademik 2020/2021
Jufri, S.Pd., M. Mat.
Alamat : Jln Riau Pasir Pengaraian
E-mail : jufrirokan@gmail.com
: tmhsjufri@gmail.com
Kontak : 081378803664
18/09/2023
Pertemuan 5

2. 18/09/2023
SILABUS KULIAH
Bilangan Real
0
Limit dan kekontinuan
2
Fungsi
1
TURUNAN
3
APLIKASI TURUNAN
4
integral
5
APLIKASI integral
6
fungsi transenden
7

3. 18/09/2023
limit fungsi trigonometri
1.4
1.lim sin x =
x→c
x = cos c
sin c 2.lim cos
x→c
= =
3.lim tan
x→c
x tan c 4.lim cot
x→c
x cot c
= =
5.lim sec
x→c
x sec c 6.lim csc x
x→c
cscc

4. 18/09/2023
limit fungsi trigonometri
1.4
Bukti bahwa lim sin x = sin c
x→c
Untuk t > 0, berlaku 0<|BP|<|AP|.
Karena |BP| = sin t dan |AP| < t,
maka 0 < sin t < t.
P
1
t
B A
O
Dengan Teorema
lim sin t
Apit,
= 0.
t→0+
sin t = 0.
lim
t→0−
Serupa dengan itu,
t =
limsin 0.
Jadi
t→0
lim cos t = 1.
t→0
Dengan cara serupa, dapat dibuktikan

5. 18/09/2023
limit fungsi trigonometri
1.4
Bukti bahwa lim sin x = sin c
x→c
limsin t = sin c,
Untuk menunjukkan bahwa
t→c
misalkan k = t – c sehingga
Jadi
k → 0 ketika t → c.
= lim sin(c +
lim sin
t→c
t k)
k→0
=
=
=
lim(sin c.cos k + cos
k →0
(sin c).1+ (cos c).0
sin c.
c.sin k)

6. 18/09/2023
limit fungsi trigonometri
1.4
Limit Trigonometri Khusus
1−cost
sin t
=1. = 0.
1.lim
t→0
2.lim
t→0
t t
Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa
untuk t ≠ 0, berlaku
cost 
sin t
1.
t
lim cos t = 1, maka dengan
Karena Teorema Apit
sin t
t→0
=1.
lim
t→0
kita simpulkan bahwa
t

7. 18/09/2023
limit fungsi trigonometri
1.4
Latihan
sin t
=1,
lim
t→0
1. Menggunakan
hitunglah:
fakta bahwa
t
2
sin(x +2x)
lim sin t.cot 2t
t→0
lim
a. b.
2x2
+ x
x→0
1−cost
=
lim
t→0
0.
2. Buktikan bahwa
t

8. 18/09/2023
Limit di tak hingga dan limit tak hingga
1.5
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( →


+ x
g
L
i
Limit Tak Hingga
maka
,
0
)
(
lim
dan
0
)
(
lim
Misal =

=
→
→
x
g
L
x
f
a
x
a
x
=
→ )
(
)
(
lim
x
g
x
f
a
x
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( →


− x
g
L
ii
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( →


+ x
g
L
iii
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
( →


− x
g
L
iv
Ctt : g(x) → 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)
positif.
g(x) → 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)
negatif.

9. 18/09/2023
Limit di tak hingga dan limit tak hingga
1.5
0
2
1
lim 2
1

=
+
−
−
→
x
x
+
=
−
+
−
−
→ 1
1
lim 2
2
1 x
x
x
Contoh Hitung
1
1
lim
2
1 −
+
−
→ x
x
x
a.
1
1
lim 2
2
1 −
+
−
−
→ x
x
x x
x
x sin
lim+
→
b. c.
Jawab
a. 0
2
1
lim 2
1

=
+
−
→
x
x
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena
x → 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya
x-1 akan bernilai negatif
Sehingga
−
=
−
+
−
→ 1
1
lim
2
1 x
x
x
b. akan menuju 0 dari arah atas, karena
x → -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi
bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat
kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1
)
( 2
−
= x
x
g
1
2
−
x
Sehingga

10. 18/09/2023
Limit di tak hingga dan limit tak hingga
1.5
0
lim 
=
+
→


x
x
−
=
+
→ x
x
x sin
lim

c.
dan
f(x)=sinx
 x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah
bawah(arah nilai sinx negatif)
sehingga
Karena


11. 18/09/2023
Limit di tak hingga dan limit tak hingga
1.5
L
x
f
x
=

→
)
(
lim
Limit di Tak Hingga
a. jika 
 
−






 |
)
(
|
0
0 L
x
f
M
x
M
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
4
2
5
2
lim 2
2
+
+
+

→ x
x
x
x
Jawab
)
2
(
)
1
(
lim
2
2
4
2
5
2
2
x
x
x
x x
x
+
+
+
=

→
4
2
5
2
lim 2
2
+
+
+

→ x
x
x
x
2
2
4
2
5
2
1
lim
x
x
x
x
+
+
+
=

→
= 1/2

12. 18/09/2023
Limit di tak hingga dan limit tak hingga
1.5
L
x
f
x
=
−
→
)
(
lim jika 
 
−






 |
)
(
|
0
0 L
x
f
M
x
M
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh Hitung
4
2
5
2
lim 2
+
+
−
→ x
x
x
4
2
5
2
lim 2
+
+
−
→ x
x
x
Jawab
)
2
(
)
(
lim
2
2
4
2
5
2
2
x
x
x
x x
x
+
+
=
−
→
)
2
(
)
(
lim
2
2
4
5
2
x
x
x
x +
+
=
−
→
= 0

13. 18/09/2023
Limit di tak hingga dan limit tak hingga
1.5
Soal Latihan
lim
x
x
x
→ +
+
−
3
3
3
lim
x x
→ + −
2
2
3
4
)
1
(
lim x
x
x
−
−

→
lim
x
x
x
→ +
1 2
1
1
lim
2
−
+
−
→ x
x
x
lim
x
x x
x
→
+
+
2
1
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.

14. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
ada
)
(
lim x
f
a
x→
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
=
→
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
(ii)
(iii)
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan
tidak kontinu di x=a
a
(i)
º
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a

15. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
a
(ii)
1
L
2
L
Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit
di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a)
f(a) ada
)
(
lim x
f
a
x→
L ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan
limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

16. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)
(
lim x
f
a
x→
ada
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
=
→
f(x) kontinu di x=2
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus
dengan cara mendefinisikan nilai fungsi
dititik tersebut = limit fungsi
a
º

17. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan
alasannya
2
4
)
(
2
−
−
=
x
x
x
f





=

−
−
=
2
,
3
2
,
2
4
)
(
2
x
x
x
x
x
f
a. b.




−

+
=
2
,
1
2
,
1
)
( 2
x
x
x
x
x
f
c.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu
di x=2
b. - f(2) = 3
4
2
lim
)
2
(
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
2
2
2
2
=
+
=
−
+
−
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x

→
-
-
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak
kontinu di x=2

18. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
c. 3
1
2
)
2
( 2
=
−
=
f
-
- 3
1
lim
)
(
lim
2
2
=
+
=
→
→ −
x
x
f
x
x
3
1
lim
)
(
lim 2
2
2
=
−
=
→
→ +
x
x
f
x
x
3
)
(
lim
2
=
→
x
f
x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
=
→
-
Karena semua syarat dipenuhi → f(x) kontinu di x=2

19. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
=
−
→
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)
(
)
(
lim a
f
x
f
a
x
=
+
→
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi




−

+
=
2
,
1
2
,
)
( 2
x
ax
x
a
x
x
f
Kontinu di x=2

20. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
=
+
→
1
4
1
2
)
2
( 2
−
=
−
= a
a
f
Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
=
−
→
a
a
x
x
f
x
x
+
=
+
=
→
→ −
2
lim
)
(
lim
2
2
1
4
1
2
)
2
( 2
−
=
−
= a
a
f
2 + a = 4a – 1
-3a = -3
a = 1
f kontinu kanan di x=2
1
4
1
lim
)
(
lim 2
2
2
−
=
−
=
→
→ +
a
ax
x
f
x
x
Selalu
dipenuh

21. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
1. Diketahui



−

+
−

−
=
1
,
2
2
1
,
1
)
(
2
x
x
x
x
x
f
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
Soal Latihan
2. Agar fungsi








+

+
=
2
,
3
2
1
,
1
,
1
)
(
x
x
x
b
ax
x
x
x
f
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi






−

−
−
+
=
2
,
4
2
2
,
2
4
)
(
2
x
x
x
x
bx
ax
x
f
kontinu di x = 2

22. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
KEKONTINUAN PADA INTERVAL
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x)
kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila
:
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x  R maka dikatakan
f(x) kontinu ( dimana-mana ).

23. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
Teorema 3.2
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
Misalkan , maka
- f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
- f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n
x
x
f =
)
(
4
)
( −
= x
x
f
)
4
(
0
4
lim
)
(
lim
4
4
f
x
x
f
x
x
=
=
−
= +
+
→
→


24. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
f x
x x
x
( ) =
+
+
2
3
3
f x
x
x
( ) =
−
−
2
3
4
8
f x
x
x
( )
| |
=
−
−
2
2
9
4
1
)
(
2
−
−
−
=
x
x
x
f
2
4
)
( x
x
x
f −
=
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.

25. 18/09/2023
kekontinuan
1.6
Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan f(x) kontinu di L, maka
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
L
x
g
a
x
=
→
)
(
lim
)
(
))
(
lim
(
))
(
(
lim L
f
x
g
f
x
g
f
a
x
a
x
=
=
→
→
)
)(
( x
g
f 
))
(
(
lim
)
)(
(
lim x
g
f
x
g
f
a
x
a
x →
→
=

))
(
lim
( x
g
f
a
x→
=

26. 18/09/2023
kekontinuan
1.6








−
+
+
−
=
4
3
1
3
cos
)
( 2
4
x
x
x
x
x
f
)
)(
(
)
( x
h
g
x
f 
=
4
3
1
3
)
( 2
4
−
+
+
−
=
x
x
x
x
x
h dan g(x) = cos x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana
Maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}