Trabajo de cálculo integral hecho por Juan Esteban Arana Valencia para el tercer semestre de la carrera de física en la Universidad del Quindío.

1. Juan Esteban Arana Valencia - Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías - Física - 2021-1
TALLER REGLA DE L’HOPITAL
Resolver los límites:
1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝜋
4
(𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 1) 𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
Se reescribe para probar la condición de L’Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝜋
4
(
𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 1
1
𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
) =
𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
4
) − 1
1
𝑠𝑒𝑐 (2
𝜋
4
)
=
0
0
Se deriva y resuelve:
(𝑡𝑎𝑛(𝑥) − 1)′
= 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
(
1
𝑠𝑒𝑐(2𝑥)
)
′
= −2 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→
𝜋
4
(
𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
−2 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
)
𝑠𝑒𝑐2
(
𝜋
4
)
−2 𝑠𝑖𝑛 (2
𝜋
4
)
= −1
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Reescribir el límite mediante ley de los exponentes:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑙𝑛(𝑥)
Tomando el exponente de Euler:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑙𝑛(𝑥)
Se reescribe para probar la condición de L’Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛(𝑥)
1
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
=
𝑙𝑛(0)
1
𝑡𝑎𝑛(0)
=
0
0

2. Juan Esteban Arana Valencia - Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías - Física - 2021-1
Se deriva:
(𝑙𝑛(𝑥))′
=
1
𝑥
(
1
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
)
′
= − 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
𝑥
− 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
−𝑥 csc2(𝑥)
Se reescribe para probar la condición de L’Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
− 𝑥 𝑐𝑠𝑐2(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
−
𝑥
sin2(𝑥)
=
0
0
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
−
𝑥
𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
−
𝑥
cos(𝑥) sin(𝑥) + sin(𝑥) cos(𝑥)
=
1
sin(2𝑥)
Se reemplaza en 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
−𝑥 csc2(𝑥)
:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
−𝑥 csc2(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
−
1
sin(2𝑥)
= sin(2𝑥) = 0
Se reemplaza en Euler:
𝑒0
= 1
3. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑡(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)
Reescribir el límite mediante ley de los exponentes:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑡(𝑥))
Tomando el exponente de Euler:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑡(𝑥))
Se reescribe para probar la condición de L’Hopital:

3. Juan Esteban Arana Valencia - Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías - Física - 2021-1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑡(𝑥))
1
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
=
𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑡(0))
1
𝑠𝑖𝑛(0)
=
0
0
Se deriva:
(𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑡(𝑥)))′
= − 𝑐𝑠𝑐2(𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
(
1
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
)
′
= − 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑐𝑠𝑐(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
− 𝑐𝑠𝑐2(𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
− 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 𝑐𝑠𝑐(𝑥)
= 0
Se reemplaza en Euler:
𝑒0
= 1
4. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(
𝑥
2
)
1
𝑥−2
Reescribir el límite mediante ley de los exponentes:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑒
1
𝑥−2
𝑙𝑛(
𝑥
2
)
Tomando el exponente de Euler:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
1
𝑥 − 2
𝑙𝑛 (
𝑥
2
)
Se reescribe para probar la condición de L’Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑙𝑛 (
𝑥
2
)
𝑥 − 2
=
𝑙𝑛 (
2
2
)
2 − 2
=
0
0
Se deriva:
(𝑙𝑛 (
𝑥
2
))
′
=
1
𝑥
(𝑥 − 2)′
= 1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
1
𝑥
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
1
𝑥
=
1
2

4. Juan Esteban Arana Valencia - Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías - Física - 2021-1
Se reemplaza en Euler:
𝑒
1
2 = √𝑒
5. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑙𝑛(𝑥)
𝑥−1
Se prueba la condición de L’Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑙𝑛(𝑥)
𝑥 − 1
=
ln(1)
1 − 1
=
0
0
Se deriva y resuelve:
(𝑙𝑛(𝑥))′
=
1
𝑥
(𝑥 − 1)′
= 1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
1
𝑥
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
1
𝑥
=
1
1
= 1
6. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(3𝑥)
𝑥−
3
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
Se prueba la condición de L’Hopital:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(3𝑥)
𝑥 −
3
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
=
sin(3 ⋅ 0)
0 −
3
2
sin(2 ⋅ 0)
=
0
0
Se deriva y resuelve:
(𝑠𝑖𝑛(3𝑥))′
= 3 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)
(𝑥 −
3
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥))
′
= 1 − 3 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
3 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)
1 − 3 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
=
3 𝑐𝑜𝑠(3 ⋅ 0)
1 − 3 𝑐𝑜𝑠(2 ⋅ 0)
= −
3
2
7. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑡(𝑥)
Se reescribe para probar la condición de L’Hopital:

5. Juan Esteban Arana Valencia - Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías - Física - 2021-1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥)
1
𝑐𝑜𝑡(𝑥)
=
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(0)
1
𝑐𝑜𝑡(0)
=
0
0
Se deriva y resuelve:
(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(𝑥))′
=
1
√1 − 𝑥2
(
1
cot(𝑥)
)
′
= sec2(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
√1 − 𝑥2
sec2(𝑥)
=
1
√1 − 02
sec2(0)
= 1
8. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
1
2
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
4
𝑥
Se separan los límites:
1
2
(𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
4
𝑥)
Se prueba la condición de L’Hopital en 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
=
𝑠𝑖𝑛(0)
𝑡𝑎𝑛(0)
=
0
0
Se deriva:
(𝑠𝑖𝑛(𝑥))′
= 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
(𝑡𝑎𝑛(𝑥))′
= 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
=
𝑐𝑜𝑠(0)
𝑠𝑒𝑐2(0)
= 1
Se reescribe el límite separado:
1
2
(1 ⋅ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
4
𝑥)
Reescribir el límite 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
4
𝑥 mediante ley de los exponentes:

6. Juan Esteban Arana Valencia - Universidad del Quindío
Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías - Física - 2021-1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑒
4
𝑥
𝑙𝑛(1+𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
Tomando el exponente de Euler:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
4 𝑙𝑛(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
𝑥
Se prueba la condición de L’Hopital:
4 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑙𝑛(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥))
𝑥
=
4 𝑙𝑛(1 + 𝑡𝑎𝑛(2 ⋅ 0))
0
=
0
0
Se deriva:
(𝑙𝑛(1 + 𝑡𝑎𝑛(2𝑥)))′
=
2 sec2(2𝑥)
1 + tan(2𝑥)
(𝑥)′
= 1
4𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2 sec2(2𝑥)
1 + tan(2𝑥)
=
4 ⋅ 2 sec2(2 ⋅ 0)
1 + tan(2 ⋅ 0)
= 4 ⋅ 2 = 8
Se reemplaza en Euler:
𝑒8
Se reescribe el límite separado:
1
2
(1 ⋅ 𝑒8) =
𝑒8
2