matematicas

1. UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICAS
CALCULO DIFERENCIAL APLICADO
DOCENTE: RODIN MARÍN CALDERÓN
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si 𝑓(𝑢) = ln|𝑢| y 𝑢 = 𝑢(𝑥), entonces 𝑓′(𝑢) =
𝑢′
𝑢
. Es decir, la derivada de la función logarítmica es
igual a la derivada del argumento dividido entre el argumento del logaritmo.
Ejemplos.
Derive las siguientes funciones logarítmicas.
A. 𝑓(𝑥) = ln|5𝑥2
− 3| aplicando la regla para la derivada de la función logaritmo, se obtiene:
𝑓′(𝑥) =
10𝑥
5𝑥2−3
Al derivar funciones logarítmicas, en muchas ocasiones, resulta más fácil aplicar primero las
propiedades de los logaritmos y después derivar la función.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. ln|𝑋. 𝑌| = ln|𝑋| + ln|𝑌| 2. ln |
𝑋
𝑌
| = ln|𝑋| − ln|𝑌| 3. ln|𝑋𝑛| = 𝑛 ln|𝑋|
Veamos:
B. 𝑔(𝑥) = ln|𝑥3| al aplicar la regla para derivar una función logarítmica, se obtiene:
𝑔′(𝑥) =
3𝑥2
𝑥3 simplificando las potencias de 𝑥, se obtiene:
𝑔′(𝑥) =
3
𝑥
y esa es la derivada de 𝑔(𝑥), totalmente simplificada.
Ahora hallamos la derivada de 𝑔(𝑥) aplicando primero la propiedad del logaritmo:
𝑔(𝑥) = ln|𝑥3| al aplicar la propiedad 3 de los logaritmos, la función se transforma en:
𝑔(𝑥) = 3 ln|𝑥| ahora derivamos la función aplicando la regla para derivar logaritmos, la
constante queda igual, solo derivamos la función:
𝑔′(𝑥) = 3.
1
𝑥
=
3
𝑥
→ 𝑔′(𝑥) =
3
𝑥
observamos que es exactamente igual a la anterior.
C. 𝑦 = ln √𝑥4 − 5 esta función es equivalente a:
𝑦 = ln(𝑥4
− 5)
1
2 ahora aplicamos la regla para derivar logaritmos y la regla de la cadena:

2. 𝑦′ =
1
2
(𝑥4−5)
−1
2 . 4𝑥3
(𝑥4−5)
1
2
resolvemos las operaciones indicadas:
𝑦′ =
4𝑥3
2(𝑥4−5)
1
2
(𝑥4−5)
1
2
ahora, del producto de los extremos resulta el nuevo numerador y del
producto de los medios resulta el nuevo denominador, así:
𝑦′ =
4𝑥3
2(𝑥4−5)
1
2(𝑥4−5)
1
2
por último, dividimos 4 entre 2, y multiplicamos en el denominador
las potencias de igual base, y obtenemos la derivada ya simplificada:
𝑦′ =
2𝑥3
𝑥4−5
.
Ahora vamos a derivar la misma función, pero aplicando previamente las propiedades de los
logaritmos:
𝑦 = ln √𝑥4 − 5 esta función es equivalente a:
𝑦 = ln(𝑥4
− 5)
1
2 ahora aplicamos la propiedad 3 de los logaritmos:
𝑦 =
1
2
ln(𝑥4
− 5) a continuación, derivamos aplicando la regla de derivada de logaritmos:
𝑦′
=
1
2
4𝑥3
(𝑥4−5)
=
4𝑥3
2(𝑥4−5)
aquí multiplicamos, numerador por numerador y denominador
por denominador, y ahora dividimos 4 entre 2 y obtenemos:
𝑦′ =
2𝑥3
𝑥4−5
resultado igual al método anterior.
Ahora derivaremos logaritmos aplicando primero las propiedades siempre que sea posible.
D. 𝑓(𝑥) = ln|(5𝑥 + 2)4(8𝑥 − 3)6| primero aplicamos la propiedad 1 de los logaritmos:
𝑓(𝑥) = ln|(5𝑥 + 2)4| + ln|(8𝑥 − 3)6| aplicamos la propiedad 3 de los logaritmos:
𝑓(𝑥) = 4 ln|5𝑥 + 2| + 6ln|8𝑥 − 3| ahora si derivamos, aplicamos la regla de derivada para
logaritmos:
𝑓′(𝑥) = 4.
5
5𝑥+2
+ 6.
8
8𝑥−3
resolvemos las operaciones indicadas:

3. 𝑓′(𝑥) =
20
5𝑥+2
+
48
8𝑥−3
resolvemos la operación entre fracciones algebraicas:
𝑓′(𝑥) =
20(8𝑥−3)+48(5𝑥+2)
(5𝑥+2)(8𝑥−3)
resolvemos las operaciones indicadas:
𝑓′(𝑥) =
160𝑥−60+240𝑥+96
(5𝑥+2)(8𝑥−3)
se reducen términos semejantes:
𝑓′(𝑥) =
400𝑥+36
(5𝑥+2)(8𝑥−3)
E. 𝑦 = ln |
2𝑥+3
3𝑥−4
| aplicamos la propiedad 2 de los logaritmos:
𝑦 = ln|2𝑥 + 3| − ln|3𝑥 − 4| derivamos aplicando la regla de derivada para logaritmos:
𝑦′
=
2
2𝑥+3
−
3
3𝑥−4
resolvemos la operación entre fracciones algebraicas:
𝑦′ =
2(3𝑥−4)−3(2𝑥+3)
(2𝑥+3)(3𝑥−4)
resolvemos operaciones indicadas:
𝑦′ =
6𝑥−8−6𝑥−9
(2𝑥+3)(3𝑥−4)
y, por último, se reducen términos semejantes:
𝑦′ =
−17
(2𝑥+3)(3𝑥−4)
Ejercicios propuestos.
Derivar las siguientes funciones, simplifique siempre que sea posible.
1. 𝑓(𝑥) = ln|√1 + 𝑥2| 2. 𝑔(𝑥) = ln|ln|𝑥|| 3. ℎ(𝑥) = ln |√(
𝑥+1
1−𝑥
)
3
5
|
4. 𝑦 = ln |
𝑥+1
√𝑥−2
| 5. 𝑓(𝑥) = ln |
4𝑥−7
5𝑥+2
| 6. 𝑔(𝑥) = ln |√
1+𝑥2
1−𝑥2|
7. 𝑦 = ln|(𝑥2
+ 2)2(3𝑥2
− 1)4| 8. 𝑦 = ln|𝑥2
√3𝑥 − 9|
9. 𝑓(𝑥) = ln |√
1+𝑥2
1−𝑥2
4
|
DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL
Si 𝑓(𝑢) = 𝑒𝑢
, donde 𝑢 = 𝑢(𝑥), entonces 𝑓′(𝑢) = 𝑒𝑢
. 𝑢′
Esta regla indica que la derivada de la función exponencial es igual a la misma función exponencial
por la derivada del exponente.
Ejemplos.
Derive las siguientes funciones exponenciales.

4. A. 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥
aplicamos la regla para derivar la función exponencial:
𝑓′(𝑥) = 𝑒4𝑥
.4 esta expresión es equivalente a:
𝑓′(𝑥) = 4𝑒4𝑥
B. 𝑔(𝑥) = 3𝑒2𝑥2+1
aplicamos la regla para derivar la función exponencial:
𝑔′(𝑥) = 3𝑒2𝑥2+1
. 4𝑥 resolvemos las operaciones indicadas:
𝑔′(𝑥) = 12𝑥𝑒2𝑥2+1
C. 𝑦 =
𝑥
𝑒𝑥 aplicamos la regla del cociente, y cuando se vaya a derivar el denominador, se
aplica la derivada de la función exponencial:
𝑦′ =
1.𝑒𝑥−𝑥.𝑒𝑥.1
(𝑒𝑥)2 resolvemos las operaciones indicadas:
𝑦′ =
𝑒𝑥−𝑥𝑒𝑥
𝑒2𝑥 factorizamos en el numerador, factor común:
𝑦′ =
𝑒𝑥(1−𝑥)
𝑒2𝑥 y, por último, dividimos potencias de igual base, y se obtiene:
𝑦′ =
1−𝑥
𝑒𝑥
D. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑒3𝑥
aplicamos la regla para derivar un producto y de la función exponencial:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑒3𝑥
+ 𝑥2
𝑒3𝑥
.3 y, ahora, factorizamos:
𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑒3𝑥(2 + 3𝑥)
Ejercicios propuestos.
Derive las siguientes funciones, y simplifique siempre que sea posible:
1. 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥−1
𝑒𝑥+1
2. 𝑔(𝑥) = (1 + 𝑒5𝑥)4
3. ℎ(𝑥) = 𝑥4
𝑒2𝑥3
4. 𝑦 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
5. 𝑦 = ln |
𝑒4𝑥 − 1
𝑒4𝑥 + 1
| 6. 𝑦 =
ln|𝑥|
𝑒𝑥 7. 𝑦 = ln |
𝑥
𝑒𝑥| 8. 𝑦 = 𝑒3𝑥+1
. ln|𝑥2
+ 1|