Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG        TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCEBrojevi x1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine...
x1 + x 2 = 1 + 2i + 1 − 2i = 2 x1 ⋅ x 2 = (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − (2i ) 2 = 1 − 4i 2 =(pošto je i 2 = −1 ) = 1 + 4 = ...
Primer 4: U jednačini x 2 − (m + 1) x + m = 0 odrediti realan broj m tako da njena rešenjazadovoljavaju jednakost x12 + x ...
Iz druge jednačine sistema: pq − q = 0 ⇒ q( p − 1) = 0 pa je q = 0 ili p = 1Za q = 0 ⇒ vratimo u prvu jednačinu: 2p + q = ...
b) x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇒            a = 1, b = 2, c = 2            D = 4 − 8 = −4      − 2 ± 2i 2(−1 ± i )x1, 2 =       =   ...
4                   3 ( x − ) ( x + 2) 3x + 2 x − 8     2                          3             x+2                =     ...
2) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:                                 b      crealna i neg...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Vietove formule

17,348 views

Published on

Vietove formule

  1. 1. VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCEBrojevi x1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 ako i samo ako je b c x1 + x2 = − i x1 ⋅ x2 = a aOve dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe?Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja x1 i x 2 napravimo kvadratnujednačinu: x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 ili bi možda bilo preciznije [ ] a x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 najčešće se ovde uzima a = 1 , pa je to formulaPrimer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja: a) x1 = 3, x2 = −2 b) Jedno rešenje je x1 = 1 + 2ia) x1 = 3, x 2 = −2 x1 + x2 = 3 + (−2) = +1 x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−2) = −6 ⎡ ⎤Formula je a ⎢ x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 ⋅ x 2 ⎥ = 0 ⎢ 1 24 4 3 1 3⎥ 2 ⎣ 1 −6 ⎦ [ ] Pa je a x − x − 6 = 0 najčešće se uzima a = 1 ⇒ x 2 − x − 6 = 0 2 ______b) x1 = 1 + 2i , Nemamo drugo rešenje?Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to morabiti: x 2 = 1 − 2i www.matematiranje.com 1
  2. 2. x1 + x 2 = 1 + 2i + 1 − 2i = 2 x1 ⋅ x 2 = (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − (2i ) 2 = 1 − 4i 2 =(pošto je i 2 = −1 ) = 1 + 4 = 5Zamenimo u formulu: x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 x 2 − 2 x + 5 = 0 je tražena kvadratna jednačinaPrimer 2: U jednačini mx 2 − (3m + 1) x + m = 0 odrediti vrednost realnog parametram tako da važi: x1 + x 2 = 5 b Rešenje: a = m x1 + x2 = − a b = −(3m + 1) − (3m + 1) 3m + 1 c=m x1 + x2 = − = m mKako je x1 + x 2 = 5 ⇒ 3m + 1 =5 m 3m + 1 = 5m 3m − 5m = −1 − 2m = −1 1 m= 2Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za x1 i x2 jednačine: x 2 − 4 x + 3(k − 1) = 0 važi x1 − 3 x2 = 0 b −4Rešenje: x1 + x 2 = − =− =4 a 1 a =1 x1 + x2 = 4 ⎫ b = −4 ⎬ rešimo kao sistem x1 − 3x2 = 0⎭ c = 3(k − 1) _________________ x1 + x2 = 4 − x + 3x = 0 1 2 __________________ 4 x2 = 4 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 3 c 3(k − 1)Kako je x1 ⋅ x2 = ⇒ 3 ⋅1 = ⇒ k −1 = 1 ⇒ k = 2 a 1 www.matematiranje.com 2
  3. 3. Primer 4: U jednačini x 2 − (m + 1) x + m = 0 odrediti realan broj m tako da njena rešenjazadovoljavaju jednakost x12 + x 2 = 10 2Rešenje: b −(m + 1) a =1 x1 + x2 = − =− = m +1 ⇒ a 1 b = −(m + 1) c m c=m x1 + x2 = = = m a 1Ovaj izraz x12 + x 2 → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo 2je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima.Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: ( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 2Odavde je: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 ZAPAMTI!!! 2Vratimo se u zadatak: x12 + x2 = 10 ⇒ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10 2 (m + 1) 2 − 2m = 10 m 2 + 2m + 1 − 2m = 10 m 2 = 10 − 1 m2 = 9 m=± 9 m1 = 3 m2 = −3Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 tako da x =pnjena rešenja budu 1 x2 = qRešenja: a = 1 b p x1 + x2 = − = − = −p b= p⇒ a 1 c=q x1 ⋅ x2 = c =q a p + q = − p⎫ 2p + q = 0⇒ ⎬⇒ p⋅q = q ⎭ pq − q = 0 www.matematiranje.com 3
  4. 4. Iz druge jednačine sistema: pq − q = 0 ⇒ q( p − 1) = 0 pa je q = 0 ili p = 1Za q = 0 ⇒ vratimo u prvu jednačinu: 2p + q = 0 ⇒ 2p +0 = 0 ⇒ p = 0Za p = 1 ⇒ 2 p + q = 0 ⇒ 2 + q = 0 ⇒ q = −2Dakle ta kvadratna jednačina je:x 2 + px + q = 0 ⇒ x 2 = 0 za p = 0 i q = 0 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 za p = 1 ∧ q = −2 Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioceKvadratni trinom po x je izraz oblika: ax 2 + bx + c gde su a, b, c → brojevi i a ≠ 0 .Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratnog trinoma.Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 onda je: ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 )Primer1: Kvadratni trinom: a) x 2 + 5 x + 6 b) x 2 + 2 x + 2rastaviti na činioce.a) x 2 + 5 x + 6 = 0 najpre rešimo kvadratnu jednačinu: − b ± D 5 ±1 a =1 D = b 2 − 4ac x1, 2 = = 2a 2 b = −5 D = 25 − 24 x1 = 3 c=6 D =1 x2 = 2Formula: a( x − x1 )( x − x2 ) = 1( x − 3)( x − 2) = ( x − 3)( x − 2)Dakle: x 2 + 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2) www.matematiranje.com 4
  5. 5. b) x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇒ a = 1, b = 2, c = 2 D = 4 − 8 = −4 − 2 ± 2i 2(−1 ± i )x1, 2 = = 2 2x1 = −1 + ix 2 = −1 − ia ( x − x1 )( x − x 2 ) = 1( x + 1 − i )( x + 1 + i )Dakle: x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1 − i )( x + 1 + i ) 3x 2 + 2 x − 8Primer 2: Skratiti razlomak: 12 x 2 − 7 x − 12Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce. 3x 2 + 2 x − 8 = 0 −b± D a=3 D = b 2 − 4ac x1, 2 = 2a b=2 D = 4 + 4 ⋅3⋅8 − 2 ± 10 x1, 2 = c = −8 D = 4 + 96 6 D = 100 − 2 + 10 8 4 x1 = = = 6 6 3 − 2 − 10 x2 = = −2 6 4Dakle: 3x 2 + 2 x − 8 = a( x − x1 )( x − x 2 ) = 3( x − )( x + 2) 312 x 2 − 7 x − 12 = 0 −b ± Da = 12 D = b 2 − 4ac x1,2 = 2ab = −7 D = 4 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−12) 7 ± 25 x1,2 =c = −12 D = 49 + 576 24 D = 625 7 + 25 32 4 x1 = = = 24 24 3 7 − 25 18 3 x2 = =− =− 24 24 4 4 3Dakle: 12 x 2 − 7 x − 12 = a( x − x1 )( x − x2 ) = 12( x − )( x + ) 3 4Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com 5
  6. 6. 4 3 ( x − ) ( x + 2) 3x + 2 x − 8 2 3 x+2 = =12 x − 7 x − 12 2 4 3 3 12 ( x − ) ( x + ) 4( x + ) 3 4 4 4 3 x− ≠0 x+ ≠0 3 4Naravno uz uslov i 4 3 x≠ x≠− 3 4 x3 + 1Primer 3: Skratiti razlomak: 2 x − 2x − 3Rešenje: x 2 − 2 x − 3 = 0 −b± D a =1 D = b 2 − 4ac x1, 2 = 2a b = −2 D = 4 + 12 2±4 x1, 2 = c = −3 D = 16 2 x1 = 3 x 2 = −1Dakle: x 2 − 2 x − 3 = a( x + x1 )( x + x 2 ) = (1( x − 3)( x − (−1)) = ( x − 3)( x + 1)x 3 + 1 → ćemo rastaviti po formuli:A3 + B 3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 ) VIDI POLINOMIpa je: x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)Vratimo se u razlomak: x3 + 1 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1 x − 3 ≠ 0 x +1 ≠ 0 = = naravno uz uslov ix − 2x − 3 2 ( x − 3) ( x + 1) x −3 x≠3 x ≠ −1U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji suto uslovi:1) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su: b crealna i pozitivna ⇔ D ≥ 0, < 0, > 0 www.matematiranje.com a a 6
  7. 7. 2) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su: b crealna i negativna ⇔ D ≥ 0, > 0, > 0 a aOva razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila:→ Da bi rešenja bila realna je D ≥ 0 b c→ x1 + x 2 = − i x1 ⋅ x 2 = a a b1) x1 i x 2 pozitivna ⇒ x1 + x 2 > 0 ⇒ < 0 a c x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0 a b x1 + x 2 < 0 ⇒ > 02) x1 i x 2 negativna ⇒ a c x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0 a (minus puta minus je plus)Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 budupozitivna.Rešenja: Iz x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 vidimo da je a =1 D = b 2 − 4ac b = −3 b c D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (2m − 1) D≥0, <0, >0 c = 2m − 1 a a D = 9 − 8m + 4 D = 13 − 8mD≥0 ⇒ 13 − 8m ≥ 0 ( Pazi: znak se okreće) − 8m ≥ −13 13 m≤ 8b −3 <0⇒ < 0 ⇒ Zadovoljeno!!!a 1c 2m − 1 >0⇒ <0a 1 2m − 1 < 0 ⎛ 1 13 ⎤ 2m < 1 m∈⎜ , ⎥ ⎝2 8 ⎦ 1 m< 2 7

×