Problemen ebazpena

Problemen
ebazpena

.

Echenique Urdian Isabel: “Matemáticas. Resolución de Problemas 1
Egokitzapena eta itzulpena: Itziar Otaño eta Elena Montejo

A U R K I B I D E A

 Problemak ebazteko urratsak . . . . . . . 2 – 5

 Lehen Hezkuntzan landu beharreko problemen
tipologia. . . . . . . . . . . . . . . 6 – 15

 Iradokizun metodologikoak . . . . . . . . 16 - 25


PROBLEMAK EBAZTEKO URRATSAK

Problemak ebaztea oso tresna baliotsua da pentsamendu
matematikoa garatzeko. Hau da, ideia matematikoak
erabiltzea egoera anitzetan, egituratuak eta elkarren
artean ongi lotuak.

1) Problemaren ulermena:

Problemen enuntziatua zuzen ulertzeko, beste motatako testuetan
bezala, lehendabizi dekodifikatu egin behar da eta, ondoren, birformulatu
edota prafraseatu. Hala ere, kontuan hartu behar da problemen enuntziatuek
ezaugarri propioak dituztela:

a) Testua trinkoa da, hitz gutxitan informazio ugari ematen delako.
Enuntziatuan ia-ia informazio osoa beharrezkoa da problema ebazteko.
Orokorrean, testu trinko horiek ulertzeko zailtasunak izaten dituzte haurrek.

b) Enuntziatuan bi zati bereizten dira: adierazpena eta galdera.
Adierazpenean informazio garrantzitsua biltzen da eta galderan problemaren
planteamendua egiten da.

c) Enuntziatuaren datuen artean ezartzen diren erlazioak,orohar, abstrakto
samarrak izaten dira.

d) Enuntziatuaren izaera sekuentziala da eta behar bezala ulertzeko zehatz-
mehatz errespetatu behar da elementuen ordena.

2)Ebazteko plana gauzatu:

Behin enuntziatua landu ondoren, aurrezagupenak aktibatu behar ditugu:
egin dugu noizbat horrelako problemarik?. Geroxeago, planteatutako egoera eta
ezaguera matematikoak elkarren artean lotu behar dira. Horretarako,
komenigarria da norberak bere buruari era honetako galderak egitea:

• Agertzen diren datuek zer adierazten dute? Nola erabil ditzaket?
• Zer eragitekak egingo ditut? Zein ordenetan?


• Ebazpenaren estimaziorik burutu dezaket?
• ...

Horrekin batera, guztiz komenigarrria da plana argia, zehatza, eta
sekuentzializatua idaztea. Horrela, ikaslea ohituko da pentsamendu
matematikoa adierazten eta, halaber, irakasleak aukera izango du jakiteko
ikasleak erabili dituen estrategiak, bestela oso zaila gertatuko litzaioke
jarraitutako prozedura antzematea.

3) Plana abian jarri:
Gauzatutako planaren urrats guztiak abian jarriko dira eta beharrezkoa
izango da ahoz adieraztea eta justifikatzea aipatutako urratsak: Lehendabizi
kalkulatuko dut..., ondoren... eta, azkenik... ebazpenera iritsi arte.

Urrats hori bukatutzat emango da ebazpena era argian eta
testuinguruarekin lotua ematen denean.

4)Prozesu osoaren berrikuspena:

Problema bat bukatutzat ematen da, ez ebazpena lortu denean, baizik
eta problema horretatik gehiago ezin denean ikasi.

Alegia, emandako pausoak elkarrekin berrikusiko dira:

• ebazpena egiaztatuko da.
• beste bide edota arrazonamendurik dagoen aztertu da.
• oztopoak egonez gero, azalduko da nola gainditu diren.
• erabilitako bideak nola zabal daitekeen beste egoera batzuetara.

Azpimarratu behar da, gelan normalean lantzen ez diren aspektu
horiek, direla, hain zuzen, problemen ebazpena era aktiboan
sistematizatzen dituztenak.

A D I B I D E A

Gurasoek 12.600 € balio duen autoa erosi dute. Sinatzean 3.600 € utzi
dituzte kontura eta gainerakoa 36 hilabetetan ordaindu behar dute.
Zenbat euro ordaindu behar dute hilero?

1) PROBLEMAREN ULERMENA

a) Zenbat balio du kotxeak ?

b) Dena batera ordaindu dute?

c) Zer da eskura ordaintzea ? Eta epeka?

d) Zer nolako gauzak ordaintzen ditugu epeka ? Zergatik?

e) 3.600 € noiz ordaindu dituzte ?

f) Gainontzekoa nola ordaindu behar dute autoa?

e) Zenbat urte behar dira autoa ordaintzeko ?

2) EBAZTEKO PLANA GAUZATU :

.-Aurrezagupenak aktibatu: Antzeko problemarik ebaztu dugu
noizbait?

.-Plana idatzi: Autoak 12.600€ balio du. Sinatzean 3.600 € ordaindu
dituzte. Beraz, zenbat geratzen den jakiteko, KENKETA egingo dut. Gero,
ZATIKETA egingo dut jakiteko hilero zenbat ordaindu behar duten.

3) PLANA ABIAN JARRI:
• 12. 600 € - 3.600 € = 9.000€ geratzen dira ordaintzeko.


• 9.000 € : 36 hilabete = 250 € ordaindu behar dute hilero.

4) PROZESU OSOAREN BERRIKUSPENA:
.-Egiaztuko dugu lortutako ebazpena egokia izan den.

.-Arrazoituko dugu zergatik egin ditugun eragiketa horiek.

.-Hausnartuko dugu ea beste biderik badagoen emaitza bera lortzeko.

.-Komentatuko ditugu prozesuan izandako oztopoak eta nola egin
diegun aurre.

.-Pentsatuko dugu erabilitako eragiketak zein beste egoeratan erabil
ditzakegun.

LEHEN HEZKUNTZAN LANDU
BEHARREKO PROBLEMEN TIPOLOGIA

1 Aritmetikoak: problema hauetan kantitateak eta beraien arteko
erlazioak lantzen dira.

1.1 Batuketa-Kenketa:
1.1.1 Aldaketa
1.1.2 Elkarketa
1.1.3 Konparaketa
1.1.4 Berdinketa

1.2 Biderketa-Zatiketa
1.2.1 Banaketa ekitatiboa
1.2.2 “N” Faktorea
1.2.3 Arrazoia
1.2.4 Biderkadura kartesiarra

2 Geometrikoak: problema hauetan formak, figura bidimensionalak
eta tridimenzionalak, giroak , orientazioa eta espazioa lantzen dira.

1 Arrozonamendu logikoa: problema hauek trebetasun
logikoak garatzen dituzte (enigmak, bi besoetako balantzak
orekatzea, Kriptogramak...).

2 Zenbaketa sistematikoa: problema hauek ebazpen batzuk
dituzte baina den-denak aurkitu behar dira. Hortarako, ebazteko
prozesuak sistematikoa izan behar du.

3 Arrazonamendu induktiboa: emandako segida baten
erregulartasuna aurkitu behar da segida hori osatu ahal izateko.

4 Zoria eta probabilitatea: Problema hauek jolasen eta
manipulazioen bidez garatzen dira. Ikasleek aurkitu behar
dute ea proposatzen diren aukerak litekenak diren ala ez.


Lehen zikloa
a) Batuketa-kenketako egoerak:

• ALDAKETA:
kopuru bat epe batean aldatu egiten da ( gehituz edo gutxituz ) amaierako beste kopuru bat
bilakatu arte. (elementu 1)

.- 7 puxtarri neuzkan eta 24 erosi ditut. Zenbat dauzkat orain ?

.- 3 € gastutu ditut eta 2€ gelditzen zaizkit. Zenbat neuzkan ?

.- 12 kromo nituen atzo eta orain 7 dauzkat. Zenbat oparitu ditut?

• ELKARKETA:
2 elementuen arteko batuketa bilatu behar da edo elementu bakoitzaren kopurua.(2 elementu)

.-Samirak 12 gozoki ditu eta nebak 11. Zenbat gozoki dituzte bien artean ?

.-Zinemara 153 pertsona joan dira. Aretoak 185 eserleku ditu. Zenbat eserleku
daude hutsik ?

• KONPARAZIOA:
Gehiagotasuna edo gutxiagotasuna adierazten duten konparatiboen bitartez bi kopuruen arteko
erlazioa ezartzen da.

.-Ionek 8 urte dauzka eta bere aitak 25 urte gehiago. Zenbat urte dauzka aitak?

• BERDINKETA:
Bi kopuru konparatu egiten dira, biak berdinak izan daitezen haietako bat zenbat gehitu edo
gutxitu behar den zehazteko.

.-Dimitrik 15 liburu irakurri ditu, nik berak adina irakurtzeko 3 falta zaizkit.
Zenbat irakurri ditut nik ?

***Nahiz eta ikasleek oraindik ez jakin BIDERKETA eta ZATIKETAren algoritmoak egiten,
interesgarria da problema-egoera horiek planteatzea ikasleek algoritmo gabeko estrategiak erabiliz
ebazteko.

.-22 ume gaude gelan eta 53 gaileta banatu behar ditugu. Zenbat gaileta jasoko ditu ume
bakoitzak ? (estimazioa) Nola egingo dugu banaketa? (proposamenak) Soberan geratuko dira?...


b) Geometria

.-Bolumenak landuko ditugu : esfera, zilindroa eta kuboa. Ontziak urez, areaz,
harriz... beteko ditugu eta ondoren sailkatuko ditugu.


c) Ziklo honetan arrazonamendu logikoko problema errezak ere landu behar
dira.

.-Aukera itzazu fitxa egokiak batuketa zuzen osatzeko :

Halaber, KONBINATORIAkoak ere hasiko gara lantzen: multzo baten elementuak
ordenatzeko, hautatzeko edota elkar trukatzeko aukeren kopurua ematea.

.-Hutsuneak bete:

18 + ...=20 ...+ 7= 20 13 +3+...=20 10+...+ 2=20 ...+ 3+ 5=20 4+4+4+4+....=20
.-Benetako txanponak erabiliz, euro bat osatu.

d) Zoria eta probabilitatekoak

Problema hauek jolasen eta manipulazioen bidez garatzen dira.
Ikasleek aurkitu behar dute ea proposatzen diren aukerak litekenak
diren ala ez.

.- Txanpon bat bota duzu bost aldiz eta guztietan aurpegia atera da.
Berriro botatzen baduzu, zer uste duzu aterako dela? _________________
Egiaztatu. Asmatu duzu? ______________
Hiruzpalu aldiz errepikatu.
Uste duzu erreza dela asmatzea zer aterako den? __________________
Zergatik?__________________
Ze ondorio atera dezakezu?___________________


Bigarren zikloa
a) ALDAKETA, ELKARKETA, KONPARAZIOA eta BERDINKETA problema
sinpleak (bi datu eta galdera bat) zenbaki handiagoekin.

• Zatikiak eta hamartarra errezak agertuko dira problemetan eta baita
neurri ezberdinak ere.

b) BIDERKETA/ZATIKETEN bidezko problema sinpleak (bi datu eta galdera bat),
banaketa ekitatiboa, zenbakizko konparazio-faktoreekin, konbinazio kartesiarrekin
eta magnitudeekin zerikusia dutenak, ebazpen-prozesuko urratsak eginez.

• Banaketa ekitatiboa:
.- 14 kotxe ditut eta 2 lagunen artean banatu nahi ditut. Zenbat kotxe jasoko du
lagun bakoitzak?

• “N” faktorea:
.- 14 kotxe ditut eta nebak horren hirukoitza. Zenbat kotxe ditu berak?

• Arrazoia :
.- Auto batek 95 km /orduko abiadura darama. Zenbat km egingo ditu 3
ordutan ?

• Biderkadura kartesiarra :
.-Jatetxe batean 3 lehengo platerra daude eta 5 bigarren platerra. Zenbat menu
ezberdin osa daitezke ?

c) KONBINAKETA sinpleak. Horiek ebazteko eremu berberako eragiketak
egin behar diren, ordena jakin batean:

• denak batuketak - kenketak.
• denak biderketak - zatiketak.

.-Mustafak 7 € zituen eta amonak 4€ eman dizkio. Gaur goizean liburudendara
joan da eta 3€ gastatu ditu. Zenbat diru geratzen zaio?


KONBINAKETA mixtoak. Horiek ebazteko eremu ezberdinetako eragiketak
egin behar dira ordena egokian:

• (batuketa biderketa edota zatiketa).
• (kenketa biderketa edota zatiketa).

.-Amak 75 zentimo eman dizkie hiru seme-alabei euren artean banatzeko.
Ondoren goxotegira joan dira eta 20 zentimo bana gastu dute. Zenbat zentimo
geratzen zaie?

d) GEOMETRIA
.-Bikoteka, hirunaka, launaka... simetriak osatu :

e) ZORIA eta PROBABILITATEA

.-Alkandora batek 2 poltsiko ditu. Batean 2 fitxa urdin eta fitxa hori 1 daude.
Bestean 3 fitxa urdin eta 2 hori daude. Izozki bat erosteko, begiak itxita fitxa urdin
1 atera behar da aukeratutako poltsikotik.

Zein poltsikotik aterako zenuke fitxa ?______________
Zergatik? ___________________________________
Poltsiko bakoitzatik hiruzpalau aldiz frogatu eta emaitzak jaso.
Ikaskide guztien artean, zer ondorio atera dezakezue?____________________


f) ZENBAKETA SISTEMATIKO errazak zenbakizko edo geometriko
testuinguruetan .

Problema hauek soluzio bat baino gehiago dituzte eta denak aurkitu behar dira.
Soluzio guztiek probleman ezarritako baldintza zenbakizkoak edo geometrikoak
bete behar dituzte.
.- 1-etik 100-era zenbat 5-eko multiplo daude?

.-Marrazki honetan zenbat laukizuzen ikusten dituzu?


Hirugarren zikloa
a) KONBINAKETA (batuketa/zatiketak eta biderketa/zatiketak).

• ZATIKIAK edo PORTZENTAIAK dituzten problemak eta euren arteko
harremanak ere agertu dira.

.- Lasterketa baten ondoren, Peiok ¾ litro ur edan zuen, Anek litro ½ eta Andonik litro ¼ .
Nork edan zuen ur gehien?

.-Denda batean gaur % 10-eko deskontua egingo dute artikulu guztietan. Alkondara batek
27.50 € balio badu, deskontu egin ondoren, zenbat ordaindu duzu?

.-Nenék urtean 17640 € irabazten du. % 30 etxeko alokagailuan gastatzen du. Gelditzen
zaionaren herena janarian gastatzen du. Beste heren bat gastu orokorretan erabiltzen du.
Gainontzeko herenetik, 57 asialdian gastatzen du. Azkenik, geratzen zaiona aurrezten du.

a) Zenbat diru erabiltzen du hilero eta urtero:
. alokagailuan
. janarian
. gastu orokorretan
. asialdian
.aurrezteko

b) Aurreko emaitzak adierazi ehunekoetan.

• NEURRI ezberdinak ere azalduko dira problema horietan.

b) ZENBAKETA SISTEMATIKOA. errazak testuinguru numeriko edo
geometrikoan.

Problema hauek soluzio bat baino gehiago dituzte eta denak aurkitu behar dira.
Soluzio guztiek probleman ezarritako baldintza numerikoak edo geometrikoak
bete behar dituzte.
.- 1-etik 100-era zenbat zenbaki primo daude?
.- Zenbat triangelu ikusten dituzu?


c) GEOMETRIA

.-Mosaikoak ondo aztertuko ditugu eta euren ezaugarri geometrikoak komentatuko ditugu.

.-Guk ere mosaikoak sortuko ditugu figura geometriko ezberdinak erabiliz.

d) INDUKZIO (orokortze) problemak.

.-Bete ondorengo taula eskeintza kontuan izanda: “ 2 X 3 Ordaindu bi botila eta
eraman 3”

Ordaindutako
botila kopurua
2 4 8 9 18
Eramandako botila
kopurua
3

e) LOGIKA eta ARGUMENTU bidez ebazten diren egoerak eta problemak.
Problema hauen bitartez arrazoimena garatu nahi da, eta bereziki, azalpen eta
zehatzak emateko gaitasuna.

.-Matematikako 3 irakasle jolasaldian daude. Ikasle batek galdetu die ea horien
artean nor den nagusiena. Irakasleek horrela erantzun dute:

Pepek: ni ez naiz nagusiena.
Fernandok: Pepe lehena jaio zen.
Luisek: Fernando lehena jaio zen.

Jakinda bat gezurretan dabilela, nor da nagusiena?.


f) ZORIA eta PROBABILITATEA :Problema hauek jolasen eta manipulazioen
bidez garatzen dira. Ikasleek aurkitu behar dute ea proposatzen diren aukerak
litekenak diren ala ez.

.-Tatiana eta Elena txanpona botatzen ari dira. Aurpegia edo gurutzea bi aldiz
jarraian ateratzen bada, Tatianak irabazten du; bestela, Elenak.

Nor irabaziko du?_________
Zergatik?_____________________


Iradokizun Metodologikoak

Bost urteko gela batean irakasleak bineten bidez problema bat aurkeztu
zien umei. Azaldu zien Pauren urtebetzea ospatzeko amatxok tarta bat
egin nahi zuela eta semea 6 arrautza erostera bidali zuela.

Lehenengo binetan, Pau agertzen zen 6 arrautza erosi berriekin.
Bigarrenean, Pauri bi arrautza erori eta apurtu egin zitzaizkion.
Hirugarrena, hutsik agertzen zen. Beraz, neska mutikoek marraztu behar
zuten nola bukatzen zen istorioa.

22 umetik 17k zera marraztu zuten: amatxok Pauri errieta egiten ziola.
Beste batek, amatxok apurtutako arrautzak aprobetxatzeko, tortila bat
prestatzen ari zela marraztu zuen. Neska batek Pau marraztu zuen 6
arrautzekin eta eman zuen azalpena izan zen dendara itzuli zela
arrautzak erostera. Beste neska batek, pertsona multzo bat zutik
marraztu zuen eta adierazi zuen amak ezin zuenez pastela egin, dantza
egin zutela ospatzeko. Beste ikasle batek karratu asko marraztu zituen
eta azaldu zuen, bi arrautza apurtuta, pastela txikiagoa aterako zitzaiola
eta amak zati txikiagoak ere egin beharko zituela denak jan ahal izateko.

Irakasleak kenketa landu berria zuen eta, espero ez zituen hainbeste
argudioen aurrean, ezin ixildu eta, oraindik bineta marraztuta ez zeukan
neskarengana hurbildu eta horrela galdetu zion: baina, baina zenbat
arrautza geratzen zaizkio Pauri? Neskatilak, irakaslearen etsipenerako, 6
geratzen zitzaizkiola erantzun zion.

Irakasleak, pazientzia handiko emakumeak, berriro galdetu zion: Ziur
zaude? Lehen 6 zituen eta bi apurtu ondoren, zenbat dauzka orain?
Neskak berean jarraitu zuen eta erantzun zion 6 geratzen zitzaizkiola.
Irakasleak, gero eta urduriago, jarraitu zuen: baina , nola edukiko ditu 6
bi apurtu bazaizkio?
Neskak, aztoratu gabe, esan zuen azkenik: noski dauzkala 6, 4 oso eta 2
apurturik.

“Conversaciones matemáticas con Mª Antónia Canals” GRAO


• Manipulazioa, mugimendua (gorputz osoa inplikatzea) eta
esperimentazioa pentsamendu logiko-matematikoaren oinarriak dira.

• Problemak planteatzerakoan, ikaslearengandik egoera hurbilak eta
motibagarriak proposatu behar dira. Halaber, pentsamendu
matematikoa garatzeko ezinbestekoa da erronka kognitiboak
(Vigotsky-ren garapen hurbileko zonaldea) planteatzea non pentsamendu
malgua, irudimena, kemena, sormena, arrazonamendua eta pratikotasuna
bultzatzen diren. Azken finean, problemak pentsaerazteko balio dute eta ez
kalkulo hutsak egiteko, hortarako ariketak daude. Beraz, emaitzak baino
estrategiak indartuko dira. Laburbilduz, problemak ebaztean,
mekanikoki aritzea, ulermena alde batera utzita, ikasleak
“porrotera” eramatea da, ez baita euren pentsamendu logiko-
matematikoa garatzen.

• Adina bakoitzari dagokion problemen tipologia osoa landu behar da.

• Ikasleek eredu argia behar dute pentsamendu matematikoa garatu ahal
izateko. Hau da, eguneroko egoera problematikoak matematikako
kontzeptuekin lotzea. Hortaz, irakasleak berbalizatu beharko ditu
problemak ebazteko urrats guztiak bere ikasleekin batera.

• Problema irekiak garrantzitsuak dira ikaslei adierazten dietelako egoera
baten aurrean irtenbide egoki bat baino gehiago egon daitezkela.

• Gelan giro goxua, lasaia eta ziurtasuna eskaintzen duena sortu behar da
non galderak, akatsak, blokeoak, erronkak, berdinen arteko laguntza...
onartzen diren.


 TAILERRA

a) Justifikazioa

Ikerketek zera adierazten dute: problemen ebazpena
eraginkorragoa da astero saio jakin batean garatzen
bada, tailer itxura emanez; eta ez saioetan tartekaturik.
Halber, tailerreko saioetan problema soilik landuko
dira eta ez kontesturik gabeko ariketak.

b) Helburua

Ikasleek “problemen ebazteko urratsak” barneratzea eta
praktikatzea eta behar diren ezagupenak eskuratzea
egoera matematikoei arrakastaz aurre egiteko.

c) Edukiak

Zikloka zehaztu dira problemen tipologia. ( Ikusi Isabel
Echeniquek idatzitako liburua: “Matemáticas. Resolución
de problemas”-sarean eskuragarria- non LHko
sekuentzia didaktikoak agertzen diren )

d) Metodologia eta prozesu heuristikoak
(problemak ebazteko estrategiak) zikloka garatuak:

1. ZIKLOA
a) METODOLOGIA

1. mailan, batez ere hasieran, irakakasleak eta ikasleak elkarrekin batera
egingo dute lan talde handian eta ahoz. Kurtso bukaera aldera, kode
idatzia ezagutzen dutenean, bikote lana hasiko da bultzatzen.


Saioak motzak izango dira, gutxi gorabehera, 30 minutukoak. Pixkanaka-
pixkana, irakurmena eta idazmena sartuko dira. Halaber, saio guztietan
ulermenari –problemen enuntziatuei- denbora eskaintzea guztiz
beharrezkoa da.

2. mailan, metodoaren urratsetan jarriko da arreta: problema irakurtzen
hasten denetik ebazpena egiaztatu eta prozesu osoa berrikusi arte.

Bikotearen lana azpimarratuko da. Hau da, 1. mailan pisu gehina irakasleak
zeukan eta , honetan berriz, ikasleek izango dute protagonismoa.

Dena dela, talde handian ere jarraituko da lan egiten bereziki tipologia
berria sartzen denean eta metodoaren 4. urratsa garatzen denean.

Tipologia berria edota zailtasun nabarmenak sartzerakoan, irakaslea,
berriro ere, EREDUA garbia izango da ikasleentzat: talde handian
berbalizatuko ditu pentsamenduak, arrazonamenduak, ondorioak,
egiaztapenak... eta ondoren, bikoteka ebazteko antzeko problemak
burutuko dituzte.

Saioaren iraunpenari dagokionez, hasieran saio motzak izando dira, 30
minutu inguru, eta kurtsoa aurrera joan ahala, luzatzen joango da.

b) PROZESU HEURISTIKOAK

Problemak ebazteko estrategia orokorrak dira horiek. Baina, nola garatzen
dira estrategia horiek? Labur esanda:

• Zailtasunei aurre eginez
• Akatsak eginez
• Berriro saiatuz
• ...

Batzuetan, irakasleon jokaerak lagundu baino oztopatu egiten du
estrategia horien garapena. Izan ere, ikasleen lana mozten dugunean bide
motza edo errezagoa har dezaten, ez dugu bultzatzen estrategia horien
garapena eta horrela, beraz, ez dute autonomia matematikoa lortuko.


Ziklo honetan honako estrategia hauek garatuko dira:

1) Entzumena eta irakurmen analitikoa lantzeko baliabideak:

• Parafraseatu: gauza bera esan euren hitzekin.
• Kontatzea enuntziatuaren galderatik hasita.
• Bereiztu datuak eta inkognitak.
• Datu batzuk emanda, erabaki zein izan daitekeen inkognita.

2) Eskema grafikoak erabili problemaren datuak kokatzeko.
Estrategia honen helburua da aukeratzea soilik informazio
matematikoa eta datuen harteko harremanak adieraztea. Ziklo
honetan diagrama sagitalak dira egokienak batuketa eta kenketak
dituzten problemak ebaztzeko.

Eskema horiek gradualki landuko ditugu:

a.-Eragiketak: batuketa-kenketa ariketa hutsa, testuingururik gabe.
b.-Eskema eskaintzea erabat osatu gabe, enuntziatuarekin lotuta,
ikasleak osa ditzan.
c.- Zikoaren amaieran ikasleak eskema osoa gara dezake.

2. Zikloa

a) METODOLOGIA

3. mailaren hasieran, 2. mailan egindakoari jarraipena emango zaio: bai
metodologian eta baita edukietan.
Maila honetan, tipologia berria daukagu: biderkaketa. Beraz, aurretik
aipatu duen moduan, irakasleak talde handian EREDU argia eskainiko die

ikaslei. Bikoteak osatzerakoan, parteide heterogeneo egingo ditu, baina
inolaz ere muturrekoak: ez erabat desorekatuak.

4. mailan, 4 eragiketak ( +, -, x, : ) dituzten buruketak ebaztuko dituzte,
orainarteko prozedura jarraituz. Bukaeran, ZENBAKETA SISTEMATIKO
problemak ere sartuko dira.

Ziklo honetan saioaren iraupena luzeagoa izango da. Horren garapenak
honako atal hauek izango ditu:

• Lehenengo 5-10 minututan, enuntziatuaren ulermena eta ahozko
adierazpena landuko dira: irakurri, ulertu, ekintzei buruzko
ausnarketa egin, batak besteari azaldu, nola ebaztu... ADOSTASUNA
lortu ahal izateko bikoteen artean. (Prozesu hori AHOZ gauzatuko da
3. mailan eta 4. mailan , berriz, hasiko dira plana idazten). Beraz,
elkarrekin burutuko dituzte metodoaren 1. eta 2. urratsak.

• Hurrengo 15-20 minututan, bakoitzak 3. urratsa garatuko du:
ebazpena eta egiaztapena.

• Bitartean, irakaslea motibazioaz arduratuko da, urratsen
erritmoa markatuko du, bikoteen lanaren jarraipena egingo
du eta, azkenik, baloratuko du noiz eta nola egingo dituen
bere eskuartzeak: bakarka, binaka, talde handian...

• Azken 15 minututan, prozesu osoaren berrikuspena egingo da
( hau da, 4. urratsa gauzatuko da. Talde handian eman dituzten
pausoak berrikusiko dira: ebazpena egiaztatu, beste bide edota
arrazonamendurik dagoen aztertu, oztopoak egonez gero, adierazi
nola egin duten aurre, azaldu erabili dituzten bideak nola zabal
daitekeen beste egoera batzuetara...

• Bukatu ondoren ikasle bakoitzak egindako lana kronologikoki
gordeko du karpeta batean. Honela nahi den bakoitzean aukera
izango dute, besteak beste:

- Norberaren autoebaluazioa egiteko.
- Berdinen arteko koebaluazioa egiteko..
- Irakasleak ikasleen ebaluazio hezitzailea burutu ahal izateko.
- Gurasoek seme-alaben ibilbidea ezagutzeko.



1) Aurreko zikloan landutakoak, enuntziatuen ulermena eta eskema
grafikoak, jarraituko dira garatzen :

.-Egoera edo eskema sagitala emanda, enuntziatua idatzi.
.-Enuntziatua eta eragiketa batzuk aurkeztuta, eragiketa egokia
aukeratu.

2) Eskema grafikoak hasiko dira erabiltzen biderketa eta zatiketa
adierazteko :

a) Laukizuna ( 2 elementu adierazteko )

.-Gelan 24 ume gaude. Lan bat egiteko, irakasleak 4naka
jartzeko esan digu. Zenbat talde osatu dira?

b) Zuhaitz-diagrama

.-Bikote batek 4 seme-alaba ditu, seme-alaba bakoitzak 4 seme-
alaba ditu. Zenbat biloba ditu bikoteak ?


3) Azpiproblemak : Problemak gero eta konplexuagoak izango dira.
Beraz, estrategia egokia da problema zatitan banatzea era
konziente eta sistematikoan.

.-3. mailako 32 ikasle eta 4. mailako 45 ikasle zinera joan dira.
Sarrera guztiek 308 € balio dute. Zenbat balio dute 4. mailako
sarrerek?

4) Aipatu bezala, 4. mailan ZENBAKETA SISTEMATIKOaren
problemak sartzen dira. Tipologia berri horrekin lotuta,
ZENBAKETA ZENTZUDUNaren estrategia lantzea proposatzen da.
Hau da, egiten diren saikerak irizpide baten arabera egingo dira,
emaitza guztiak lortu ahal izateko.

.-Itsulapikoan 20 zentimoko txanponak, 50 zentimokoak eta
euro batekoak ditut. Koaderno bat erosteko 2 € behar ditut.
Nola osa ditzaket 2 €?

Bete ezazu ondoko taula aukera guztiak adierazi ahal izateko:

20 zentimokoen kopurua 50 zentimokoen kopurua € 1-ekoen kopurua


3. ZIKLOA
a) METODOLOGIA

Ziklo honetan ez dago, tipologiari dagokionez, berezitasun nabarmenik
aurreko zikloekin alderatuz. Halare, problemen datuetan zatikiak,
zenbaki hamartarrak eta portzentaiak agertuko dira.

2. zikloan bezala, PLANIFIKAZIOA azpimarratuko da. Problema aritmetikoek
tarteko urratsak beharko dituzte gero eta konplexuagoak direlako. Hortaz,
azpiproblemen estrategia indartu beharko da.


Aurreko ziklokoak jarraituko dira garatzen:

• Irakurketa analitikoa
• Eskema grafikoak
• Azpiproblemak
• Zenbaketa zentzuduna

Beste berri batzuk ere landuko dira:

• Problema ebatzi atzetik aurrera.
Estrategia hau erabiliko dugu datuen sekuentzia bukaeratik hasten
denean.

.-Maitek zinera joan nahi du. Lagunekin 19:15-etan elkartuko da
zinean. Baina joan aurretik, Maitek 45 minutu behar ditu dutxatzeko
eta ilea lehortzeko, 20 minutu logela txukuntzeko eta janzteko eta,
azkenik, 10 minutu zinera oinez joateko.
Zein ordutan hasi behar du Maitek eginkizunekin garaiz heltzeko
zinera?


• Datu sinpleagoetatik abiatu.
Askotan datuen kopuruak handiegiak dira eta horrek, nahita nahiez,
zailtasuna suposatzen du. Datu horiek sinplifikatzen badira, arreta
finkatuko da ulermenean.

.-Zenbat diagonal ditu hexagono batek?

Problema hau errezteko, has gaitezke hexagonoa baino txikiagoak diren
beste poligonoekin:

Laukizuzena

Pentagonoa

Hexagonoa


Problemen ebazpena

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Problemen ebazpena

Similar to Problemen ebazpena (7)

More from M M

More from M M (20)

Problemen ebazpena