Schiera di antenne a controllo di sola fase con zeri gaussiani per applicazioni 5G

1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI
TRIESTE
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e
Informatica
Schiera di antenne a controllo di sola fase
con zeri gaussiani per applicazioni 5G
12 dicembre 2018
Laureando Relatore
Federico Ruzzier Prof. Massimiliano Comisso
Correlatore
Prof.ssa Giulia Buttazzoni
Anno Accademico 2017/2018

2. Indice
Introduzione iii
1 Reti 5G 1
1.1 Parametri principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Velocità di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Latenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Energia e costi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Aumento della velocità di trasmissione . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Densità dei nodi per unità di area . . . . . . . . . . . 3
1.3 Onde millimetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Pathloss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Assorbimento atmosferico . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Bassa diffrazione intorno a ostacoli . . . . . . . . . . . 5
1.4 Massive MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Pilot contamination and overhead reduction . . . . . . 6
1.4.2 Coesistenza con le micro-celle . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Algoritmi di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Proiezioni alternate: motivazioni . . . . . . . . . . . . 9
2 Metodo delle proiezioni successive 10
2.1 Definizione matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Applicazione ai problemi di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 L’insieme Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Iterazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Il proiettore TZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Il proiettore TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Individuazione degli zeri 15
3.1 Implementazione della funzione di probabilità gaussiana . . . 15
3.2 Applicazione in matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Applicazione pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i

3. INDICE
4 Risultati 24
4.1 Test effettuati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Conclusioni 42
ii

4. Introduzione
La tecnologia 5G è stata, in particolare nel corso degli ultimi anni, soggetto
di un alto numero di ricerche da parte di molti esperti nel settore. Questo
crescente interesse in tale ambito è principalmente dovuto alle esigenze del
mercato della società odierna, concentrata soprattutto sullo sviluppo dell’
Internet of Things (IoT), ovvero la capacità di creare connessioni per con-
trollare oggetti di uso comune. Di conseguenza, per soddisfare tali richieste, è
stato sviluppata una tecnologia che implementi lo spettro delle onde millime-
triche, ovvero la banda di frequenze compresa nell’intervallo [30, 300] GHz,
non precedentemente utilizzate e in grado di garantire sviluppi interessanti.
Nella realizzazione di antenne in grado di soddisfare i requisiti richiesti dalla
tecnologia 5G è stato necessario pensare allo sviluppo di algoritmi di beam-
forming, da implementare sia nelle antenne trasmittenti che riceventi, che
permettessero di ovviare al problema di propagazione intorno ad ostacoli.
Per affrontare tale problema sono stati sviluppati algoritmi di sintesi, basati
sul controllo di sola fase. In questa tesi verrà trattato in particolare il con-
trollo di sola fase con zeri gaussiani, applicabile ad antenne che supportano
la tecnologia 5G.
Nel primo capitolo sono state presentate le caratteristiche principali della
tecnologia 5G, con particolare interesse riguardo all’aumento della velocità
di trasmissione, all’implementazione delle onde millimetriche e all’uso della
tecnologia Massive MIMO (multiple input and multiple output). È inoltre
presente una rapida introduzione al beamforming e agli algoritmi di sintesi,
con varie soluzioni presentate nel corso degli anni.
Nel secondo capitolo è presentato il metodo delle proiezioni successive, l’al-
goritmo usato in questa tesi per realizzare le sintesi delle antenne. Sono stati
analizzati in particolar modo gli strumenti matematici utilizzati dall’algorit-
mo e le operazioni presenti all’interna della singola iterazione.
Nel terzo capitolo è stato descritto il metodo di individuazione degli zeri me-
diante densità di probabilità gaussiana. È stato inoltre spiegato in che modo
tali formule sono state implementate con successo all’interno del codice Ma-
tlab, con un’applicazione pratica di tale metodo per rendere la spiegazione
più chiara. Tale lavoro è stato poi inserito all’interno del paper "Phase-Only
Antenna Array Reconfigurability with Gaussian Shaped Nulls for 5G Appli-
cations", la cui pubblicazione all’interno della rivista "Internation Journal
iii

5. INTRODUZIONE
of Antennas and Propagation" è stata recentemente accettata.
Il quarto capitolo presenta i test effettuati, spiegando in particolar modo
la posizione degli interferenti e delle due antenne all’interno della regione
analizzata, rappresentata da un grafico. Viene analizzato in particolare il
comportamento dei diagrammi di radiazione delle due antenne in funzione
della posizione di un interferente.
iv

6. Capitolo 1
Reti 5G
Negli ultimi anni si è verificata una crescita vertiginosa nell’utilizzo di pac-
chetti IP attraverso reti wireless, arrivando a toccare i 190 exabyte del 2018,
con previsioni di addirittura 500 exabyte nel 2020. Questo crescente utilizzo
ha portato a una ricerca incessante di nuove tecnologie per la trasmissione di
pacchetti. Tuttavia, per continuare il processo di innovazione, è necessario
abbandonare la tecnologia 4G, in quanto essa non garantisce più le oppor-
tunità di sviluppo richieste dal mercato. Per tale motivo il mondo della rete
cellulare è ormai proiettato verso la tecnologia 5G, la nuova frontiera del
campo.
1.1 Parametri principali
Il protocollo 5G punta a migliorare rispetto alle tecnologie precedenti nei
seguenti campi:
• Velocità di trasmissione
• Latenza
• Energia e Costi
1.1.1 Velocità di trasmissione
Questo parametro è sicuramente il più rilevante, soprattutto per la futura
commercializzazione di tale prodotto. Vi sono tre differenti parametri che
misurano la velocità di trasmissione:
• Aggregate Data Rate: la mole di dati che la rete può spostare rispetto
a un’unità di area. Essa ha come unità di misura
1

7. CAPITOLO 1. RETI 5G
• Edge Rate: quanti dati la rete è in grado di spostare in caso di ricezione
debole.
• Peak Rate: la massima velocità di trasmissione a cui un utente possa
aspirare usando questo protocollo.
Rispetto agli standard precedenti la tecnologia 5G punta ad un aumen-
to di tre ordini di grandezza per l’aggregate data rate e di due ordini di
grandezza per l’edge rate. Queste misure sono estremamente importanti
poiché forniscono dei dati indicativi sui quali sviluppare la campagna di
commercializzazione di questa nuova tecnologia.
1.1.2 Latenza
Per quanto riguarda il tempo di latenza, rispetto ai vecchi standard la tec-
nologia 5G permetterà una riduzione di un ordine di grandezza: dai 15 ms
dello standard 4G l’obiettivo sarà infatti arrivare a 1 ms nelle reti 5G. Questo
miglioramento è ottenuto principalmente per poter commercializzare servizi
richiedenti una latenza estremamente bassa, come le "Tactile Networks", che
potrebbero essere implementate negli ambiti di gaming o controllo a distanza
di veicoli.
1.1.3 Energia e costi
Teoricamente i costi riguardanti lo sviluppo di questa tecnologia dovrebbero
rimanere invariati rispetto al precedente 4G: l’aumento di costi principale
sarebbe quello derivato dall’alta densità di BS richiesta dal protocollo. Tut-
tavia questo aumento verrebbe impattato dai costi delle frequenze nell’ordine
dei 10 GHz, decisamente inferiori rispetto a quelli delle frequenze minori ai
3 GHz, usate per il protocollo 4G. Inoltre sarebbero maggiormente utilizzate
celle di dimensioni inferiori, e quindi dal costo minore, rispetto alle macro-
celle usate dagli standard precedenti.
1.2 Aumento della velocità di trasmissione
Per ottenere un cospicuo incremento della velocità di trasmissione, atte-
nendosi agli obiettivi prefissati, sarà usata una combinazione di tre fatto-
ri: una maggiore densità di nodi per unità di area, una banda di frequen-
ze molto maggiore, grazie all’utilizzo delle onde millimetriche (che saranno
approfondite successivamente), e un aumento dell’efficienza spettrale.
2

8. CAPITOLO 1. RETI 5G
1.2.1 Densità dei nodi per unità di area
Nella prima generazione delle reti cellulari si era soliti usare delle celle di
grandezza nell’ordine delle centinaia di metri quadrati. Con l’avanzare de-
gli anni tali misure sono progressivamente diminuite, riducendosi a celle di
grandezza pari a frazioni di metro quadro, usate al giorno d’oggi. Questa
diminuzione di volume delle celle ha portato a molteplici vantaggi, i più
importanti dei quali sono sicuramente il riutilizzo dello spettro in una deter-
minata area geografica, i costi minori delle singole BS, che non supereranno
in grandezza e prezzo i dispositivi per lo standard 802.11 e il sempre minore
numero di utenti associati alla stessa BS. Infatti, il poter utilizzare un nu-
mero sempre maggiore di BS senza subire un calo del SIR, ha come ipotetico
obiettivo in futuro di poter associare ad ogni utente una diversa BS, in modo
da smaltire il traffico della rete in modo maggiormente efficiente.
Tuttavia, aumentando la densità delle BS, è stato necessario fronteggiare
vari problemi, in particolare la gestione del BS Densification Gain, ovvero
l’effettivo incremento di velocità di trasmissione all’aumentare della densità
di BS:
Questo valore è calcolato con la seguente formula:
ρ(λ1, λ2) =
(R2 − R1)/R1
(λ2 − λ1)/λ1
(1.2.1)
dove λ1 e R1 indicano la densità delle BS e il Data Rate ottenuto con tale
densità, mentre λ2 e R2 indicano i medesimi dati nel caso in cui si incrementi
la densità delle BSs. Questo termine, nelle tecnologie precedenti, assume un
valore vicino a 1. Utilizzando un protocollo di accesso ai canali inefficiente ad
alte densità, come il CSMA, è possibile addirittura ottenere un Base Station
Densification Gain (BSDG) negativo; questo fenomeno è noto come "Trage-
dy of the Commons". Passando invece all’analisi del SINR, in una rete ad
interferenza limitata con buffer pieno, esso risulta equivalente al SIR, poiché
la sua distribuzione rimane pressoché costante al densificarsi della rete. Tut-
tavia in casi reali il buffer non sarà completamente pieno; di conseguenza le
celle più piccole tenderanno a essere meno caricate di dati delle macrocelle.
Il SINR dunque tende a crescere con la densità, sia in reti ad interferen-
za limitata, poiché le celle poco caricate tendono a generare un’interferenza
molto bassa, sia in reti a rumore limitato, poiché la potenza del segnale ri-
cevuto tende ad aumentare. E’ doveroso notare però che, usando le onde
micrometriche, il guadagno del SINR non risulterebbe abbastanza elevato
per contrastare il sempre minore utilizzo di celle; di conseguenza, il BSDG
tenderebbe ipoteticamente a zero. Introducendo invece le onde millimetriche
sarà possibile ottenere un guadagno molto maggiore di 1, poiché a tali fre-
quenze il rumore non influenza particolarmente la trasmissione, permettendo
dunque l’utilizzo di un numero maggiore di celle. In tale modo è possibile
3

9. CAPITOLO 1. RETI 5G
alleggerire il carico relativo alla singola unità, aumentando di conseguenza il
SINR.
1.3 Onde millimetriche
Per ottenere un notevole passo in avanti rispetto alle tecnologie passate è
stato necessario prima di tutto poter operare in una banda di frequenze
non precedentemente utilizzate: per tale motivo si è preso in considerazione
l’utilizzo delle onde millimetriche, pensando dunque di utilizzare l’intervallo
[30 ; 300] GHz. Si è pensato al loro utilizzo già precedentemente ma erano
state momentaneamente accantonante a causa di vari fattori:
• Pathloss
• Assorbimento atmosferico
• Bassa diffrazione intorno a ostacoli
• Rumore eccessivo
• Costi elevati
Alcuni problemi sono stati di facile risoluzione: i costi dei materiali semi-
conduttori, ad esempio, poiché il loro mercato si è allargato notevolmente
nel corso degli anni, sono crollati, rendendo così possibile l’utilizzo di tali
frequenze.
Adesso saranno analizzati i problemi relativi alla propagazione.
1.3.1 Pathloss
Da misurazioni effettuate nell’area urbana di New York si è potuto notare
come il Pathloss generato dalle onde millimetriche alle frequenze 28 GHz e
73 GHz sia maggiore di 25 DB rispetto al Pathloss di quelle micrometriche
a 2.5 GHz. Questo fenomeno accade poiché all’aumentare della frequenza
l’apertura effettiva aumenta di un fattore pari a λ
4π . Tuttavia, mantenendo
invece costante l’apertura dell’antenna trasmittente o ricevente, al crescere
della frequenza lo spazio per la perdita di percorso rimane invariato, arrivan-
do addirittura a calare di un fattore pari a f2
c nel caso in cui siano mantenute
costanti le aperture di entrambi ricevitore e trasmittente.
1.3.2 Assorbimento atmosferico
Teoricamente l’assorbimento atmosferico è un disturbo non trascurabile, poi-
ché la trasmissione subisce un’interferenza di 15 dB
km nella fascia dei 60 GHz.
Tuttavia, grazie al sempre maggiore addensamento delle BSs, distanti tra
loro in media 200 m in un agglomerato urbano, questo problema va a nostro
vantaggio, poiché tende a isolare le celle vicine da quelle distanti Kilometri.
4

10. CAPITOLO 1. RETI 5G
1.3.3 Bassa diffrazione intorno a ostacoli
Una delle maggiori debolezze delle onde millimetriche è la bassa diffrazioni
intorno a ostacoli e la necessità di operare le comunicazioni in LoS Propa-
gation. Da misurazioni effettuate si nota che, in assenza di ostacoli e con
la presenza di LoS Propagation, il Pathloss assume un valore vicino a 20
dB/decade. In presenza di ostacoli e in assenza di LoS Propagation invece
tale misura crolla a 70 dB/decade, rendendo la maggior parte dei canali pre-
cedentemente funzionanti inutilizzabili.
Figura 1.1: Uso delle diverse bande di frequenza
1.4 Massive MIMO
La tecnologia di comunicazione MIMO (multiple input and multiple output)
è stata introdotta nel 2006 con l’avvento dello standard Wi-Fi e poco dopo
nelle tecnologie UMTS, o 3G. Nel corso del tempo sono questa tecnologia è
stata migliorata gradualmente, fino ad arrivare alla soluzione "Large Scale
Antenna Systems" o "Massive MIMO": tale sistema, che consiste nell’equi-
paggiare le BSs con un numero di antenne molto superiore al numero di
utenti, presenta i seguenti vantaggi:
• E’ possibile ottenere un alto guadagno di efficenza spettrale senza dover
usare una maggiore densità di BS e anche, con i dovuti accorgimen-
ti, sacrificare parte di questo guadagno per aumentare l’efficienza di
potenza.
• Grazie alla legge dei grandi numeri, sfruttando la combinazione dei
segnali di un numero sempre maggiore di antenne, si può ottenere una
trasmissione finale più pulita.
5

11. CAPITOLO 1. RETI 5G
• L’utilizzo di semplici strutture di trasmissione e ricezione, dovuto alla
quasi ortogonalità dei canali tra ogni BS. Questa ortogonalità tende
inoltre a crescere con l’aumento del numero di BS, arrivando a una
performance quasi ottimale.
Tuttavia è stato necessario fare fronte a numerose complicazioni:
1.4.1 Pilot contamination and overhead reduction
Le trasmissioni pilota possono essere realizzate in modo da essere ortogonali
tra utenti della stessa cella, per rendere le misurazioni maggiormente precise,
ma dovranno comunque essere riutilizzate, per evitare che che tutte le risorse
disponibili siano consumate dai pilot. Di conseguenza si formerà un’inter-
ferenza, denominata "pilot contamination", non trascurabile, nemmeno al
salire della densità delle BS. Per tale motivo un fattore fondamentale per
l’implementazione di queste nuove reti è un’accurata progettazione delle pi-
lot structures, in particolare sfruttando le correlazioni spaziali, in modo da
condividere i pilot symbol tra le varie antenne.
1.4.2 Coesistenza con le micro-celle
Come sottolineato in precedenza una delle maggiori differenze tra il proto-
collo 5G e i precedenti sarà l’utilizzo di celle di dimensione inferiore. Quindi
si è rivelato necessario far coesistere tali celle con la tecnologia Massive MI-
MO in modo efficace. Per risolvere tale problema la proposta maggiormente
considerata è quella di sfruttare l’elevato numero di antenne, e quindi la di-
stanza ridotta tra esse, per annullare con relativa semplicità le interferenze
che si verrebbero a creare.
6

12. CAPITOLO 1. RETI 5G
Figura 1.2: Rappresentazione grafica massive MIMO
1.5 Beamforming
Il Beamforming è una tecnologia che permette di concentrare il segnale tra-
smesso in una direzione specifica. Esso è particolarmente importante per il
guadagno nei sistemi che utilizzano le onde millimetriche: è infatti impossibi-
le, dal punto di visto economico, equipaggiare ogni antenna con convertitori
A/D ad alta risoluzione, in particolare per dispositivi mobili. Inoltre tale
tecnologia permette di non disperdere i segnali in direzioni non desiderate,
ottenendo la massima potenza possibile nella trasmissione di un segnale. Per
raggiungere tale obiettivo sarà necessario operare sulla fase dei segnali, per
allinearli in maniera efficiente.
A causa dell’elevato numero di celle che saranno utilizzate per lo sviluppo
di tale protocollo, è stato necessario effettuare svariati accorgimenti per im-
plementare tale tecnologia. Supponendo di prendere in considerazione un
ricevente e un trasmittente, aventi due vettori complessi di beamforming
vtx ∈ Cntx e vrx ∈ Cnrx , tali che vtx = vrx = 1, applicando questi due
vettori si ridurrà il canale MIMO denominato H in un più efficente canale
SISO, avente guadagno pari a:
G(vtx, vrx, H) = |v∗
rxHvtx| (1.5.1)
Si può inoltre calcolare il valore medio riferito a tale guadagno:
BFGaininst := 10 log10
E[Ginst(H)]
Gomni
(1.5.2)
Tale valore, nell’ambito delle onde millimetriche, è denominato instantaneous
7

13. CAPITOLO 1. RETI 5G
gain: esso infatti rappresenta il guadagno quando i vettori di Beamforming
di trasmittente e ricevente possono essere scelti in base a una realizzazione
small-scale fading istantanea.
Tuttavia questo Beamforming istantaneo risulta estremamente difficile da ot-
tenere. Per tale motivo è stato preso in maggiore considerazione il long-term
beamforming: quest’ultimo prevede l’adattamento dei vettori di Beamfor-
ming di trasmittente e ricevente secondo i parametri di larga scala, trascu-
rando invece i parametri in piccola scala. Si otterrà quindi un guadagno
medio pari a EG(vtx, vrx, H) e conseguentemente un guadagno di Beamfor-
ming a lungo termine:
BFGainlong := 10 log10
E[G(vtx, vrx, H)]
Gomni
(1.5.3)
Questo valore sarà minore del guadagno istantaneo analizzato in precedente,
ma solitamente tale perdita non supera i 2-3 dB.
1.6 Algoritmi di sintesi
Nell’implementazione dello standard 5G sono state proposte molte tecniche
per controlli di sola fase attraverso zeri su array di antenne. Una delle prime
soluzioni adottate è un metodo deterministico per array lineari presentato nel
documento [1], dove è spiegato come possa essere implementato il controllo
di sola fase e la possibilità di generare zeri vicini tra loro. Nel documento
[2], per l’assegnamento di zeri in un’array attraverso un controllo di sola
fase è stato progettato un algoritmo genetico. Un altro metodo è discus-
so nel documento [3], dove l’autore adotta un metodo di programmazione
quadratica sequenziale. Il documento [4] invece prende in considerazione in
modo specifico la sintesi di sola fase attraverso zeri distanti tra loro. Nel
documento [5] è presa in considerazione un’architettura per il Beamforming
basata su una rete neurale: tale rete viene allenata in modo da scegliere
la posizione migliore degli zeri all’interno dell’array. La sintesi di array di
antenne ad arco cilindrico controllata dalle fasi di eccitazione è analizzata
all’interno del documento [6]. Nel documento [7] è proposto un algoritmo di
ricerca ottimizzata per array lineari. Tale algoritmo prevede un controllo di
sola fase e una sintesi di zeri. Tali opzioni sono adottate anche all’interno del
documento [8], che applica una ricerca metaoristica ottimizzata basata su un
processo iterativo controllato da un singolo parametro. Nel documento [9] è
stato adottato il metodo delle proiezioni successive, per programmare un al-
goritmo in grado di risolvere problemi di sintesi di zeri in array di geometria
arbitraria. Tale metodo è stato poi utilizzato anche nel documento [10], il
quale presenta un’altra soluzione ancora per il problema di sintesi degli zeri.
In questa tesi sarà affrontato il metodo delle proiezioni successive.
8

14. CAPITOLO 1. RETI 5G
1.6.1 Proiezioni alternate: motivazioni
Il metodo delle proiezioni alternate presenta vari vantaggi, tra cui la capacità
di mantenere un Dynamic Range Ratio (DRR), che rappresenta il rapporto
tra la massima e la minima ampiezza d’eccitazione dell’array, unitario. La
possibilità di limitare superiormente l’insieme da cui selezionare il DRR è
stato precedentemente provato dal punto di vista matematico nel documen-
to [11].
Inoltre, tale metodo è applicabile a specifiche configurazioni, aventi di solito
struttura lineare. Infine, da recenti misurazioni sul canale alle frequenze delle
onde millimetriche, si è potuto osservare che la dispersione può spesso essere
descritta da una distribuzione Gaussiana. Quindi è stato adottato tale me-
todo per poter determinare le posizioni degli zeri secondo tale distribuzione
in un tempo di calcolo relativamente breve.
Il metodo che verrà analizzato è un algoritmo rapido di sintesi per antenne
lineari e planari di geometria arbitraria che permette di modellare la regione
degli zeri secondo una distribuzione Gaussiana. Tale algoritmo prende in
Input un pattern e lo modifica, in modo da posizionare gli zeri in specifiche
direzioni.
9

15. Capitolo 2
Metodo delle proiezioni
successive
Molti problemi matematici complessi possono essere ridotti alla semplice ri-
cerca di un punto appartenente a uno specifico insieme convesso. Di solito,
trovare la proiezione di un punto su un insieme specificato è un’operazione
matematica abbastanza semplice e veloce e, per tale motivo, si è pensato
di applicarlo per problemi di sintesi di schiere di antenne. Un’altra impor-
tante caratteristica è la possibilità di ridurre il livello dei lobi laterali del
diagramma di radiazione. Adesso saranno descritti gli strumenti utilizzati
per applicare tale metodo.
2.1 Definizione matematica
La proiezione del punto x su un insieme S, contenuto in uno spazio di Hilbert
E, è quel punto tale che:
||x − PS(x)|| = inf
y∈S
||x − y|| = ρ(x, S) (2.1.1)
Supponendo che ci sia dato un sistema di insiemi Qα, con α ∈ A, dove
l’insieme A è un insieme di indici, l’obiettivo è quello di trovare dei pun-
ti in comune all’interno di questo gruppo di insiemi, ovvero trovare i punti
x ∈ Q = α∈A Qα. Il metodo delle proiezioni successive consiste nel creare
una successione in modo da ottenere, partendo da un punto arbitrario di
partenza x0, n punti all’interno dell’insieme scelto, proiettando dopo ogni
iterazione il punto ottenuto in precedenza. La successione è la seguente:
xn+1 = xn + λn(Pα(n)(xn) − xn), 0 ≤ λn ≤ 2 (2.1.2)
10

16. CAPITOLO 2. METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE
L’operatore di proiezione P ha poi alcune importanti proprietà matematiche:
• ∃! P(x) ∀x ∈ S
• (x − P(x), y − P(x)) ≤ 0, ∀y ∈ S
Se poi S è strettamente convesso, x /∈ S, y = P(x), y ∈ S allora:
(x − P(x), y − P(x)) < 0, ∀y ∈ S
• ||P(x) − P(y)|| ≤ ||x − y||
Se poi S è strettamente convesso, x = y, x /∈ S(oppure y /∈ S) allo-
ra:
||P(x) − P(y)|| < ||x − y||
2.2 Applicazione ai problemi di sintesi
È possibile applicare il metodo delle proiezioni successive per risolvere pro-
blemi di sintesi relativi a schiere di antenne aventi geometria arbitraria, senza
dunque alcuna restrizione riguardo alla loro costruzione. È necessario sce-
gliere un insieme di partenza, denominato Λ, e un vettore d’eccitazione da
cui far partire le iterazioni del metodo. Tale vettore sarà indicato con i0.
Da tali dati è possibile ricavare il pattern di partenza P(i0, ˆr) ∈ Λ, primo
elemento che sarà fornito in input all’algoritmo.
2.2.1 L’insieme Z
Per modificare il pattern P(i0, ˆr) viene introdotto l’insieme Z, un sottoin-
sieme di Λ contenente tutti i pattern di radiazione che si annullano nelle M
direzioni di zero prescelte. In poche parole, l’insieme Z conterrà i pattern
tali che:
P(i, ˆrm) = 0 ∀m = 1, ..., M (2.2.1)
2.2.2 Iterazione
Prima di avviare l’algoritmo è necessario introdurre l’insieme A. Tale insie-
me contiene N pattern tali che:
|in| = |i0n|, ∀n = 1, ..., N (2.2.2)
11

17. CAPITOLO 2. METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE
Una volta definiti gli insiemi, si procede con la prima iterazione dell’algorit-
mo, proiettando il pattern di partenza P0 sull’insieme Z, ottenendo dunque
la proiezione P0 = TZP0, dove TZ è l’operatore che proietta P0 sull’insieme
Z. P0 è per definizione il pattern ∈ Z. P0 dunque è, tra tutti i pattern
aventi gli zeri nelle M direzioni desiderate, quello avente distanza minore dal
pattern di partenza.
Dopo aver ottenuto la prima proiezione, viene effettuata la medesima ope-
razione sul pattern P0, proiettandolo sull’insieme A. Il risultato di questa
seconda proiezione è il pattern P1 = P0TA = P0TZTA. La seconda ite-
razione prenderà poi come pattern di input la P1, ricavando la proiezione
P2 = TATZP1.
È possibile dunque generalizzare tale operazione con la seguente successione:
Pn+1 = TATZPn, n = 1, 2, ... (2.2.3)
Da tale equazione si ottiene una sequenza di pattern su A in grado di soddi-
sfare le condizione richieste e che progressivamente minimizzano la distanza
con l’insieme Z. Supponendo di porre una limitazione inferiore al valore dn,
possiamo dunque individuare il pattern corretto con sufficiente . Le limita-
zioni imposte sono le seguenti:
dn−1 − dn
dn
≤ ε1 (2.2.4)
oppure, in alternativa:
dn ≤ ε2 (2.2.5)
dove i valori di ε1 e ε2 sono a discrezione dell’utente.
2.3 Il proiettore TZ
L’operatore TZ, come già specificato precedentemente, serve a ottenere la
proiezione del pattern di partenza sull’insieme Z. Tale proiezione P(i), è il
diagramma di radiazione che minimizza la distanza definita dalla seguente
formula:
δ2
(i) = ||P(i) − P(ix)||2
(2.3.1)
Sostituendo P(i, ˆr) = N
n=1 inpn(ˆr)ejβ ¯dn∗ˆr nell’equazione precedente si ot-
tiene il seguente risultato:
12

18. CAPITOLO 2. METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE
δ2
= (i − ix)H
G(i − ix) (2.3.2)
dove la matrice G è definita come:
Gmn =< pn(ˆr)ejβ ¯dn∗ˆr
, pm(ˆr)ejβ ¯dm∗ˆr
>, m, n = 1, ..., N (2.3.3)
Poiché < f, g >=< g, f >∗, allora Gmn = G∗
nm. Da tale nozione si deduce
che la matrice G è Hermitiana; pertanto essa può essere scritta nella seguente
forma:
G = UH
ΛU (2.3.4)
dove Λ è la matrice diagonale avente come elementi gli autovalori della ma-
trice G, mentre U è la matrice unitaria avente come colonne gli autovet-
tori corrispondenti ai rispettivi autovalori di G. Definendo w = Λ
1
2 Ui e
wx = Λ
1
2 Uix, si può ridefinire la distanza δ:
δ2
(i) = (w − wx)H
(w − wx) (2.3.5)
Tuttavia, scrivendo i = Kw, dove K è la matrice pseudo-inversa di Λ
1
2 U.
Introducendo poi la matrice S = EK, l’equazione (3.2.1) può essere scritta
come Sw = 0. Di conseguenza il nostro obiettivo finale cambia: il problema
adesso è determinare il vettore w che minimizza l’equazione (3.2.10), rispet-
tando la condizione Sw = 0. Poiché una soluzione nota a tale problema è
w = (IN + S†S)wx, dove IN è la matrice identità e S† è la pseudo-inversa di
S. Allora l’equazione finale risulterà essere:
i = PZix (2.3.6)
dove
PZ = K(IN − S†
S)Λ
1
2 U (2.3.7)
2.4 Il proiettore TA
Avendo in Input il pattern P(ix), vogliamo determinare la sua proiezione
P(i) sull’insieme A, ovvero il pattern che minimizza la distanza δ2. È neces-
sario prima imporre una condizione:
13

19. CAPITOLO 2. METODO DELLE PROIEZIONI SUCCESSIVE
in = ρ0nejαn , dove ρ0n = |i0n|, n = 1, ..., N. Sostituendo tali valori all’inter-
no dell’equazione 3.2.7 si ottiene la seguente equazione:
δ2
(i) = Gpp|ρ0pejαp
− ixp|2
+ Hp(ρ0pe−jαp
− i∗
xp) + H∗
p (ρ0pejαp
− ixp) + Kp
(2.4.1)
dove:
Hp =
n=p
Gpn(ρ0nejαn
− ixn) (2.4.2)
Kp =
m=p
(ρ0me−jαm
− i∗
xm)
n=p
Gmn(ρ0nejαn
− ixn) (2.4.3)
Supponendo che le N − 1 variabili α1, ..., αp−1, αp+1, .., αN siano note, il
valore cercato αp che minimizza la distanza esplicitata nell’equazione è ot-
tenuto derivando δ2 rispetto a αp e cercando il valore che manda a zero tale
equazione.
14

20. Capitolo 3
Individuazione degli zeri
L’obiettivo principale per la risoluzione dei problemi di sintesi è quello di
modificare il pattern di radiazione prodotto da un’antenna per annullare,
o quantomeno attenuare, interferenze presenti in una determinata regione
angolare. Una possibile risoluzione per tale problema è usare il metodo del-
le proiezioni successive descritto in precedenza per minimizzare la distanza
δ(i) = ||P(i) − P(i0)||, dove P(i0) è il pattern di partenza. Tuttavia, nel
processo per ricavare tale distanza è necessario prestare attenzione ad alcu-
ne condizioni:
|in| = |i0n|, n = 1, ..., N (3.0.1)
|P(i, ˆr)| ≤ Qf(ˆr), ˆr ∈ Ω (3.0.2)
dove Q è una costante relativa all’ampiezza dell’interferenza, mentre f(ˆr)
è la funzione che descrive la densità di probabilità degli angoli di arrivo
(AoA) nella regione angolare scelta Ω. Per rispettare la condizione espressa
dall’equazione 4.0.1 ci basta implementare l’algoritmo descritto al capitolo
precedente stando attenti che venga rispettata l’equazione (3.2.1). Tuttavia
per la seconda condizione sarà necessario effettuare dovuti accorgimenti.
3.1 Implementazione della funzione di probabilità
gaussiana
Una scelta possibile per la funzione di densità di probabilità per individuare
gli angoli di arrivo all’interno dell’intervallo angolare [−π, π] è la funzione
gaussiana:
f(θ) =



QG√
2σ
e−
(θ−θ0)2
2σ2 |θ − θ0| ≤ π
2
0 altrimenti
(3.1.1)
15

21. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
Affinché la seconda condizione, espressa dall’equazione (4.0.2), sia verifica-
ta, è necessario selezionare degli angoli di arrivo tali che il pattern generato
sia minore del valore Qf(ˆr) nella regione d’interesse Ω, che nel caso analiz-
zato risulta essere l’intervallo [−π, π]. Per risolvere tale problema, è stato
necessario ricavare una equazione che esprimesse i valori di questi angoli di
arrivo in funzione del numero totale di elementi N, del numero di direzioni
di zero M, della costante QG, della varianza σ e dell’angolo di partenza θ0.
Per ricavare il generico θm, è necessario tenere da conto che vale la seguente
considerazione:
π
−π
f(θ)dθ = 1 (3.1.2)
Per tale motivo, possiamo suddividere tale area in M +1 settori aventi super-
ficie equivalente semplicemente scomponendo l’equazione nel seguente modo:
θ1
−π
2
f(θ)dθ =
θ2
θ1
f(θ)dθ = ... =
π
2
−θM
f(θ)dθ =
1
M + 1
(3.1.3)
Tale scomposizione della superficie scelta in regioni aventi area equivalente
permette di collocare un alto numero di zeri nelle zone di maggiore interfe-
renza e un numero inferiore nelle zone dove l’interferenza è debole.
Quindi possiamo ricavare θ1:
θ1
θ0
QG
√
2σ
e−
(θ−θ0)2
2σ2 dθ =
1
M + 1
(3.1.4)
Svolgendo i vari passaggi di questa equazione in funzione di θ1 ed effettuando
el dovute sostituzioni si arriva al seguente passaggio:
2
√
π
θ1−θ0√
2σ
0
e−t2
dt =
2
QG(M + 1)
(3.1.5)
Sapendo che vale la seguente legge:
erf(x) =
2
√
π
x
0
e−t2
dt (3.1.6)
dove erf(x) indica la funzione errore, possiamo effettuare una sostituzione
ottenendo il seguente risultato:
erf
θ1 − θ0
√
2σ
=
2
QG(M + 1)
(3.1.7)
16

22. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
Quindi è possibile ricavare l’incognita θ1:
θ1 = θ0 +
√
2σ erf−1 2
QG(M + 1)
(3.1.8)
Per generalizzare tale formula è necessario ricavare anche θ2, in modo da
poter osservare accuratamente l’andamento della successione. Svolgendo i
medesimi calcoli si ricava che:
θ2 = θ0 +
√
2σ erf−1 4
QG(M + 1)
(3.1.9)
Ripetendo lo stesso calcolo per θ−1 e θ−2, otteniamo gli stessi risultati aventi
però un segno negativo all’interno dell’argomento della funzione erf−1
. Quin-
di possiamo generalizzare la successione:
θm = θ0 +
√
2σ erf−1 2m
QG(M + 1)
(3.1.10)
Questa formula è applicabile solamente se le direzioni di zero M sono un
numero dispari. Avendo M pari invece devo tenere conto che l’angolo tra θ0
e θ1 sarà dimezzato rispetto alle misure precedenti. Quindi i valori di θ1 e
θ2 sono calcolati nel modo seguente:
θ1 = θ0 +
√
2σ erf−1 1
QG(M + 1)
(3.1.11)
θ2 = θ0 +
√
2σ erf−1 3
QG(M + 1)
(3.1.12)
Quindi la generica equazione per M pari è la seguente:
θm = θ0 +
√
2σ erf−1 2m − 1
QG(M + 1)
(3.1.13)
A questo punto è possibile generalizzare l’equazione, per non dover effettua-
re distinzioni a seconda del valore di M. Per fare ciò si uniscono i risultati
ricavati dalle equazioni precedenti per generare la seguente formula:
θm = θ0 +
√
2σ erf−1 2m − rem(M + 1, 2)
QG(M + 1)
, per m > 0 (3.1.14)
17

23. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
θm = θ0 +
√
2σ erf−1 2m + rem(M + 1, 2)
QG(M + 1)
, per m < 0 (3.1.15)
dove la funzione rem indica il resto che si ottiene dalla divisione del primo
operando con il secondo.
3.2 Applicazione in matlab
Per osservare visivamente la posizione degli angoli di arrivo è possibile im-
plementare le formule descritte precedentemente in una funzione di Matlab,
modificando dunque il pattern di partenza. Una volta scelto l’angolo di par-
tenza θ0, le equazioni (4.1.14) e (4.1.15) all’interno della funzione denominata
"fun_nullDirectionGauss" determinano le M direzioni di zero richieste. Il
codice relativo a tale funzione è il seguente:
1 function thetam = fun_nullDirectionsGauss(th0,var,QG,M)
2
3 %creo l'array che andra' in output
4 thetam=zeros(M,1);
5 count=0;
6 %Caso M pari
7 if rem(M,2)==0
8 for m=-M*.5:M*.5
9 if (m==0)
10 else
11 count=count+1;
12 thetam(count)=th0+(2^.5)*var*erfinv(((2*m)-1*sign(m))/(QG*(M+1)));
13 end
14 end
15 else
16 %Caso M dispari
17 for m=-(M-1)*.5:(M-1)*.5
18 count=count+1;
19 thetam(count)=th0+(2^.5)*var*erfinv(((2*m)/(QG*(M+1))));
20 end
21 end
Una volta calcolati tali valori, l’algoritmo delle proiezioni successive co-
struisce il pattern, che viene visualizzato dalla funzione "fun_plot.m". Per
mettere in pratica l’algoritmo, usiamo i seguenti dati:
• Lunghezza d’onda λ = 1
• Numero di elementi N = 28
18

24. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
• Numero di direzioni di zero M = 6
• Angolo di partenza θ0 = −50°
• Deviazione standard σ = 2
Il risultato prodotto è il seguente:
Figura 3.1: Esempio del diagramma di radiazione
Come si può notare sono presenti le sei seguenti direzioni di zero:
• -53.74°
• -52.24°
• -50.75°
• -49.25°
19

25. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
• -47.76°
• -46.26°
Figura 3.2: Posizione angoli di arrivo
3.3 Applicazione pratica
Una possibile applicazione pratica per tale algoritmo prevede il posiziona-
mento all’interno di un grafico di un antenna trasmittente, un’antenna rice-
vente e uno o due interferenti; l’obiettivo finale è quello di osservare come
i due interferenti modificano i diagrammi di radiazioni delle due antenne,
visualizzando i corrispondenti grafici. Per risolvere tale problema è stato in-
nanzitutto necessario visualizzare graficamente la posizione di questi quattro
elementi:
20

26. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
Figura 3.3: Posizione antenne e interferenti
I problemi che verranno affrontati in questa tesi vedranno i due inter-
ferenti posizionati sull’asse delle ordinate, mentre le due antenne sull’asse
delle ascisse. Per calcolare le regioni angolari interessate da tali interferenti
è necessario effettuare dei calcoli per calcolare l’angolo θ0: tale angolo è ri-
cavato dal coefficiente angolare della retta passante dai due punti relativi ad
Antenna e Interferente. Quindi per ricavare θ0 è stata adottata la seguente
equazione:
θ0 = atan
yI − yA
xI − xA
180
π
(3.3.1)
dove i valori xI e yI sono le coordinate dell’interferente mentre i valori xA e
yA sono le coordinate dell’antenna considerata. Una possibile applicazione
in Matlab di tali formule, nel caso specifico in cui gli interferenti siano due,
è la seguente:
1 %Creo la matrice dove andranno salvati i quattro angoli
2 vector_th0 = ones(2,2);
3 %Caso 1: l'antenna trasmittente è posizionata sul semiasse positivo
4 %delle ascisse
5 if(xt > xr)
6 vector_th0(1,1) = atan((yi1-yr)/(xi-xr))*180/pi;
21

27. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
7 vector_th0(2,1) = 180 - vector_th0(1,1);
8 else
9 vector_th0(1,1) = atan((yi1-yt)/(xi-xt))*180/pi;
10 vector_th0(2,1) = 180 - vector_th0(1,1);
11 end
12 %Caso 2: l'antenna trasmittente è posizionata sul semiasse negativo
13 %delle ascisse
14 if(xt > xr)
15 vector_th0(1,2) = atan((yi2-yr)/(xi-xr))*180/pi;
16 vector_th0(2,2) = 180 - vector_th0(1,2);
17 else
18 vector_th0(1,2) = atan((yi2-yt)/(xi-xt))*180/pi;
19 vector_th0(2,2) = 180 - vector_th0(1,2);
20 end
Una volta ricavati i quattro valori desiderati, essi sono dati in input alla fun-
zione "fun_nullDirectionGauss2", la quale, come la funzione precedentemen-
te descritta "fun_nullDirectionGauss", elabora le M1 e M2 direzioni di zero
scelte per le due antenne per mezzo delle due equazioni (4.1.14) e (4.1.15).
Successivamente, queste direzioni vengono elaborate mediante le proiezioni
successive e viene dunque prodotto il diagramma di radiazione relativo alle
due antenne. Il codice relativo alla funzione "fun_nullDirectionGauss2" è il
seguente:
1 function thetam = fun_nullDirectionsGauss2(th01,th02,var1,var2,QG1,QG2,M1,M2)
2
3
4 M = M1+M2;
5 %Creo l'array che andra' in output
6 thetam=zeros(M,1);
7 count=0;
8 %Caso 1: M1 pari
9 if rem(M1,2)==0
10 for m=-M1*.5:M1*.5
11 if (m==0)
12 else
13 count=count+1;
14 thetam(count)=th01+(2^.5)*var1*erfinv(((2*m)-1*sign(m))/(QG1*(M1+1)));
15 end
16 end
17 else
18 %Caso 2: M1 dispari
19 for m=-(M1-1)*.5:(M1-1)*.5
20 count=count+1;
21 thetam(count)=th01+(2^.5)*var1*erfinv(((2*m)/(QG1*(M1+1))));
22

28. CAPITOLO 3. INDIVIDUAZIONE DEGLI ZERI
22 end
23 end
24
25 %Caso 1: M2 pari
26 if rem(M2,2)==0
27 for m=-M2*.5:M2*.5
28 if (m==0)
29 else
30 count=count+1;
31 thetam(count)=th02+(2^.5)*var2*erfinv(((2*m)-1*sign(m))/(QG2*(M2+1)));
32 end
33 end
34 else
35 %Caso 2: M2 dispari
36 for m=-(M2-1)*.5:(M2-1)*.5
37 count=count+1;
38 thetam(count)=th02+(2^.5)*var2*erfinv(((2*m)/(QG2*(M2+1))));
39 end
40 end
I risultati elaborati da tale funzione verranno visualizzati nel Capitolo 5 con
maggiore chiarezza.
23

29. Capitolo 4
Risultati
Per verificare il corretto funzionamento dell’algoritmo prodotto è stato ri-
dotto il numero di gradi di libertà: sono stati inaftti mantenute fisse le
coordinate (x, y) delle due antenne trasmittente e ricevente e dell’interferen-
te I1, posizionato sul semiasse negativo delle ordinate. Sono rimasti invariati
nel corso dei vari test anche i seguenti valori:
• Il numero di direzioni di zero relativo all’interferente I1: M1 = 4
• Il numero di direzioni di zero relativo all’interferente I2: M2 = 4
• Il numero di elementi, uguale per entrambe le antenne: N = 36
• La lunghezza d’onda: λ = 1
Le coordinate relative alle antenne e dell’interferente I1 sono le seguenti:
• Antenna trasmittente: (xt, yt) = (−8, 0)
• Antenna ricevente: (xr, yr) = (8, 0)
• Interferente: (xI1 , yI1 ) = (0, −3)
L’interferente I2 invece è stato mosso lungo l’asse delle ordinate, aumentando
progressivamente il valore yI2 , mentre il valore xI2 è mantenuto costante 0.
È doveroso notare poi che il diagramma di radiazione riferito all’antenna
ricevente coprirà la regione angolare definita dall’intervallo [90°, 270°], poiché
la direzione principale di trasmissione risulta essere 180°. Inoltre, poiché la
posizione del primo interferente è mantenuta fissa, è possibile ricavare le
direzioni di zero θ0t e θ0r riferite al primo interferente:
• θ0t = −20.56
• θ0r = 200.56
Tali direzioni rimarranno invariate per tutti i test eseguiti.
24

30. CAPITOLO 4. RISULTATI
4.1 Test effettuati
Nel primo test effettuato è stato assegnato il seguente valore: yI2 = 4. Po-
nendo l’interferente I2 in tale posizione si ottengono i seguenti grafici:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.1: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– θ0t = 26.57°
da cui:
– θ−2t = 23.03°
– θ−1t = 25.39°
– θ1t = 37.74°
– θ2t = 30.10°
25

31. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.2: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– θ0r = 153.43°
da cui:
– θ−2r = 149.90°
– θ−1r = 152.26°
– θ1r = 154.61°
– θ2r = 156.97°
26

32. CAPITOLO 4. RISULTATI
Aumentando poi il valore dell’ordinata dell’interferente, portandolo alle
coordinate (0, 5), ottengo i seguenti diagrammi di radiazione:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.3: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– θ0t = 32.01°
da cui:
– θ−2t = 28.54°
– θ−1t = 30.85°
– θ1t = 33.16°
– θ2t = 35.47°
27

33. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.4: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– θ0r = 147.99°
da cui:
– θ−2r = 144.53°
– θ−1r = 146.84°
– θ1r = 149.15°
– θ2r = 151.46°
28

34. CAPITOLO 4. RISULTATI
Spostando quindi l’interferente alle coordinate (0, 9) si ottengono i seguenti
pattern di radiazione:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.5: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– θ0t = 48.37°
da cui:
– θ−2t = 45.19°
– θ−1t = 47.31°
– θ1t = 49.42°
– θ2t = 51.55°
29

35. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.6: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– θ0r = 131.63°
da cui:
– θ−2r = 128.45°
– θ−1r = 130.57°
– θ1r = 132.69°
– θ2r = 134.81°
30

36. CAPITOLO 4. RISULTATI
Spostando ulteriormente l’interferente, posizionandolo alle coordinate (0, 11),
i diagrammi di radiazione ottenuti sono i seguenti:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.7: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– θ0t = 53.97°
da cui:
– θ−2t = 50.93°
– θ−1t = 52.96°
– θ1t = 54.99°
– θ2t = 57.02°
31

37. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.8: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– θ0r = 126.03°
da cui:
– θ−2r = 122.98°
– θ−1r = 125.02°
– θ1r = 127.04°
– θ2r = 129.07°
32

38. CAPITOLO 4. RISULTATI
Con l’interferente alle coordinate (0, 14), i risultati sono i seguenti:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.9: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– θ0t = 60.26°
da cui:
– θ−2t = 57.38°
– θ−1t = 59.30°
– θ1t = 61.21°
– θ2t = 63.13°
33

39. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.10: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– θ0r = 119.74°
da cui:
– θ−2r = 116.87°
– θ−1r = 118.79°
– θ1r = 120.70°
– θ2r = 122.62°
34

40. CAPITOLO 4. RISULTATI
Spostando l’interferente alle coordinate (0, 20), i risultati ottenuti sono:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.11: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– θ0t = 68.20°
da cui:
– θ−2t = 65.56°
– θ−1t = 67.37°
– θ1t = 69.08°
– θ2t = 70.83°
35

41. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.12: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– θ0r = 111.80°
da cui:
– θ−2r = 109.17°
– θ−1r = 110.92°
– θ1r = 112.68°
– θ2r = 114.44°
È possibile notare come i due angoli θ0t e θ0r , al crescere del valore YI2 , si
avvicinino progressivamente a 90°, senza tuttavia mai raggiungere tale valore
per motivi matematici ( atan(π
2 ) + kπ, ∀k ∈ N).
36

42. CAPITOLO 4. RISULTATI
Usando invece dati differenti:
• M1 = 5
• M2 = 5
• N = 45
• yI1 = −5
• yI2 = 7
e mantenendo invariate le posizioni delle antenne si ottengono i seguenti
risultati:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.13: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– Primo interferente: θ01t = −32.01°
– Secondo interferente: θ02t = 41.19°
37

43. CAPITOLO 4. RISULTATI
da cui:
– θ−21t = −35.86° e θ−22t = 37.49°
– θ−11t = −33.93° e θ−12t = 39.34°
– θ11t = −30.08° e θ12t = 43.03°
– θ21t = −28.15° e θ22t = 44.88°
• Antenna ricevente:
Figura 4.14: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– Primo interferente: θ01r = 212.01°
– Secondo interferente: θ02r = 138.81°
da cui:
– θ−21r = 208.15° e θ−22r = 135.12°
– θ−11r = 210.08° e θ−12r = 136.97°
38

44. CAPITOLO 4. RISULTATI
– θ11r = 213.93° e θ12r = 140.66°
– θ21r = 215.86° e θ22r = 142.51°
Spostando gli interferenti nell posizioni (0, −14) e (0, 12) i risultati sono:
• Antenna trasmittente:
Figura 4.15: Diagramma di radiazione dell’antenna trasmittente
Dove:
– Primo interferente: θ01r = −60.26°
– Secondo interferente: θ02r = 56.31°
da cui:
– θ−21t = −63.45° e θ−22t = 52.99°
– θ−11t = −61.85° e θ−12t = 54.65°
– θ11t = −58.66° e θ12t = 57.97°
– θ21t = −57.06° e θ22t = 59.63°
39

45. CAPITOLO 4. RISULTATI
• Antenna ricevente:
Figura 4.16: Diagramma di radiazione dell’antenna ricevente
Dove:
– Primo interferente: θ01r = 240.26°
– Secondo interferente: θ02r = 123.69°
da cui:
– θ−21r = 237.06° e θ−22r = 120.37°
– θ−11r = 238.66° e θ−12r = 122.03°
– θ11r = 241.85° e θ12r = 125.35°
– θ21r = 243.45° e θ22r = 127.01°
40

46. CAPITOLO 4. RISULTATI
Quindi anche in questo caso, come nel precedente, vediamo chiaramente
che:
• Al scendere del primo interferente, θ01t e θ01r tendono a −90° (∼= 270°).
• Al salire del secondo interferente, θ02t e θ02r tendono a 90°.
41

47. Conclusioni
In questa tesi sono stati analizzati problemi di antenne usate per la tecnolo-
gia 5G a controllo di sola fase. In particolare è stato prodotto un algoritmo
per posizionare gli angoli di arrivo secondo una densità di probabilità gaus-
siana, prima dal punto di vista matematico, poi implementando tale sistema
in un algoritmo per la risoluzione di problemi di sintesi mediante il metodo
delle proiezioni successive. I test effettuati all’interno della tesi tengono con-
to di quattro differenti punti all’interno del grafico: due punti rappresentanti
le antenne trasmittente e ricevente, due punti rappresentanti due differenti
interferenti.
L’obiettivo principale dei test effettuati è stato quello di evidenziare lo spo-
stamento delle M direzioni di zero in funzione dell’angolo di partenza θ0,
calcolato in base alle posizioni delle antenne e degli interferenti all’interno
del grafico. Come si può chiaramente notare dai grafici della prima serie
di test, lasciando il primo interferente fisso e aumentando progressivamente
l’ordinata del secondo, le direzioni di zero tendono progressivamente a 90°.
Questo poiché, al salire dell’ordinata del secondo interferente, il coefficiente
angolare della retta passante per i punti rappresentanti lo stesso interferente
e l’antenna scelta cresce in valore assoluto.
Per utilizzare tale algoritmo è doveroso tuttavia scegliere dei dati di partenza
adeguati, in modo che il grafico prodotto in output sia effettivamente quello
desiderato. In particolare, è necessario prestare attenzione alla scelta del
numero di elementi di partenza N e delle direzioni di zero M. Logicamente,
sussiste il vincolo matematico N > M; tuttavia, affinché l’algoritmo forni-
sca il risultato sperato, è necessario che N sia molto maggiore di M. Un
altro dato che non bisogna trascurare è la deviazione standard σ riferita alla
funzione gaussiana: tutti i test riportati all’interno di questa tesi prevedono
una curva gaussiana avente deviazione standard σ = 2; per ottenere risultati
soddisfacenti col metodo riportato sono consigliabili valori tali che σ < 5.
Lo sviluppo della tecnologia 5G è un ambito di ricerca in piena fase di cresci-
ta: esso infatti garantisce grande visibilità nella società scientifica moderna,
poiché è stato solo negli ultimi anni preso in considerazione come argomento
di studio. Per tale motivo nei prossimi anni si vedrà un sempre maggiore nu-
mero di pubblicazioni riguardanti tale tecnologia, in quanto esso garantisce
un considerevole numero di possibili nuove implementazioni.
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48. Bibliografia
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