Mech Eng Thesis

Indice
1 Giroscopi MEMS 3
1.1 Introduzione: MEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Giroscopio traslante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Giroscopio rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Identificazione dei parametri del giroscopio MEMS ST Mi-
croelectronics 20
2.1 Giroscopio MEMS St Microelectronics . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Caratteristiche Inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Caratteristiche Elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Caratteristiche Smorzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Forzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Risposta dinamica del giroscopio MEMS ST 37
3.1 Metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Metodi passo-passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Metodi semi-analitici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Metodo perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Risposta in transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Risposta a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Sensibilità al valore dello smorzamento viscoso equiva-
lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Sensibilità all’ampiezza della forzante . . . . . . . . . . 56
4 Progettazione di un giroscopio per la verifica del modello in
campo lineare e non lineare 60
4.1 Parametri del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Alimentazione push-pull:
termine di forzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Descrizione dell’apparato di prova . . . . . . . . . . . . . . . . 64
i

4.4 Confronto tra la risposta dinamica
numerica e sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A Tecnologia MEMS 71
A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.2 Surface Micromachining:
fasi del processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.2.1 Deposizione degli strati di silicio . . . . . . . . . . . . . 74
A.2.2 Definizione di pattern tramite fotolitografia . . . . . . . 75
A.2.3 Attacco selettivo degli strati sacrificali di silicio (etching) 77
A.2.4 Flussi di processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Bibliografia 1
ii

Introduzione
I sistemi micro-elettromeccanici (MEMS) costituiscono da circa 15 anni una
importante area della tecnologia sviluppatasi sulle esperienze acquisite dal-
l’industria elettronica. Utilizzando infatti le tecnologie di realizzazione dei
circuiti integrati è possibile realizzare, su uno stesso chip, dispositivi meccani-
ci ed elettronici. Il vantaggio di un tale approccio consiste nel poter produrre
dispositivi aventi la stessa e⇧cienze, alti volumi di produzione e bassi costi,
caratterizzanti l’industria elettronica.
In questo lavoro viene presentata una metodologia per la progettazione
della parte meccanica di un giroscopio MEMS, abbia esso un comportamento
lineare o non.
Mentre fino ad oggi si è cercato di realizzare giroscopi aventi comporta-
mento lineare, la soluzione non lineare permette di meglio regolare il com-
portamento dello strumento stesso. Per il suo corretto funzionamento infatti
è necessario che le frequenze proprie nella direzione di drive (attuazione) e
nella direzione di sense (misura) siano uguali.
A causa delle scala dimensionale tuttavia sono su⇧cienti piccole devi-
azioni introdotte dal processo tecnologico per far s`ı che queste due frequenze
proprie non coincidano.
Si richiede quindi all’elettronica di compensare tale di⌅erenza, rendendo
cos`ı il controllo del sensore sempre più complesso. Ricorrendo invece ad un
giroscopio con caratteristica non lineare (tipicamente hardening) è possibile a
pari smorzamento ottenere un picco di risonanza che si estende in un ampio
range di frequenze facilitando cos`ı la sincronizzazione delle due frequenze
proprie.
Per studiare il comportamento dinamico di un si⌅atto sistema non lineare

si è dapprima proceduti ad una condensazione dei gradi di libertà e quindi
allo studio nel tempo e in frequenza della risposta del sistema stesso.
Infine dopo aver verificato la bontà del modello si è progettata un giro-
scopio MEMS non lineare tale da minimizzare la dipendenza dal processo
tecnologico. Il confronto tra dati sperimentali e il modello ha messo in evi-
denza come questo sia in grado di riprodurre correttamente il comportamento
dinamico del giroscopio e ha mostrato la criticità del valore di smorzamento
adottato.
0.2

Capitolo 1
Giroscopi MEMS
There is plenty of room at the bottom
R. Feynman, 1959
1.1 Introduzione: MEMS
La miniaturizzazione dei componenti può essere considerata la chiave dello
sviluppo della tecnologia dell’informazione negli ultimi 30 anni. Il primo
calcolatore aveva 18.000 valvole, equivalenti agli odierni transistor, pesava
30 tonnellate e occupava una stanza intera. Oggi un microprocessore, oltre
ad essere notevolmente più performante, contiene milioni di transistor in
uno spazio di pochi mm2
. Il processo di fabbricazione usato nel campo dei
circuiti integrati segue il processo top-down: tramite un insieme di procedure
si asporta del materiale allo stato solido precedentemente depositato tramite
fotolitografia ed attacco con soluzioni corrosive.
A partire dai primi anni ’80 le medesime tecnologie messe a punto per la
produzione dei circuiti integrati sono state utilizzate per realizzare dei po-
sizionatori di testine di disk drives sfruttando la forza elettrostatica. Nascono
cos`ı i MEMS (acronimo per Micro Electro-Mechanical Systems) ossia sistemi
che integrano su un medesimo substrato, tipicamente in silicio, una micro-
macchina (o un micro-sensore) con parti meccaniche in moto relativo e un
circuito elettronico per il controllo della meccanica stessa.

1. Giroscopi MEMS
Sono stati sviluppati diversi tipi di attuatori e l’evoluzione del processo
di fabbricazione ha permesso di costruire strutture sempre più complesse.
Come nel caso dei microprocessori, oggi si riescono a costruire, su un’area
sempre più ridotta, micro-macchine composte da un numero di componenti
sempre maggiore.
Nel 2000 il mercato MEMS ha raggiunto un fatturato mondiale pari a 18
miliardi di dollari, seguendo una crescita praticamente esponenziale. Una
grossa fetta di tale mercato è costituita dai sensori MEMS che vengono
utilizzati nel settore automotive, in ambito medico e nel data storage.
Sia in ambito automotive (quindi per il già citato controllo degli air-bag
e anche per i navigatori satellitari) che nel data storage (per la compen-
sazione delle vibrazioni necessaria ad una corretta lettura dei dati memo-
rizzati) un tipo di sensore molto utilizzato è il micro-sensore inerziale. Tali
sensori sono costituiti da uno o più oscillatori micromeccanici accoppiati a
tutta l’elettronica di controllo e di sensing.
Il crescente interesse per i sensori inerziali nel campo automobilistico è
motivato in questi ultimi anni dallo sviluppo di sistemi air-bag intelligenti
in grado non solo di segnalare una collisione ma anche in grado di deter-
minare il modo in cui avviene l’impatto, per esempio misurando le acceler-
azioni/velocità angolari attorno agli assi di imbardata, rollio e beccheggio.
La misura di queste quantità risulta importante per il funzionamento di altri
dispositivi come sistemi di controllo dinamico della vettura,
Una tipologia di sensori inerziali molto di⌅usa, è quindi quella dei giro-
scopi e degli accelerometri costituiti da uno o più oscillatori micromeccanici.
Tecnologia Convenzionale Sistema MEMS
Mass: 1587.5 grammi 10 grammi
Dimensioni: 15x8x5 cm 2x2x0.5 cm
Consumo: 35W 1 mW
Resistenza: 35 G 100000 G
Costo: 20000 USD 500 USD
Tabella 1.1: Confronto tra due sensori inerziali
Il giroscopio è un sistema che permette di misurare una velocità ango-
1.4

1. Giroscopi MEMS
lare o un angolo di rotazione. Esistono diversi principi fisici che possono
essere utilizzati per la realizzazione di un tale dispositivo e uno di questi è
l’accelerazione di Coriolis.
I vantaggi di realizzare un giroscopio con le tecnologie di surface microma-
chining sono costituiti dalle piccole dimensioni (rispetto ai giroscopi mecca-
nici ed ottici) e al costo contenuto. Tutto ciò non pregiudica le prestazioni di
questi strumenti che si mantengono su ottimi livelli e sono in via di costante
miglioramento.
I sensori integrati, inoltre, aprono tantissime a⌅ascinanti prospettive di
sviluppo ed una di queste è sicuramente la possibilità, in un futuro non
molto lontano, di produrre multisensori su silicio, ai quali stanno già pen-
sando alcune industrie del settore automobilistico. Queste ultime, infatti,
sono fortemente interessate alla realizzazione di IMU (Inertial Measurement
Unit), ossia micro unità di navigazione inerziale, che consentirebbero la mes-
sa a punto di sempre più e⇧cienti sistemi di sicurezza per autovetture, dato
che troverebbero posto in un unico package (e, successivamente, su un unico
chip) sia sensori di accelerazione che di velocità angolare: questa soluzione
ridurrebbe i costi associati alla presenza di tanti dispositivi collegati tra loro
in maniera complessa e migliorerebbe le prestazioni in termini di rumore.
1.5

1. Giroscopi MEMS
1.2 Principio di funzionamento
I giroscopi MEMS sfruttano l’accelerazione di Coriolis per determinare la
velocità angolare ⇤.
Questi giroscopi sono costituiti da una massa sospesa, generalmente ot-
tenuta con piastre di silicio, sospesa tramite delle travi flessionali, dette
beams, che caratterizzano la rigidezza del sistema. La massa viene movimen-
tata tramite i cosiddetti attuatori elettrostatici capacitivi detti comb drives.
(figure 1.2 e 1.3)
⇣aCor = 2⇣⇤ ⇧ ⇣v (1.1)
dove:
⇣aCor è l’accelerazione di Coriolis agente sulla massa sospesa
⇣v è la velocità relativa della massa sospesa rispetto al substrato
⇣⇤ è la velocità angolare del substrato del giroscopio
Figura 1.1: Accelerazione di Coriolis
Imponendo la velocità relativa ⇣v alla massa sospesa e misurando l’accel-
erazione ⇣aCor è possibile risalire alla velocità angolare ⇣⇤.
I giroscopi MEMS si distinguono in 2 sottogruppi a seconda del tipo di
moto imposto alla massa sospesa: giroscopi rotativi e giroscopi traslanti.
Il principio di funzionamento su cui si basano i giroscopi traslanti è illus-
1.6

1. Giroscopi MEMS
Figura 1.2: Giroscopio traslante
trato in figura 1.4. Imponendo alla massa un moto oscillatorio lungo l’asse A1
(drive direction), in presenza di una rotazione del substrato attorno all’asse
A3, la massa sospesa trasla lungo l’asse A2 (sense axis); tale spostamento,
causato dalla forza di Coriolis viene misurato e da esso si ricava la velocità
angolare che lo ha prodotto. Almeno idealmente quindi il moto del baricentro
della massa sospesa è confinato nel piano A1-A2.
Il principio di funzionamento di un giroscopio rotativo è invece illustrato
in figura 1.5 . La massa è forzata ad oscillare attorno all’asse A3. Una ro-
tazione del substrato attorno all’asse A2 genera una rotazione attorno all’asse
A1. Il baricentro della massa rotante resta però fisso rispetto al substrato
(almeno idealmente). Si noti che per un tale giroscopio gli assi A1 e A2
possono essere interscambiati. Il giroscopio può essere quindi utilizzato per
misurare velocità angolari attorno ai 2 assi principali giacenti nel piano del
substrato.
Si procederà ora alla scrittura delle equazioni di moto che governano la
dinamica di tali giroscopi MEMS. Per ricavare le equazioni di moto, ipo-
tizziamo innanzitutto che il substrato sia rigido. Introduciamo tre sistemi di
rifermimento: una terna fissa inerziale E1-E2-E3 una terna mobile solidale
con il substrato A1-A2-A3 e una terna mobile solidale con la massa sospe-
1.7

1. Giroscopi MEMS
Figura 1.3: Giroscopio rotativo
sa(figura 1.6). Per una qualsiasi tipologia di giroscopio, le equazioni di moto
sono ricavabili o mediante approccio energetico (PLV, Lagrange, Hamilton,
ecc.) o mediante equilibri dinamici (D’Alembert):
⇣F = m⇣¨x
⇣M = ⇣↵ ⇧ [J]⇣↵ + [J]⇣˙↵
(1.2)
dove ⇣F è il vettore contenente le forze esterne agenti sulla massa traslante
(o rotante), m è la massa del giroscopio, ⇣x è la posizione del centro di mas-
sa, ⇣Mè il vettore dei momenti delle forze esterne attorno agli assi princi-
pali, J è il tensore di inerzia e ⇣↵ è il vettore velocità angolare della massa.
Alternativamente è possibile scrivere le equazioni di Lagrange:
Per esplicitare tali equazioni di moto è necessario dapprima risolvere la
cinematica ossia ricavare i legami tra ⇣x e ⇣↵ e le variabili fisiche, ossia passare
dai sistemi di riferimento mobili Ai ed ei al sistema di riferimento fisso Ei.
La trasformazione di coordinate dal sistema Ai al sistema Ei viene definita
mediante 3 traslazioni e una sequenza di rotazioni definite dagli angoli di
Eulero 1, 2 e 3 che definiscono le rotazioni successive tra di⌅erenti terne
intermedie (figura 1.7).
La matrice di trasformazione che permette di passare dal sistema di rifer-
1.8

1. Giroscopi MEMS
Figura 1.4: Principio di funzionamento del giroscopio traslante
Figura 1.5: Principio di funzionamento giroscopio rotativo
1.9

1. Giroscopi MEMS
Figura 1.6: Sistemi di riferimento
Figura 1.7: Angoli di Eulero: passaggio dal sistema Ei al sistema Ai
imento inerziale Ei al sistema di riferimento solidale con il substrato Ai, una
volta eseguite le 3 traslazioni che permettono di riportare l’origine del sistema
Ei nell’origine del sistema Ai viene indicata con [Qsub] ed è pari a:
⇣E = [Qsub] ⇣A (1.3)
[Qsub] =
2
6
4
C2C3 C2S3 S2
C1S3 + S1S2C3 C1C3 S1S2S3 S1C2
S1S3 C1S2C3 S1C3 C1S2S3 C1C2
3
7
5 (1.4)
dove si è posto per comodità C1 = cos( 1) , S1 = sin( 1) ecc.
⇣A è un vettore colonna di 3 elementi e contiene i versori iA,jA,kA della terna
A1-A2-A3 mentre ⇣E è un vettore colonna di 3 elementi e contiene i versori
iE,jE,kE della terna E1-E2-E3.
La posizione ⇣p del generico punto P sul substrato (o sulla massa traslante/rotante)
1.10

1. Giroscopi MEMS
può essere individuata, rispetto al sistema di riferimento inerziale, mediante
l’equazione:
⇣p = ⇣ + ⇣x (1.5)
dove ⇣ è un vettore colonna che indica la posizione dell’origine della terna
mobile rispetto alla terna inerziale è ⇣x è un vettore colonna che rappresenta la
posizione del punto P nel sistema di riferimento mobile. A sua volta il vettore
⇣x può essere scritto introducendo i versori iA,jA,kA del sistema mobile Ai,
come:
⇣x = x1
⇣iA + x2
⇣jA + x3
⇣kA = ⇣xT
P,A
⇣A (1.6)
Figura 1.8: Posizione del generico punto P
Il vettore può essere invece riscritto come:
1.11

1. Giroscopi MEMS
⇣ = 1
⇣iE + 2
⇣jE + 3
⇣kE = ⇣T
O1,E
⇣E (1.7)
Tenendo conto che anche ⇣A in generale è funzione del tempo, le derivate
prima e seconda nel tempo del vettore ⇣p sono rispettivamente pari a :
⇣˙p = ⇣˙ + ⇣˙x
= ⇣˙T ⇣E + ⇣˙xT ⇣A + ⇣xT
⇣↵sub ⇧ ⇣A
⇣¨p = ⇣¨ + ⇣¨p = ⇣¨T ⇣E + ⇣¨xT ⇣A + 2⇣˙xT
⇣↵sub ⇧ ⇣A+
⇣xT ˙⇣↵sub ⇧ ⇣A + ⇣xT
⇣↵sub ⇧ (⇣↵sub ⇧ ⇣A)
(1.8)
avendo indicato con ⇣↵sub il vettore colonna delle velocità angolari attorno
agli assi Ai.
Riscrivendo l’equazione dell’accelerazione nel sistema di riferimento mo-
bile si ottiene:
¨⇣p = [¨x1 + 2↵2 ˙x3 2↵3 ˙x2 + ˙↵2x3 ˙↵3x2 x1(↵2
2 + ↵2
3) + x2↵1↵2 + x3↵1↵3+
¨1 cos 2 cos 3 + ¨2(cos 1 sin 3 + sin 1 sin 2 cos 3)
+¨3(sin 1 sin 3 cos 1 sin 2 cos 3)] ⇣A1
+[¨x2 + 2↵3 ˙x1 2↵1 ˙x3 + ˙↵3x1 ˙↵1x3 x2(↵2
1 + ↵2
3) + x1↵1↵2 + x3↵2↵3
+¨1 cos 2 sin 3 + ¨2(cos 1 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3)
+¨3(sin 1 cos 3 cos 1 sin 2 sin 3)] ⇣A2
+[¨x3 + 2↵1 ˙x2 2↵2 ˙x1 + ˙↵1x2 ˙↵2x1 x3(↵2
1 + ↵2
2) + x1↵1↵3 + x2↵2↵3
+¨1 sin 2 + ¨2 sin 1 cos 2 + ¨3 cos 1 cos 2] ⇣A3
(1.9)
Per esplicitare la seconda equazione di moto è necessario definire una sec-
onda matrice di trasformazione, che indichiamo con [Q] per passare dal sis-
tema di riferimento solidale con la massa ei al sistema di riferimento solidale
con il substrato Ai:
1.12

1. Giroscopi MEMS
⇣A = [Q]⇣e (1.10)
In questo caso ⌦1 e ⌦2 definiscono le rotazioni fuori dal piano del substra-
to, mentre ⌦3 definisce la rotazione nel piano (figura 1.9). La matrice [Q] è
identica alla matrice [Qsub], dove in questo caso C1 = cos ⌦1 , S1 = sin ⌦1
ecc.
Figura 1.9: Angoli di Eulero: trasformazione da Ai ad ei
˙⇣ie = ˙[Q] ⇣Ai + [Q]
˙⇣Ai =
˙[Q][Q]T
⇣ei + [Q](⇣↵sub ⇧ ⇣Ai) =
⇤rel
⇣Ai + [Q](⇣↵sub ⇧ ⇣Ai)
(1.11)
dove ↵sub è il vettore velocità angolare del substrato, e ⇤rel è il tensore della
velocità angolare relativa della massa rispetto al substrato.
Il vettore della velocità angolare assoluta risulta quindi pari a:
⇣↵ = ⇣↵rel + ⇣↵sub (1.12)
dove ⇣↵sub è il vettore della velocità angolare del substrato rispetto al
sistema di riferimento inerziale E1-E2-E3 mentre ⇣↵rel rappresenta il vettore
della velocità angolare della massa relativa al sistema di riferimento A1-A2-
A3.
Ricordando le equazioni 1.2, non resta che definire i vettori ⇣F ed ⇣M:
ipotizzando che i moti lungo i tre assi Ai sono disaccoppiati (ipotesi general-
mente valida e comunque ragionevole in prima approssimazione), la generica
componente di tali vettori risulta pari a:
1.13

1. Giroscopi MEMS
Fi = f(xi, ˙xi)
Mi = g(⌦i, ˙⌦i)
(1.13)
dove fi (gi) è una generica funzione delle variabili di stato del sistema
lungo l’asse (attorno all’asse) considerato. Sviluppando in serie di Taylor la
funzione fi (gi) nell’intorno dell’unica posizione di equilibrio del giroscopio si
può scrivere, arrestandosi ai soli termini lineari:
Fi = Kixi + ci ˙xi + hi
Mi = K c ⌦i + c c
˙⌦i + mi
(1.14)
essendo Ki (K c ) la rigidezza lineare (rotazionale) equivalente della strut-
tura lungo l’asse (attorno all’asse) i-esimo, ci (c c ) è lo smorzamento lineare
(rotazionale) viscoso equivalente della struttura lingo l’asse (attorno all’asse)
i-esimo e hi (mi) la componente lagrangiana (costante) delle forze general-
izzate esterne, lungo (attorno a) tale asse. Si noti che talvolta, lo sviluppo
arrestato ai soli termini lineari non è su⇧ciente a descrivere compiutamente il
comportamento reale del sistema fisico in esame. Qualora l’approssimazione
lineare non fosse su⇧ciente è necessario risalire all’equazione 1.13.
Le equazioni di moto del sistema diventano quindi:
m¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 = m[2⇤2 ˙x3 2⇤3 ˙x2 + ˙⇤2x3 ˙⇤3x2 x1(⇤2
2 + ⇤2
3)
+x2⇤1⇤2 + x3⇤1⇤3 + ¨1 cos ⌅2 cos ⌅3 + ¨2(cos ⌅1 sin ⌅3 + sin ⌅1 sin ⌅2 cos ⌅3)
+¨3(sin ⌅1 sin ⌅3 cos ⌅1 sin ⌅2 cos ⌅3)] + f1
m¨x2 + c2 ˙x2 + k2x2 = m[2⇤3 ˙x1 2⇤1 ˙x3 + ˙⇤3x1 ˙⇤1x3 x2(⇤2
1 + ⇤2
3)
+x1⇤1⇤2 + x3⇤2⇤3 ¨1 cos ⌅2 sin ⌅3 + ¨2(cos ⌅1 cos ⌅3 sin ⌅1 sin ⌅2 cos ⌅3)
¨3(cos ⌅1 cos ⌅3 sin ⌅1 sin ⌅2 sin ⌅3)] + f2
m¨x3 + c3 ˙x3 + k3x3 = m[2⇤1 ˙x2 2⇤2 ˙x1 + ˙⇤1x2 ˙⇤2x1 x3(⇤2
1 + ⇤2
2)
+x1⇤1⇤3 + x2⇤2⇤3 + ¨1 sin ⌅2 ¨2 sin ⌅1 cos ⌅2 + ¨3 cos ⌅1 cos ⌅2] + f3
(1.15)
1.14

1. Giroscopi MEMS
J1
¨⇥1 + c 1
˙⇥1 + k 1 ⇥1 = J1[ ˙⇤1 cos ⇥2 cos ⇥3 + ¨⇥2 sin ⇥2 sin ⇥2
+ ˙⇥3(sin ⇥1 sin ⇥3 cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3) + ˙⇤2(cos ⇥1 sin ⇥3 + sin ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3)
+ ˙⇤3(sin ⇥1 sin ⇥3 cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3) + ⇤1( ˙⇥2 sin ⇥2 cos ⇥3
˙⇥3 cos ⇥2 sin ⇥3)
+⇤2( ˙⇥1(cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3 sin ⇥1sin⇥3) + ˙⇥2 sin ⇥1 cos ⇥2cos⇥3
˙⇥3(cos ⇥1 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3)) + ⇤3( ˙⇥1(sin ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥3)
˙⇥2cos⇥1 cos ⇥2 cos ⇥3 + ˙⇥3(sin ⇥1cos⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3))
˙⇥3( ˙⇥1(sin ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥3) ˙⇥2 cos ⇥1 cos ⇥2 cos ⇥3
˙⇥3(sin ⇥1 cos ⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3)) + ˙⇥2( ˙⇥1 cos ⇥1 sin ⇥2 + ˙⇥2 sin ⇥1 cos ⇥2]
+(J3 J2)[(⇤1 sin ⇥2 (⇤2 + ˙⇥2) sin ⇥1 cos ⇥2 + +(⇤3 + ˙⇥3) cos ⇥1 cos ⇥2)
·( ⇤1 cos ⇥2 sin ⇥3 + ⇤2(cos ⇥2 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3)
+(⇤3
˙⇥3)(sin ⇥1 cos ⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3) + ˙⇥2 cos ⇥1)] + m1
(1.16)
J2
¨⇥2 cos ⇥1 + c 2
˙⇥2 + k 2 ⇥2 = J2[ ˙⇤2(cos ⇥1 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3)
+ ¨⇥3(sin ⇥1 cos ⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3) ˙⇤1 cos ⇥2 sin ⇥3
+ ˙⇤3(sin ⇥1 cos ⇥3 + cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3) + ⇤1( ˙⇥2 sin ⇥2 sin ⇥3
˙⇥3 cos ⇥2 cos ⇥3)
+⇤2[ ˙⇥1(cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3 + sin ⇥1 cos ⇥3) + ˙⇥2 sin ⇥1 cos ⇥2 sin ⇥3
+ ˙⇥3(cos ⇥1 sin ⇥3 + sin ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3)] + ⇤3[ ˙⇥1(cos ⇥1 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3)
+ ˙⇥2 cos ⇥1cos⇥2 sin ⇥3 + ˙⇥3(cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥3)]
+ ˙⇥3[ ˙⇥1(cos ⇥1 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3) + ˙⇥2 cos ⇥1 cos ⇥2 sin ⇥3
+ ˙⇥3[(cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥3)] ˙⇥1
˙⇥2 sin ⇥1]
+(J1 J3)[(⇤1 sin ⇥2 (⇤2 + ˙⇥2) sin ⇥1 cos ⇥2 + (⇤3 + ˙⇥3) cos ⇥1 cos ⇥2)
·(⇤1 cos ⇥2 cos ⇥3 + ⇤2(cos ⇥1 sin ⇥3 + sin ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3)
+(⇤3
˙⇥3)(sin ⇥1 sin ⇥3 cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3) + ˙⇥2 sin ⇥1 sin ⇥2 + ˙⇥1)] + m2
(1.17)
1.15

1. Giroscopi MEMS
J3
¨⇥3 cos ⇥1 cos ⇥2 + c 3
˙⇥3 + k 3 ⇥3 = J3[ ˙⇤3 cos ⇥1 cos ⇥2 + ¨⇥2 sin ⇥1 cos ⇥2
+ ˙⇤1 sin ⇥2 ˙⇤2 sin ⇥1 cos ⇥2 + ⇤1
˙⇥2 cos ⇥2 + ⇤2( ˙⇥2 sin ⇥1 sin ⇥2
˙⇥1 cos ⇥1 cos ⇥2)
⇤3( ˙⇥1 sin ⇥1 cos ⇥2 + ˙⇥2 cos ⇥1 sin ⇥2) + ˙⇥2( ˙⇥1 cos ⇥1 cos ⇥2 + ˙⇥2 sin ⇥1 sin ⇥2)
˙⇥3( ˙⇥1 sin ⇥1 cos ⇥2 + ˙⇥2 cos ⇥1 sin ⇥2)] + (J2 J1)[(⇤1 cos ⇥2 cos ⇥3
+⇤2(cos ⇥1 sin ⇥3 + sin ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3) + (⇤3 + ˙⇥3)(sin ⇥1 sin ⇥3
cos ⇥1 sin ⇥2 cos ⇥3) + ˙⇥2 sin ⇥1 sin ⇥2 + ˙⇥1] · ( ⇤1 cos ⇥2 sin ⇥3
+⇤2(cos ⇥1 cos ⇥3 sin ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3) + (⇤3 + ˙⇥3)(sin ⇥1 cos ⇥3
+ cos ⇥1 sin ⇥2 sin ⇥3) + ˙⇥2 cos ⇥1)] + m3
(1.18)
1.3 Giroscopio traslante
Nel caso di giroscopi traslanti è possibile considerare la massa in moto come
puntiforme ossia si possono trascurare le tre equazioni di moto alla rotazione.
Tale ipotesi è verificata solo in prima approssimazione in quanto, come visto
nell’equazione 1.14, pur assumendo che le forze generalizzate Fi/Mi siano
funzione dele sole variabili indipendenti corrispondenti (xi/ i) le equazioni
di moto risultano accoppiate dai termini inerziali non lineari
Supponendo inoltre di trascurare le accelerazioni del substrato (ï) e i
termini infinitesimi di ordine superiore al 2°, le equazioni di moto di un
giroscopio traslante si riducono a:
m¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 = m(2↵2 ˙x3 2↵3 ˙x2 + ˙↵2x3 ˙↵3x2) + f1
m¨x2 + c2 ˙x2 + k2x2 = m(2↵3 ˙x1 2↵1 ˙x3 + ˙↵3x1 ˙↵1x3) + f2
m¨x3 + c3 ˙x3 + k3x3 = m(2↵1 ˙x2 2↵2 ˙x1 + ˙↵1x2 ˙↵2x1) + f3
(1.19)
In maniera arbitraria assumiamo ora che l’asse A1 coincida con l’asse di
drive, l’asse A2 con l’asse di sensing e l’asse A3 formi con i precedenti due
una terna destrorsa. Supponendo quindi che esista un’unica forza esterna e
che questa agisca lungo l’asse di drive si avrà:
1.16

1. Giroscopi MEMS
f1 = |fDRIV E| sin(wDRIV Et)
f2 = 0
f3 = 0
(1.20)
avendo supposto che la forza di drive sia puramente armonica. Le equazioni
di moto diventano quindi:
m¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 = m(2⇤2 ˙x3 2⇤3 ˙x2 + ˙⇤2x3 ˙⇤3x2) + |fDRIV E| sin(wDRIV Et)
m¨x2 + c2 ˙x2 + k2x2 = m(2⇤3 ˙x1 2⇤1 ˙x3 + ˙⇤3x1 ˙⇤1x3)
m¨x3 + c3 ˙x3 + k3x3 = m(2⇤1 ˙x2 2⇤2 ˙x1 + ˙⇤1x2 ˙⇤2x1)
(1.21)
Trascurando inoltre le forze di inerzia rispetto alla forza di drive e i ter-
mini in ↵i (ipotesi questa correlata con la prima ipotesi fatta per i giroscopi
traslanti ossia di considerare la massa come puntiforme) le equazioni di moto
si semplificano ulteriormente:
m¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 = |fDRIV E| sin(wDRIV Et)
m¨x2 + c2 ˙x2 + k2x2 = m(2↵3 ˙x1 2↵1 ˙x3)
m¨x3 + c3 ˙x3 + k3x3 = m(2↵1 ˙x2 2↵2 ˙x1)
(1.22)
Supponendo infine che il moto della massa traslante sia impedito lungo
l’asse A3 mediante vincoli costruttivi (x3 = ˙x3 = ¨x3 = 0), le equazioni di
moto si riducono a:
m¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 = |fDRIV E| sin(wDRIV Et)
m¨x2 + c2 ˙x2 + k2x2 = 2m↵3 ˙x1
(1.23)
dove la prima descrive il moto lungo l’asse di drive e la seconda lungo
l’asse di sensing. Come si può osservare la prima equazione di moto non
dipende dalla variabile x2. E’ quindi possibile ricavare il moto lungo l’asse
di drive e, noto questo, studiare quale sarà il moto lungo l’asse di sensing
dovuto alla velocità angolare ↵2.
Si ricorda infine che non necessariamente i termini elastici (k1x1 e k2x2) e
smorzanti (c1 ˙x1 e c2 ˙x2) sono lineari ma come si vedrà nel seguito per i termini
1.17

1. Giroscopi MEMS
elastici, essi possono essere non lineari.
1.4 Giroscopio rotativo
In questo caso si considera la massa sospesa avente il baricentro ﬁsso rispetto
al substrato e si ignorano le tre equazioni del moto alla traslazione (eq. 1.15).
Supponendo inoltre che gli angoli di Eulero ⌦1,⌦2 e ⌦3 siano piccoli, si
sviluppano in serie di Taylor i termini contenenti detti angoli e si trascurano
i termini di ordine superiore al 2°, ottenendo le seguenti equazioni:
J1
¨⇥1 + c 1
˙⇥1 + k 1⇥1 = J1( ˙⇤1 + ˙⇤2⇥3 ˙⇤3⇥2) + (J1 + J2 J3)⇤3
˙⇥2
(J1 J2 + J3)⇤2
˙⇥3 + (J2 J3)
⇥
⇤2⇤3 (⇤2
2 ⇤2
3)⇥1 + ⇤1⇤2⇥2 ⇤1⇤3⇥3
⇤
+ m1
J2
¨⇥2 + c 2
˙⇥2 + k 2⇥2 = J2( ˙⇤2 + ˙⇤3⇥1 ˙⇤1⇥3) (J1 + J2 J3)⇤3
˙⇥1
(J1 J2 J3)⇤1
˙⇥3 + (J1 J3)
⇥
⇤1⇤3 (⇤2
1 ⇤2
3)⇥2 + ⇤2⇤3⇥3 ⇤1⇤2⇥1
⇤
+ m2
J3
¨⇥3 + c 3
˙⇥3 + k 3⇥3 = J3( ˙⇤3 + ˙⇤1⇥2 ˙⇤2⇥1) + (J1 J2 + J3)⇤2
˙⇥1
+(J1 J2 J3)⇤1
˙⇥2 + (J1 J2)
⇥
⇤1⇤2 (⇤2
1 ⇤2
2)⇥3 + ⇤1⇤3⇥1 ⇤2⇤3⇥2
⇤
+ m3
(1.24)
In maniera arbitraria assumiamo ora che gli assi A1 ed A2 coincidano
con gli assi di sensing e l’asse A3 coincida con l’asse di drive. Supponen-
do quindi che esista una coppia esterna che agisca sull’asse di drive pari a
|Tdrive| sin(↵drivet) e che m1 = m2 = 0, si ottiene che:
J1
¨⇥1 + c 1
˙⇥1 + k 1⇥1 = J1( ˙⇤1 + ˙⇤2⇥3 ˙⇤3⇥2) + (J1 + J2 J3)⇤3
˙⇥2
(J1 J2 + J3)⇤2
˙⇥3
J2
¨⇥2 + c 2
˙⇥2 + k 2⇥2 = J2( ˙⇤2 + ˙⇤3⇥1 ˙⇤1⇥3) (J1 + J2 J3)⇤3
˙⇥1
(J1 J2 J3)⇤1
˙⇥3
J3
¨⇥3 + c 3
˙⇥3 + k 3⇥3 = J3( ˙⇤3 + ˙⇤1⇥2 ˙⇤2⇥1) + (J1 J2 + J3)⇤2
˙⇥1
+(J1 J2 J3)⇤1
˙⇥2 + |Tdrive| sin(⇤drivet)
(1.25)
1.18

1. Giroscopi MEMS
Trascurando inoltre le forze di inerzia rispetto alla forza di drive si ottiene
il seguente modello sempliﬁcato:
J1
¨⇥1 + c 1
˙⇥1 + k 1⇥1 = (J1 + J2 J3)⇤3
˙⇥2 J3⇤2
˙⇥3
J2
¨⇥2 + c 2
˙⇥2 + k 2⇥2 = (J1 + J2 J3)⇤3
˙⇥1 + J3⇤1
˙⇥3
J3
¨⇥3 + c 3
˙⇥3 + k 3⇥3 = |Tdrive| sin(⇤drivet)
(1.26)
1.19

Capitolo 2
Identificazione dei parametri
del giroscopio MEMS ST
Microelectronics
2.1 Giroscopio MEMS St Microelectronics
Il giroscopio MEMS oggesto di questo studio è stato prodotto usando il
processo THELMA, brevettato da ST Microelectronics. Il layout della mi-
crostruttura è composta dalle seguenti parti: due masse sospese, quattro
supporti per ogni massa, le travi di ancoraggio che collegano i supporti al
substrato, i comb drives interni ed esterni e i condensatori (sense plates) per
il sensing. Le due masse sospese cos`ı come le travi di ancoraggio sono cos-
tituite da uno strato di silicio in cui sono stati praticati dei fori di sezione
quadrata per motivi tecnologici:
• durante il processo tecnologico di realizzazione delle piastre sospese,
se si usa il processo detto di wet etching, la soluzione in fase liquida
utilizzata per sciogliere l’ossido di silicio potrebbe creare dei menischi
al di sotto delle masse; tale menisco fa nascere delle forze di pressione
tra substrato e piastra sospesa, pressione che potrebbe portare al col-
lasso la struttura; i fori permettono una migliore fuoriuscita del liquido
riducendo cos`ı le forze di pressione

2. Identificazione dei parametri del giroscopio MEMS ST Microelectronics
• nel moto di sensing le masse traslano perpendicolarmente al supporto
generando un e⌅etto di squeeze dello strato di aria sottostante: può
essere quindi modificato/regolato lo smorzamento in questa direzione
forando appositamente e piastre.
Tutte queste parti giacciono nel piano del sensore. I movimenti delle
masse sospese sono sia nel piano che perpendicolarmente ad esso. Questi
ultimi saranno detti movimenti fuori piano.
Figura 2.1: Layout giroscopio STM: vista dall’alto
La figura 2.1 mostra il layout del giroscopio. In tale figura sono mostrati
anche gli assi principali: l’asse di input, l’asse di sense e l’asse di drive.
Entrambe le masse sono vincolate con quattro supporti, in particolare travi a
sezione rettangolare che permettono alla massa di oscillare lungo la direzione
di drive e di sense. Queste a loro volta sono collegate tramite le travi di
ancoraggio al punto di ancoraggio (anchor) al substrato.
I comb drives interni ed esterni vengono utilizzati rispettivamente per
misurare e generare il moto di drive. Le parti statiche dei comb drive sono
collegate direttamente al substrato e sono costituiti da una serie di cosid-
detti fingers che si accoppiano alla controparte mobile, ricavata sulle masse
2.21

sospese. Su ogni massa esistono due set di fingers, e in totale esistono 4 comb
drive, due interni al dispositivo e due esterni ad esso.
Sotto alla microstruttura sono ricavate delle piastre che costituiscono in-
sieme alle due masse sospese le facce di un condensatore a piastre parallele.
Misurando la variazione di capacità di questi condensatori è possibile risalire
al moto fuori piano delle masse.
Figura 2.2: Layout giroscopio STM: vista laterale
Il sistema continuo in esame può essere ridotto ad un sistema a parametri
concentrati di più facile studio che tuttavia è in grado di riprodurre le
caratteristiche principali del funzionamento del giroscopio.
Le ipotesi che permettono di passare da un sistema continuo ad un sistema
a parametri concentrati sono:
• Considerare i soli modi di vibrare rigidi delle masse sospese (masse
supposte perfettamente rigide) e di questi, per ridurre la complessità del
problema, tenere conto dei soli primi due modi ossia della traslazione
lungo l’asse di drive e lungo l’asse di sense; per questi primi 2 modi
di vibrare le travi di ancoraggio possono essere supposte perfettamente
rigide. Un’analisi FEM dell’intero giroscopio ha permesso di calcolare
i modi di vibrare del sistema. In figura 2.3 e 2.4 sono mostrati i
primi due modi di vibrare del sistema. Come si può osservare i primi
modi corrispondono a delle traslazioni rigide delle masse sospese in fase
(hula) e in controfase(tuning fork) lungo la direzione di drive:
• Lo smorzamento associato principalmente all’e⌅etto dell’aria viene as-
sunto come lineare e di tipo viscoso.
2.22

Figura 2.3: Modo in fase: 11557Hz
Figura 2.4: Modo in controfase: 11747Hz
In base a queste ipotesi ogni massa ha due gradi di libert`a traslazionali,
uno lungo la direzione di drive e uno lungo la direzione di sense, per un totale
2.23

di quattro gradi di libertà per la struttura completa: indichiamo con x1 e x2
i gradi di libertà delle 2 masse sospese lungo la direzione di drive e con y1 e
y2 i gdl delle 2 masse sospese lungo la direzione di sensing.
Figura 2.5: Schema a parametri concentrati
Se con m1 e m2 si indicano le masse delle due piastre sospese, con kx1 e kx2
le rigidezze equivalenti (eventualmente non lineari) dei supporti in direzione
di drive, con ky1 e ky2 le rigidezze equivalenti dei supporti in direzione di
sense, con kxy e kyx la rigidezza (eventualmente non lineari) che accoppiano
il moto di drive e quello di sense, e con bx e by (eventualmente non lineari) gli
smorzamenti lungo le due direzioni, le equazioni di moto del sistema ridotto
a parametri concentrati diventano:
m1 ¨x1 + bx ˙x1 + kx1x1 + kxyy1 = fDRIV E1
m2 ¨x2 + bx ˙x2 + kx2x2 + kxyy2 = fDRIV E2
m1 ÿ1 + by ˙y1 + ky1y1 + kyxx1 = 2m1 ˙x1⇤
m2 ÿ2 + by ˙y2 + ky2y2 + kyxx2 = 2m2 ˙x2⇤
(2.1)
fDRIV E1 e fDRIV E2 rappresentano le forze (in generale periodiche e fun-
zione dello stato del sistema) esercitate dai comb drive e 2m1 ˙x1⇤ (2m2 ˙x2⇤)
rappresenta la forza di Coriolis agente sulle masse sospese (⇤ è la velocità
angolare dell’intero supporto attorno all’asse di input).
Introduciamo delle ulteriori ipotesi semplificative:
2.24

• le due masse sospese sono identiche (m1=m2)
• i supporti sono identici (kx1=kx2,ky1=ky2)
• i termini di accoppiamento elastici kxy e kyx fra i moti di drive e di
sensing possono essere trascurati
• la forza esercitata dai comb drive (fDRIV E1 e fDRIV E2 ) è puramente
periodica di pulsazione ↵DRIV E1 e ↵DRIV E2 (ed eventualmente multiple)
ossia indipendente dalla posizione delle masse sospese.
Le equazioni di moto possono cos`ı essere riscritte come:
m¨x1 + cx ˙x1 + kxx1 = |fDRIV E1 | sin(↵DRIV Et)
m¨x2 + cx ˙x2 + kxx2 = |fDRIV E2 | sin(↵DRIV Et)
mÿ1 + cy ˙y1 + kyy1 = 2m 3 ˙x1
mÿ2 + cy ˙y2 + kyy2 = 2m 3 ˙x2
(2.2)
Considerando il solo moto lungo l’asse di drive, i parametri del modello a
corpi rigidi che devono essere identificati sono m,cx,kx e |fDRIV E1 | (in funzione
della tensione applicata). Infatti, mettendo in risonanza le masse, l’ampiezza
di oscillazione sarà massima e quindi sarà massima anche la loro velocità
˙x lungo l’asse di drive. A pari velocità angolare ⇤ attorno all’asse di input
(grandezza da misurare) quindi sarà massima la forza di Coriolis e quindi sarà
massimo il moto lungo l’asse di sense risultando in una migliore sensibilità
dello strumento. Per migliorare ulteriormente la sensibilità del giroscopio si
cerca di far s`ı che, alla pulsazione di drive, il sistema vada in risonanza anche
in direzione di sensing.
Le velocità ˙x1 e ˙x2 sono sinusoidali alla frequenza del modo tuning fork,
e sono sfasate tra di loro di 180°. Ossia una massa accelera verso il basso
mentre l’altra accelera verso l’alto.
Poichè tuttavia la rigidezza delle travi di sospensione lungo l’asse di drive
(kx) e lungo l’asse di sensing (ky) sono di⌅erenti (tipicamente ky > kx, a
causa del fatto che la larghezza della trave è minore del suo spessore) è
necessario modificare una delle due rigidezze mediante un opportuno campo
di forze posizionale (operazione detta di tuning). Questo campo di forze
2.25

Figura 2.6: Accelerazioni di Coriolis
posizionale è rappresentato dalla forza elettrostatica esercitata tra le piastre
del condensatore (formato dall masse sospese e dalle sense plates) lungo
l’asse di sensing: all’aumentare del voltaggio di bias tra le piastre parallele
si abbassa la frequenza propria del sistema lungo l’asse di sensing. Si noti
che a volte si lascia volutamente una certa di⌅erenza tra le due frequenze in
modo da avere una banda più larga di utilizzo.
2.2 Caratteristiche Inerziali
Per determinare il valore del parametro m del modello a parametri concen-
trati del giroscopio ST è necessario tenere conto del fatto che le masse sospese
sono forate (fori passanti di dimensioni 4x4 µm) e che ad esse sono collegate
i denti dei comb drive interni ed esterni (35 denti per ogni lato delle pias-
tre). Calcolato quindi il volume delle masse sospese, per risalire alla loro
massa m è necessario conoscere la densità del polisilicio. Questa è funzione
della dimensione del grano cristallino, in questo caso si è assunto il valore di
riferimento pari a 2330 Kg/m3
.
2.3 Caratteristiche Elastiche
Grazie alle ipotesi fatte nel paragrafo, gli unici elementi deformabili del sis-
tema sono le travi di supporto. Indicando con l la loro lunghezza (uguale
per tutte e 4 le travi) con w la loro larghezza e con h il loro spessore, esse
risultano vincolate alle travi di supporto (supposte rigide) mediante un in-
2.26

Figura 2.7: Layout complete del giroscopio
castro e alle masse sospese (supposte rigide) mediante un pattino (le masse
sospese infatti, supportate da 4 travi di supporto non possono far altro che
traslare parallelamente alla direzione di drive e sense). Lo schema delle travi
di supporto è riportato in figura 2.8.
Figura 2.8: Trave incastro-pattino
Per grandi spostamenti la curva caratteristica di tali travi risulta non
lineare (di tipo hardening o irrigidente) come evidenziato nella figura 2.9.
Per determinare questa caratteristica non lineare si sarebbe potuto pro-
cedere per via sperimentale o numerica. L’approccio sperimentale, oltre che
costoso, risulta particolarmente di⇧coltoso a causa delle ridotte dimensioni
2.27

Figura 2.9: Caratteristica di una molla hardening
delle travi in esame. Si è quindi preferito procedere per via numerica schema-
tizzando le travi medianti elementi finiti. Si è dapprima verificato che uno
schema ad elementi beam riproducesse correttamente il comportamento non
lineare delle travi di supporto. Tale verifica è stata fatta confrontando la cur-
va caratteristica della trave ottenuta con un modello FEM 3D ad elementi
brick a quella ottenuta con un modello FEM 2D ad elementi beam (fig. 2.10)
La curva caratteristica della trave viene ricavata applicando all’estremo
vincolato con un pattino una forza concentrata crescente in maniera discreta
nella direzione di scorrimento del pattino stesso (simulazione statica). Il
diaframma forza all’estremo-spostamento dell’estremo rappresenta la curva
caratteristica della trave di supporto.
Il confronto ha permesso di verificare che un modello FEM 2D con 300
elementi beam della trave è in grado di riprodurre correttamente la caratter-
istica non lineare di una trave a sezione rettangolare vincolata mediante un
incastro ad un estremo e un pattino all’altro.
Supponendo che la caratteristica non lineare sia riproducibile mediante
2.28

una equazione del tipo:
F = K1x + K3x3
(2.3)
dove K1 è la caratteristica lineare e K3 è la caratteristica cubica, si è
messa a punto una procedure numerica che permettesse di identificare tali
costanti. I valori iniziali di K1 e K3 per la minimizzazione non lineare sono,
per K1, il valore:
K1 = E
hw3
l3
(2.4)
dove E è il modulo di Young del polisilicio (pari a circa 140GPa) e per
K3 un valore nullo.
Figura 2.10: Confronto tra la curva caratteristica del modello FEM e la curva
caratteristica ottenuta tramite identificazione di K1 e K3
Al fine di ottimizzare le caratteristiche dinamiche del giroscopio ST (e
quindi dei parametri del modello a corpi rigidi) e visto che non esiste una
formula semplice per determinare il legame tra K3 e le caratteristiche geo-
metriche delle travi di supporto, si è deciso di realizzare un database che, in
2.29

funzione delle dimensioni l,h, e w restituisse i valori di K1 e K3 che meglio
riproducono la curva caratteristica dela trave di supporto. Si è pertanto mes-
sa a punto una procedure automatica che dati i parametri geometrici della
trave (fissato il vincolamento della stessa), schematizzasse la trave ad elemen-
ti finiti beam, calcolasse la curva caratteristica della stessa e identificasse i
valori di K1 e K3. Al variare quindi dei parametri l,h e w (all’interno di un
range di valori accettabili) si sono calcolate le caratteristiche lineare e cubi-
ca della molla equivalente realizzata dalla trave di supporto. La figura 2.14
riproduce schematicamente quanto fin qui descritto. Si noti che, mediante
analisi FEM oltre alla curva caratteristica della trave di supporto, è sta-
to possibile valutare lo sforzo massimo in corrispondenza dell’incastro della
trave. Tale dato risulta importante per verifiche di resistenza e a fatica della
struttura stessa.
Nelle figure 2.12 e 2.13 si riporta l’andamento di K1 e K3 in funzione di l
e w (con h=10 µm). In figura 2.11 invece si riporta l’interfaccia grafica per
l’estrazione e l’interpolazione dei dati K1 K3 e ⌃max dal database.
Figura 2.11: Interfaccia grafica
2.30

Figura 2.12: Andamento del coe⇥ciente lineare di rigidezza
Figura 2.13: Andamento del coe⇥ciente cubico di rigidezza
2.31

Figura 2.14: Identificazione caratteristica elastica
2.4 Caratteristiche Smorzanti
Il parametro cx (smorzamento viscoso nella direzione di drive) deve tener
conto dello smorzamento viscoso dovuto al fluido (aria) nel quale è immersa
la struttura e dello smorzamento strutturale della struttura stessa. Poichè lo
smorzamento strutturale del polisilicio è molto più piccolo di quello viscoso
dovuto all’e⌅etto dell’aria sulla struttura, esso verrà trascurato.
Lo smorzamento viscoso dovuto al fluido nel quale è immersa la struttura
può essere suddiviso in due contributi: un contributo associato al moto delle
masse sospese rispetto al substrato (fluido sollecitato a taglio) e un contributo
associato all’avvicinamento e allontanamento dei denti solidali alla massa
traslante con i denti dei comb drive di driving e di sensing (fluido sollecitato a
compressione/trazione e a taglio). Per calcolare il parametro di smorzamento
si è fatto riferimento al modello di Couette o Couette Flow Damping.
Il modello di Couette ha come ipotesi un moto laminare all’interno di
vena fluida (numero di Reynolds minore di 1 e quindi prevalenza degli e⌅etti
2.32

viscosi su quelli inerziali) racchiusa tra due superfici piane distanti y0 in moto
relativo tra di loro (la direzione del moto è parallela alle superfici considerate).
Figura 2.15: Couette Flow
Ipotizziamo di avere la superficie inferiore ferma e quella superiore in
moto con velocità pari ad U. Secondo lo schema di figura 2.15 abbiamo che:
⇣U = Ux(y)⇣ix (2.5)
Dove Ux = 0 per y = 0 e Ux = U per y = y0. Per via del moto relativo si
generano delle azioni di taglio dissipative ⌥:
⌥ = µ
✏Ux
✏y y=y0
= µ
U
y0
(2.6)
Il Couette Flow Damping produce una dissipazione analoga a quella dovu-
ta all’e⌅etto Joule prodotta dalla resistenza di un conduttore. Il modello di
Couette per un fluido newtoniano dice che il parametro di smorzamento è
pari a:
Ccouette =
⌥A
U
= µ
A
y0
(2.7)
dove µ è la costante di viscosità dell’aria dipendente dalla pressione1
, A
è l’area di sovrapposizione delle due piastre, y0 è il gap di separazione tra
queste ultime (figura 2.16).
Per quanto concerne il 2° contributo invece, sempre per fluido newtoniano,
il modello di Couette predice che il parametro di smorzamento è pari a:
1
A bassa pressione µ = µ0py0 con p in torr e µ0 in Kgs 1
m 2
torr 1
e y0 in m
2.33

Figura 2.16: Couette Flow
Ccouette = µ
2Ncomblcombt
ycomb
(2.8)
dove Ncomb è il numero dei denti del comb drive, lcomb è la lunghezza dei
denti dei comb drive, t è lo spessore dei comb drive, pari a quella di tutta la
struttura e ycomb è il gap tra un coppia di denti del comb drive.
2.5 Forzamento
Il forzamento in direzione di driving avviene tramite 2 gruppi di attuatori
elettrostatici posti all’esterno delle 2 masse sospese. I due gruppi interni
invece come già detto, hanno la sola funzione di sensing, ovvero misurano il
moto di driving per controllare il corretto forzamento del sensore.
Il principio di funzionamento dei comb drive è quello del condensatore:
applicando una di⌅erenza di potenziale tra le pareti di un condensatore si gen-
era una migrazione di cariche elettriche. Nasce quindi una forza elettrostatica
di attrazione tra le piastre del condensatore stesso.
La forza elettrostatica è pari a:
F =
1
2
V 2 ✏C
✏x
(2.9)
dove V è il voltaggio applicato alle pareti del condensatore e ⇥C
⇥x
è la derivata
della capacità rispetto alla direzione di applicazione della forza.
2.34

Figura 2.17: Comb drive per il moto di Driving
Per quanto riguarda un comb drive, a capacità tra la parte mobile e la
parte statica è data da:
C = N
h(x0 + x)
g
(2.10)
✏C
✏x
⇤ N
h
g
(2.11)
dove N è il numero di denti del comb drive, h è l’altezza dei denti x0 in-
dica la lunghezza della parte a⌅acciata in condizioni di riposo, x indica lo
spostamento del pettine mobile e g indica il gap, ovvero lo spazio tra i lati
lunghi dei denti. Si noti che tale espressione della capacità è approssimata
(non tenente conto delle dispersioni di flusso dovute alle dimensioni finite dei
denti) e mostra un legame non dipendente dalla posizione relativa tra i denti.
La forza sarà dipendente infine dal voltaggio al quadrato. Per produrre
un forzamento sinusoidale si applica pertanto un voltaggio sinusoidale VAC
(più un termine di bias costante VDC per centrare la massa rispetto ai comb
drive interni ed esterni se questa risulta scentrata):
V = VDC + VAC sin(↵DRIV Et) (2.12)
La conseguente forza di drive risulta pari a:
2.35

Figura 2.18: Comb drive per il moto di Driving
F =
1
2
N
h
g
(VDC + VAC sin(↵DRIV Et))2
(2.13)
F = 1
2
N h
g
(V 2
DC + 2VDCVAC sin(↵DRIV Et) + V 2
AC sin2
(↵DRIV Et))2
= 1
2
N h
g
(V 2
DC + 2VDCVAC sin(↵DRIV Et) + 1
2
V 2
AC
1
2
V 2
AC cos(2↵DRIV Et))2
(2.14)
Ossia la forza di drive `e composta da una componente costante (fdrivecost =
1
2
N h
g
(V 2
DC + 1
2
V 2
AC)) da una componente armonica avente pulsazione pari al-
la pulsazione della tensione alternata (fdrive1x = N h
g
VDCVAC sin(↵DRIV Et))
e da una componente armonica avente pulsazione doppia rispetto alla pul-
sazione della tensione alternata (fdrive2x = 1
4
N h
g
V 2
AC cos(2↵DRIV Et)).
Scegliendo oppurtanamente i parametri VAC,VDC e ↵ le masse verranno
forzate ad una frequenza ben deﬁnita corrispondente nel normale funziona-
mento, al modo in controfase.
2.36

Capitolo 3
Risposta dinamica del
giroscopio MEMS ST
3.1 Metodi di integrazione
Nel capitolo precedente sono stati identificati tutti parametri dell’equazione
di moto del giroscopio lungo la direzione di driving. L’equazione di moto
risulta essere un’equazione di⌅erenziale non lineare a coe⇧cienti costanti (il
contributo elastico è non lineare; nel caso in esame cubico). Tale equazione
viene detta equazione di Du⇧ng:
m¨x + c ˙x + k1x + k3x3
= A sin(⇤t) (3.1)
Pur molto semplice, non esiste soluzione in forma chiusa (soluzione ana-
litica esatta) di tale equazione di⌅erenziale. Per la determinazione della
soluzione si può quindi ricorrere all’ integrazione numerica oppure, osservan-
do che qualsiasi sia la soluzione essa sarà scomponibile in serie di Fourier (se
il forzamento è armonico la risposta sarà periodica), imporre una soluzione
approssimata e determinare i coe⇧cienti di tale soluzione per minimizzare
la di⌅erenza tra termini a sinistra dell’uguale (funzione dei coe⇧cienti della
soluzione approssimata) e forzante a destra dell’uguale (nota). Il secondo
approccio proposto prende il nome di metodo semi-analitico e permette di
calcolare solamente la risposta a regime (non la risposta in transitorio). Il

3. Risposta dinamica del giroscopio MEMS ST
vantaggio di tale metodo consiste nel convertire l’integrazione dell’equazione
di⌅erenziale non lineare in un problema di ricerca degli zeri di un sistema
di equazioni (tante quante sono le armoniche in cui si suppone scomposta
la risposta a regime) non lineari. Il metodo semi-analitico risulta quindi in
generale molto più veloce dei metodi di integrazione passo-passo.
La non linearità dell’equazione in esame è dovuta al termine k3x3
ossia
al termine posizionale elastico. Tale termine, come visto nel capitolo 2, è
stato introdotto per tener conto della caratteristica non lineare irrigidente
(hardening) delle travi di silicio che sorreggono la massa traslante sottoposte
a grandi deformazioni. La risposta in frequenza di un sistema hardening
è riportato qualitativamente in figura 3.1. Nella medesima figura è anche
rappresentata, per confronto la risposta in frequenza della corrispondente
equazione linearizzata:
m¨x + c ˙x + k1x = A sin(⇤t) (3.2)
Se il sistema viene eccitato con una forzante del tipo A sin(⇤t) avente pul-
sazione ⇤ crescente (upward sweep), il sistema percorre il ramo superiore sul
diagramma della risposta in frequenza. Raggiunto il punto 1 il ramo superi-
ore della risposta in frequenza scompare. Facendo aumentare ulteriormente
la pulsazione della forzante, l’ampiezza della risposta del sistema non può che
ridursi bruscamente e assestarsi su un valore indicato con 2. Aumentando
ulteriormente la pulsazione della forzante ⇤, viene percorso il ramo inferiore
della risposta in frequenza. Se, invece si forza il sistema con una forzante
avente pulsazione ⇤ decrescente (downward sweep), il sistema percorre il
ramo inferiore fino al punto 3 saltando quindi al punto 4 e riprendendo lo
stesso ramo percorso nello sweep a salire.
La zona tratteggiata in figura 3.1, zona compresa tra i due salti di ampiez-
za, indica una zona in cui coesistono più probabili soluzioni che venono per-
corse a seconda delle condizioni iniziali e della variazione della pulsazione
della forzante (sweep in salita o in discesa). In tale zona esiste anche un
ramo, detta instabile, che collega il punto 1 con il punto 3. Tale ramo cor-
risponde ad ampiezza della soluzione che pur rendendo uguali i termini a
3.38

Figura 3.1: Sistema non lineare con molla di tipo hardening
sinistra e a destra dell’equazione di moto, in presenza di perturbazioni anche
piccole, non si mantengono nel tempo ma divergono verso le ampiezze rappre-
sentate dal ramo alto o basso della risposta in frequenza. Pertanto tale ramo
è detto instabile e non è determinabile ricorrendo a metodi di integrazione
numerica ma solo mediante metodi semi-analitici.
3.1.1 Metodi passo-passo
I metodi passo-passo (o discreti) sono basati sulla discretizzazione dell’in-
tervallo di integrazione, considerando l’insieme di nodi: xi+1 = xi + hi, i =
0, 1, ..., ove x0 è il punto in cui è assegnata la condizione iniziale e hi sono
i passi di discretizzazione. In corrispondenza all’insieme di nodi ({xi}), un
particolare metodo genera una sequenza di valori: {⌅i}, che definiscono la
soluzione discreta e rappresentano le approssimazioni dei valori y(xi) della
soluzione del problema continuo. I vari metodi di⌅eriscono tra loro per il
3.39

modo con il quale vengono calcolati i valori ⌅i.
Metodo di Eulero
Il metodo di sviluppo in serie rappresenta il modo concettualmente più sem-
plice per avanzare la soluzione dal punto generico xi, al successivo xi+1. Esso
si basa sul seguente sviluppo di Taylor:
y(xi + 1) = y(xi) + h (xi, yi; h, f) (3.3)
ove si è posto:
(xi, yi; h, f) = y0
(x) +
h
2
y00
(x) +
h2
3!
y000
(x) + ... (3.4)
Per ogni intero p fissato si ottiene un metodo numerico troncando la serie
precedente ai primi p termini. Si ha quindi:
⌅i+1 = ⌅i + h⇥(xi, ⌅i; h, f) (3.5)
ove si è posto:
⇥(xi, yi; h, f) = f(x, ⌅) +
h
2
f0
(x, ⌅) + ... +
hp 1
p!
fp 1
(x, ⌅) (3.6)
Per p=1 si ottiene il metodo di Eulero:
⌅i+1 = ⌅i + h⇥(xi, ⌅i; h, f) (3.7)
La formula di Eulero fornisce la successione {⌅i} a partire dal valore
iniziale ⌅0. Tale valore può essere assunto, in assenza di errori di arrotonda-
mento, uguale a y0.
Il metodo genera un errore locale ad ogni passo, per il fatto che la serie è
troncata. Fissiamo un generico punto (x, y) e indichiamo con z(t) la soluzione
del seguente problema a valori iniziali:
(
z0
(t) = f(t, z(t))
z(t) = y
(3.8)
3.40

La funzione:
(x, y; h, f) :=
(
z(x+h) y
h
seh ⌅= 0
f(x, y)seh = 0
(3.9)
rappresenta il rapporto incrementale della soluzione esatta z(t) di 3.8 in
corrispondenza al passo h. La funzione ⇥(xi, ⌅i; h, f), invece, è il rapporto
incrementale della soluzione approssimata di 3.8 ottenuta con il metodo 3.7.
La quantità ⌥ = ⇥ rappresenta una misura dell’accuratezza della
formula e viene chiamato errore locale di discretizzazione; esso rappresenta
l’errore introdotto dal metodo numerico ad ogni passo.
Quando si ha che ⌥ = O(hp
) si dice che il metodo è di ordine p. La
creazione ad ogni passo degli errori di discretizzazione locali e la loro propagazione
contribuiscono a creare in un generico punto xi l’errore globale di discretiz-
zazione definito come:
ei = ⌅i y(xi) (3.10)
Il problema centrale nello studio dei metodi numerici riguarda il controllo
dell’errore globale. Se diminuendo il passo h, l’errore globale diminuisce il
metodo si dice convergente. Questa condizione viene raggiunta se l’errore
locale è infinitesimo con il passo h e se l’accumulo di errori locali non esplode
al diminuire del passo h (cioè il metodo è stabile).
Metodo di Runge-Kutta
L’idea alla base del metodo di Runge-Kutta è quella di costruire formule con
⇥ coincidenti con per un fissato numero di termini, ma senza l’utilizzo
esplicito di derivate.
La sua formulazione più semplice è il metodo di Eulero modificato:
⌅i+1 = ⌅i + h[f(xi +
1
2
h, ⌅i +
1
2
hf(xi, yi))] (3.11)
La formula 3.11 può essere estesa in modo da utilizzare m valutazione
della funzione f:
3.41

⌅i+1 = ⌅i + h⇥(xi, ⌅i; h)
⇥(x, ⌅; h) :=
mP
r=1
crkr
k1 = f(x, y)
kr = f(x + har, y + h
r 1P
s=1
brsksr = 2, ..., m
(3.12)
Le formule 3.12 rappresentano il metodo generale di Runge-Kutta esplic-
ito a m-stadi. Per ogni formulazione sono definiti i valori delle costanti ar, cr
e brs.
La più nota delle formulazioni di Runge-Kutta a quattro stadi è la seguente:
⌅i+1 = ⌅1 + h
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
k1 = f(xi, ⌅i)
k2 = f(xi, 1
2
h, ⌅1 + 1
2
hk1)
k3 = f(xi, 1
2
h, ⌅1 + 1
2
hk2)
k4 = f(xi, 1
2
h, ⌅1 + 1
2
hk3)
(3.13)
Dove a2 = a3 = 1
2
, a4 = 1 c1 = c4 = 1
6
, c2 = c3 = 1
3
b21 = b32 = 1
2
e b43 = 1.
Tale formula è di ordine 4 e se la funzione f è su⇧cientemente regolare si ha
che l’errore locale ⌥ = O(h4
).
Nell’implementazione di tali metodi un problema importante riguarda
la scelta del passo di integrazione h. Da un punto di vista pratico si vuole
ottenere al minor costo computazionale una approssimazione che verifica una
prefissata tolleranza. Un elemento fondamentale per ottimizzare la scelta del
passo h è la possibilità di stimare l’errore, cosa che non può essere fatta a
priori. Una stima dell’errore può essere ottenuta confrontando due valori
della soluzione approssimata caratterizzati da una di⌅erente precisione.
Per ottenere questi due valori nell’ambito del metodo Runge-Kutta ci
sono due strade:
• si calcolano due soluzioni con due passi diversi (ad esempio h e h/2).
• si utilizzano per il calcolo della soluzione due metodi di ordine diver-
so. Questa procedura richiede una opportuna formulazione dei meto-
di, poichè è necessario disporre di metodi ad un numero successivo di
3.42

stadi che riutilizzino le valutazioni della f già e⌅ettuate nel metodo
corrispondente al numero di stadi inferiore. Una famiglia di meto-
di con queste caratteristiche è data dai metodi Runge-Kutta-Fehlberg.
Per fare un esempio consideriamo una particolare coppia di formule di
Runge-Kutta-Fehlberg (RKF) di ordine 4 e 5:
k1 = f(xi, yi)
kr = f(xi + har, y + h
r 1P
s=1
brsksr = 2, ..., 6
(3.14)
⌅i+1 = ⌅i + h
5P
r=1
crkr
ˆ⌅i+1 = ˆ⌅i + h
6P
r=1
ˆcrkr
(3.15)
Per l’integrazione dell’equazione di Du⇧ng sono stati usati due solver
presenti in MATLAB, ode23 e ode45, che corrispondono alle fomule RKF di
ordine 2 e 3 e di ordine 4 e 5.
La selezione del passo di integrazione nelle routines MATLAB è governata
da tre parametri:
RelTol rappresenta l’errore relativo ammissibile per ogni
componente del vettore soluzione.
Il valore di defaul è 10 3
.
AbsTol rappresenta l’errore assoluto ammissibile per ogni
componente del vettore soluzione. Il
valore di default è 10 6
.
MaxStep rappresenta il valore massimo del passo di integrazione;
Il valore di default
è pari a 1/10 dell’intervallo temporale di integrazione
Tabella 3.1: Parametri dell’ODE solver di matlab
Ad ogni iterazione il passo di integrazione, vericato che sia minore di
MaxStep, viene determinato in modo tale che:
|e(i)| ⇥ max(RelTol · abs(y(i)), AbsTol).
L’ordine m dell’integratore è funzione del tipo di integratore stesso. Si
3.43

può quindi a⌅ermare che la perturbazione nella soluzione introdotta dall’in-
tegratore e funzione sia del passo di integrazione che del tipo di integratore.
L’integratore introduce una perturbazione nel sistema, perturbazione che è
proporzionale ad una potenza del passo di integrazione (O(hm
)). Osservando
la risposta in frequenza, si può notare come il ramo stabile superiore si ap-
prossimi al ramo instabile fintanto che tali rami si toccano. A questo punto
la soluzione stabile avente ampiezza maggiore diventa instabile e scompare.
A causa della perturbazione introdotta dall’integratore, risulta impossibile
identificare il punto esatto in cui i 2 rami considerati si toccano. Il jump dal
ramo stabile superiore al ramo stabile inferiore avviene quando la distanza
tra i rami stabile superiore e instabile diviene inferiore alla perturbazione.
Pertanto modificando i valori di default delle tolleranza RelTol e AbsTol
la frequenza in corrispondenza della quale avviene il jump in discesa. In
figura si riporta un esempio di quanto detto. Tale esempio è stato ottenuto
utilizzando l’integratore ode45 implementato in matlab. A pari tempo di
integrazione (MaxStep), con valori di default dei parametri RelTol e AbsTol
il jump in discesa avviene in corrispondenza della frequenza che indicheremo
con A. Riducendo (ad esempio dimezzando) i valori dei parametri RelTol e
AbsTol di controllo mentre aumentando (ad esempio raddoppiando) i valori
dei 2 parametri considerati, il jump in salita si sposta verso frequenze minori.
Come già osservato a pari passo di integrazione, maggiore è la precisione
dell’integratore (maggiore è il valore di m) minore sarà la perturbazione in-
trodotta dall’integratore, e quindi il jump avverrà a più alta frequenza. In
figura 3.2 si riporta schematicamente il confronto tra la risposta in frequenza
ottenuta con un metodo di Runge-Kutta del 2°-3° ordine e del 4°-5° ordine.
Come si può osservare, la frequenza in corrispondenza della quale avviene
il jump in discesa, stimata con il metodo di Runge-Kutta del 4°-5° ordine è
maggiore di quella calcolata con il metodo di Runge-Kutta del 2°-3° ordine.
3.44

Figura 3.2: Risposta in frequenza: variazione del jump in discesa al variare dei
parametri di controllo del passo di integrazione
Figura 3.3: Confronto tra due solver ode
3.45

3.1.2 Metodi semi-analitici
L’inconveniente dei metodi di integrazione passo-passo, quando si è alla ricer-
ca della risposta a regime, consiste nei rilevanti tempi di calcolo necessari per
far s`ı che l’integrale dell’omogenea associata all’equazione di moto completa
si smorzi e resti solo l’integrale particolare associato al forzamento impresso.
Questo è tanto più vero nel caso dei MEMS dove lo smorzamento è molto pic-
colo e quindi l’integrale generale dell’omogenea associata si smorza in tempi
molto lunghi (decine di secondi).
Sono stati sviluppati i cosiddetti metodi semi-analitici che, al posto di
determinare la soluzione integrando nel tempo, ne impongono l’espressione
riducendo cos`ı l’equazione di⌅erenziale ad un sistema di equazioni algebriche.
Metodo di Galerkin-Urabe
Nel caso in esame il forzamento è di tipo armonico. Essendo il sistema non
lineare la risposta a regime non sarà armonica ed equifrequente con la forzante
ma sarà sicuramente periodica. E’ quindi possibile pensare di sviluppare tale
soluzione a regime in serie di Fourier:
x(t) = a1 cos(↵1t) + b1 sin(↵1t) + a2 cos(↵2t) + b2 sin(↵2t) + ..... (3.16)
dove i coe⇧cienti ai vanno determinati in modo tale che sia rispettata
l’uguaglianza tra moto e forzamento imposta dall’equazione xxx. Le pul-
sazioni ↵i che si ottengono dallo sviluppo in serie della risposta sono multi-
ple e sottomultiple di una pulsazione fondamentale che indicheremo con ↵,
supposta pari alla pulsazione della forzante ⇤, Ne consegue che le pulsazioni
↵i sono multiple e sottomultiple della pulsazione della forzante ⇤. Poichè la
non linearità dell’equazionedi moto in esame è di tipo dispari (k3x3
) si può
dimostrare che solamente le armoniche con pulsazione dispari (⇤, 3⇤, 5⇤,
..., 1
3
⇤, 1
5
⇤, ...) hanno ampiezza diversa da zero. Indicando quindi con m
il numero di super-armoniche (dispari) e con p il numero di sub-armoniche
(dispari), la soluzione a regime può essere riscritta come:
3.46

x(t) = a1 cos( 1
2p+1
⇤t) + b1 sin( 1
2p+1
⇤t) + a2 cos( 1
2p 1
⇤t) + b2 sin( 1
2p 1
⇤t) + ...
+ap cos(1
3
⇤t) + bp sin(1
3
⇤t) + ap+1 cos(⇤t) + bp+1 sin(⇤t)+
+ap+2 cos(3⇤t) + bp+2 sin(3⇤t) + ap+3 cos(5⇤t) + bp+3 sin(5⇤t) + ...
+ap+m+1 cos((2m + 1)⇤t) + bp+m+1 sin((2m + 1)⇤t)
(3.17)
Analogamente al metodo di Ritz, è stato dimostrato che, all’aumentare
di m e p, la soluzione converge verso la soluzione esatta. Sostituendo quindi
l’equazione xxx nell’equazione dell’oscillatore di Du⇧ng, si riduce l’equazione
di⌅erenziale ad un sistema di 2(p+m+1) equazioni algebriche in generale non
lineari nei coe⇧cienti ai e bi uguagliando i termini in seno e coseno aventi
medesima pulsazione (harmonic balance). Si noti che tale metodo, determi-
nando il set di coe⇧cienti ai e bi mediante minimizzazione tra i termini a
sinistra e a destra che compaiono nell’equazione di moto, è in grado di indi-
viduare anche i rami instabili della soluzione a regime. A tale scopo è stato
scritto un codice che calcolasse per ogni valore di ⇤ assegnata la soluzione a
regime variando i valori di primo tentativo dei coe⇧cienti ai e bi.1
3.1.3 Metodo perturbativo
E’ possibile dividere l’equazione di⌅erenziale in due parti, isolando in una
parte i termini lineari e nella seconda gli eventuali termini non lineari. Se
i termini non lineari sono piccoli rispetto alla parte lineare possiamo con-
siderarli come una perturbazione nel sistema. Gli oscillatori di questo tipo
vengono chiamati quasi-harmonic e sono descritti dalla seguente equazione:
¨q + ↵2
0q = f(q, ˙q) (3.18)
Per ⇤ = 0 l’equazione rappresenta quella di un oscillatore armonico,
mentre per ⇤ = 1 otteniamo l’equazione di cui cerchiamo la soluzione. Il
parametro ⇤ rappresenta quindi la transizione del sistema da lineare a non
1
In realtà gli unici coe cienti che hanno valore di primo tentativo sono i coe cienti
dell’armonica equifrequente con la forzate
3.47

lineare. Partendo dall’assunto che ⇤ sia una piccola quantità, cerchiamo una
soluzione approssimata come sviluppo in serie di potenze:
q(t, ) = q0(t) + q1(t) + 2
q2(t) + ... (3.19)
Lo sviluppo della funzione viene esteso fino al grado scelto di approssi-
mazione, per esempio ponendo ⇤ = 0 otteniamo l’approssimazione di ordine
zero. Se invece arrestiamo lo sviluppo al secondo termine della serie otteni-
amo l’approssimazione del primo ordine e cos`ı via. Di seguito si elencano gli
sviluppi in serie dell’equazione di⌅erenziale:
¨q + ↵2
0q = ¨q0 + ¨q1 + 2
¨q2 + ... + ↵2
0(q0 + q1 + 2
q2 + ...)
= ¨q0 + ↵2
0q0 + (¨q1 + ↵2
0q1) + 2
(¨q2 + ↵2
0q2) + ...
(3.20)
f(q, ˙q) = f(q0 + q1 + 2
q2 + ..., ˙q0 + ˙q1 + 2
˙q2 + ...) =
= f(q0, ˙q0) +
✏f(q, ˙q)
✏q q=q0, ˙q= ˙q0
q1 +
✏f(q, ˙q)
✏q q=q0, ˙q= ˙q0
˙q1+
✏f(q, ˙q)
✏q q=q0, ˙q= ˙q0
2
q2 +
✏f(q, ˙q)
✏q q=q0, ˙q= ˙q0
2
˙q2 + ...
(3.21)
Poichè tale equazione deve valere per ogni valore di ⇤ bisogna uguagliare
i termini a sinistra e destra dell’equazione che hanno lo stesso esponente in
⇤:
¨q0 + ↵2
0q0 = 0
¨q1 + ↵2
0q1 = f(q0, ˙q0)
¨q2 + ↵2
0q2 =
✏f(q, ˙q)
✏q q=q0, ˙q= ˙q0
q1 +
✏f(q, ˙q)
✏q q=q0, ˙q= ˙q0
˙q1
(3.22)
Come si può notare queste equazioni sono lineari e si risolvono ricorsiva-
mente. La prima equazione, che rappresenta il classico oscillatore armonico,
3.48

viene risolta e la soluzione viene inserita nell’equazione del primo ordine, ot-
tenendo cos`ı l’equazione di un oscillatore forzato da una funzione nota del
tempo. Quindi viene trovata la soluzione per l’equazione del primo ordine
e questa è successivamente inserita nella terza delle 3.22. Il processo può
essere teoricamente ripetuto all’infinito. Tuttavia ad ogni ciclo l’onere com-
putazionale cresce rapidamente e se ⇤ è piccolo in genere non si va oltre allo
sviluppo del secondo ordine.
Il limite di questa formulazione è quello di includere termini espansivi in
un sistema conservativo che invece ha una risposta periodica. L’esempio di un
sistema conservativo con soluzione periodica è appunto l’equazione di Du⇧ng
nella quale la perturbazione consiste nel termine cubico della rigidezza:
F(q) = k(q + q3
) (3.23)
¨q + ↵2
0(q + q3
) = 0 (3.24)
Scriviamo lo sviluppo per l’equazione di Du⇧ng secondo il metodo per-
turbativo:
¨q0 + ↵2
0q0 = 0
¨q1 + ↵2
0q1 = ↵2
0q3
0
¨q2 + ↵2
0q2 = 3↵2
0q2
0q1
(3.25)
q0 = A0 cos(↵0t 0)
¨q1 + ↵2
0q1 = ↵2
0A3
0 cos3
(↵0t 0)
(3.26)
Il primo termine del membro di destra rappresenta un forzamento alla
pulsazione propria del sistema, creando di fatto le condizioni per la risonanza
dell’oscillatore armonico:
¨q1 + ↵2
0q1 =
3
4
↵2
0A3
0 sin(↵0t 0)
1
4
↵2
0A3
0 cos 3(↵0t 0)
=
3
8
↵0tA3
0 sin(↵0t 0) +
1
32
A3
0 cos 3(↵0t 0)
(3.27)
3.49

Come si nota dall’equazione 3.27 c’è un termine espansivo nel tempo
che non è accettabile per questo tipo di sistema. Infatti, se esaminiamo il
diagramma delle fasi ricavato tramite la conservazione dell’energia otteniamo
delle traiettorie chiuse, le quali indicano che il sistema possiede delle soluzioni
periodiche.
Questi termini espansivi sono causati dal fatto che nei sistemi non lineari
il periodo della risposta dipende dalle condizioni iniziali. Bisogna quindi
modificare il metodo perturbativo in modo tale da cercare una soluzione
perturbativa in cui abbiamo come incognite sia l’ampiezza che il periodo di
oscillazione.
Il metodo perturbativo cos`ı modificato, detto metodo di Lindstedt, consid-
era come incognite sia l’ampiezza che il periodo della risposta. Le equazioni
vengono sviluppate in serie di potenze di ⇤ come nel metodo precedente, ma
in questo caso imponiamo la periodicità per ogni soluzione di grado n che
troviamo, il che implica di fatto sopprimere proprio quei termini espansivi di
cui si è parlato.
Le condizioni di periodicità da imporre sono della forma:
qi(⌥ + 2⇧) = qi(⌥) (3.28)
dove ⌥ = ↵t e d/dt = ↵d/dt.
Scriviamo lo sviluppo del sistema di Du⇧ng fino al secondo ordine:
q00
0 + q0 = 0
q00
1 + q1 = q3
0 2
↵1
↵0
q00
0
q00
2 + q2 = 3q2
0q1
"
2
↵2
↵0
+
✓
↵1
↵0
◆2
#
q00
0 2
↵1
↵0
q00
1
(3.29)
Per la prima equazione la soluzione è la seguente:
q0 = A0 cos ⌥ (3.30)
Inseriamo questa soluzione nella seconda equazione perturbativa e poni-
amo il coe⇧ciente moltiplicato per cos⌥ uguale a zero, il che coincide con
3.50

l’imporre la condizioni di periodicità vista prima ed evitare la risonanza.
Otteniamo che:
q00
1 + q1 =
A0
4↵0
(8↵1 3↵0A2
0) cos ⌥
1
4
A3
0 cos 3⌥ (3.31)
8↵1 3↵0A2
0 = 0
↵1 =
3
8
↵0A2
0
q1 =
1
32
A3
0 cos 3⌥
(3.32)
Questo identico procedimento viene ripetuto per l’equazione del secondo
ordine ottenendo questi risultati:
q(t) = A cos ↵t
1
32
A3
(cos ↵t cos 3↵t)+ 2 1
1024
A5
(23 cos ↵t 24 cos 3↵t+cos 5↵t)
(3.33)
↵ = ↵0(1 +
3
8
A2 2 21
256
A4
) (3.34)
Per ottenere questi risultati si è preferito esprimere le equazioni in fun-
zione dello spostamento iniziale A piuttosto che della sua approssimazione
A0. Si sottolinea come dalle espressioni riportate sia la risposta che il pe-
riodo dipendano dallo spostamento iniziale, caratteristica tipica dei sistemi
conservativi non lineari.
Proviamo ora ad applicare il metodo di Lindstedt all’equazione ogget-
to del nostro studio introducendo quindi il forzamento e il parametro di
smorzamento nel sistema.
¨q + ↵2
q = [ ↵2
( q + ⇥q3
) + F cos ⇤t] (3.35)
Nella quale ↵ è la pulsazione propria del sistema linearizzato, e ⇥ sono
i parametri di rigidezza, ⇤F è l’ampiezza della forzante armonica e ⇤ è la
pulsazione della forzante.
Introduciamo anche in questo caso il cambio di variabili e anche la fase
3.51

della risposta:
⇤t = ⌥ +
d/dt = ⇤d/dt
(3.36)
Applichiamo lo sviluppo in serie anche alla fase della risposta e le con-
dizioni di periodicità:
= 0 + 1 + 2
2 + ... (3.37)
q(⌥ + 2⇧) = q(⌥) (3.38)
Procedendo come visto sopra otteniamo le tre equazioni dello sviluppo al
secondo ordine, imponendo le condizioni iniziali q0
(t) = 0:
⇤2
q00
0 + ↵2
q0 = 0
⇤2
q00
1 + ↵2
q1 = ↵2
( q0 + ⇥q3
0) + F cos(⌥ + )
⇤2
q00
2 + ↵2
q2 = ↵2
( q1 + 3⇥q2
0q1) F 1 sin(⌥ + )
(3.39)
La prima equazione fornisce la soluzione:
q0(⌥) = A0 cos(
↵⌥
⇤
) (3.40)
Applichiamo la condizione di periodicità 3.37 all’equazione 3.40 e otte-
niamo che questa è verificata solo se ↵ = ⇤.
Sostituiamo quindi ⇤ al posto di ↵, introduciamo l’equazione 3.40 nela
seconda delle 3.39 e otteniamo la seguente equazione:
¨q1 + q1 =
F
↵2
sin 0 sin ⌥ ( A0 +
3
4
⇥A3
0
F
↵2
cos 0) cos ⌥
1
4
⇥A3
0 cos 3⌥
(3.41)
Per imporre le condizioni di periodicità dobbiamo azzerare i coe⇧cienti
dei termini in sin⌥ e cos⌥:
3.52

0 = 0
A0 +
3
4
⇥A3
0
F
↵2
= 0
(3.42)
0 = ⇧
A0 +
3
4
⇥A3
0 +
F
↵2
= 0
(3.43)
Includendo una qualsiasi delle due equazioni, in quanto dipendenti fra di
loro, otteniamo la soluzione dell’equazione 3.41:
q1(⌥) = A1 cos ⌥ +
1
32
⇥A3
0 cos 3⌥ (3.44)
Per determinare A1 imponiamo la periodicità della soluzione q2. Tralas-
ciando i calcoli otteniamo la soluzione al secondo ordine di approssimazione:
q2(⌥) = A2 cos ⌥ +
1
256
⇥A2
0(48A1 + 2 A0 + 3⇥A3
0) cos 3⌥ +
1
1024
⇥2
A5
0 cos 5⌥
(3.45)
Riassumendo i tre sviluppi in serie otteniamo l’espressione approssimata
di q(t):
q(t) = (A0 + A1 + 2
A2) cos ↵t+
1
32
⇥A2
0

A0 +
1
16
(48A1 + 2 A0 + 3⇥A3
0 cos 3↵t
+
1
1024
2
⇥2
A5
0 cos ↵t
(3.46)
Dall’espressione risultante si può notare come la fase sia mancante. Questo
può essere giustificato con il fatto che il sistema non è smorzato. Tramite l’e-
spressione 3.42, che mette in relazione l’ampiezza della risposta con l’ampiez-
za della forzante è possibile tracciare l’ampiezza della risposta in funzione
della ⇤.
Riscriviamo l’espressione eliminando per mezzo dell’espressione seguente:
↵2
0 = (1 + )↵2
(3.47)
3.53

e otteniamo la seguente equazione:
↵2
= ↵2
0(1 +
3
4
⇥A2
0)
F
A0
(3.48)
3.2 Risposta in transitorio
Come già osservato, la risposta in transitorio del giroscopio può essere ri-
cavata solo mediante integrazione diretta dell’equazione di moto. Il tempo
necessario perchè si esauriscano gli e⌅etti dell’integrale dell’omogenea as-
sociata (transitorio iniziale) è legato al valore del coe⇧ciente c ossia allo
smorzamento viscoso equivalente del sistema.2
A titolo di esempio si pro-
pongono due risposte nel tempo al variare del coe⇧ciente di smorzamento,
da c pari a 7, 5 · 10 8
Ns/m, a c pari a 1, 95 · 10 6
Ns/m. Come mostrato nel
paragrafo xxx tale variazione può essere ottenuta modificando la pressione
atmosferica. I due valori di c riportati in precedenza corrispondono al vuoto
e alla pressione atmosferica.
In entrambi i casi la forzante è armonica (frequenza: 13000 Hz, ampiezza:
10 4
N). Nel caso in cui il giroscopio lavori a pressione atmosferica (fig. 3.4)
si può osservare come il transitorio iniziale si esaurisca in 4ms mentre nel
caso in cui il giroscopio lavori nel vuoto (fig. 3.5) il tempo necessario a⇧nchè
il moto si stabilizzi è pari a 0,025 s ossia 5 volte maggiore che non nel caso
precedente (minore prontezza del sensore).
Questa osservazione comporta, nel caso in cui si fosse interessati alla
risposta a regime, ad integrare per tempi più lunghi e quindi tempi di sim-
ulazione maggiori. L’analisi della risposta in transitorio permette inoltre di
verificare il comportamento del giroscopio in presenza di disturbi improvvisi
e in corrispondenza del jump dal ramo stabile superiore a quello inferiore e
viceversa.
2
In genere si decide di far lavorare il sensore ad una pressione inferiore a quella
atmosferica in quanto al diminuire della pressione aumenta la sua sensibilità
3.54

Figura 3.4: Transitorio a p = 760 torr:
Figura 3.5: Transitorio a p = 0 torr:
3.3 Risposta a regime
3.3.1 Sensibilità al valore dello smorzamento viscoso
equivalente
Come osservato in precedenza, una variazione della pressione del fluido (aria)
nel quale è immerso il sensore determina una variazione dello smorzamento
viscoso equivalente. Nella risposta a regime una tale variazione determina
uno shift della frequenza in corrispondenza della quale si verifica il jump in
discesa (ma non una variazione della forma della curva di risposta stessa, vedi
figura 3.6). Si noti che tale figura è stata ottenuta integrando l’equazione
di moto con la routine ode23 precedentemente descritta. Tale risultato si
sarebbe potuto ottenere anche ricorrendo ai metodi semi-analitici in tempi
più brevi e per tale seconda via si sarebbe potutto tracciare anche il ramo
instabile (la cui forma varia al variare dello smorzamento).
3.55

Figura 3.6: Sensibilità al valore dello smorzamento viscoso equivalente
3.3.2 Sensibilità all’ampiezza della forzante
L’ampiezza della forzante permette di modulare la non linearità del sistema:
tanto più grande è l’ampiezza di forzamento, tanto maggiori saranno gli
spostamenti delle masse sospese e quindi le deformazioni delle travi di sup-
porto in silicio. La non linearità dovuta alla loro caratteristica hardening
risulterà quindi più evidente. Si noti tuttavia che l’ampiezza degli spostamen-
ti delle masse sospese è limitata dalla presenza dei comb drive in direzione di
drive: oltre gli 8 µm di spostamento avviene il contatto tra i pettini dei comb
drive e il conseguente cortocircuito del sistema. Per forzante armonica avente
ampiezza pari a 10 6
N (corrispondente all’applicazione di una di⌅erenza di
potenziale pari a 20 V tra i denti dei comb drive), la risposta in frequenza
mostra un picco di risonanza praticamente verticale (comportamento lineare)
ai 13KHz di ampiezza pari a 1,22 µm.
In tale figura si riportano sovrapposte le risposte in frequenza ottenute
con il metodo di Galerkin-Urabe (considerando 4 super-armoniche e 0 sub-
armoniche) e con i metodi di Fahlberg. Come si può notare le 2 risposte in
3.56

frequenza sono praticamente indistinguibili: le piccole di⌅erenze sono dovute
al diverso passo in frequenza con il quale sono state calcolate le risposte. Nel
caso di integrazione passo-passo infatti, a causa dei rilevanti tempi di calcolo,
il passo in frequenza è pari a 1Khz mentre nel caso del metodo semi-analitico
si selezionato un passo pari a 100 Hz.
Per forzante armonica avente ampiezza pari a 10 5
N (corrispondente al-
l’applicazione di una di⌅erenza di potenziale pari a 50V tra i denti dei comb
drive), la risposta in frequenza comincia a mostrare il comportamento hard-
ening delle travi di supporto: il picco di risonanza non è più verticale ma pie-
ga verso destra. Rispetto al caso precedente non è più possibile individuare
univocamente la frequenza di risonanza. Possono essere invece individuate le
frequenze in corrispondenza delle quali avviene il jump in salita (15 KHz) e in
discesa (24Khz) e la massima ampiezza dell’oscillazione della massa sospesa
(8,8 µm).
Per quanto concerne il jump in discesa, i 2 metodi forniscono informazioni
di⌅erenti. Questo come detto, è dovuto alla perturbazione introdotta dal
metodo di integrazione, perturbazione che sposta il jump in discesa ad una
frequenza di 20 KHz. Il metodo semi-analitico invece riesce ad individuare
il ramo stabile superiore fintanto che esso non interseca il ramo instabile.
La piccola di⌅erenza nel jump in salita è ancora una volta dovuta al diverso
passo in frequenza con il quale sono state tracciate le risposte in frequenza.
Infine per forzante armonica avente ampiezza pari a 10 4N (corrispon-
dente alla massima di⌅erenza di potenziale (80V) tra i denti dei comb drive),
la risposta in frequenza mostra il tipico andamento che contraddistingue un
sistema hardening: il picco di risonanza è piegato verso destra e si riscontrano
due jump (in discesa e in salita) molto distanziati tra loro. Per il sistema in
esame sottoposto ad una forzante armonica di ampiezza pari a 10 4
N il jump
in salita si presenta a 66 KHz mentre i jump in discesa a 22 KHz. Anche in
questo caso valgono le osservazioni fatte per forzante armonica pari a 10 5
N.
Si noti inoltre che alle basse frequenze (< 10 KHz) l’andamento della risposta
in frequenza è piuttosto frastagliato e, grazie al metodo di Galerkin-Urabe,
è possibile individuare rami instabili.
Tale risultato è anche confermato dal metodo di integrazione passo-passo.
3.57

Una spiegazione del perch`e di tale frastagliatura e della nascita di rami insta-
bili, pur di grande interesse teorico, esula dal lavoro e viene quindi rimandata
ad una indagine dedicata.
Figura 3.7: Confronto metodo numerico e semi-analitico con F = 10 6N
3.58

Si noti infine che la frequenza reale in corrispondenza della quale avverà
il jump in discesa dipende dalla perturbazione del sistema fisico e sarà ten-
delzialmente prossima alla frequenza di jump prevista dai metodi di inte-
grazione passo-passo (si veda paragrafo 3.2 per quanto concerne l’e⌅etto
della variazione di pressione).
3.59

Capitolo 4
Progettazione di un giroscopio
per la verifica del modello in
campo lineare e non lineare
4.1 Parametri del giroscopio
Per verificare la metodologia sviluppata in questo lavoro è stato progettato
e costruito un giroscopio con una singola massa sospesa. Il layout di questa
microstruttura è mostrato in figura 4.1. I comb drive sono stati disegnati in
modo da permettere grandi spostamenti (fino a 35µm) e quindi poter studiare
il comportamento non lineare descritto nel capitolo 3.
Basandoci sui risultati del capitolo 2 si è proceduto con l’identificazione
teorica dei parametri inerziali, smorzanti ed elastici m, c, k1 e k3 della
struttura. I risultati sono riassunti nella tabella 4.1.

4. Progettazione di un giroscopio per la veriﬁca del modello in campo lineare
e non lineare
Figura 4.1: Layout struttura test
Caratteristica inerziali
Massa 1 (massa sospesa) 8.5641 · 10 9
[Kg]
Massa 2 (supporti comb drives) 2.2359 · 10 9
[Kg]
Massa 3 (comb drives (statore)) 4.3243 · 10 9
[Kg]
Massa totale 1.5124 · 10 8
[Kg]
Caratteristica elastiche
n° supporti 4
lunghezza supporto (l) 300 [µm]
larghezza supporto (w) 2.2 [µm]
spessore supporto (h) 15 [µm]
k1 supporto 0.91 [µN/µm]
k3 supporto 0.09 [µN/µm3
]
k1 totale 3.64 [µN/µm]
k3 totale 0.36 [µN/µm3
]
Caratteristica smorzante
ccouette massa/substrato 1.55 · 10 6
[Ns/m]
ccouette comb drives 4.42 · 10 7
[Ns/m]
ccouette comb drives/substrato 4.14 · 10 6
[Ns/m]
ccouette totale 6.13 · 10 6
[Ns/m]
Tabella 4.1: Parametri del modello identiﬁcati
4.61

e non lineare
4.2 Alimentazione push-pull:
termine di forzamento
La geometria dei comb drives è costituita da 2 statori e una parte mobile;
al fine di mantenere la parte mobile centrata rispetto ai due statori, si è
utilizzata una alimentazione di tipo push-pull il cui schema è riportato in
figura 4.2. Infatti se la parte mobile non fosse centrata si avrebbe un legame
non lineare tra capacità e spostamento.
Figura 4.2: Alimentazione di erenziale push-pull
Nel seguito del paragrafo viene descritto come si modifica il termine di
forzamento a causa dell’alimentazione imposta ai comb drives. L’equazione
che lega la tensione di alimentazione alla forza di attuazione è:
F =
1
2
✏C
✏x
V 2 (4.1)
Applicandola al caso di alimentazione push-pull, dove con F1 (F2) si in-
dica la forza che genera lo statore di sinistra (destra) sulla parte mobile
(figura 4.2):
4.62

e non lineare
F1 =
1
2
✏C
✏x
(Vb + Vd sin(⇤drivet))2
F2 =
1
2
✏C
✏x
(Vb Vd sin(⇤drivet))2
(4.2)
La forza risultante sulla parte mobile del comb drive risulta:
F = F1 F2 =
1
2
✏C
✏x
((Vb + Vd sin(⇤drivet))2
(Vb Vd sin(⇤drivet))2
) (4.3)
In base all’equazione 2.14 risulta che:
F = F1 F2 = 2
✏C
✏x
VbVd sin(⇤drivet) (4.4)
Si noti come, utilizzando una alimentazione di tipo push-pull, nel termine
di forzamento non compaiano n`e il contributo costante n`e l’armonica avente
pulsazione pari a 2⇤drive presenti nella 2.14
4.63

e non lineare
4.3 Descrizione dell’apparato di prova
Per la verifica sperimentale del modello è stato utilizzato un banco prova
presso i laboratori di ST Microelectronics.
I componenti caratterizzanti il banco prova sono:
• laser doppler utilizzato per la misura dello spostamento della massa
sospesa. Lo spot del laser è stato puntato sulla massa dell’oscillatore
con un angolo di incidenza di circa 10° rispetto al piano del wafer.
• generatore/analizzatore di segnale utilizzato per produrre il segnale di
tensione alternata Vd e calcolare la risposta in frequenza.
Figura 4.3: Setup di misura: generatore/analizzatore di segnale
• generatore di tensione continua (Vb)
• amplificatore di tensione di⌅erenziale per l’alimentazione push-pull dei
comb drive. L’amplificatore ricevendo in ingresso i segnali di tensione
continua Vb e di tensione alternata Vd produce due output in tensione,
Vb + Vd e Vb Vd.
4.64

e non lineare
• banco punte: costituito da un microscopio e dalle punte di alimen-
tazione necessarie per fornire al giroscopio i segnali di tensione in uscita
dall’ampliﬁcatore e la messa a terra.
Figura 4.4: Setup di misura: banco punte
Nello schema seguente vengono mostrati i collegamenti della quattro punte
sul banco prova: due punte vengono utilizzate per l’alimentazione push-pull
mentre le restanti due mettono a terra il substrato e la massa sospesa.
Nella ﬁgura 4.6 si riassume il setup completo del banco prova compren-
dente tutti gli apparecchi precedentemente descritti.
4.65

e non lineare
Figura 4.5: Collegamenti del banco punte
Figura 4.6: Schema del setup di misura
4.66

e non lineare
4.4 Confronto tra la risposta dinamica
numerica e sperimentale
Per ricavare la risposta dinamica sperimentale della microstruttura in esame
si è utilizzato lo schema di collegamento delle punte di figura 4.5. Nel nostro
caso il voltaggio Vb corrisponde ad una tensione di corrente continua (che
indichiamo con VDC) mentre Vd corrisponde ad un segnale di rumore bianco
prodotto dal generatore/analizzatore (che indichiamo con VWN ).
L’equazione di moto del giroscopio lungo la direzione di drive, consideran-
do l’espressione della forzante ricavata nel paragrafo 4.2 diventa:
m¨x + c ˙x + k1x + k3x3
= 2
✏C
✏x
VDCVWN (4.5)
L’analizzatore riceve in ingresso il segnale proveniente dal laser doppler
e facendo una media su 1024 campionamenti, in modo da eliminare even-
tuali disturbi, fornisce in uscita l’autospettro. In figura 4.7 è riportato l’au-
tospettro numerico e sperimentale per prove eseguite imponendo una tensione
continua VDC di 10V e variando la tensione alternata VWN da 0.15V a 15V.
Figura 4.7: Risposta dinamica numerica e sperimentale
I risultati numerici mostrati nella precedente figura sono stati ottenuti
4.67

e non lineare
Figura 4.8: Risposta dinamica numerica e sperimentale per ampiezza del forzamento
pari a 2.66 · 10 5N
utilizzando un valore di smorzamento, inizialmente stimato in base al modello
di Couette, identificato dalla prova con VWN pari a 15V (curva nera). I
parametri inerziali ed elastici sono stati identificati utilizzando la prova con
VWN pari a 0.15V.
Dal confronto tra i risultati numerici e sperimentali risulta evidente che
l’ipotesi di uno smorzamento viscoso lineare non è accettabile per ripro-
durre correttamente il comportamento del giroscopio. Si nota infatti che lo
smorzamento è funzione dell’ampiezza di oscillazione e in particolare aumenta
all’aumentare della stessa.
Si noti inoltre che all’aumentare della frequenza (al di sopra di 4000-4500
Hz) il modello numerico fornisce un’ampiezza minore di quella ottenuta dai
risultati sperimentali, questo perchè il modello a 1 gdl non tiene conto di
modi presenti nel sistema reale.
La figura 4.8 mostra la risposta in frequenza del sistema calcolata con
il metodo di Galerkin-Urabe (curva blu) e i risultati sperimentali ottenuti
4.68

e non lineare
imponendo segnali in tensione sinusoidali per diversi valori di frequenza. Si
noti che il ramo instabile ottenuto numericamente non si osserva sperimen-
talmente; le due curve (rossa e verde) ottenute rispettivamente diminuendo
ed aumentando la frequenza della forzante riproducono invece i due jump
previsti dalla teoria.
4.69

Conclusioni
Nel presente lavoro è stata presentata una metodologia per la progettazione
della parte meccanica di un giroscopio MEMS.
E’ stato dapprima sviluppato un semplice modello a parametri concentrati
e in particolare è stato condotto uno studio parametrico sulla caratteristica
di rigidezza non lineare dei vincoli di supporto tramite un analisi FEM. Da
questo studio è stato creato un database che, in funzione dei parametri geo-
metrici dei supporti (lunghezza, larghezza e altezza) restituisce i valori dei co-
e⇧cienti lineare k1 e cubico k3 che meglio riproducono la curva caratteristica
della trave di supporto.
In seguito è stata studiata la risposta nel tempo e in frequenza del sistema
mediante due approcci: l’integrazione numerica tramite le formule di Runge-
Kutta-Fehlberg e l’integrazione semi-analitica tramite il metodo di Galerkin-
Urabe. Mediante questi due metodi è stato possibile ricavare la risposta
in transitorio e a regime del giroscopio nonchè delle analisi di sensibità ai
parametri del sistema.
E’ stato infine progettato un giroscopio per validare il modello a parametri
concentrati. Il confronto finale tra i dati sperimentali e il modello ne ha messo
in evidenza i limiti, soprattutto in relazione allo smorzamento, assunto come
lineare viscoso.

Appendice A
Tecnologia MEMS
A.1 Introduzione
L’insieme delle operazioni che porta alla creazione del microsistema mecca-
nico in silicio va sotto il nome di surface micromachining. Questa tecnologia
si basa sulle tecniche di deposizione e patterning usate per produrre i circuiti
intergrati.
Il primo esempio dell’applicazione di queste tecniche per la fabbricazione
di un nuovo sensore si ha alla metà degli anni ’60 quando, al Westinghouse
Research Laboratory, vengono combinati insieme un risonatore meccanico e
uno dei primi transistor elettronici sulla medesima fetta di silicio. Il risuona-
tore meccanico è costituito da una trave metallica a mensola ottenuta per
deposizione di uno strato metallico su uno strato di ossido di silicio e suc-
cessiva rimozione dello strato di ossido. La trave, caricata elettricamente e
fatta oscillare , modifica il campo elettrostatico , generando cos`ı un segnale
elettrico che viene usato come feedback per controllare il moto della trave
stessa.
Negli anni ’80 si comincia ad utilizzare il silicio policristallino come mate-
riale per le microstrutture, studiandone i parametri di deposizione e i processi
post-deposizione in modo da ottenere caratteristiche adatte per applicazioni
in campo meccanico.
Le ricerche di quest’ultimo decennio hanno prodotto migliorie in tre aree

A. Tecnologia MEMS
chiavie consentendo di realizzare microstrutture in polisilicio complesse ed
a⇧dabili:
• la planarizzazione CMP consente la deposizione di più layer di silicio
indipendenti;
• la misura su nanoscala permette un migliore monitoraggio delle propri-
età meccaniche dei film e consente di ottenere una maggiore corrispon-
denza tra la fase di modellazione e la fase sperimentale;
• l’analisi dei fenomeni superficiali, come il fenomeno dell’adesione, e del
loro impatto sulla prestazione del dispositivo permette di prevedere le
eventuali cause di morte prematura del dispositivo meccanico.
A.2 Surface Micromachining:
fasi del processo
Il processo di surface micromachining comprende tre step fondamentali:
• deposizione degli strati di silicio
• definizione dei pattern tramite fotolitografia
• attacco selettivo degli strati sacrificali di silicio (etching)
I materiali utilizzati nel processo di surface micromachining sono il si-
licio policristallino (come materiale costituente la struttura meccanica) e il
biossido di silicio (come materiale sacrificale). La struttura viene creata su
un substrato, anch’esso di silicio, chiamato fetta o wafer, del tutto analogo
a quelli utilizzati per la realizzazione dei circuiti integrati. Applicando op-
portunamente la sequenza base sopra esposta è possibile realizzare strutture
anche molto complesse (figura A.1).
Le dimensioni di tali strutture possono variare da un micron quadrato fino
ad uno o due millimetri quadrati mentre lo spessore è generalmente compreso
A.72

A. Tecnologia MEMS
tra 0.5 e 4 micron (valori di spessore più elevati si possono trovare in processi
più complessi come il thick epitaxial layer process, vedi paragrafo A.2.4).
Per costruire un dispositivo analogo a quello descritto in questo lavoro
sono su⇧cienti due strati di silicio strutturali , il substrato e uno strato di
silicio policristallino. La complessità delle strutture che si possono generare
con due soli strati è limitata 1
Figura A.1: Esempi di strutture MEMS
L’aggiunta di uno strato ulteriore (v. figura A.1) permette di realizzare
componenti più complessi come delle trasmissioni ad ingranaggi. Con quattro
strati strutturali si possono costruire degli elementi di interconnessione in
grado di trasferire energia meccanica. Infine, il quinto strato permette di
realizzare delle strutture poggiate su piattaforme mobili che possono essere
fatte traslare parallelamente al substrato realizzando cos`ı grandi spostamenti.
Strati addizionali sono utili per realizzare elementi di sicurezza come finecorsa
1
la maggior parte dei dispositivi MEMS attualmente in commercio è composta da due
soli strati.
A.73

A. Tecnologia MEMS
o stop protettivi per ridurre lo stress meccanico, o rivestimenti di protezione
per l’utilizzo e il trasporto.
A.2.1 Deposizione degli strati di silicio
Il primo step del processo di surface micromachining è rappresentato dal-
la deposizione di sottili film di materiale con spessore variabile da alcuni
nanometri fino a decine di micron. I metodi per la deposizione di film si
suddividono essenzialmente in due gruppi, per via chimica o per via fisica
Processi Chimici
• deposizione chimica in fase vapore o CVD
• deposizione epitassiale
• elettrodeposizione
• ossidazione termica
Processi Fisici
• deposizione fisica in fase vapore o PVD
• casting
Nei metodi di deposizione per via chimica la deposizione è resa possibile
da reazioni chimiche tra composti gassosi o liquidi e il substrato. Il film
deposto non è l’unico prodotto della reazione: durante le reazioni chimiche si
possono avere prodotti secondari in fase gassosa, liquida e anche solida. Nei
metodi di deposizione per via fisica, invece, l’unico prodotto è il film.
Tra i processi elencati, i più interessanti per le applicazioni con silicio e
derivati sono il CVD, la deposizione epitassiale e l’ossidazione termica.
Nel processo CVD il prodotto della reazione chimica condensa e va a
depositarsi su tutte le superfici interne al reattore. Esistono due tipi di
processo CVD, l’LPCVD, cioè il CVD a bassa pressione e il PECVD, dove
A.74

A. Tecnologia MEMS
PE significa Plasma Enhanced. Il primo produce film di spessore uniforme
e con eccellenti proprietà meccaniche ma è relativamente lento e deve essere
eseguito ad alte temperature (circa 600°C). Il PECVD, invece, può operare
a 300°C grazie all’energia fornita dalle molecole di plasma, ma si riescono a
depositare film su un solo lato dei wafer e la deposizione riguarda al più 4
wafer per volta (nei reattori LPCVD si possono depositare film di silicio su
25 fette per volta).
La deposizione epitassiale è molto simile al processo CVD ma, nel caso
il substrato possieda una struttura cristallina, tale processo permette di ac-
crescere il materiale con lo stesso tipo di cristallo del substrato (è come se
il substrato fungesse da seme della deposizione). Se quindi il substrato è un
policristallo amorfo, tale sarà anche il film prodotto. I vantaggi di questo
tipo di deposizione sono l’alta velocità di crescita e la possibilità di generare
film di grande spessore (oltre i 100 micron).
L’ossidazione termica è il processo più semplice: consiste nella ossidazione
superficiale del substrato in un’atmosfera ricca di ossigeno. La temperatura
viene innalzata a 900/1000°C per velocizzare la reazione di ossidazione. Lo
spessore dello strato ossidato è piccolo: all’aumentare della profondità alla
quale si vuole giungere durante il processo di ossidazione aumenta il tempo di
esposizione (oltre un dato spessore si ha una brusca diminuzione della velocità
di propagazione dell’ossidazione). Il processo viene usato quando bisogna
creare uno strato di ossido di silicio direttamente sul substrato. Durante tale
processo lo spessore complessivo del wafer non cresce
A.2.2 Definizione di pattern tramite fotolitografia
Il processo fotolitografico consiste nel trasferire una geometria 2D, il cosid-
detto pattern, su un materiale fotosensibile deposto sul substrato. Tale
trasferimento avviene esponendo il materiale fotosensibile ad una sorgente di
radiazioni come la luce. Il materiale esposto cambia le sue proprietà fisiche.
Il materiale fotosensibile è tipicamente fotoresistente: quando viene es-
posto ad una sorgente avente una data lunghezza d’onda, la sua resistenza
chimica nei confronti della soluzione di sviluppo viene modificata. Pertanto,
A.75

A. Tecnologia MEMS
Figura A.2: Processo Fotolitografico
investendo il materiale fotosensibile con la soluzione di sviluppo, verranno
attaccate ed eliminate solo le zone esposte/non esposte. Se viene elimina-
ta la zona esposta il materiale viene detto fotoresistente positivo, altrimenti
fotoresistente negativo.
Il processo fotolitografico si distingue in additivo e sottrattivo. Nel pro-
cesso fotolitografico additivo la maschera di materiale fotosensibile protegge
il substrato durante il successivo attacco chimico (schema di sinistra in figu-
ra A.3). Asportando quindi il materiale fotosensibile, le parti da esso protette
risultano in risalto. Nel processo fotolitografico sottrattivo, invece, dopo la
definizione del pattern si procede alla deposizione di uno strato di silicio
(schema di destra in figura A.3) laddove vi è il materiale fotosensibile lo
strato aggiunto non si attacca al substrato. Eliminando quindi il materiale
fotosensibile (processo che viene detto lift-o ) si ottiene un pattern negativo
A.76

A. Tecnologia MEMS
(le parti precedentemente protette dal materiale fotosensibile formano gli in-
cavi) L’approccio lift-o è raramente usato poiché il materiale fotoresistente
non resiste ad alte temperature utilizzate durante la deposizione di film di
silicio e può contaminare il substrato.
Figura A.3: Processo Fotolitografico
A.2.3 Attacco selettivo degli strati sacrificali di silicio
(etching)
I metodi di rimozione degli strati sacrificali di silicio (ossido di silicio) sono
sostalziamente due: il wet etching e il dry etching.
Il wet etching è la tecnologia più semplice: i wafer vengono immersi in
una soluzione liquida di reagente chimico. La corrosione deve avvenire solo
nelle zone non protette dal materiale fotosensibile (attacco selettivo). La
maschera deve quindi resistere alla soluzione o dissolversi più lentamente del
materiale sacrificale. Si noti che il silicio policristallino può presentare un
comportamente anisotropo quando attaccato dalla soluzione. Un esempio di
questo fenomeno si ha con fette di silicio immerse in una soluzione di idrossi-
do di potassio (KH). L’attacco, come si vede in figura A.4, produce delle
pareti inclinate secondo i piani cristallini del silicio stesso invece dell’arroton-
damento tipico prodotto da una rimozione isotropa. La rimozione isotropa,
A.77

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