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ECUACIONES DIFERENCIALES
(ASUC01255)
PRODUCTO ACADÉMICO N° 3
Grupo B
2021
JOSE MIGUEL CHOQUECOTA, LOMA (44826640@continental.edu.pe)
CRISTHIANJOSEGUERRA, CERDAN (47681971@continental.edu.pe)
CRISTIANCESAR SAGASTIZABAL, ESCOBAR (10287420@continental.edu.pe)
CARLOS ABEL USCA, QUISPE (73968973@continental.edu.pe)
JONNEL WILMER VARGAS, MONTES (40474605@continental.edu.pe)
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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
1. La ley de Calentamiento - enfriamiento de Newton establece que la velocidad
con que se calienta (o enfría) un objeto es proporcional a la diferencia entre su
temperatura 𝑇 y la temperatura del medio 𝑇𝑚. Un metal es calentado hasta
alcanzar una temperatura de 140 °𝐶, y a los 2 minutos está a 100 °𝐶. Suponiendo
que la temperatura ambiente está a 27 °𝐶,
a) Formule y resuelva la ecuación diferencial planteada mediante la
Transformada de Laplace, determinando la función que nos proporciona la
temperatura del metal en cada instante 𝑡. Haciendo uso de un graficador
analiza e interpreta el comportamiento de la temperatura en función del
tiempo.
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b) Determine la temperatura del metal a los 6 minutos.
c) Para un tiempo demasiado largo a que valor tiende la temperatura del metal.
(4 puntos)
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2. Considerar una masa de 3 kg y un resorte con una constante de estiramiento k=10
N/m. Al inicio la masa se libera desde el reposo en la posición de equilibrio. Una
fuerza externa 𝑓(𝑡) actúa sobre la masa, siendo la fuerza:
𝑓(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑡).
a) Modelar la ecuación del movimiento en ausencia de amortiguamiento (esto
es, plantear el problema de valor inicial).
b) Modelar la ecuación del movimiento en presencia de una fuerza de
amortiguamiento numéricamente igual a la velocidad instantánea
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c) Use la Transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial hallada
en el ítem a) y b).
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d) Luego realice una comparación de las ecuaciones obtenidas como respuesta
graficándolas. (Sugerencia: hacer uso del graficador DESMOS).
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3. En un circuito RLC, adjunto:
Se tiene que 𝐿 = 3𝐻, 𝑅 = 20 Ω, 𝐶 = 0.04 𝐹 y 𝐸(𝑡) = cos(2𝑡). Inicialmente el capacitor
tiene una carga de 5 coulombs y no circula corriente sobre el circuito.
Usando Transformada de Laplace:
a) Determinar 𝑞(𝑡) (donde 𝑞 está en coulombs y 𝑡 en segundos).
b) Grafica el comportamiento de la carga en función de tiempo e interpreta
c) Hallar la cantidad de carga 𝑞 a los 100 segundos.
(4 puntos)
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b. Grafica el comportamiento de la carga en función de tiempo e interpreta
Gráfico de la carga en función del tiempo – Symbolab
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Gráfico de la carga en función del tiempo – Geogebra
Se observaque la carga inicial para t=0 es 5 C , pero a medida que pasa el tiempo va a tender a cero.
c) Hallar la cantidad de carga 𝒒 a los 100 segundos.
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4. Dos tanques, cada uno de 2000 litros de líquido, se encuentran interconectados
por dos tubos. El líquido fluye del tanque A hacia el tanque B a razón de 4 𝑙/𝑚𝑖𝑛.
Los contenidos de cada tanque se mantienen continuamente bien agitados. Una
salmuera con concentraciónde 3 𝑘𝑔/𝑙 de sal fluye hacia el tanque A a razón de
3 𝑙/𝑚𝑖𝑛. Asu vez,ellíquidodel tanque B fluyehacia A a razón de 1 𝑙/𝑚𝑖𝑛, y al exterior
a razón de 3 𝑙/𝑚𝑖𝑛. Si el tanque A contiene inicialmente 50 𝑘𝑔 de sal y el tanque B
contiene 100 𝑘𝑔.
Se pide:
a) Construir un modelo matemático (sistema de ecuaciones diferenciales), para la
cantidad de libras de sal 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) presente en el tiempo 𝑡 en los tanques A y B,
respectivamente.
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5. Teorema de convolución
¿Cuál es la importancia del teorema de convolución?
Es muy importante en la solución las ecuaciones diferenciales, ya que evita los
cálculos de ecuaciones complejas como la de fracciones parciales.
¿Cómo se expresa?
¿Es verdad que L-1{F(s)G(s)} = f (t)g(t)? Explique
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A. Determine la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones
usando el teorema de convolución:
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B. Proponer una ecuación diferencial y resolverla aplicando el Teorema de
convolución en el cálculo de la transformada inversa para determinar la
solución de la ecuación diferencial. (Indicar la referencia de texto: título, autor,
año, edición y número de página o indicar la dirección electrónica).
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CAPITULO7 PAGINA 322 EJERCICIO43 , LIBRO DENNISGOZILL ECUACIONESDIFERENCIALESCON
APLICACIONESDEMODELADO.
http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jdf/EDO/Cap_7_Zill_Laplace.pdf
