Uvodna prezentacija cjeline "Geometrija prostora" 2. razreda gimnazije

1. Točke, pravci i ravnine

2. 2
Sadržaj
 Aksiomi geometrije prostora
 Određenost pravca i ravnine
 Položaj pravaca u ravnini
 Položaj pravaca u prostoru
 Položaj pravca i ravnine u prostoru
 Položaj dviju ravnina u prostoru
 Položaj triju ravnina u prostoru

3. 3
 U izgradnji matematičkog opisa svijeta postoje
pojmovi koji se ne mogu definirati pomoću
jednostavnijih – njih smatramo poznatima
samima po sebi.
 Umjesto pokušaja njihova definiranja dovoljno je
popisati njihova osnovna svojstva aksiomima jer
o tim pojmovima i njihovim osnovnim svojstvima
postoji jasan geometrijski zor.

4. 4
U takve osnovne pojmove ubrajamo geometrijske
elemente:
Točke označavamo velikim slovima abecede: A, B, C, …;
pravce malim slovima: a, b, c, … ;
ravnine malim slovima grčkog alfabeta: , ,  …
A
p

točku pravac ravninu

5. 5
Aksiomi
 Najjednostavnija, elementarna svojstva
koja se sama ne mogu dokazati, već se
počevši od njih izvode sva ostala,
nazivamo aksiomima.
 Aksiomi su tvrdnje koje se ne dokazuju,
već se u okviru neke teorije drže
ispravnima.

6. 6
Aksiomi geometrije prostora
A1) Kroz dvije različite točke prolazi točno
jedan pravac.
p
A
B
AB = p

7. 7
A2) Kroz tri točke koje ne leže na jednom
pravcu prolazi točno jedna ravnina.
A
B
C

ABC = 

8. 8
A3) Pravac koji prolazi kroz dvije različite
točke ravnine leži u toj ravnini.

p
A
B
p  

9. 9
A4) Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku
točku, onda se sijeku po pravcu.
A


p
   = p

10. 10
A5) Kroz svaku točku može se povući točno
jedna paralela sa zadanim pravcem.
p
T
q
p || q

11. 11
Osnovni aksiomi geometrije prostora
glase:
(A1) Kroz dvije različite točke prolazi točno jedan pravac.
(A2) Kroz tri točke koje ne leže na jednom pravcu prolazi
točno jedna ravnina.
(A3) Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke ravnine
leži u toj ravnini.
(A4) Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku,
onda se sijeku po pravcu.
(A5) Kroz svaku točku može se povući točno jedna paralela
sa zadanim pravcem.

12. 12
Zadatak: Koristeći aksiome geometrije prostora
odgovori na postavljena pitanja.
1. Ako se dva pravca sijeku u dvije točke, tada su oni:
a) paralelni
b) okomiti
c) podudaraju se
d) ništa od navedenog nije točno.
2. Dvije ravnine prostora mogu se sjeći:
a) u jednoj točki
b) u dvije točke
c) po pravcu
d) ne moraju se sjeći.

13. 13
Zadatak: Koristeći aksiome geometrije prostora
odgovori na postavljena pitanja.
1. Ako se dva pravca sijeku u dvije točke, tada su oni:
a) paralelni
b) okomiti
c) podudaraju se
d) ništa od navedenog nije točno.
(A1)
2. Dvije ravnine prostora mogu se sjeći:
a) u jednoj točki
b) u dvije točke
c) po pravcu
d) ne moraju se sjeći.
(A4)

14. 14
3. Je li neka od sljedećih dviju tvrdnji istinita:
a) Kroz zadanu točku A i bilo koju točku zadanog
pravca p može se postaviti samo jedan pravac.
b) Neka je H sjecište visina trokuta ABC. Kroz točke A i
H može se postaviti samo jedan pravac.

15. 15
3. Je li neka od sljedećih dviju tvrdnji istinita:
a) Kroz zadanu točku A i bilo koju točku zadanog
pravca p može se postaviti samo jedan pravac.
b) Neka je H sjecište visina trokuta ABC. Kroz točke A i
H može se postaviti samo jedan pravac.
a) Točno, zbog (A1), ali takvih pravaca koji prolaze točkom A i
sijeku pravac p ima beskonačno mnogo zbog “bilo koja točka”
b) Točno, zbog (A1) jer se visine trokuta sijeku u samo jednoj točki

16. 16
Po aksiomu (A1), sa dvije različite točke A i B potpuno je
određen jedan pravac p koji ih sadrži – kažemo da točke
A i B leže na pravcu p ili da pravac p prolazi zadanim
točkama A i B .
A
B
B
A
p p
točke leže na pravcu pravac prolazi kroz točke
ODREĐENOST PRAVCA

17. 17
Definicija:
Tri točke (ili više točaka) su kolinearne ako
leže na istom pravcu .
Tri točke (ili više točaka) su nekolinearne
ako ne postoji pravac koji ih sadrži.
B
C
A
p
C
B
A
kolinearne točke nekolinearne točke

18. 18
ODREĐENOST RAVNINE
Kažemo da je ravnina zadana ili određena
nekim elementima (točkama, pravcima)
ako ih ona sadrži i ako je to jedina ravnina
s tim svojstvom.
(Često kažemo: ravnina je jednoznačno
određena zadanim elementima.)

19. 19
Definicija:
Ako neke točke leže u istoj ravnini, za njih
kažemo da su komplanarne točke . Ako ne
postoji ravnina koja ih sadrži, onda kažemo
da su zadane točke nekomplanarne .
C
B
A
C
A
B
komplanarne točke nekomplanarne točke

20. 20
Ravnina je
jednoznačno
određena s:
tri točke koje ne leže
na istom pravcu
pravcem i točkom koja
ne leži na njemu
dva pravca
koja se sijeku
dva paralelna pravca koji
se ne podudaraju

21. 21
Uočimo da u svakom od navedenih slučajeva možemo
istaknuti barem tri nekolinearne točke koje prema aksiomu
(A2) onda jednoznačno određuju ravninu.

22. 22
Zadaci:
1. Koliko različitih ravnina možemo postaviti kroz:
a) dvije različite točke,
b) tri različite točke,
c) četiri različite točke od kojih nikoje tri nisu kolinearne?
2. Odredi najveći broj točaka u prostoru koje su
uvijek komplanarne.
3. Koliko je različitih ravnina određeno s pet točaka
od kojih nikoje četiri nisu komplanarne?

23. 23
Zadaci:
1. Koliko različitih ravnina možemo postaviti kroz:
a) dvije različite točke,
b) tri različite točke,
c) četiri različite točke od kojih nikoje tri nisu kolinearne?
2. Odredi najveći broj točaka u prostoru koje su
uvijek komplanarne.
3. Koliko je različitih ravnina određeno s pet točaka
od kojih nikoje četiri nisu komplanarne?
(beskonačno mnogo, zbog A1 i A4)
(točno jednu ako su nekolinearne, zbog A2
ili beskonačno mnogo ako su kolinearne)
4 ravnine: (određene pravcem zadanim s 2 točke i trećom nekolinearnom točkom)
točke:A,B,C,D ABC, ABD, ACD, BCD
(dvije točke, zbog A1 i A3)
10 ravnina:
točke:A,B,C,D,E ABC ABD ABE ACD ACE ADE
BCD BCE BDE
CDE

24. 24
POLOŽAJ PRAVACA U RAVNINI
a) ukršteni pravci
b) pravci se podudaraju
c) pravci se ne sijeku
1) p|| q
2) p q=A
3) p= q
p
q
p
p
q
q
A
Zadatak: Svakom crtežu pridruži
odgovarajuće izraze:

25. 25
Definicija:
Za dva pravca p i q koja leže u istoj ravnini
kažemo da su paralelni pravci ako se
podudaraju ili se ne sijeku (pišemo: p||q).
Zaključak:
Dva su pravca u ravnini ili paralelna ili se sijeku u
jednoj točki.
Pritom paralelnost uključuje i slučaj istovjetnih
pravaca.

26. 26
POLOŽAJ PRAVACA U PROSTORU
Dva pravca u prostoru mogu biti u jednom
od sljedeća dva položaja:
1. pravci leže u istoj ravnini,
2. pravci ne leže u istoj ravnini.

27. 27
1. pravci leže u istoj ravnini
p
q
p
q
p
q
Definicija:
Dva su pravca paralelna
ako leže u istoj ravnini i
ne sijeku se.

28. 28
2. pravci ne leže u istoj ravnini
p
q

Definicija:
Dva su pravca mimoilazna
ako ne leže u istoj ravnini.
Korisno je poznavati jednostavan
kriterij mimoilaznosti, koji kaže:
ako jedan pravac leži u ravnini, a
drugi pravac probada tu ravninu u
točki koja ne pripada tom pravcu,
onda su ta dva pravca mimoilazna.

29. 29
Zaključak:
Dva pravca u prostoru mogu biti u jednom
od dva položaja:
1. Pravci leže u istoj ravnini.
2. Pravci su mimoilazni.

30. 30
Zadaci:
1. Ako su pravci a i b mimoilazni, te b i c mimoilazni,
jesu li nužno i pravci a i c mimoilazni?
3. Zadan je tetraedar ABCD. Moraju li
uvijek pravci AB i CD biti mimoilazni?
D
C
BA
2. Kakav može biti međusoban položaj dvaju
pravaca od kojih svaki leži u jednoj od dviju
paralelnih ravnina?

31. 31
Zadaci:
1. Ako su pravci a i b mimoilazni, te b i c mimoilazni,
jesu li nužno i pravci a i c mimoilazni?
3. Zadan je tetraedar ABCD. Moraju li
uvijek pravci AB i CD biti mimoilazni?
D
C
BA
2. Kakav može biti međusoban položaj dvaju
pravaca od kojih svaki leži u jednoj od dviju
paralelnih ravnina?
(Ne, ne vrijedi svojstvo tranzitivnosti)
(paralelni i mimoilazni)
(da, jer točka D ne leži u ravnini ABC, a točke A,B i C su nekolinearne)

32. 32
POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE U PROSTORU
Pravac p i ravnina  mogu se u prostoru nalaziti u tri
različita položaja:
1. pravac leži u ravnini

p
p  

33. 33
2. pravac i ravnina se sijeku, pri čemu pravac ne leži u
ravnini ( p   = A )
A
p

- točka A naziva se sjecište ili
probodište pravca i ravnine
p   = A

34. 34
3. pravac i ravnina nemaju zajedničkih točaka (p||)
- kažemo da je pravac p paralelan s ravninom 
p

p || 

35. 35
Zaključak:
Pravac i ravnina u prostoru ili su paralelni ili
se sijeku u jednoj točki.
Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad
pravac leži u ravnini.

36. 36
Zadaci:
1. U koliko točaka se sijeku pravac i ravnina u
svakom od navedena tri slučaja?
2. Zadana je ravnina  i paralelogram ABCD.
Može li ovoj ravnini pripadati:
 točno jedan vrh paralelograma;
 točno dva vrha;
 točno tri vrha paralelograma?

37. 37
Zadaci:
1. U koliko točaka se sijeku pravac i ravnina u
svakom od navedena tri slučaja?
2. Zadana je ravnina  i paralelogram ABCD.
Može li ovoj ravnini pripadati:
 točno jedan vrh paralelograma;
 točno dva vrha;
 točno tri vrha paralelograma?
(, 1 i 0)
DA
NE – može cijela stranica paralelograma određena s ta dva vrha
NE – zbog komplanarnosti 4 točke

38. 38
POLOŽAJ DVIJU RAVNINA U PROSTORU
Dvije ravnine se u prostoru mogu naći u
jednom od sljedeća tri položaja:
1. ravnine se podudaraju,
2. ravnine se sijeku,
3. ravnine se ne sijeku.

39. 39
1
2
1
2
p
1
2
U koliko se najmanje točaka
prema osnovnim aksiomima
geometrije prostora moraju
sjeći zadane ravnine da bi
nastupio svaki od navedenih
slučajeva?
U koliko točaka se sijeku
ravnine u svakom od
navedenih slučajeva?

40. 40
Zaključak:
Dvije ravnine prostora mogu biti ili paralelne
ili je njihov presjek pravac.
Pritom paralelnost uključuje slučaj kad su
ravnine istovjetne, u protivnom se ravnine
sijeku po pravcu.
Definicija:
Za dvije ravnine  i  kažemo da su
paralelne ravnine ako se podudaraju ili se
ne sijeku (pišemo: ||).

41. 41
POLOŽAJ TRIJU RAVNINA U PROSTORU
Tri različite ravnine u prostoru mogu biti u jednom
od sljedećih položaja:
1. sve tri ravnine su paralelne,
2. ravnine se sijeku duž jednog pravca,
3. po dvije ravnine sijeku se u tri paralelna pravca,
4. dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe duž dva
paralelna pravca,
5. ravnine se sijeku u jednoj točki.

42. 42
Domaća zadaća:
Zadaci 6.1. (strana 83.):
5.1)
6.1)
7.1)
12.
(pogledajte i Zadatak 1. i 2. na str. 73. i 74. kao i
točno-netočno pitalice i … pripremite se za kratku
provjeru znanja)