2. 2
Sadržaj
Aksiomi geometrije prostora
Položaj pravaca u ravnini
Položaj pravca i ravnine u prostoru
Položaj pravaca u prostoru
Određenost ravnine
Položaj dviju ravnina u prostoru
Položaj triju ravnina u prostoru
3. 3
U izgradnji matematičkog opisa svijeta postoje
pojmovi koji se ne mogu definirati pomoću
jednostavnijih – njih smatramo poznatima
samima po sebi.
Umjesto pokušaja njihova definiranja dovoljno je
popisati njihova osnovna svojstva aksiomima jer
o tim pojmovima i njihovim osnovnim svojstvima
postoji jasan geometrijski zor.
4. 4
U takve pojmove osnovne pojmove ubrajamo
geometrijske elemente:
Točke označavamo velikim slovima latiničke abecede: A,
B, C, …; pravce malim slovima: a, b, c, … ; a
ravnine malim slovima grčkog alfabeta: , , …
A
p
točku pravac ravninu
5. 5
Aksiomi
Najjednostavnija, elementarna svojstva
koja se sama ne mogu dokazati, već se
počevši od njih izvode sva ostala,
nazivamo aksiomima.
Aksiomi su tvrdnje koje se ne dokazuju,
već se u okviru neke teorije drže
ispravnima.
7. 7
A2) Kroz tri točke koje ne leže na jednom
pravcu prolazi točno jedna ravnina.
A
B
C
ABC =
8. 8
A3) Pravac koji prolazi kroz dvije različite
točke ravnine leži u toj ravnini.
p
A
B
p
9. 9
A4) Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku
točku, onda se sijeku po pravcu.
A
p
= p
10. 10
A5) Kroz svaku točku može se povući točno
jedna paralela sa zadanim pravcem.
p
T
q
p || q
11. 11
Osnovni aksiomi geometrije prostora
glase:
(A1) Kroz dvije različite točke prolazi točno jedan pravac.
(A2) Kroz tri točke koje ne leže na jednom pravcu prolazi
točno jedna ravnina.
(A3) Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke ravnine
leži u toj ravnini.
(A4) Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku,
onda se sijeku po pravcu.
(A5) Kroz svaku točku može se povući točno jedna paralela
sa zadanim pravcem.
12. 12
Zadatak: Koristeći aksiome geometrije prostora
odgovori na postavljena pitanja.
1. Ako se dva pravca sijeku u dvije točke, tada su oni:
a) paralelni
b) okomiti
c) podudaraju se
d) ništa od navedenog nije točno.
2. Dvije ravnine prostora mogu se sjeći:
a) u jednoj točki
b) u dvije točke
c) po pravcu
d) ne moraju se sjeći.
13. 13
3. Je li neka od sljedećih dviju tvrdnji istinita:
a) Kroz zadanu točku A i bio koju točku zadanog
pravca p može se postaviti samo jedan pravac.
b) Neka je H sjecište visina trokuta ABC. Kroz točke A i
H može se postaviti samo jedan pravac.
14. 14
POLOŽAJ PRAVACA U RAVNINI
a) ukršteni pravci
b) pravci se podudaraju
c) paralelni pravci
1) p|| q
2) p q=A
3) p= q
p
q
p
p
q
q
A
Zadatak: Svakom crtežu pridruži
odgovarajuće izraze:
15. 15
Definicija:
Za dva pravca p i q koja leže u istoj ravnini
kažemo da su paralelni pravci ako se
podudaraju ili se ne sijeku (pišemo: p||q).
Zaključak:
Dva su pravca u ravnini ili paralelna ili se sijeku u
jednoj točki.
Pritom paralelnost uključuje i slučaj istovjetnih
pravaca.
16. 16
Po aksiomu (A1), sa dvije različite točke A i B potpuno je
određen jedan pravac p koji ih sadrži – kažemo da točke
A i B leže na pravcu p ili da pravac p prolazi zadanim
točkama A i B .
A
B
B
A
p p
točke leže na pravcu pravac prolazi kroz točke
17. 17
Definicija:
Tri točke (ili više točaka) su kolinearne ako
leže na istom pravcu .
Tri točke (ili više točaka) su nekolinearne
ako ne postoji pravac koji ih sadrži.
B
C
A
p
C
B
A
kolinearne točke nekolinearne točke
18. 18
POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE U PROSTORU
Pravac p i ravnina mogu se u prostoru nalaziti u tri
različita položaja:
1. pravac leži u ravnini
p
p
19. 19
2. pravac i ravnina se sijeku, pri čemu pravac ne leži u
ravnini ( p = A )
A
p
- točka A naziva se sjecište ili
probodište pravca i ravnine
p = A
20. 20
3. pravac i ravnina nemaju zajedničkih točaka (p||)
- kažemo da je pravac p paralelan s ravninom
p
p ||
21. 21
Zaključak:
Pravac i ravnina u prostoru ili su paralelni ili
se sijeku u jednoj točki.
Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad
pravac leži u ravnini.
22. 22
Zadaci:
1. U koliko točaka se sijeku pravac i ravnina u
svakom od navedena tri slučaja?
2. Zadana je ravnina i paralelogram ABCD.
Može li ovoj ravnini pripadati:
točno jedan vrh paralelograma;
točno dva vrha;
točno tri vrha paralelograma?
23. 23
POLOŽAJ PRAVACA U PROSTORU
Dva pravca u prostoru mogu biti u jednom
od sljedeća dva položaja:
1. pravci leže u istoj ravnini,
2. pravci ne leže u istoj ravnini.
24. 24
1. pravci leže u istoj ravnini
p
q
p
q
p
q
Definicija:
Dva su pravca paralelna
ako leže u istoj ravnini i
ne sijeku se.
25. 25
2. pravci ne leže u istoj ravnini
p
q
Definicija:
Dva su pravca mimoilazna
ako ne leže u istoj ravnini.
Korisno je poznavati jednostavan
kriterij mimoilaznosti, koji kaže:
ako jedan pravac leži u ravnini, a
drugi pravac probada tu ravninu u
točki koja ne pripada tom pravcu,
onda su ta dva pravca mimoilazna.
26. 26
Zaključak:
Dva pravca u prostoru mogu biti u jednom
od dva položaja:
1. Pravci leže u istoj ravnini.
2. Pravci su mimoilazni.
27. 27
Zadaci:
1. Ako su pravci a i b mimoilazni, te b i c mimoilazni,
jesu li nužno i pravci a i c mimoilazni?
3. Zadan je tetraedar
ABCD. Moraju li
uvijek pravci AB i
CD biti mimoilazni?
D
C
B
A
2. Kakav može biti međusoban položaj dvaju
pravaca od kojih svaki leži u jednoj od dviju
paralelnih ravnina?
28. 28
ODREĐENOST RAVNINE
Kažemo da je ravnina zadana ili određena
nekim elementima (točkama, pravcima)
ako ih ona sadrži i ako je to jedina ravnina
s tim svojstvom.
(Često kažemo: ravnina je jednoznačno
određena zadanim elementima.)
29. 29
Ravnina je
jednoznačno
određena s:
tri točke koje ne leže
na istom pravcu
pravcem i točkom koja
ne leži na njemu
dva pravca
koja se sijeku
dva paralelna pravca koji
se ne podudaraju
30. 30
Uočimo da u svakom od navedenih slučajeva možemo
istaknuti barem tri nekolinearne točke koje prema aksiomu
(A2) onda jednoznačno određuju ravninu.
31. 31
Definicija:
Ako neke točke leže u istoj ravnini, za njih
kažemo da su komplanarne točke . Ako ne
postoji ravnina koja ih sadrži, onda kažemo
da su zadane točke nekomplanarne .
C
B
A
C
A
B
komplanarne točke nekomplanarne točke
32. 32
Zadaci:
1. Koliko različitih ravnina možemo postaviti kroz:
a) dvije različite točke,
b) tri različite točke,
c) četiri različite točke od kojih nikoje tri nisu
kolinearne?
2. Odredi najveći broj točaka u prostoru koje su
uvijek komplanarne.
3. Koliko je različitih ravnina određeno s pet
točaka od kojih nikoje četiri nisu komplanarne?
33. 33
POLOŽAJ DVIJU RAVNINA U PROSTORU
Dvije ravnine se u prostoru mogu naći u
jednom od sljedeća tri položaja:
1. ravnine se podudaraju,
2. ravnine se sijeku,
3. ravnine se ne sijeku.
34. 34
1
2
1
2
p
1
2
U koliko se najmanje točaka
prema osnovnim aksiomima
geometrije prostora moraju
sjeći zadane ravnine da bi
nastupio svaki od navedenih
slučajeva?
U koliko točaka se sijeku
ravnine u svakom od
navedenih slučajeva?
35. 35
Zaključak:
Dvije ravnine prostora mogu biti ili paralelne
ili je njihov presjek pravac.
Pritom paralelnost uključuje slučaj kad su
ravnine istovjetne.
Definicija:
Za dvije ravnine i kažemo da su
paralelne ravnine ako se podudaraju ili se
ne sijeku (pišemo: ||).
36. 36
POLOŽAJ TRIJU RAVNINA U PROSTORU
Tri različite ravnine u prostoru mogu biti u jednom
od sljedećih položaja:
1. sve tri ravnine su paralelne,
2. ravnine se sijeku duž jednog pravca,
3. po dvije ravnine sijeku se u tri paralelna pravca,
4. dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe duž dva
paralelna pravca,
5. ravnine se sijeku u jednoj točki.
37. 37
Zadatak:
1. Dvije ravnine koje se sijeku presječene su
trećom ravninom. Mogu li dobivena dva pravca
biti paralelna?
