Напряженное и деформированное состояние в точке

1. Напряженное и деформированное состояние в точке
Основные понятия и определения
y σy Тензор напряжений
τ
τ yz yx
y
τ xy σ x τ xy τ xz 
σx  
τ zy
σz
τ zx
τ xz
(σ ) = τ yx σ y τ yz 
A τ τ zy σ z 
 zx 
x x
z
z
Индексы при напряжениях проставляются по следующему правилу первый
индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия
рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси
параллельно данное напряжение.
Нормальное растягивающее напряжение, положительно, нормальное
сжимающее напряжение отрицательно.
Касательное напряжение положительно, если обозначающий его вектор
пытается вращать выделенный объем относительно любой точки на
внутренней нормали по ходу часовой стрелки

2. Основные понятия и определения
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются
главными площадкам
Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются
главными напряжениями..
Направления параллельные главным напряжениям называются главными
направлениями
Главные напряжения принято обозначать σ1,σ2 и σ3, при этом индексы
расставляются лишь после того, как эти напряжения вычислены, так чтобы
выполнялись алгебраические неравенства
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
Для данной точки тела σ1 – наибольшее, а σ3 – наименьшее, в алгебраическом
смысле, нормальное напряжение. Напряжение σ2 - это промежуточное главное
напряжение
При обработке результатов эксперимента были получены следующие
значения главных напряжений: -500 МПа, 300 МПа и –600 МПа. Выберем
обозначения для вычисленных напряжений.
300 ≥ −500 ≥ −600
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3

3. Виды напряженного состояния
Вид напряженного состояния зависит от числа главных напряжений.
Если на элемент действуют три главных напряжения (σ1≠0; σ2≠0;σ3≠0),
объемным напряженное состояние.
Если на элемент действуют два главных напряжения (σ1≠0; σ2≠0;σ3=0 или
σ1≠0; σ2=0;σ3 ≠ 0 или σ1=0; σ2≠0;σ3 ≠0 ), то такое напряженное состояние
называется плоским.
Если на объем действует одно главное напряжение (σ1≠0; σ2=0;σ3=0 или
σ1=0; σ2=0;σ3 ≠ 0) то такое напряженное состояние называется линейным
Объемное НС Плоское НС Линейное НС
σ1 σ1
σ1
σ3
σ2 σ2
σ2 σ2
σ3
σ1 σ1
σ1
Тензор напряжений
σ 1 0 0  0 0 0  0 0 0 
     
(σ ) =  0 σ 2 0  (σ ) =  0 σ 1 0  (σ ) =  0 0 0 
0 0 σ  0 0 σ2  0 0 σ 
 3    1

4. Линейное напряженное состояние
Линейным называется напряженное состояние при котором действует
только одно главное напряжение
σ1
Растяжение Сжатие nα
α
σ1 σ1
σ3
σα τα
σ3
σ1
σ1
σ1
σ α = σ1 ⋅ cos α2
и τα = ⋅ sin 2α при растяжении
2
σ3
σ α = σ 3 ⋅ cos 2 α и τα = ⋅ sin 2α при сжатии
2

5. Плоское напряженное состояние
Плоским, называется напряженное состояние при котором на грани
выделенного элемента действуют два главных напряжения
Нормальные напряжения в наклонной площадке
σ β = σ1 ⋅ sin 2 α +σ 2 ⋅ cos 2 α σα = σ1 ⋅ cos 2 α +σ2 ⋅ sin 2 α
Касательные напряжения в наклонной площадке
σ1 −σ 2 σ1 −σ 2
τα = ⋅ sin 2α и τβ = − ⋅ sin 2α
2 2
Разноименное плоское
Двухосное растяжение напряженное состояние Двухосное сжатие
σ1 σ
σ1 3 σ3
σ2 σ2
σ2 σ2
σ3 σ3
σ1
σ1

6. Закон постоянства суммы нормальных напряжений
σ α = σ1 ⋅ cos 2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α σ β = σ1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α
σ α + σ β = (σ 1 ⋅ cos 2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α ) + (σ 1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α ) = σ 1 + σ 2
На двух взаимно перпендикулярных площадках сумма нормальных
напряжений величина постоянная, которая не зависит от положения
выбранных площадок.
dσ α
= −2σ 1 cos α sin α + 2σ 2 sin α cos α = −(σ 1 − σ 2 ) sin 2α = 0
dα
σα = σ β = σ1 = σ 2 ; τ α = τ β = 0;
Главные напряжения являются экстремальными значениями
нормальных напряжений для выбранной точки.
σ α макс = σ 1 ; σ α минимум = σ 2

7. Закон парности касательных напряжений
σ1 − σ 2 σ1 − σ 2
τα = ⋅ sin 2α и τβ = − ⋅ sin 2α
2 2
τ =− β
α τ
Если по какой-либо площадке действует касательное напряжение,
то по перпендикулярной к ней площадке непременно будет
действовать касательное напряжение равное ему по величине и
противоположное по знаку.
Максимальные касательные напряжения действуют по площадкам,
расположенным под углом в 450 к главным площадкам
σ1 −σ 2
τ α макс =
2

8. Плоское напряженное состояние (обратная задача)
σα +σβ
σ1 = +
1
(σα −σβ ) 2
+ 4τα ;
2
2 2
σα +σβ 1
σ2 = − (σα −σβ ) 2
+ 4τα
2
2 2
τα
tgα 0 = −
σ1 − σ β

9. Объемное напряженное состояние
Когда ни одно из главных напряжений не равно нулю, то такое напряженное
состояние называется объемным.
σ =σ cos 2 α +σ2 cos 2 α +σ3 cos 2 α ;
α 1 1 2 3
τα = σ2 cos 2 α +σ2 cos 2 α +σ3 cos 2 α −σ2
1 1
2
2
2
3 α
На площадках параллельных одному из
σ2 главных напряжений величины действующих
напряжений не зависят от величины этого
II σ3
главного напряжения.
III
Наибольшее касательное напряжение будет
действовать на площадке параллельной
σ1 σ1
главному напряжению σ2 и наклоненной под
углом в 450 к двум другим главным
напряжениям σ1 и σ3.
σ3 I
σ1 − σ 3
σ2
τ макс =
2

10. Обобщенный закон Гука
1 
ε1 = [σ −µ σ2 +σ3 )]; 
1 (
Е

1 
ε2 = [σ2 −µ σ +σ3 )];
( 1
Е 
1 
ε3 = [σ3 −µ σ +σ2 )] 
( 1
Е 
Тензор деформаций
 ε1 0 0  εx γ xy γ xz 
   
(ε ) =  0 ε2 0 ( ε ) =  γ yx εy γ yz 
0 0 γ 
 ε3 
  zx γ zy εz 

11. Потенциальная энергия деформации
Удельная потенциальная энергия
Удельная потенциальная Удельная потенциальная
энергия изменения энергия изменения
объема формы
u=
1
2E
[
σ12 + σ 2 + σ 3 − 2 µ(σ1σ 2 + σ 2σ 3 + σ1σ 3 )
2 2
]
1+ µ 2
uф =
3Е
( 2
)
σ 1 + σ 2 + σ 32 − σ 1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 3σ 1 =
1 − 2µ 2
uV =
6E
(
σ 1 + σ 22 + σ 32 ) =
1+ µ
[ ]
(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2
6Е