Curs 1: Grafuri; Introducere
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Curs 1: Grafuri; Introducere

on

  • 696 views

 

Statistics

Views

Total Views
696
Views on SlideShare
696
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
18
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

CC Attribution-NonCommercial-ShareAlike LicenseCC Attribution-NonCommercial-ShareAlike LicenseCC Attribution-NonCommercial-ShareAlike License

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Curs 1: Grafuri; Introducere Presentation Transcript

  • 1. Curs 1: Grafuri; Introducere Teoria grafurilor Radu Dumbr˘veanu a Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti a, Facultatea de Stiinte Reale , , Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a a ¸ ¸ Distribuire-ˆ ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0) ¸ a B˘lti, 2013 a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 1 / 42
  • 2. Graf; Vˆ ırfuri; Muchii Definitie , Un graf este o pereche G = (V , E) de multimi unde E este o multime de , , perechi neordonate de elemente din V . Elementele multimii V se numesc vˆ ırfurile grafului G; elementele multimii , , E se numesc muchiile grafului G. Dac˘ e = {u, v} este o muchie a grafului atunci spunem c˘ e este a a incident˘ cu vˆ a ırfurile u si v; iar u si v sˆ adiacente (sau vecine). ınt , , Vˆ ırfurile cu care o muchie este incident˘ se numesc extremit˘tile acesteia. a a, R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 2 / 42
  • 3. Reprezentarea grafic˘ a v x u z y G = ({u, v, x, y, z}, {{u, v}, {u, x}, {u, y}, {u, z}}) R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 3 / 42
  • 4. Reprezentarea grafic˘ a v x u z y H = (V , E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, yz, zv} R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 4 / 42
  • 5. Graf vid; Graf trivial; Graf nul Graful (∅, ∅) se noteaz˘ simplu prin ∅ si se numeste graful vid. a , , Graful f˘r˘ vˆ a a ırfuri sau doar cu 1 vˆ se numeste graf trivial. ırf , Graful cu 0 muchii se numeste graf nul si se noteaz˘ Nn unde n ∈ N este a , num˘rul de vˆ a ırfuri. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 5 / 42
  • 6. Num˘rul de vˆ a ırfuri; Num˘rul de muchii a Num˘rul de vˆ a ırfuri ale unui graf G se numeste ordinul grafului G; se , noteaz˘ |G|. a Num˘rul de muchii ale unui graf G se noteaz˘ ||G||. a a Dac˘ |G| = n si ||G|| = m, atunci spunem c˘ avem un (n, m)-graf. a a , Pentru a indica faptul c˘ un graf are ordinul n se poate folosi expresia: a “graf pe n vˆ ırfuri”. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 6 / 42
  • 7. Multimea vˆ ırfurilor; Multimea muchiilor , , Fiind dat un graf G putem folosi notatia V (G) pentru a ne referi la , multimea de vˆ ırfuri si E(G) a ne referi la multimea de muchii. , , , De exemplu: Dac˘ G = ({a, b, c}, {ab, ac}) atunci V (G) = {a, b, c}, a iar E(G) = {ab, ac}; De exemplu: V (∅) = ∅ si E(∅) = ∅. , Pentru a indica faptul c˘ un graf are multimea vˆ a ırfurilor V se poate folosi , expresia: “graf pe V ”. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 7 / 42
  • 8. Multigraf u v z R. Dumbr˘veanu (USARB) a x y Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 8 / 42
  • 9. Multigraf Definitie , Un multigraf este o un triplet G = (V , E, f ) care const˘ din dou˘ a a multimi disjuncte V , E si o functie de incident˘ f : E → V ∪ [V ]2 . , , , ,a Prin [V ]2 am notat multimea tuturor perechilor neordonate de elemente , din V . Multimile V si E sˆ multimile de vˆ ınt ırfuri si muchii; , , , Functia f pune ˆ corespondent˘ fiec˘rei muchii capetele acesteia; ın a , ,a Muchiile e1 , e2 , ..., en pentru care f (e1 ) = ... = f (en ) se numesc muchii multiple (sau paralele); Iar muchiile pentru care f este un doar un vˆ f (e) = {v} se numesc ırf, bucle. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 9 / 42
  • 10. Multigraf Definitie , Un graf este o pereche G = (X , Γ) format˘ de multimea X si aplicatia a , , , Γ : X → X. Definitie , Un graf este o pereche G = (X , U ); unde X este multimea vˆ ırfurilor, iar , U ⊆ X × X multimea arcelor. , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 10 / 42
  • 11. Grafuri izomorfe Definitie , Dou˘ grafuri G si H sˆ izomorfe dac˘ exist˘ o bijectie a ınt a a , , f : V (G) → V (H ) cu proprietatea c˘ dou˘ vˆ a a ırfuri u si v sˆ adiacente ˆ ınt ın , G dac˘ si numai dac˘ f (u) si f (v) sˆ adiacente ˆ H pentru orice u si v a , a ınt ın , , din V (G). Pentru grafurile izmorfe se utilizeaz˘ notatia G ∼ H . a , O asemenea functie f se numeste izomorfism dac˘ G = H si a , , , automorfism ˆ caz contrar. ın Din punct de vedere vizual, grafurile G si H sˆ izomorfe dac˘ pot fi ınt a , aranjate astfel ˆ ıt ˆ atisarea lor s˘ fie identic˘ (desigur, f˘r˘ a schimba ıncˆ ınf˘ , , a a aa adiacenta). , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 11 / 42
  • 12. Grafuri izomorfe e u v z d y c a x b Grafuri izomorfe u v x y z b a c d e Tabela: Corespondentele , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 12 / 42
  • 13. Grade [ale vˆ ırfurilor] Gradul (sau valenta) unui vˆ v este num˘rul muchiilor incidente cu v si ırf a , , se noteaza cu d(v). Pentru un orice graf G not˘m δ(G) = min{d(v) : v ∈ V (G)} si a , ∆(G) = max{d(v) : v ∈ V (G)}. Dac˘ δ(G) = ∆(G) atunci graful G se numeste regulat. a , Dac˘ δ(G) = ∆(G) = k atunci graful G se numeste k-regulat. a , k 0 2 3 Denumire graf nul graf bivalent graf cubic (sau graf trivalent) Tabela: Grafuri k-regulate remarcabile R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 13 / 42
  • 14. Grafuri k-regulate Grafuri regulate (de la stˆ ınga spre dreapta): 0-regulat, 2-regulat, 3-regulat R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 14 / 42
  • 15. Cazuri particulare Cˆ grafuri 1-regulate neizomorfe exist˘? ıte a Un vˆ cu gradul 1 se numeste terminal. ırf , Un vˆ cu gradul 0 se numeste izolat. ırf , O bucl˘ m˘reste gradul vˆ a a , ırfului cu care este incident˘ cu 2. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 15 / 42
  • 16. Cazuri particulare u1 u2 v u0 u3 De la stˆ ınga spre dreapta: graf 1-regulat, graf cu un vˆ izolat ırf R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 16 / 42
  • 17. Propriet˘ti a, Teorem˘ a ˆ Intr-un graf simplu si netrivial exist˘ cel putin dou˘ vˆ a a ırfuri cu acelasi grad. , , , Teorem˘ a ˆ orice graf G suma gradelor vˆ In ırfurilor este de dou˘ ori num˘rul de a a muchii, adic˘ a d(v) = 2|E(G)|. (1) v∈V (G) Corolar ˆ orice graf, num˘rul vˆrfurilor de grad impar este par. In a a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 17 / 42
  • 18. Secvente de grade , a O secvent˘ nevid˘ (d1 , d2 , ..., dn ) de numere naturale se numeste secvent˘ , ,a ,a grafic˘ dac˘ exist˘ un graf pe n vˆ a a a ırfuri a c˘rui grade sˆ membrii acestei a ınt secvente. , a a Suma gradelor dintr-o secvent˘ grafic˘ este un num˘r par. ,a Graful pe n vˆ ırfuri a c˘rui grade sˆ membrii secventei (d1 , d2 , ..., dn ) se a ınt , numeste realizarea acestei secvente. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 18 / 42
  • 19. Secvente de grade , Teorem˘ (Havel-Hakimi) a a O secvent˘ descres˘toare ,a (d1 , d2 , ..., dn ) (2) de numere naturale, d1 ≥ 1 si n ≥ 2, este secventa de grade a unui graf , , simplu dac˘ si numai dac˘ a , a (d2 − 1, d3 − 1, ..., dd1 +1 − 1, dd1 +2 , ..., dn ) (3) este secventa de grade a unui graf simplu. , Secventa (3) se obtine din (2) prin ˆ aturarea primului num˘r si ınl˘ a , , , decrementarea urm˘toarelor d1 numere. a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 19 / 42
  • 20. Aplicatii , Teorema Havel-Hakimi poate fi utilizat˘ pentru a determina dac˘ o a a a secvent˘ de numere naturale reprezint˘ secventa de grade a unui graf , ,a simplu. De exemplu: (4, 3, 3, 3, 1) ↓ (2, 2, 2, 0) ↓ (1, 1, 0) ↓ (0, 0) Ultima secvent˘ este secventa graful ,a , N2 care este simplu. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 20 / 42
  • 21. Aplicatii , (2, 2, 1, 1) ↓ (1, 0, 1) ↓ (−1, 1) Ultima secvent˘ nici nu este grafic˘. a ,a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 21 / 42
  • 22. Lanturi [ˆ grafuri] ın , ırfuri si muchii Un lant este o secvent˘ de vˆ , ,a , (v0 , e1 , v1 , e2 , v2 , ..., vn−1 , en , vn ) ale unui graf G, cu proprietatea c˘ oricare dou˘ vˆ a a ırfuri consecutive din lant , vi−1 si vi sˆ unite prin muchia ei , ∀i = 1, n. ınt , Vˆ ırfurile e1 , e2 , ..., en−1 se numesc vˆ ırfuri interioare ale lantului, iar v0 si , , vn - extremit˘ti. a, Dac˘ lantul contine numai muchii distincte atunci se numeste lant simplu. a ¸ ¸ ¸ , Dac˘ lantul contine numai vˆ a ¸ ¸ ırfuri distincte atunci el se numeste lant , , elementar. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 22 / 42
  • 23. Lanturi , v1 v2 v8 v4 v5 v3 v7 v6 Lant: (v3 , v3 v4 , v4 , v4 v5 , v5 , v5 v8 , v8 ); , Lant neelementar: , (v1 , v1 v4 , v4 , v4 v5 , v5 , v5 v8 , v8 , v8 v7 , v7 , v7 v6 , v6 , v6 v5 , v5 v4 , v4 , v4 v3 , v3 ); R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 23 / 42
  • 24. Lanturi , Lantul se poate defini si cu ajutorul muchiilor sale , , (v0 v1 , v1 v2 , ..., vn−1 , vn ), iar ˆ cazul cˆ graful G este simplu putem definit lantul doar cu ajutorul ın ınd , vˆ ırfurilor sale (v0 , v1 , v2 , ..., vn−1 , vn ). De ce ˆ cazul grafului simplu lantul poate fi definit doar utilizˆ vˆ ın ınd ırfurile , sale? Num˘rul de muchii din lant se numeste lungimea lantului. a , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 24 / 42
  • 25. Cicluri a, a ırf Un lant ˆ care extremit˘tile reprezint˘ acelasi vˆ numeste ciclu. , , , ın Ciclul este elementar dac˘ vˆ a ırfurile interioare sˆ distincte. ınt O muchie care uneste dou˘ vˆ a ırfuri ale unui ciclu ˆ a nu apartine acestuia ıns˘ , , se numeste coard˘. a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 25 / 42
  • 26. Cicluri v1 u0 u1 v2 v0 v3 Ciclu: u0 , v1 , v0 , v3 , u0 ; Ciclu: v0 , v1 , v2 , v3 , v0 ; Ciclu neelementar: u0 , v1 , v2 , v3 , v0 , v1 , u0 . R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 26 / 42
  • 27. Grafuri bipartite Definitie , Un graf bipartit este un graf G cu propriet˘tile: a, exist˘ submultimile X , Y ⊆ V (G) cu X ∩ Y = ∅ si X ∪ Y = V (G); a , , orice muchie are un cap˘t ˆ X si altul ˆ Y . a ın ın , Perechea {X , Y } se numeste bipartitia grafului G. , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 27 / 42
  • 28. Grafuri bipartite u2 v2 u2 v1 u1 v1 u1 v0 u0 v0 u0 v1 G1 G2 v2 v5 v0 v3 v4 G3 Care sˆ bipartitiile grafurilor G1 ,G2 si G3 ? ınt , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 28 / 42
  • 29. Grafuri bipartite; Cicluri Teorem˘ a Un graf este bipartit dac˘ si numai dac˘ nu contine cilcuri impare. a , a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 29 / 42
  • 30. Graf conex Un graf este conex dac˘ ˆ a ıntre oricare dou˘ vˆrfuri exist˘ un lant. a a a , Un lant care uneste vˆ ırfurile u si v se numeste u − v-lant. , , , , , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 30 / 42
  • 31. Graf conex Un graf conex Un graf neconex R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 31 / 42
  • 32. Centru; Raz˘; Diametru a Distanta dintre dou˘ vˆ a ırfuri u, v ale unui graf conex este num˘rul minim a , de muchii ale unui lant de la u la v; se noteaz˘ d(u, v). ¸ a Excentricitatea unui vˆ v este distanta maxim˘ de la acest vˆ la ırf ¸ a ırf celelalte vˆ ırfuri; se noteaz˘ ε(v) a Excentricitatea minim˘ a vˆ a ırfurilor se numeste raza grafului G; se noteaz˘ a , rad(G). Vˆ ırfurile cu excentricitatea minim˘ se numesc centrale. a Centrul grafului este multimea tuturor vˆ ırfurilor centrale. , Excentricitatea maxim˘ a vˆ a ırfurilor se numeste diametrul grafului G; se , noteaz˘ diam(G). a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 32 / 42
  • 33. Centru; Raz˘; Diametru a b0 b1 b2 b3 b4 a0 Un graf G; ε(a0 ) = 1, ε(b0 ) = ε(b1 ) = ... = ε(b4 ) = 2; rad(G) = 1, diam(G) = 2 si unicul vˆ central este a0 . ırf , u v x z y ??? R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 33 / 42
  • 34. Propriet˘ti a, Teorem˘ a Pentru orice graf G, rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G). R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 34 / 42
  • 35. Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet N3 N4 N5 K3 K4 K5 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 35 / 42
  • 36. Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet Definitie (Graf nul) , Un graf nul este un graf ˆ totalitate f˘r˘ muchii, adic˘ de forma (V , ∅); ın aa a un graf nul pe n vˆ ırfuri se noteaz˘ Nn , n ≥ 1. a Definitie (Graf complet) , Un graf graf complet este un graf ˆ care orice 2 vˆ ın ırfuri diferite sˆ ınt adiacente; se noteaz˘ Kn , unde n, n ≥ 1, semnific˘ numarul de vˆ a a ırfuri ale grafului. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 36 / 42
  • 37. Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet G0 G4 G8 K2,3 K4,4 K1,3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 37 / 42
  • 38. Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet Definitie (Graf bipartit) , Definitie (Graf bipartit complet) , Kp,q , p, q ≥ 1. R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 38 / 42
  • 39. Grafuri remarcabile; Graf lant vs. graf ciclu , P3 C3 R. Dumbr˘veanu (USARB) a P4 C4 Curs 1: Grafuri; Introducere C5 B˘lti, 2013 a, 39 / 42
  • 40. Grafuri remarcabile; Graf lant vs. graf ciclu , Definitie (Graf lant) , , Un graf pe n vˆ ırfuri, n ≥ 1, se numeste graf lant dac˘ const˘ dintr-un a a , , lant elementar; se notez˘ Pn . a , Definitie (Graf ciclu) , Un graf pe n vˆ ırfuri, n ≥ 3, se numeste graf ciclu dac˘ const˘ dintr-un a a , cilcu elementar; se notez˘ Cn . a R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 40 / 42
  • 41. Grafuri remarcabile; Graf stea vs. graf roat˘ a S4 S5 S6 W4 W5 W6 R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 41 / 42
  • 42. Grafuri remarcabile; Graf stea vs. graf roat˘ a Definitie (Graf stea) , Un graf pe n vˆ ırfuri, n ≥ 1, se numeste graf stea dac˘ este K1,n−1 ; se a , notez˘ Sn . a Definitie (Graf roat˘) a , Un graf pe n vˆ ırfuri, n ≥ 4, se numeste graf roat˘ dac˘ ...; se notez˘ Wn . a a a , R. Dumbr˘veanu (USARB) a Curs 1: Grafuri; Introducere B˘lti, 2013 a, 42 / 42