201441 (1)

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4ο ΘΕΜΑ

Έλυσαν οι
Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης
Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης,
Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος
Κώστας Ζυγούρης, Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος
Ηλίας Καμπελής, Νίκος Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος,
Γιώργος Γαβριλόπουλος, lafkasd
Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος
Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου
Τεύχος 1ο

ΘΕΜΑ 2787
Στο τρίγωνο AB του παρακάτω σχήματος η κάθετη από το μέσο M της B
τέμνει την προέκταση της διχοτόμου A στο σημείο E. Αν ,Z είναι οι
προβολές του E στις AB, A, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)
β) Τα τρίγωνα BE,ZE είναι ίσα. (Μονάδες 8 )
γ) AÊABE 1800 . (Μονάδες 12)
Λύση:
α) Το τρίγωνο EB είναι ισοσκελές, επειδή η 
είναι μεσοκάθετος του B.
β) Τα τρίγωνα BE,ZE είναι ορθογώνια και
έχουν EBE και E EZ (κάθε σημείο της
διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της
γωνίας).
γ) Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων
προκύπτει ότι E1  E2 (1) .
Είναι ακόμα: 0
2 AÊ  90 E και 0
ABE  90 E1
(ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο EB).
Άρα:
(1)
0 0
2 1 AÊABE 90 E 90 E  AÊABE 1800 .
ΘΕΜΑ 2788
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 0 AB(A 90 ) 0 B  50 , το ύψος του A και σημείο E
, ώστε E B. Το σημείο Z είναι η προβολή του  στην .

α) Να αποδείξετε ότι:
i) Το τρίγωνο  είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
ii) AE 100 . (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου  . (Μονάδες 9)
Λύση:
α.i) Το τρίγωνο  είναι ισοσκελές, επειδή η
A είναι μεσοκάθετος του .
α.ii) 0 B 50 , οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AB
και από το ισοσκελές  , έχουμε διαδοχικά:
ˆ  400 και AEˆ 500 .
Αλλά η AEˆ είναι εξωτερική στο τρίγωνο AE, άρα:
AEB ˆ AE AˆE 100 .
β) Είναι Zˆ 900 , EˆZ 500 (ως κατακορυφήν της AE),
οπότε, EˆZ  400 .
ΘΕΜΑ 2792
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία
, ώστε να ισχύει AB. Επίσης θεωρούμε σημείο Oεκτός του
ευθυγράμμου τμήματος AB έτσι ώστε να ισχύουν O AΓ και O  B.
i. η γωνία 0 O  60 (Μονάδες 9)
ii. οι γωνίες OA,OB είναι ίσες και κάθε μια ίση με 0 30 . (Μονάδες 9)

β) Αν  το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος AB, να αποδείξετε ότι
2OMOA. (Μονάδες 7)
Λύση:
α) Το τρίγωνο Oείναι ισόπλευρο εκ κατασκευής και το ζητούμενο έπεται
άμεσα
β) Τα τρίγωνα
OA,OB είναι
ισοσκελή , οπότε οι
γωνίες που
πρόσκεινται σε κάθε
βάση είναι ίσες κι
αφού οι εξωτερικές τους γωνίες 0 O O 60 , το ζητούμενο έπεται άμεσα .
γ) Το OMείναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο , άρα και ύψος , οπότε το
τρίγωνο MOA είναι ορθογώνιο με 0 A30 , άρα
OA
OM OA 2OM
2
   .
ΘΕΜΑ 2794
Σε τραπέζιο ABAB/ / είναι 2AB. Επίσης τα Z,H,E είναι τα μέσα των
A,B και  αντίστοιχα. Ακόμη η ZHτέμνει τις AE,BE στα σημεία , I
αντίστοιχα.
α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ABEείναι παραλληλόγραμμο.
β) Να δείξετε ότι, τα σημεία , I είναι μέσα των AE,BE αντίστοιχα.
γ) Να δείξετε ότι
3
ZH AB
2
 .
Λύση:
α) Είναι E 1
2

  αφού το E είναι μέσο του  και
1
AB/ / AB/ / E
2

    ,

έτσι το ABE είναι
παραλληλόγραμμο.
β) Το ZHείναι διάμεσος του
τραπεζίου AB , οπότε
ZH/ /AB/ / και
  AB
ZH 2
2
 
 .
Στο τρίγωνο A E  το Z είναι
μέσο της A και Z/ /E, έτσι το  είναι μέσο του AE.
Ομοίως, στο τρίγωνο BE είναι H μέσο του B και HI / /E, έτσι το I είναι
μέσο του BE.
γ) Από  
AB 2AB AB 2AB 3AB
2 ZH ZH ZH
2 2 2
  
      .
ΘΕΜΑ 2796
Δίνεται κύκλος με κέντρο O και έστω ABμία διάμετρός του,  το μέσο του
ενός ημικυκλίου και  τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της B(προς
το B) θεωρούμε σημείο E ώστε BE  A.
i) Τα τρίγωνα A,BE είναι ίσα. (Μονάδες 8 )
ii) Η  είναι κάθετη στη E. (Μονάδες 8 )
β) Να αιτιολογήσετε γιατί στην περίπτωση που το σημείο  είναι
αντιδιαμετρικό του  , η E είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9 )
Λύση:
α. i) Επειδή το  είναι μέσο του ημικυκλίου,
θα είναι A B και AˆB 900 .
Τα τρίγωνα A,BE έχουν:

A B
ABE (από υπόθεση)
AEB (η γωνία εγγεγραμμένου
τετραπλεύρου
είναι ίση με την απέναντι εξωτερική).
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π).
α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι   .
EAˆB  AˆB900 E.
β) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα ˆE900
και επειδή η  είναι διάμετρος του κύκλου,
η E θα είναι εφαπτομένη.
ΘΕΜΑ 2797
Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Aˆ 2B και έστω A ύψος και BE διχοτόμος του
τριγώνου που τέμνονται στο Z.
i. 0 B 60 και AZBZ. (Μονάδες 10)
ii.
3
A BZ
2
  (Μονάδες 8)
β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο AZE είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις
άλλες γωνίες του τριγώνου AB . (Μονάδες 7)
Λύση:

α) i. Aˆ  2BABˆ 3B3B1800 B 600 .
Από το ορθογώνιο
τρίγωνο AB , έχουμε
ότι 0
1 A 30 κι ακόμα
0
0
1
60
B 30
2
  , οπότε
το ABZ είναι
ισοσκελές , άρα
AZBZ.
ii. Αφού AZBZκαι
από το BZ με 0
B2  30 , έχουμε ότι:
BZ
Z
2
  ,
έπεται ότι:
BZ 3
A AZ Z BZ BZ
2 2
       .
β) Αφού το τρίγωνο ΑZE είναι ισόπλευρο , έχουμε ότι 0
A2  60 , οπότε
0 0 0 A30 60 90 . Επίσης 0 B 60 , οπότε ˆ 300 .
ΘΕΜΑ 2799
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από
έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου A,B,Z,H,ZK,H που είναι
στερεωμένα με έντεκα καρφιά A,B,,,,E,M,H,K,,Z . Αν το σημείο ,
είναι μέσο των τμημάτων A και B ενώ το σημείο E είναι μέσο των
τμημάτων Z και H, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο.
β) Τα σημεία B,,Z είναι συνευθειακά.
γ) Το τετράπλευρο A Z   είναι παραλληλόγραμμο.
Λύση:

α) Το τετράπλευρο HZ είναι ορθογώνιο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται
στο E και είναι ίσες λόγω της υπόθεσης.
β) Για τον ίδιο λόγο και το AB είναι ορθογώνιο, έτσι:
B Z 90 90 180        άρα τα σημεία B,,Z είναι συνευθειακά.
γ) Για τον ίδιο λόγο και τα σημεία A,,H είναι συνευθειακά, οπότε
A/ /Z 1 .
Το τετράπλευρο E είναι ρόμβος αφού και οι τέσσερεις πλευρές του είναι
ίσες ως μισά ίσων τμημάτων, οπότε   E.
Τα τρίγωνα A και EZ είναι ίσα από  αφού έχουν:
A E και  ZE ως μισά ίσων τμημάτων και A  EZ ως
παραπληρωματικές των ίσων γωνιών   E. Έτσι A  Z 2.
Από 1,2A/ /  Z άρα το AZ είναι παραλληλόγραμμο.
ΘΕΜΑ 2802
Δίνεται ευθεία () και δυο σημεία,εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία  να
μην είναι κάθετη στην () . Φέρουμε ,κάθετες στην () και ,μέσα
των και  αντίστοιχα.
α) Αν τα ,είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την () ,
i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο  είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή
ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την
απάντησή σας:
1)    . (Μονάδες 4)
2)   . (Μονάδες 4)
ii) να εκφράσετε το τμήμα σε σχέση με τα τμήματα, στις δυο

προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6)
β) Αν η ευθεία()τέμνει το τμήμα στο μέσο του να βρείτε το είδος του
τετραπλεύρου  (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε
ότι τα ,ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+2)
Λύση:
α) i) Στην περίπτωση 1) όπου , έχουμε και / / αφού    και
  . Όμως οι / / δεν
είναι παράλληλες διότι αν ήταν το
τετράπλευρο  θα ήταν
παραλληλόγραμμο άρα    .
Άτοπο. Επομένως το
τετράπλευρο  θα είναι
τραπέζιο.
Στην περίπτωση 2) είναι   
και / /, επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης
είναι ˆ 900 συνεπώς το  είναι ορθογώνιο.
ii) Στην περίπτωση 1) όπου το  είναι τραπέζιο η  είναι διάμεσος και
επομένως
2
  
  .
Στην περίπτωση 2) όπου το  είναι ορθογώνιο θα είναι      .

β) Είναι / /. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ,.
Είναι
1) ˆ ˆ 900 .
2)   αφού  μέσο της .
3) 1 2
ˆ ˆ ως κατακορυφήν,
επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια
ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα
τρίγωνα είναι ίσα άρα και    .
Συνεπώς το τετράπλευρο 
είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι
διαγώνιοι του , διχοτομούνται και επομένως είναι . Οπότε το
μέσο της  είναι το  και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το  είναι το μέσο
της , συμπερασματικά τα σημεία , ταυτίζονται.
ΘΕΜΑ 2804
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο AB, τα ύψη του B και E που
τέμνονται στο σημείο H και το μέσο M της πλευράς B.
i) MME. (Μονάδες 10)
ii) Η ευθείατέμνει κάθετα τη  B και ˆ AH , όπου ˆ
η γωνία του τριγώνου
AB. (Μονάδες 5)
γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου  . (Μονάδες 10)
Λύση:
α.i. Τα ορθογώνια τρίγωνα B,EB έχουν αντίστοιχες διαμέσους M,EM .
Άρα:
B
M ME
2

   .
α. ii) Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AB, οπότε και το τρίτο ύψος
 θα διέρχεται από το σημείο H . Δηλαδή, AHB.

Τα τρίγωνα AH, AZ είναι ισογώνια, επειδή είναι
ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία A1 .
Άρα: AH ˆ .
γ) Το σημείο  είναι το ορθόκεντρο του
τριγώνου  . (Πόρισμα του σχολικού
βιβλίου).
ΘΕΜΑ 2806
Δύο κύκλοι (K,),(,R) τέμνονται στα σημεία A, B. Αν  και  είναι τα
αντιδιαμετρικά σημεία του A στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:
α) 0 AB  90 (Μονάδες 5)
β) Τα σημεία ,B, είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)
γ) Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία K,,, είναι τραπέζιο.
(Μονάδες 10)
Λύση:
α) Στον κύκλο (,) η γωνία


είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε
90

   .
β) Ομοίως είναι και 0 AB  90 (ως
εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο του κύκλου () .
Άρα 0 B 180 , δηλαδή τα σημεία ,B, είναι
συνευθειακά.

γ) Τα σημεία K, είναι τα μέσα των πλευρών A, A αντίστοιχα, του τριγώνου
A. Άρα K|| καιK
2

  . Το τετράπλευρο λοιπόν, με κορυφές τα
σημεία K,,, είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, αφού
K  ).
ΘΕΜΑ 2808
Θεωρούμε παραλληλόγραμμο AB και τις προβολές A,B,, των κορυφών
A,B,, αντίστοιχα, σε μία ευθεία () .
α) Αν η ευθεία ()αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο
ημιεπίπεδο και είναι AA 3,BB  2, 5, τότε:
i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου O του παραλληλογράμμου από
την ευθεία () είναι ίση με 4 . (Μονάδες 8 )
ii) Να βρείτε την απόσταση . (Μονάδες 9)
β) Αν η ευθεία ()διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι
παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις
AA,BB,, ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8 )
Λύση:
α. i) Έστω ' η προβολή του O στην ευθεία() .
Το τετράπλευρο AA είναι τραπέζιο
(δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο γιατί
AA  ) και ΄ είναι η διάμεσός του
(Αφού είναι το μέσο του Aκαι
OO || AA || ). Άρα:
AA 3 5
OO
2 2

  
  
OO  4
α. ii) Ομοίως το τετράπλευρο BB είναι

τραπέζιο και OO΄ είναι η διάμεσός του. Άρα:
BB΄ 2
OO΄ 4
2 2
 
   
  6.
β) Οι αποστάσεις είναι ίσες.
Πράγματι, η ευθεία ()διέρχεται από το
κέντρο του παραλληλογράμμου
και έστω ότι είναι παράλληλη στις
AB,. Άρα θα είναι η μεσοπαράλληλή
τους, οπότε θα ισαπέχει από αυτές, άρα και
από τις κορυφές του
παραλληλογράμμου.
ΘΕΜΑ 2810
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο AB που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με
κέντρο O και ακτίνα  . Τα τμήματα Z και  είναι τα εφαπτόμενα τμήματα
του κύκλου στα σημεία  και B αντίστοιχα. Αν το τμήμα H είναι κάθετο στο
τμήμα  στο Z , να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7 )
β) Το τετράπλευρο AZB είναι ρόμβος. (Μονάδες 8 )
γ) Το τετράπλευρο BH είναι τραπέζιο με B BZ και H  2B.
(Μονάδες 10)
Λύση:
α) BˆZ BZ 600 (είναι γωνίες χορδής και
εφαπτομένης ίσες με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη 0 A 60 ). Επομένως το
τρίγωνο ZB είναι ισόπλευρο.
β) Τα τρίγωνα AB και ZB είναι ισόπλευρα, οπότε όλες οι πλευρές του
τετραπλεύρου AZB είναι ίσες μεταξύ

τους, άρα είναι ρόμβος.
γ) AZB (ως διαγώνιες ρόμβου) και AZH
(από υπόθεση). Άρα B||H , δηλαδή το
τετράπλευρο BH είναι τραπέζιο, αφού οι
B,H τέμνονται στο σημείο A. Αν M είναι το
σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου AZB,
τότε θα είναι το μέσο της B, άρα τα σημεία
B, είναι τα μέσα των πλευρών A, AH
αντίστοιχα, του τριγώνου AH . Επομένως:
H  2B και BABA BZ.
Σημείωση
Το κέντρο O του κύκλου και η ακτίνα  που δίνονται στην εκφώνηση, και το
σημείο E που δίνεται στο σχήμα, δεν χρησιμεύουν πουθενά.
ΘΕΜΑ 3691
Οι κύκλοι (K,) και (,3) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A. Μία ευθεία 
εφάπτεται εξωτερικά και στους δυο κύκλους στα σημεία B και  αντίστοιχα
και τέμνει την προέκταση της διακέντρου K στο σημείο E. Φέρουμε από το
σημείο K παράλληλο τμήμα στην  που τέμνει το τμήμα  στο .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BK είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9)
β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Kˆ είναι 30o . (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα E 6 , όπου  η ακτίνα του κύκλου (K,) .
(Μονάδες 8)
Λύση:
α) Αφού  είναι κοινή εφαπτομένη έχω BK  και   .

Άρα B  και ˆ 90 ˆ o B .
Είναι K  (υπόθεση )και   ,
άρα K δηλ. ˆ 90o .
Τότε το τετράπλευρο BK είναι
ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές
γωνίες.
β) Λόγω του α)   BK  ως απέναντι πλευρές
ορθογωνίου. Έτσι,   3   2 . Τότε στο
ορθογώνιο(ˆ 90 ) o τρίγωνο K, 2
2

  
K
 . Άρα
από θεώρημα, 1
ˆ 30o  .
γ) Αλλά 2 1
ˆ  ˆ 30o   ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, των
παραλλήλων K  που τέμνονται από E.Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο E,
2
ˆ  30o  . Επομένως 2 6
2

      
E
E  .
ΘΕΜΑ 3693
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο  ( 90

   ), και η διχοτόμος του B. Από το 
φέρνουμε την  κάθετη στην  και ονομάζουμε  το σημείο στο οποίο η
ευθεία  τέμνει την προέκταση της  . Να αποδείξετε ότι:
(α) Το τρίγωνο Eείναι ισοσκελές.
(β) Τα τρίγωνα  και BEZ είναι ίσα.
(γ) Η ευθεία B είναι μεσοκάθετη των τμημάτων AE και Z .
(δ) Το τετράπλευρο AEZ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Λύση:

(α) Τα ορθογώνια τρίγωνα AB και EB έχουν την υποτείνουσα B κοινή και
AB EB . Άρα είναι ίσα και άρα θα έχουν και BA BE , δηλαδή το τρίγωνο
ABE είναι ισοσκελές.
(β) Τα ορθογώνια τρίγωνα  και BEZ έχουν: BA BE (όπως είδαμε στο (α)
ερώτημα) και την γωνία ABE κοινή. Άρα
είναι ίσα.
(γ) Αφού το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές και
η B είναι διχοτόμος της γωνίας B, άρα η B
είναι μεσοκάθετος του AE, διότι σε κάθε
ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται
από την κορυφή του είναι και διάμεσος και
ύψος.
Επίσης αφού και τα τρίγωνα  και BEZ
είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα
έχουμε ότι BBZ και άρα και το τρίγωνο
BZ είναι ισοσκελές με κορυφή το B. Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από
την κορυφή Bθα είναι η μεσοκάθετος του Z .
(δ) Οι ευθείες AE,Zείναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία B. Kαι
εφόσον οι ευθείες E,ZAτέμνονται (στο ) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο
AEZ είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι:
BBZ και BE  BA.
Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : E AZ , οπότε το πιο πάνω
τραπέζιο είναι ισοσκελές.
ΘΕΜΑ 3694
Δίνεται τρίγωνο (B) και η διχοτόμος . Φέρουμε από το B
κάθετη στην  που τέμνει την  στο E και την πλευρά A στο H. Αν M
είναι το μέσο της πλευράς B να αποδείξετε ότι:
α)Το τρίγωνο ABH είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)

β) EM / /H. (Μονάδες 8)
γ)
2
  
  . (Μονάδες 8)
Λύση:
α) Στο τρίγωνο αυτό η AE είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ABHηAE είναι και διάμεσος, δηλαδή το  είναι
μέσο του BH. Έτσι, από το τρίγωνο BH προκύπτει ότι EM / /H.
γ) Είναι
2 2 2
      
   , διότι AH  AB, αφού το τρίγωνο ABH
είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα.
ΘΕΜΑ 3695
Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του BEκαι  που αντιστοιχούν στις πλευρές
A και AB αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:
Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές μεAB=A , τότε τα ύψη που
αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.
α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)
β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι
ισχύει. (Μονάδες 10)
γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.

(Μονάδες 5)
Λύση:
α) Αρκεί να δείξουμε ότι BE. Γνωρίζουμε
ότι τα τρίγωνα BκαιEB είναι ορθογώνια
ˆ  E  90  o έχουν την πλευρά B κοινή και τις
γωνίες Bκαι ˆ
ίσες (καθώς το AB είναι
ισοσκελές με βάση B ), συνεπώς ικανοποιείται
το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων
(υποτείνουσα - οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα
είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία
τους ίσα, άρα BE.
β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση B ,
αν τα ύψη του BE και  είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ισοσκελές.
Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες Bκαι ˆ
ίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα B
καιEB είναι ορθογώνια ˆ  E  90  o έχουν την πλευρά B κοινή και τις
πλευρές BE και  ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας
ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι
ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες Bκαι ˆ
ίσες
μεταξύ τους.
γ) Μια διατύπωση: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα
ύψη του είναι ίσα.
ΘΕΜΑ 3696
Δίνεται οξεία γωνία xOˆy και δύο ομόκεντροι κύκλοι 1 (O, ) και 2 (O, ) με
1 2    , που τέμνουν την x στα σημεία K, A και την yστα ,B αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) ABK. (Μονάδες 8)

β) Το τρίγωνο APB είναι ισοσκελές, όπου P το σημείο τομής των Aκαι BK.
(Μονάδες 8)
γ) Η O διχοτομεί την γωνία xOˆy . (Μονάδες 9)
Λύση:
α) Συγκρίνω τα τρίγωνα OK B και OA. Έχουν:
1
2
ˆ ˆ
OK O
OB OA OKB OA
O O


   

     
 
(Π-Γ-Π). Άρα,
ABK και 1 2   (1).
β) Συγκρίνω τα τρίγωνα KAP και PB. Έχουν:
2 1
1 2
1 1(*)
AK B
KAP PB
K
 
 
    
    
  
(Γ-Π-Γ).
(*) ισχύει λόγω (1), 1 2 P  P (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου 180o .
Άρα PA PB (2), δηλ. PAB ισοσκελές.
γ) Συγκρίνω τα τρίγωνα OAP και OBP. Έχουν:
2
(2)
OB OA
PA PB OAP OBP
OP
   
   
  
(Π-Π-Π). Άρα, 1 2   δηλ. ΟΡ διχοτόμος xOˆy .
ΘΕΜΑ 3697
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς
τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για

i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8)
ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9)
Λύση:
α) Υποθέτουμε ότι ,, είναι τα μέσα του
ισοσκελούς τριγώνου (    ) τότε:
E,Z έ A , B
,Z έ AB, B
   
 
   
AB
EZ/ /
2
A
Γ
/
Z/
2


 
AB A
EZ Z
 
   . Άρα το  είναι ισοσκελές.
β) i. Υποθέτουμε ότι τα ,, είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου ,
τότε:
AB
EZ/ /
E,Z A ,B 2
A
,Z έ AB, B Z / /
2
,E έ AB, A
B
E/ /
2
έ

 
  
  
      
       
 




AB A B
EZ Z E
  
     . Άρα το  είναι
ισόπλευρο.

ii) Υποθέτουμε ότι τα ,, είναι τα
μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς
τριγώνου, A  90  o τότε:
Γνωρίζουμε ότι το σχηματιζόμενο
τρίγωνο είναι ισοσκελές από το
ερώτημα (α), μένει να δείξουμε ότι
είναι ορθογώνιο.
Z AE A 90
A ZE# Z 90
ZE A
   
    
 
o
o .
ΘΕΜΑ 3698
Δίνεται τραπέζιο AB με AB , Aˆ=ˆ=90O , 2AB και Bˆ 3ˆ .Από το B
φέρνουμε κάθετη στη  που τέμνει την A στο σημείο K και την A στο
E. Επίσης φέρνουμε την AE που τέμνει τη B στο σημείο . Να αποδείξετε
ότι:
α) ˆ 45O. (Μονάδες 8)
β) B AE. (Μονάδες 9)
γ)
1
K
4
   . (Μονάδες 8)
Λύση:
α) Αφού AB  τότε
ˆ 3ˆ
ˆ ˆ 180 ˆ 45
 
     
B
o o B ως εντός και
επί τα αυτά μέρη (...).
β) Αφού , ˆ  ˆ90o BE BEA BE .
Τότε:

Το τετράπλευρο ABEείναι ορθογώνιο αφού και ˆ ˆ 90o A (τρεις ορθές). Άρα
AE  B (διαγώνιες ορθογωνίου ίσες).
Ακόμη AE,B διχοτομούνται. Άρα  μέσο του $AE$.
Λόγω του ορθογωνίου ακόμη, E  AB  (απέναντι πλευρές ορθογωνίου).
Τότε E  E  .
τρίγωνο BE ορθογώνιο με ?
1 ˆ  45 . Άρα ισοσκελές, με BE  E  .
γ) Έτσι έχουμε AB  E . Άρα το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο.
Έτσι A,BE διχοτομούνται. Άρα K μέσο A.
Τότε στο τρίγωνο AE τα K, είναι μέσα, άρα
2 2 4
 
   
E
K

.
ΘΕΜΑ 3699
Έστω παραλληλόγραμμο AB. Αν τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των
και  αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) AEBZ. (Μονάδες 8)
γ) Οι E και  τριχοτομούν τη διαγώνιο A του παραλληλογράμμου AB.
(Μονάδες 7)
Λύση:
α) AB|| EB|| Z, οπότε το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο.
β) Θα δείξω ότι   .
Πράγματι,   (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται από
την E) και   (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων AB, που τέμνονται
από

τη . Άρα   , δηλαδή
AEBZ.
γ) Έστω , τα σημεία τομής
της A με τις E,ZB
αντίστοιχα. Θα δείξω ότι
AM MN  N.
Στο τρίγωνο 
έχουμε: E είναι το
μέσο της  και
/ /. Άρα, M είναι το μέσο της . Οπότε: AM MN.
Στο τρίγωνο Mέχουμε: Z είναι το μέσο της  και ZN || M. Άρα, N είναι
το μέσο της M. Οπότε: MN M.
Επομένως, AM MN  N.
Β τρόπος
Ας πούμε το μήκος της πλευράς AB 2a,a  0 τότε προφανώς θα είναι :
AE  EB Z Z  .
α) το τετράπλευρο EBZ έχει τις
απέναντι πλευρές του Z,EB παράλληλες γιατί από την υπόθεση το

τετράπλευρο AB είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης Z EB . Δηλαδή
Z / / EBπου μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο EBZ είναι
παραλληλόγραμμο και άρα :
β) E/ /  ZB, οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες , συνεπώς ZBEB.
Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από:
0 0
1 2 ZBEB180 ZB180 EB   .
γ) Φέρνουμε από το  παράλληλη στην ZBκαι θα κόψει την ευθεία ABστο  .
Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ZB είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει
ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Θα είναι επομένως ίσες, οπότε:
Z B  .
Ας είναι τώρα K,τα σημεία τομής της Aμε τις E,ZB αντίστοιχα.
Οι ευθείεςE,ZB, είναι παράλληλες και τα τμήματα AE  EBB  θα
είναι λοιπόν και AKK. Αφού ως γνωστόν:
Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και
κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων
ευθειών είναι ίσα.
ΘΕΜΑ 3700
Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο  είναι 30

     και  το κέντρο του.
Φέρουμε   .
α) Να αποδείξετε ότι η γωνία

  χωρίζεται από τη  και τη διαγώνιο  σε
τρείς ίσες γωνίες. (Μονάδες 13)
β) Φέρουμε κάθετη στην  στο σημείο  η οποία τέμνει την προέκταση της
 στο  . Να δείξετε ότι τα τρίγωνα  και  είναι ίσα. (Μονάδες 12)
Λύση:
60

    γιατί 90 90 30 60
 
            .

Στο τρίγωνο  έχουμε
180 30
  
          .Άρα 60

   
.
Στο τρίγωνο  έχουμε 30

    .
Στο τρίγωνο  έχουμε 60

    .
Άρα 60
 
       (ως κατακορυφήν).
Στο τρίγωνο  έχουμε 30

    .
Στο τρίγωνο  έχουμε    ( 
ισοσκελές ) άρα 30

    .
β) Επειδή    και 60

   τότε  
ισόπλευρο .
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα  και  έχουν      ,
 
   .
Άρα είναι ίσα.
ΘΕΜΑ 3701
Έστω ότι E,Z είναι τα μέσα των πλευρών AB,  παραλληλογράμμου AB
Αν για το παραλληλόγραμμο AB επιπλέον ισχύει ABA, να εξετάσετε αν
είναι αληθείς ή όχι οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο EBZ είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: AE=BZ
Ισχυρισμός 3: Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ,B.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον
αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη
σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
Λύση:

α) Ισχυρισμός 1: Είναι αληθής
αφού : Z/ /EB και ZEB
ως μισά ίσων τμημάτων .
Άρα τετράπλευρο EBZ είναι
παραλληλόγραμμο, αφού έχει
ένα ζεύγος πλευρές ίσες και
παράλληλες .
Ισχυρισμός 2: Είναι αληθής
αφού : AE=EBZ (εντός ,εκτός και επί τα αυτά των E//BZ) , EBZ=BZ (εντός
εναλλάξ των / /AB) .
Επομένως : AE=BZ.
Ισχυρισμός 3: Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ,B .
Αν υποτεθεί ότι αυτό συμβαίνει , τότε 1 2
ˆ ˆ AE ,οπότε το τρίγωνο AE θα
είναι ισοσκελές , άρα
1
A AE AB
2
   .
Η τελευταία σχέση , εφόσον AAB μπορεί να είναι είτε αληθής , είτε ψευδής.
Άρα ο ισχυρισμός ότι Οι E,BZ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ,B
είναι άλλοτε αληθής κι άλλοτε ψευδής . Ομοίως για την BZ
β) Ισχυρισμός 3: Ο ισχυρισμός είναι αληθής εφόσον , όπως είδαμε στο (α) ,
ισχύει :
1
A AB
2
  .
ΘΕΜΑ 3704
Έστω 1 2 ( ),( ) δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ
του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες.
α) Αν 1 M είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την 1 ( )και 2 M το συμμετρικό του
1 M ως προς την 2 ( ) , να αποδείξετε ότι:
i. 1 OM OM .

ii. Τα σημεία Μ, Ο και 2 M είναι συνευθειακά.
iii. Το τρίγωνο 1 2 MM M είναι ορθογώνιο.
β) Αν 3 M είναι το συμμετρικό σημείο του M2 ως προς την (1) , τι είδους
παραλληλόγραμμο είναι το 1 2 3 MM M M ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Λύση:
(α) (i) Αφού η 1 ( ) είναι μεσοκάθετος του
1 MM , (λόγω της συμμετρίας) , θα έχουμε
1 OM OM .
(ii) Αφού και η 2 ( ) είναι μεσοκάθετος της
1 2 M M άρα και το τρίγωνο 1 2 OM M είναι
ισοσκελές. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα
1 OMM και 1 2 OM M είναι ισοσκελή, άρα τα
ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των
γωνιών των κορυφών τους. Άρα 1 2 O O
και 3 4 O O . Όμως 2 3 2 3  90 2 2 180  o o O O O O
1 1 2 2  180  180 o o MOM MOM MOM .
Άρα τα σημεία 2 M,O,M είναι συνευθειακά.
(iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω , είναι
2 1 M OOM OM . Άρα στο τρίγωνο 2 MOM η διάμεσος 1 MO ισούται με το μισό
της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με
1 2 90o MM M .
(β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ii) δείχνουμε ότι τα σημεία 3 1 M ,O,M είναι
επίσης συνευθειακά και ότι το τρίγωνο 2 3 OM M είναι και αυτό ισοσκελές.

Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα
προηγούμενα, θα έχουμε: OM3 OM2 OM1 OM . Συνεπώς στο τετράπλευρο
1 2 3 MM M M οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το
τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
ΘΕΜΑ 3705
Δίνεται ορθογώνιο AB και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα
τρίγωνα ABE,BZ,H,A.
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος. (Μονάδες 15)
β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο, τότε τι είδους
παραλληλόγραμμο είναι το EZH; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)
Λύση:
α)     ˆH 3600  ˆAAˆHˆ  3600  600 900 600  ˆH1500 .
Ομοίως αποδεικνύεται ότι: AE  ZBE  ZˆH1500 .
Έχουμε ακόμα: H  AEEBH και  A BZ Z .
Άρα τα τρίγωνα H, AE,BZE,ZH είναι ίσα (Π-Γ-Π).
Οπότε, EZ  ZH  HE . Δηλαδή
το τετράπλευρο EZH είναι ρόμβος.

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο AB είναι τετράγωνο,
τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος
θα είναι ισοσκελή, οπότε HˆAÊ150 .
HÊHˆÂAÊ150 600 150HÊ900 .
Άρα το EZH είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος
με μία γωνία ορθή.
ΘΕΜΑ 3706
Θεωρούμε ευθεία ()και δυο σημεία A και B εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται
στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την () έτσι ώστε, η ευθεία  να μην είναι
κάθετη στην () . Έστω ΄και ΄τα συμμετρικά σημεία των A και B
αντίστοιχα ως προς την ευθεία () .
α) Αν η μεσοκάθετος του τέμνει την ευθεία () στο σημείο K, να
αποδείξετε ότι το K ανήκει και στη μεσοκάθετο του ΄΄.
(Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΄΄είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την σχέση των ευθειών και της ευθείας () ώστε το
τετράπλευρο
΄΄να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)
Λύση:
α) Τα συμμετρικά των ,, ως προς () είναι
τα ΄,΄,. Άρα KA KAKB  KB, AB  AB .
Αλλά () μεσοκάθετος του . Άρα KAKB.
Επομένως KA KB . Συνεπώς K ανήκει στη
μεσοκάθετο του ΄΄.
β) Από ορισμό συμμετρίας, έχω ότι AA  και
BB  . Άρα AA / /BB (1) .
1η περίπτωση:
Αν AB  AB τότε εξ ορισμού ΄΄είναι τραπέζιο.
(και μάλιστα ισοσκελές αφού AB AB ).
2η περίπτωση:
Αν AB AB τότε εξ ορισμού ΄΄είναι
Άρα
2 2
 
   
AA BB
AA BB .Έτσι AM  BN . Συνεπώς το
 ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι AA  .
Τότε, AB AA . Επομένως το ΄΄είναι
ορθογώνιο.
γ) Όπως προκύπτει από το β) , πρέπει A/ /() .

Όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση τα ερωτήματα β) , γ) δεν είναι
σωστά.(ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ).
ΘΕΜΑ 3708
Δίνεται τραπέζιο (/ /) με τη γωνία

 ίση με 30ο και έστω,τα
μέσα των διαγωνίων του. Οι μη παράλληλες πλευρές του  και 
προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα στο σημείο  .
α) 2 (Μονάδες 10)
β)    (Μονάδες 10)
γ) Σε ποια περίπτωση το είναι παραλληλόγραμμο; Να αιτιολογήσετε την
απάντηση σας. (Μονάδες 5)
Λύση:
Επειδή AB/ / θα είναι 0
1
 ˆ 30 .
Ας πούμε AB a, b,K x,A  y AE  u .
α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο EAB επειδή η κάθετη πλευρά AE βρίσκεται
απέναντι των 0 30 θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή AB2AE
ή a  2u (1) .
β) Με όμοιο τρόπο από το ορθογώνιο τρίγωνο E προκύπτει : 2AE ή
b  2(y u) (2) .

Από τις (1) και (2) έχουμε : ABba  2(yu)2u  2y (3) .
Όμως για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγώνιων τραπεζίου
ξέρουμε ότι είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την (θετική)
ημιδιαφορά τους.
Δηλαδή και λόγω της (3),
2
K A
2 2
b a y
x y

       .
γ) Το ABK είναι παραλληλόγραμμο όταν a  y δηλαδή όταν .
εναλλακτικά :
Έστω τώρα ότι το ABK είναι παραλληλόγραμμο . Τότε AB / /K και άρα
a  xa  y ( λόγω του β ερωτήματος) . Μα τότε το τρίγωνο AB θα είναι
ισοσκελές με κορυφή το A και άρα 2 4   . Όμως 2 3   ως εντός εναλλάξ
των παραλλήλων AB  που τέμνονται από την B. Έτσι και λόγω
μεταβατικότητας 3 4   . Δηλαδή η Bδιχοτόμος της γωνίας των 0 60 του
ορθογωνίου τριγώνου E .
Κάποιες παρατηρήσεις που προφανώς δεν υποχρεούται ο μαθητής να τις
γράψει .Η όλη κατασκευή του σχήματος ακολουθεί την παρακάτω πορεία .

Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα  γράφουμε ημικύκλιο . Ο κύκλος κέντρου 
και ακτίνας  τέμνει το ημικύκλιο στο E. Από τυχαίο σημείο B του E
φέρνουμε παράλληλη στην  και τέμνει την E στο A.
Στην περίπτωση που το ABK είναι παραλληλόγραμμο το σημείο B επιλέγεται
ως τομή της E με τη μεσοκάθετο του B .
ΘΕΜΑ 3709
Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB/ /CDκαι o C 30

 . Αν K,Lτα μέσα των διαγωνίων
BD, AC αντίστοιχα και αν οι πλευρές DA,CB προεκτεινόμενες τέμνονται κάθετα
στο E να αποδειχθεί ότι:
i) 2.
ii) LAD.
iii) Σε ποια περίπτωση το τετράπλευρο ABKL είναι παραλληλόγραμμο;
Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
Λύση:
i) DCB ABE 30   ως εντός εναλλάξ. Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE
η πλευρά AE βρίσκεται απέναντι από
γωνία 30 κι έτσι είναι ίση με το μισό
της υποτείνουσας που είναι η AB.
Τελικά 2
2
AB
AE  AB  AE .
ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο CDE η
πλευρά DE βρίσκεται απέναντι από γωνία 30 άρα
2
CD
DE  .
Ως γνωστόν το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου ισούται με
την ημιδιαφορά των βάσεων δηλαδή
)
2 2 2
CD AB CD AB i
KL DE AE AD

      όπως θέλαμε.

iii) Η KL γνωρίζουμε ότι είναι παράλληλη στην ABθα πρέπει όμως να είναι και
ίση με αυτήν δηλαδή
ii)
KL  ABAD AB.
Αυτό δηλαδή συμβαίνει όταν AD AB.
ΘΕΜΑ 3711
Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AB, A 90    και το ύψος του . Έστω 
και E τα συμμετρικά σημεία του H ως προς τις ευθείες  και A αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ό τι:
I. AHAAE. (Μονάδες 6)
II. Το τρίγωνο EH είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)
III. Τα σημεία  ,  και  είναι συνευθειακά. (Μονάδες 6)
β) Τα τρίγωνα AB και EH είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω
από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε
την απάντησή σας. (Μονάδες 7)
ΣΧΟΛΙΟ
Ζητείται πρώτα να δειχτεί ότι
το τρίγωνο EH είναι
ορθογώνιο και κατόπιν (!)
ότι Τα σημεία  ,  και 
είναι συνευθειακά.
Εδώ, προφανώς είναι λάθος η
σειρά των ερωτημάτων.
Αν ένας μαθητής δεν
αποδείξει πρώτα το (ΙΙΙ), θα
έχει κάνει λάθος, αν θεωρήσει
(αναπόδεικτα) ότι η E
διέρχεται από το A.

Αν ένας μαθητής φέρει τη E, δίχως να περνά από το A θα πελαγώσει...
Δίνω μια λύση, παρατηρώντας ότι το ερώτημα (β) θα μπορούσε να απαντηθεί
ευκολότερα αν χρησιμοποιούνταν ομοιότητα τριγώνων ή Μετρικές σχέσεις
(ύλη Β΄ Λυκείου).
Αναρωτιέμαι αν υπάρχει λύση δίχως Απαγωγή σε άτοπο.
Λύση:
α) Ι)Λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα A, B, είναι
AAH. Ομοίως, λόγω συμμετρίας ως προς άξονα την ευθεία που ορίζουν τα
A,  , είναι AEAH.
ΙΙΙ) Λόγω συμμετρίας είναι A1 A2, A3 A4 και αφού A2 A3 90   , θα είναι
A1 A2 A3 A4 180     , οπότε τα E,A,  είναι συνευθειακά.
ΙΙ) Αφού στο τρίγωνο EH η διάμεσός του HAείναι το μισό της πλευράς E ,
θα είναι H 90  .
β) Για να ήταν με ακρίβεια διατυπωμένη η εκφώνηση, θα έπρεπε να
αναφέρεται: "Τα τρίγωνα AB και EH είναι σε κάθε περίπτωση ίσα;"
Είναι B ˆ , E ˆ αφού έχουν πλευρές κάθετες. Για να είναι ίσα, αρκεί να
έχουν ίσες υποτείνουσες, δηλαδή αρκεί να είναι
B
AH
2

 .
Αν M μέσο της B , διαφορετικό σημείο από το H , είναι
B
AM
2

 . Επειδή το
 είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα AM , είναι αδύνατο να είναι AH  AM.
Οπότε, τα τρίγωνα AB και EH είναι ίσα, μόνο όταν το AB είναι και
ισοσκελές.

ΘΕΜΑ 3713
Δίνεται τρίγωνο  με 2
 
   και η διχοτόμος  της γωνίας

 . Από το
μέσο M της Aφέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο B που τέμνει την πλευρά
B στο N . Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο B είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)
β) Το τρίγωνο MN είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)
γ) AN  B. (Μονάδες 10)
Λύση:
α)
ˆ
ˆ
2
    
B
B , οπότε το τρίγωνο B είναι ισοσκελές με B.
β) MN  B  ˆ , γιατί οι γωνίες MN,B είναι εντός εκτός και επί τα αυτά
των παραλλήλων B,  .
Άρα το τρίγωνο MN είναι
ισοσκελές με   .
γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο
 έχουμε
2

  
A
MN M .
Δηλαδή η διάμεσος  του
τριγώνου AN ισούται με το
μισό της πλευράς που
αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο
AN είναι ορθογώνιο με AN  NAN  B.
ΘΕΜΑ 3714
Σε κύκλο κέντρου  θεωρούμε τα ίσα τόξα  και  , το καθένα ίσο με 120 .
Έστω  και  τα μέσα των τόξων  και  αντίστοιχα.

α) Το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.
β) Τα τρίγωνα  και  είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.
γ) Η χορδή  τριχοτομείται από τις χορδές  και  .
Λύση:
α) Είναι    60 ως εγγεγραμμένες σε τόξα 120 .
Άρα το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες 60 .
β) Τα τρίγωνα  και  είναι ίσα από     διότι έχουν:
   ως χορδές με ίσα
αντίστοιχα τόξα     60 ,
   30 1 και
    30 2 ως
εγγεγραμμένες σε τόξα 60 .
Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από
δύο γωνίες ίσες με 30 τότε οι
τρίτες γωνίες τους είναι:
  180230 120 .
γ) Τα τρίγωνα  και  είναι
ισοσκελή αφού έχουν από δύο
γωνίες ίσες (β ερώτημα) έτσι είναι:
 3 και  4.
Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και  4 .
Το τρίγωνο  έχει και  60 από το ισόπλευρο τρίγωνο , οπότε
    5άρα το είναι και αυτό ισόπλευρο.

Έτσι από τις σχέσεις 3,4,5   δηλαδή η χορδή 
τριχοτομείται από τις χορδές  και  .
ΘΕΜΑ 3715
Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις 1  και 2  :
1  : Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι
πλευρών του είναι ίσες.
2  : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι
ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.
α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις 1  και 2  αιτιολογώντας πλήρως
την απάντησή σας. (Μονάδες 20)
β) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως
μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Έστω παραλληλόγραμμο AB και ,οι αποστάσεις των απέναντι
πλευρών του.
1  : Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.
Τα τρίγωνα ABE,BZ είναι ίσα επειδή είναι
ορθογώνια, ABB(διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και
Aˆ (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα
BE BZ , οπότε η πρόταση ισχύει.
2  : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του
παραλληλογράμμου είναι ίσες.
Τα τρίγωνα ABE,BZ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια,
BE BZ (από υπόθεση) και Aˆ (απέναντι γωνίες
παραλληλογράμμου). Άρα ABB. Δηλαδή το

παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα
είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει.
β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των
απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
ΘΕΜΑ 3717
Δίνεται τρίγωνο  και Έστω ,τα μέσα των πλευρών του  και 
α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο  στο εσωτερικό του τριγώνου και ,τα
συμμετρικά του  ως προς  και  αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι / / .
β) Στην περίπτωση που το σημείο  είναι το μέσο της πλευράς  , και ,τα
συμμετρικά του  ως προς  και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία
, και  είναι συνευθειακά.
Λύση:
α) Αφού τα ,είναι τα
μέσα των πλευρών  και
 του τριγώνου  θα
ισχύει / / 1 και
2
2

  .
Τα ,είναι και τα μέσα
των πλευρών  και  του
τριγώνου  έτσι / / 3 και 4
2

  .
Από 1,3/ /.

β) Αν το  είναι το μέσο της πλευράς  τότε:
Το  είναι παραλληλόγραμμο αφού / / / / 5
2

     .
Το  είναι παραλληλόγραμμο
αφού / / / /
2

    
επειδή το  ενώνει τα μέσα δύο
πλευρών του τριγώνου  .
Άρα / / 6.
Από 5,6/ // /.
Ομοίως / // /.
Άρα τα σημεία ,και είναι συνευθειακά αφού από το  μόνο μια
παράλληλη διέρχεται προς το  .
ΘΕΜΑ 3718
Το τετράπλευρο  του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε
AZ και AEB. Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο  είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
β) Η ευθεία  είναι μεσοκάθετος του τμήματος  . (Μονάδες 9)
γ) Αν  και τα μέσα των πλευρών  και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)
Λύση:
α) Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ZAκαι AEB:
Είναι ορθογώνια καθώς Z E 90o έχουν ίσες υποτείνουσες A,AB (πλευρές
ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες ˆ ,B(απέναντι παραλληλογράμμου) ,άρα
είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα AZAE και το
τρίγωνο ZAE είναι ισοσκελές.
β) Θα δείξουμε ότι τα σημεία A, ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του
τμήματος ZE.

Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτειZZBBEE , άρα το
σημείο  ισαπέχει από τα
άκρα του τμήματος ZE.
Ομοίως το σημείο A
ισαπέχει από τα άκρα
του τμήματος ZE, άρα
τα σημεία A, ανήκουν
στην μεσοκάθετο ευθεία
του τμήματος ZE.
γ) Τα σημεία M,N είναι
μέσα υποτεινουσών των
ίσων τριγώνων ZAκαι AEB, άρα οι διάμεσοι ZM,EN θα είναι ίσες μεταξύ
τους. Μένει να δείξουμε ότι MN/ /ZE.
Στο τρίγωνο AB:
Τα M,N είναι μέσα των πλευρών Aκαι ABαντίστοιχα, συνεπώς: MN/ /B.
Από το ερώτημα β)
ZE A
ZE/ / B
A B
 
  
   
.
Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι MN/ /ZE.
Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ZM,ENδεν είναι
παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες , είναι
η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών.
Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου;
ΘΕΜΑ 3720
Δίνεται ρόμβος AB με ˆ 1200 . Έστω ότι και είναι οι αποστάσεις του
σημείου A στις πλευρές  και B αντίστοιχα.

i) Τα σημεία E και Z είναι τα μέσα των  και B αντίστοιχα. (Μονάδες 8)
ii) AEZ. (Μονάδες 8)
β) Αν M και N τα μέσα των A και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το
τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)
Λύση:
α) i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν
τις γωνίες του. Άρα ˆAAˆB600 .
Τα τρίγωνα λοιπόν A, AB, ως
ισοσκελή με μία γωνία 0 60 , θα είναι
ισόπλευρα. Άρα τα ύψη  ,
 θα είναι και διάμεσοι.
Οπότε, τα σημεία E και Z
είναι τα μέσα των  και B
α. ii) EZ || B (Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος).
Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι AEZ.
β)
B
MN||
2

 (M και N τα μέσα των A και  αντίστοιχα). Αλλά και
B
EZ||
2

 . Οπότε MN|| EZ, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο και έχει
πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως AB, θα
είναι και EZEM.
Άρα, το τετράπλευρο  είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
ΘΕΜΑ 3721
Στο ισοσκελές τρίγωνο AB (AB  A) φέρουμε τις διαμέσους B και E. Μία
ευθεία  παράλληλη στη βάση B τέμνει τις πλευρές  και A στα Z και H
αντίστοιχα και τις διαμέσους B και E στα σημεία  και K αντίστοιχα.

α) BZ H. (Μονάδες 8)
β) τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα. (Μονάδες 9)
γ) ZK  H. (Μονάδες 8)
Λύση:
α) Αφού  B και BZ,H τέμνονται στο Α,
το τετράπλευρο ZHB είναι τραπέζιο.
Αφού τρίγωνο AB ισοσκελές, τότε Bˆ  ˆ .
Συνεπώς ZHB είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Επομένως BZ H (1) .
β) 1 2
2
ˆ ˆ (2)
ˆ ˆ


   
         
 
AE A
A AB AE A B
A A

  
Αφού  B και Bˆ  ˆ τότε 1 2
Zˆ  Hˆ (3) (ως παραπληρώματα ίσων γωνιών-εντός
και επί τα αυτά μέρη γωνίες).
Από (1),(2),(3) και το κριτήριο () , τα τρίγωνα ZB και HK είναι ίσα.
γ) Συνεπώς Z KH. Άρα ZK  ZK  KH K H .
ΘΕΜΑ 3722
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο  με    και    . Να αποδείξτε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου  τέμνονται κάθετα.

γ) Το τετράπλευρο που έχει για κορυφές τα μέσα των πλευρών του  είναι
ορθογώνιο.
Λύση:
α) Το τρίγωνο  είναι ισοσκελές επειδή  έτσι   1 .
, 1
          οπότε το τρίγωνο  είναι
ισοσκελές με   2.
β) Επειδή και τα σημεία , ισαπέχουν από τα άκρα της 
οπότε η  είναι η μεσοκάθετος της  δηλαδή    .
γ) Αν ,,,τα μέσα των ,,,αντίστοιχα το τετράπλευρο 
είναι παραλληλόγραμμο (γνωστή εφαρμογή).
Είναι / / και / /αφού τα , ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των
τριγώνων  και αντίστοιχα, έτσι   90 ως παράλληλες σε
κάθετες ευθείες. Άρα το είναι ορθογώνιο.
ΘΕΜΑ 3723
Στο κυρτό εξάγωνο ABEZ ισχύουν τα εξής: ˆ ˆ , ˆ ˆ και ˆ ˆ .

(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ˆ ˆ ˆ . (8 Μονάδες)
(β) Αν οι πλευρές  και E προεκτεινόμενες τέμνονται στο H και οι πλευρές
 και  προεκτεινόμενες τέμνονται στο  , να αποδείξετε ότι:
(i.) Οι γωνίες A και H είναι παραπληρωματικές. (10 Μονάδες)
(ii.) Το τετράπλευρο AH είναι παραλληλόγραμμο. (7 Μονάδες)
Λύση:
(α) Οι γωνίες κυρτού εξαγώνου έχουν άθροισμα 2·64 8 ορθές, δηλ.
8·90 720    . Αφού ˆ ˆ , ˆ ˆ και ˆ ˆ , είναι
720
ˆ ˆ ˆ 360 .
2

     
(β) (i) Είναι
ˆ ˆ ˆ (180 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ  AH   HZEHEZ   HEZ 
ˆ ˆ (180 ˆ) ˆ ˆ ˆ 180 ˆ ˆ ˆ 180 360 180 180                     
2ος τρόπος
Το κυρτό πεντάγωνο ABH έχει άθροισμα γωνιών 2·54  6 ορθές, δηλ.
6·90 540    . Συνεπώς, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 540 ,     H  κι άρα
ˆ ˆ 540 ( ˆ ˆ ˆ) 540 360 180 .     H        
Αφού ˆ  Aˆ , έπεται ότι και ˆ ˆ 180 AH  .

(ii) Από το προηγούμενο υποερώτημα είναι A/ /H. Επίσης,
ˆ ˆ ˆ ˆ 180 ,  H  AH  κι άρα AH / /.
Συνεπώς, οι απέναντι πλευρές του AH είναι παράλληλες, κι άρα είναι
ΘΕΜΑ 3724
Δίνεται κύκλος (O,R) με διάμετρο AB και δυο ευθείες 1 2  , εφαπτόμενες του
κύκλου στα άκρα της διαμέτρου AB. Έστω ότι, μια τρίτη ευθεία  εφάπτεται
του κύκλου σε ένα σημείο του Eκαι τέμνει τις 1 2  , στα ,αντίστοιχα.
α) Αν το σημείοEδεν είναι το μέσο του τόξου AB, να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο AB είναι τραπέζιο.
ii. AB.
β) Αν το σημείο E βρίσκεται στο μέσον του τόξου AB, να αποδείξετε ότι το
τετράπλευρο AB είναι ορθογώνιο.
Στην περίπτωση αυτή να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου ABως
συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου.
Λύση:

α) i) Είναι A/ /B ως κάθετες στην AB. Ακόμα ηδεν είναι παράλληλη στην
AB , διότι σε αντίθετη περίπτωση το AB θα ήταν παραλληλόγραμμο με μία
ορθή , άρα ορθογώνιο .
Τότε η EOως κάθετη στην  θα είναι κάθετη στην AB.
Τότε τα AOE,BOEείναι τετράγωνα , οπότε το E θα ήταν μέσον της , που
είναι άτοπο .
ii) Αφού τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα, έχουμε: ABEE.
β) Απαντήθηκε στο α (i) ότι είναι ορθογώνιο. Η περίμετρός του είναι 6R .
ΘΕΜΑ 3725
Στο τετράγωνο  ονομάζουμε  το κέντρο του και θεωρούμε τυχαίο
σημείο  του τμήματος  . Φέρνουμε την κάθετη από το  στην  , που
τέμνει το τμήμα  στο  .
α) Οι γωνίες  και  του παρακάτω σχήματος είναι ίσες.
β)    και    .
γ) Το τμήμα  είναι κάθετο στο .
Λύση:
α) Είναι   ως οξείες με κάθετες πλευρές ,  .
β) Τα ορθογώνια τρίγωνα  και  είναι ίσα αφού έχουν   και
 ως μισά των ίσων διαγωνίων , του τετραγώνου.
Έτσι είναι και   .
Τα  και είναι ίσα από     γιατί έχουν :
   ως πλευρές του τετραγώνου,

   από (α) ερώτημα και
   ως αθροίσματα των ίσων
γωνιών  και  με 45 .
Οπότε    .
γ) Στο τρίγωνο  τα τμήματα
, είναι ύψη του που τέμνονται
στο  , δηλαδή το  είναι το
ορθόκεντρο του τριγώνου, άρα και το
 είναι το τρίτο ύψος του δηλαδή το
 είναι κάθετο στο .
ΘΕΜΑ 3726
Θεωρούμε δύο σημεία A και B τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς
μια ευθεία () τέτοια ώστε η ευθεία AB δεν είναι κάθετη στην () . Έστω / A το
συμμετρικό του A ως προς την ευθεία () .
(α) Αν η / A B τέμνει την ευθεία () στο σημείο O, να αποδείξετε ότι:
(i) Η ευθεία () διχοτομεί την γωνία / AOA .
(ii) Οι ημιευθείες OA και OB σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία () .
(β) Αν K είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία () να αποδείξετε ότι:
(i) KAKA΄ .
(ii) KAKB  AOOB.
Λύση:
(α) (i) Αφού το A΄ είναι το συμμετρικό του A ως προς την () , η () είναι
μεσοκάθετος του AA΄ και άρα OAOA΄ , οπότε το τρίγωνο AOA΄ είναι

ισοσκελές . Άρα το ύψος του
OE είναι και διχοτόμος της
γωνίας της κορυφής του,
δηλαδή η () διχοτομεί την
γωνία AOA΄ .
(ii) Έχουμε AOE  EOA΄ , όπως
δείξαμε στο (i) και
BOK  EOA΄ , ως
κατακορυφήν. Άρα
EOA BOK .
(β) (i) Αφού είδαμε ότι η ευθεία () είναι μεσοκάθετος του AA΄ , θα είναι και
KAK΄ .
(ii) Έχουμε: KAKBKA΄ KBBA΄ λόγω της τριγωνικής ανισότητας στο
τρίγωνο KBA΄ . Συνεπώς: KAKB  BA΄  BOOA΄  BOOA.
Β τρόπος
α) i. Επειδή τα  και ' είναι συμμετρικά ως προς την   η ευθεία   είναι
μεσοκάθετος του '
οπότε ' 1 και
το τρίγωνο ' είναι
ισοσκελές.
Έτσι η μεσοκάθετος του
τριγώνου είναι και
διχοτόμος της γωνίας της
κορυφής δηλαδή της ' .

ii. Αν  είναι το σημείο τομής του ' με την   ,  η οξεία γωνία που
σχηματίζει η ημιευθεία με την   και  η οξεία γωνία της  με την   ,
τότε:  ' 2 αφού η μεσοκάθετος  του ισοσκελούς τριγώνου
' ' είναι και διχοτόμος.
Όμως
2
'  ως κατακορυφήν.
β) i. Αφού το  είναι σημείο της μεσοκαθέτου   του τμήματος ' θα ισχύει
΄ 3 .
ii. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ' ισχύει:
   
 
3 1
΄  ΄ ΄  4 .
Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο  είναι:  5 .
Από 4,5  (μεταβατική ιδιότητα).
ΘΕΜΑ 3727
Στο τετράγωνο  προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα    και
την πλευρά  κατά τμήμα    .
i)    .
ii)    .
β) Αν  το συμμετρικό σημείο του  ως προς την ευθεία  , να αποδείξετε
ότι το τετράπλευρο  είναι τετράγωνο.

Λύση:
α) i. Έστω  είναι η πλευρά του τετραγώνου  .
Τα ορθογώνια τρίγωνα  και  είναι ίσα αφού έχουν:
    και  2 .
Άρα και    1 ,
   2 .
ii. Είναι     3
ως εντός εναλλάξ των
παραλλήλων , που
τέμνονται από τη  .
  90


         .
β) Αν  είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του  , τότε το τμήμα 
είναι μεσοκάθετος του  , αφού το  το συμμετρικό σημείο του  ως προς
 .
Άρα  4 και    5 .
   
1
4 , 5        .

Οπότε το  είναι τετράγωνο αφού έχει όλες τις πλευρές του ίσες, κάθετες
διαγώνιες και μία ορθή γωνία   90 .
ΘΕΜΑ 3728
Έστω ότι ο κύκλος (O,) εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου PE στα
σημεία A, και B.
i. P AP. (Μονάδες 6)
ii. P PEE. (Μονάδες 8)
β) Αν ABE, να αποδείξετε ότι
i. το τρίγωνο PE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
ii. Τα σημεία , και  είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5)
Λύση:
α. i) Επειδή τα εφαπτόμενα τμήματα σε
κύκλο από ένα σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα,
θα είναι: PA PB, A   καιE  EB.
Οπότε: PPAAPA.
α. ii) P APPBPEBEPEE
β. i)
A BE
P PA A PB BE P PE

         . Άρα το
τρίγωνο PE είναι ισοσκελές.
β. ii) Είναι O E (ακτίνα κάθετη στην
εφαπτομένη στο σημείο επαφής). Επειδή όμως
ο κύκλος (O,) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου PE και το τρίγωνο είναι
ισοσκελές, η διχοτόμος από την κορυφή A
διέρχεται από το σημείο O και είναι και
ύψος. Δηλαδή, POE.
Από το σημείο  όμως, υπάρχει μόνο μία
κάθετη στη E. Άρα, τα σημεία ,και  είναι συνευθειακά.
ΘΕΜΑ 3729
Θεωρούμε κύκλο κέντρου  και εξωτερικό σημείο του  . Από το  φέρνουμε
τα εφαπτόμενα τμήμα και  . Η διακεντρική ευθεία  τέμνει τον κύκλο

στο σημείο . Η εφαπτόμενη του κύκλου στο  τέμνει τα και  στα σημεία
 και  αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο  είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)
β)   . (Μονάδες 8)
γ) η περίμετρος του τριγώνου  είναι ίση με  . (Μονάδες 7)
Λύση:
α) Αρκεί να δείξουμε ότι PP.
Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική
ευθεία POδιχοτομεί την γωνία APB
που σχηματίστηκε από τα
εφαπτόμενα τμήματα PAκαι PB.
Συνεπώς : APOBPO.
Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα P
και P διαπιστώνουμε ότι είναι
ορθογώνια ˆ  90  o έχουν κοινή
κάθετη πλευρά Pκαι όπως δείξαμε
πριν έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες
APOBPO. Συνεπώς είναι ίσα
τρίγωνα , άρα έχουν όλα τα
στοιχεία τους ίσα, θα είναι λοιπόν
PP.
β) Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα
τμήματα που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα PAPB συνεπώς
συνδυάζοντας και το συμπέρασμα του προηγούμενου ερωτήματος:
APAPPBPB.
γ) Τα σημεία , είναι εξωτερικά του κύκλου και τα τμήματα A, και
,B είναι εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από αυτά, άρα ίσα μεταξύ τους.
Έχουμε:
A, B
P P P P P A B P PA PB
 
                       .
ΘΕΜΑ 3732
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABκαι το ύψος του A. Στο A θεωρούμε σημείο
H τέτοιο ώστε HAHB.Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της με την A.
Φέρνουμε την κάθετη στην , η οποία τέμνει την πλευρά Bστο .

i) Τα τρίγωνα HBκαι είναι ίσα. (Μονάδες 6)
ii)   Z . (Μονάδες 6)
iii) Η ευθεία H είναι μεσοκάθετος του τμήματος . (Μονάδες 6)
β)Ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)
Λύση:
α) i)Τα τρίγωνα HB και είναι ίσα,
επειδή είναι ορθογώνια και έχουν HBHA
(από υπόθεση) και BHAHZ
(ως κατακορυφήν).
α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του
ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι
HHZ . Άρα η H είναι
διχοτόμος της γωνίας AˆB ( Το
σημείο H ισαπέχει από τις
πλευρές της). Επομένως τα
ορθογώνια τρίγωνα H και
ZH είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και HˆHˆZ). Άρα Z .
α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα
B AZ .
BBAZZBA, οπότε το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές.
Άρα η H που διχοτομεί τη γωνία AˆB, θα είναι μεσοκάθετος της .
α) Στο τρίγωνο , τα ύψη AZ,B τέμνονται στο σημείο , που είναι και το
ορθόκεντρο του τριγώνου.

ΘΕΜΑ 3734
Σε ισοσκελές τραπέζιο (/ /) είναι .
α) Να αποδείξετε ότι η  είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 7)
β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου  , ώστε το τετράπλευρο  να
είναι ρόμβος. (Μονάδες
10)
γ) Αν επιπλέον είναι γωνία 120

   και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται
στο σημείο  , να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου  .
(Μονάδες 8)
Λύση:
α) Γνωρίζουμε ότι ABA άρα
το τρίγωνο AB είναι ισοσκελές
, συνεπώς ABAB.
Τα ευθύγραμμα τμήματα AB, 
είναι παράλληλα και τέμνονται
από την B, άρα οι γωνίες
AB,B είναι ίσες μεταξύ
τους ως εντός εναλλάξ. Από τα
προηγούμενα προκύπτει ότι
A B B
 
   που οδηγεί στο
συμπέρασμα.
β) Γράφουμε κύκλο με κέντρο το
 και ακτίνα A, έστω E το
σημείο τομής του με την πλευρά
 , θα δείξουμε ότι το
τετράπλευρο ABE είναι ρόμβος.
Το ευθύγραμμα τμήματα AB, 

είναι παράλληλα (παράλληλες πλευρές τραπεζίου) , άρα θα είναι και τα
τμήματα AB και Eπαράλληλα, επιπλέον ABAE,συνεπώς είναι ίσα ,
δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι
πλευρές του A,BE θα είναι ίσες ,άρα ισχύει: ABAEBEκαι το
τετράπλευρο είναι ρόμβος.
γ) Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο EB είναι ισόπλευρο.
Πράγματι είναι
ισοσκελές καθώς:
BABE , οι
γωνίες AB και EB
είναι ίσες ως απέναντι
γωνίες
παραλληλογράμμου
και η BE είναι
παραπληρωματική της
EB , άρα ίση με 60o , συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 60o
είναι ισόπλευρο.
Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και
διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός
παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές.
Άρα: O90o .
    0 1 1
OB ABE EB 60 60 90
2 2
          o o ,
BE  60o ,
    1 1
EO EB BE 60 120 120
2 2
         o o o .
ΘΕΜΑ 3735
Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB<ΑΓ. Έστω Αx η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας
A.

201441 (1)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Similar to 201441 (1)

Similar to 201441 (1) (20)

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

More from Σωκράτης Ρωμανίδης (20)

201441 (1)