20150522_第３回プログラマのための数学勉強会

1. つながり方・まがり方・大きさ
2015.5.22
第3回プログラマのための数学勉強会
@matsumoring

2. 内容
正多面体と球面を題材に、実際に簡単な計算をすることで、
図形の「つながり方・まがり方・大きさ」の関係を紹介する。
目次
0.正多面体
1.つながり方
2.まがり方
3.大きさ

3. 0.正多面体

4. 0.正多面体
• 正多面体は5つしかない。（Euclidの原論）
正四面体
正六面体
（立方体）
正八面体
正十二面体
正二十面体
Euclid

5. 1.つながり方

6. 1-1.正四面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①－②＋③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2

7. 1-2.正六面体（立方体）
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①－②＋③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2

8. 1-3.正八面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①－②＋③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
6 12 8 2

9. 1-4.正十二面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①－②＋③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
6 12 8 2
20 30 12 2
※ 点の数：5×12÷3＝20
※ 辺の数：5×12÷2＝30

10. 1-5.正二十面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①－②＋③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
6 12 8 2
20 30 12 2
※ 点の数：3×20÷5＝12
※ 辺の数：3×20÷2＝30
12 30 20 2

11. 1-6.Eulerの定理
• 2の正体：球面のEuler数
膨らませると球面になる多面体なら2
• ドーナツのEuler数は0
g個穴が空くと（種数g）Euler数は2-2g
L.Euler
(1707~1783)
種数0 種数1
Euler数は図形の「つながり方」を表す量！

12. 2.まがり方

13. 2-1.正四面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°－⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°

14. 2-2.正六面体（立方体）
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°－⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°

15. 2-3.正八面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°－⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
240° 120° 720°

16. 2-4.正十二面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°－⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
240° 120° 720°
324° 36° 720°

17. 2-5.正二十面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°－⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
240° 120° 720°
324° 36° 720°
300° 60° 720°

18. 2-6.Descartesの定理
• 角不足の意味：多面体の曲がり具合
• 720°＝2×360°
2の正体：球面のEuler数
R.Decartes
(1596~1650)
つながり方とまがり方が関係している！

19. 3.大きさ

20. 3-1.三角形の内角の和
• 三角形の内角の和は180度。
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋
もしくは
(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = 0
ーどっちが好きですか？ 私は後者！

21. 3-2.三角形の外角の和
• 三角形の内角の和が180度であることは、外角の和が360度で
あることと同値。
𝜋 − 𝛼 + 𝜋 − 𝛽 + 𝜋 − 𝛾 = 2𝜋
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋
⇔

22. 3-3.証明
• 外角を平行移動
平面がまがっていないことを使っている

23. 3-4.球面三角形
• 曲面上の三角形の外角の和は360度にならない。
※図は内角が全て90度の三角形8枚による球面の分割。
以下この例で計算するが結論は一般に成り立つ。

24. 3-5.平面からのズレ
• 逆に考えると、「360度－外角の和」が曲面のまがり具合を表
す量になっている。
• この量は三角形の大きさによるので、三角形の取り方によらず
曲面のまがり具合を表すには面積の分調整をする必要がある。
※「360度ー外角の和」＝「内角の和ー180度」
2𝜋 − ( 𝜋 − 𝛼 + (𝜋 − 𝛽)+(𝜋 − 𝛾)) = (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋

25. • 「内角の和ー180度」= 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 =
3
2
𝜋 − 𝜋 =
𝜋
2
• 「面積」=
4𝜋𝑟2
8
=
𝜋
2
𝑟2
∴ 「内角の和ー180度」=「面積」×
1
𝑟2
平面の場合の(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = 0は平面のGauss曲率が0ということ。
3-6.Gauss曲率
半径rの球面のGauss曲率
C.F.Gauss
(1777~1855)

26. 3-7.よせ集める
• 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 =
𝜋
2
𝑟2 ×
1
𝑟2という式を、球面全体にわたって
（三角形8枚分）足し合わせる。
• 「右辺の和」= 4𝜋𝑟2 ×
1
𝑟2 = 「表面積」 × 「Gauss曲率」
• 「左辺の和」= 6 × 2𝜋 − 8 × 𝜋 = 4𝜋 = 「Euler数」 × 2𝜋
∴「表面積」 × 「Gauss曲率」= 「Euler数」 × 2𝜋
頂点の数 面の数
つながり方まがり方大きさ

27. 3-8.一般に
• 球面のように一様なまがり方をしていない曲面𝑀のGauss曲率𝐾
は定数にならないので、その上の三角形𝛥については以下の式が
成り立つ。
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 =
𝛥
𝐾𝑑𝑆
• 向きづけ可能な閉曲面𝑀が三角形に分割されて、頂点が𝑉個、辺
が𝐸個、面が𝐹個あるとする。さきほどと同様に両辺の和を計算
すると以下のようになる。
𝑉 ⋅ 2𝜋 − 𝐹𝜋 =
𝑀
𝐾𝑑𝑆

28. 3-9.再びEuler数
• 「辺の数」 = 𝐸 = 3𝐹 ⋅
1
2
=
3
2
𝐹 ∴
1
2
𝐹 = 𝐸 − 𝐹
• 「左辺」= 𝑉 ⋅ 2𝜋 − 𝐹𝜋 = 𝑉 −
𝐹
2
2𝜋 = 𝑉 − 𝐸 + 𝐹 2𝜋 = 2𝜋𝜒
Euler数！

29. 向きづけられた閉曲面𝑀のEuler数𝜒とGauss曲率𝐾に対し以下の式
が成り立つ。
𝑀
𝐾𝑑𝑆 = 2𝜋𝜒
3-10.本日の主定理
定理（Gauss-Bonnet）
まがり方を集めるとつながり方がわかる！

30. ご清聴ありがとうございました！