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Kuratowski Theorem
- 3. おえかき ■ 皆さん おえかきはすきですか？ ■ どんな絵を描きますか？
- 6. おえかき ■ 辺を交差させずに平面上に描きたい – 条件は？ さっちゃん ごうた ↑描ける 無理
- 7. 「縮約」 ■ グラフGにおいて，辺eを縮約して得られるグラフをG/eと表す． ■ 辺eとその2端点が，1つの頂点v_eにまとめられる – 両端点の接続辺は改めてv_eに接続する →辺3-5をぎゅっ→
- 8. 「マイナー」「位相的マイナー」 ■ 縮約: ■ M=GX: Mを何回か縮約するとXになる ■ M=TX: Mを何回か するとXになる ■ YはXをマイナーとして持つ(XはYのマイナー):Yのある部分グラフがGX ■ YはXを位相マイナーとして持つ(XはYの位相マイナー):Yのある部分グラフがTX (次数2の端点を持つ辺を縮約)
- 9. Eulerの公式 ■ 連結な平面グラフに関して，(頂点数)-(辺数)+(領域数)=2 – 証明は省略 ■ これを使うと，以下のことが分かる – 頂点数n(≧3)の平面グラフに関して，辺数は高々3n-6 – 証明: 最大はすなわち三角形分割なのでそれを考えると， どの領域も3つの辺を含み，どの辺も2つの領域に含まれるので， それとEulerの公式を使うと出る
- 10. 平面グラフになり得ない例 K5くん K3,3ちゃん ■ 次のグラフは平面グラフにならない． – K5は，許される辺の数3n-6=9に対して10本あるのでダメ – K3,3は？
- 11. 平面グラフになり得ない例 K5くん K3,3ちゃん ■ K3,3には三角形がないので，3n-6セオリーの証明をこう考え直す – “どの領域も4つの辺を含み，どの辺も2つの領域に含まれる” ■ これをEulerの公式と見比べると，辺の数は高々2n-4とわかる – K3,3の辺の数は9で，これを超えるのでダメ
- 13. 平面グラフになり得ない例 K5くん K3,3ちゃん ■ つまり，K5やK3,3を位相的マイナーとして持つグラフは 平面グラフでない ■ なんと逆が成り立つ！(Kuratowskiの定理)
- 15. 証明の流れ 1. グラフがK5かK3,3のどちらかを位相的マイナーに持つことが， どちらかをマイナーに持つことと同値であることを示す．(帰着) 2. 3-連結グラフにおいてKuratowskiの定理が成り立つことを示す． 3. 一般の場合を3-連結グラフに帰着して，証明を終える．
- 16. 証明の流れ 1. グラフがK5かK3,3のどちらかを位相的マイナーに持つことが， どちらかをマイナーに持つことと同値であることを示す．(帰着) 2. 3-連結グラフにおいてKuratowskiの定理が成り立つことを示す． 3. 一般の場合を3-連結グラフに帰着して，証明を終える． – このスライドでは，1,2の面白い証明を紹介する (3は自分の目で確かめてみよう)
- 17. 命題1 ■ 𝐺 = 𝑀𝐾5 ∨ 𝐺 = 𝑀𝐾3,3 ⟺ (𝐺 = 𝑇𝐾5 ∨ 𝐺 = 𝑇𝐾3,3) ■ 位相的マイナーはマイナーなので，左向きは自明 ■ 図を描いてみると，G=MK3,3のときは明らかにG=TK3,3なので，考えなくてよい ■ 𝐺 = 𝑀𝐾5のときに， 𝐺 = 𝑇𝐾5と𝐺 = 𝑀𝐾3,3のいずれかが 成り立つことを示せばいい
- 18. 命題1 ■ 𝐾 = 𝑀𝐾5となる最小の部分グラフKをおく ■ 最小性から，Kの5つある分岐集合はすべて木を誘導し， 任意の2つの間にはKの辺が1本ある
- 19. 命題1 ■ 𝐾 = 𝑀𝐾5となる最小の部分グラフKをおく ■ 最小性から，Kの5つある分岐集合はすべて木を誘導し， 任意の2つの間にはKの辺が1本ある ■ 分岐集合Viの誘導した木に， それと他の分岐集合を結ぶ4辺を 追加して得られる木Tiを考える ■ Tiはちょうど4つの葉を， 各分岐集合に1つずつ持つ
- 23. 命題1 ■ あるTiがTK1,4でないとき(Txとする) – そのようなTxは，次数3の頂点をちょうど2つ持つ(図のような感じ) – 図のように縮約すると， K3,3がマイナーとして含まれる
- 24. 証明の流れ 1. グラフがK5かK3,3のどちらかを位相的マイナーに持つことが， どちらかをマイナーに持つことと同値であることを示す．(帰着) 2. 3-連結グラフにおいてKuratowskiの定理が成り立つことを示す． 3. 一般の場合を3-連結グラフに帰着して，証明を終える．
- 27. 補題2’ ■ |G|>4となる3-連結なグラフGにおいて，適切に辺eを選べばG/eも3-連結になる． ■ 3-連結ってなんやねん ■ k-連結 := どの2頂点組も，分離するにはk個以上の頂点を除去する必要がある – 「どの2頂点間にも，k個以上の独立な道がある」と言い換えられる
- 29. 定理2 ■ |G|についての帰納法を使う – |G|=4のときは，すなわちG=K4なので成立する – |G|>4とし，小さいグラフで主張が正しいと仮定する
- 30. 定理2 ■ |G|>4とし，小さいグラフで主張が正しいと仮定する – 補題2’から，G/xyが再び3-連結となる辺xyがある ■ 縮約で出来た頂点をvxyとする – G/xyはK5,K3,3をマイナーに持たないので，平面上の描画gを持つ
- 31. 定理2 ■ 𝑔 − 𝑣 𝑥𝑦において𝑣 𝑥𝑦を含む領域を 𝑓 とし，その境界を 𝐶 とする． – 𝑔が3-連結なので𝑔 − 𝑣 𝑥𝑦は2-連結であり，そこから 𝐶 は閉路とわかる ■ 𝑋, 𝑌を，それぞれx,yの(y,xを除く)隣接点の集合とする – 𝑣 𝑥𝑦 ∈ 𝑓なので，XもYもCに含まれる
- 32. 定理2 ■ 𝑔 − 𝑣 𝑥𝑦において𝑣 𝑥𝑦を含む領域を 𝑓 とし，その境界を 𝐶 とする． – 𝑔が3-連結なので𝑔 − 𝑣 𝑥𝑦は2-連結であり，そこから 𝐶 は閉路とわかる ■ 𝑋, 𝑌を，それぞれx,yの(y,xを除く)隣接点の集合とする – 𝑣 𝑥𝑦 ∈ 𝑓なので，XもYもCに含まれる ■ 𝐺 − 𝑦の描画を考えてみる – ここにyと隣接辺を追加できればよい
- 33. 定理2 ■ 𝐺 − 𝑦における𝐶において，xの隣接点を順に𝑥1~ 𝑥 𝑘とし， C上のX-道で，頂点を順に結ぶものを𝑃𝑖とする – 𝑥 𝑘+1 ≔ 𝑥1
- 34. 定理2 ■ 𝐺 − 𝑦における𝐶において，xの隣接点を順に𝑥1~ 𝑥 𝑘とし， C上のX-道で，頂点を順に結ぶものを𝑃𝑖とする – 𝑥 𝑘+1 ≔ 𝑥1 ■ 領域𝑓𝑖を図のように定義する – 𝐶 ∖ 𝑃𝑖を含まない方の，閉路𝑥 𝑥𝑖 𝑃𝑖 𝑥𝑖+1 𝑥の領域
- 35. 定理2 ■ 𝐺 − 𝑦における𝐶において，xの隣接点を順に𝑥1~ 𝑥 𝑘とし， C上のX-道で，頂点を順に結ぶものを𝑃𝑖とする – 𝑥 𝑘+1 ≔ 𝑥1 ■ 領域𝑓𝑖を図のように定義する – 𝐶 ∖ 𝑃𝑖を含まない方の，閉路𝑥 𝑥𝑖 𝑃𝑖 𝑥𝑖+1 𝑥の領域 ■ 𝐺 − 𝑦の描画を𝐺の描画に変えるには， yのC上の隣接点をすべて含む𝑃𝑖を見つければよい – 図のようにyとその隣接辺を埋め込める
- 36. 定理2 ■ 𝑦の𝐶上の隣接点をすべて持つような𝑃𝑖がないとする ■ ある𝑃𝑖の，端点以外の点𝑦’が，𝑦の隣接点であったとする ■ すると，𝐶 − 𝑝𝑖上に別の隣接点𝑦’’があることになり， 図の位相的マイナーは𝑇𝐾3,3となって不適．
- 37. 定理2 ■ 𝑦の𝐶上の隣接点をすべて持つような𝑃𝑖がないとする ■ 𝑦の𝐶上の隣接点はすべて𝑥の隣接点でもあるとする ■ 𝑌 ≥ 3の時は明らかに𝑇𝐾5 が見える ■ そういえば元々グラフは3-連結だったので，𝑦の次数は3以上でないといけない ■ なので，𝑦の隣接点を𝑥, 𝑥𝑖, 𝑥𝑗の3つとする
- 38. 定理2 ■ 𝑦の𝐶上の隣接点をすべて持つような𝑃𝑖がないとする ■ 𝑦の隣接点を𝑥, 𝑥𝑖, 𝑥𝑗の3つとする ■ 仮定から，𝑥𝑖, 𝑥𝑗の間(2つある)には，別の𝑥 𝑎が存在する(𝑥 𝑘, 𝑥𝑙とおく) ■ すると，図の位相的マイナーは𝐾3,3となり，不適
- 40. 証明の流れ 1. グラフがK5かK3,3のどちらかを位相的マイナーに持つことが， どちらかをマイナーに持つことと同値であることを示す．(帰着) 2. 3-連結グラフにおいてKuratowskiの定理が成り立つことを示す． 3. 一般の場合を3-連結グラフに帰着して，証明を終える．