1. MANTIK
1. Önermeler ve Mantık işlemleri
Doğru ya da yanlış kesin yargı bildiren
cümlelere önerme denir.Önermeler p,q,r,...vs
gibi harflerle ifade edilir. Önermenin
doğruluk değerini de D-(1) veya Y-(0) ile
gösteririz.
Önerme P P
DOĞRU D 1
YANLIŞ Y 0
2. "2+2 = 4" cümlesi bir önermedir.Çünkü bu cümle
doğru da olabilir yanlışta .Bu önerme doğru olduğu
için doğruluk değeri 1 olur.
"1 = 0" cümlesi de bir önermedir. Fakat yanlış bir
önermedir. doğruluk değeri 0 olur.
" Yarın yağmur yağacak." cümlesi de bir önermedir.
Doğruluk değeri için yarını beklemek gerekecektir.
3. "Aşağıdaki soruyu çözün. " cümlesi bir
önerme değildir.Doğru veya yanlış bir
yargı belirtmiyor.
"Günaydın arkadaşlar! " cümlesi de bir
yargı belirtmez.(Hatta bir cümle bile değildir.)
Uyarı: Soru,istek,emir cümleleri önerme
olmazlar.
4. Örnek Yalancı Paradoksu
"Ben her zaman yalan atarım . " bizi kör kuyuya
atar.Eğer her zaman yalan atıyorsa şimdi doğru
söylüyordur.Çelişki olur.Yok eğer yalan atıyorsa
zaten bu sözü de yalandır.
Ünlü bir paradoks daha vardır:
Epiktetos Giritli idi ve derdi ki:
" Bütün Giritliler yalancıdır. " .Hadi uğraşın
durun bakalım kim yalancı kim değil...
Bu tür cümlelerde bir kısır döngü mevcuttur.Bu
paradoksal ifadeler önerme değillerdir.
5. Eski önermelerden yenilerini yapmanın çeşitli
yolları vardır.Örneğin ,p:" 3 doğal bir sayıdır. "
önermesini ele alalım.p önermesinin olumsuzu
(değili) " 3 doğal bir sayı değildir. " olur.
P nin değilini ~p , p’ ya da ¯p ile gösteririz.
Bunun anlamı da;
eğer p doğru ise ,~p yanlış,
yok eğer p yanlış ise ~p doğrudur
6. Doğruluk tablosunda gösterim:
p ~p
1 0
0 1
Sol tarafta p nin iki olası doğruluk değeri ,sağ
tarafta ise ~p nin değerleri görülmektedir. ~ bir
mantık işlemidir.
UYARI:Bir önermenin değilinin değili
kendisine denktir.~(~p) ≡ p
7. p, q, r, s ... gibi harflerin önermeleri belirttiğini
söylemiştik (neden p ile başlıyor???).
Önermenin göstergesi veya kodu olan bu harfler
daima en başa yazılmalıdır.
Örneğin;
p: "Ay dünyanın etrafında döner."
okurken de
p önermesi "Ay dünyanın etrafında döner."
cümlesidir ,deriz
8. Örnek 3
p: "2+2 = 4" ise ~p nedir?
Çözüm
~p: "2+2 ≠ 4."
Dikkat edersek...
~p yanlış bir önerme olduğunda ,p
önermesi doğru bir önermedir.
9. Örnek 4
p: "1 = 0" ise ~p nedir?
Çözüm
~p: "1 ≠ 0."
DİKKAT DİKKAT ...
Burada ~p önermesi doğru ,p önermesi
yanlıştır.Genelde düşülen hata ; ~p
önermesinin daima yanlış olduğunun
düşünülmesidir. ~p, sadece p önermesinin
değildir .Aman Dikkat...
10. Örnek 5
p: " İstanbul’u Fatih Sultan Mehmet fethetti."
~p nedir?.
Çözüm
~p : " İstanbul’u Fatih Sultan Mehmet
fethetmedi."
11. Örnek 6
p: ”Bu şehirdeki bütün politikacılar
dolandırıcıdır." ise ~p nedir?
Çözüm
~p: "Bu şehirdeki bütün politikacılar
dolandırıcı değildir."
veya
"Bu şehirde en azından bir politikacı
dolandırıcı değildir."
12. Bir Dakika Lütfen ...
Dikkat edersek ~p önermesi için
"Bu şehirdeki hiç bir politikacı
dolandırıcı değildir." tarzında bir ifade
yanlış olurdu. Gelecek konularda da
değineceğimiz
gibi,bütün(her)kelimesinin olumsuzu
bazı(en az bir)olur.
14. Eski önermelerden yeni bir önerme yapmanın
bir metodu da önermeleri birleştirmektir.İki ya
da daha fazla önermenin bileşmesinden oluşan
önermelere bileşik önerme denir.
Örneğin;p:"Ben akıllıyım " ve q:"Sen kuvvetlisin"
önermelerini bileşik önerme olarak yazarsak;
:"Ben akıllıyım ve sen kuvvetlisin”.Yeni önerme
p ∧ q şeklinde gösterilir." p ve q ”şeklinde okunur.
ve işlemi ∧ sembolü ile gösterilir. p ∧ q nin doğru
olabilmesi için her ikisinin de doğru olması
gerekir.Ahmet ve Mehmet gelsin örneği...
15. Ve İşlemi Doğruluk Tablosu
Ve li bileşik önermelerin doğruluk tablosu:
p q p ∧q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
16. Örnek 7
p: " Krigg (gri) delikleri boyut kapıları
oluşturur. " ve q: "2+3 = 5" ise p ∧ q ?
Çözüm
p ∧ q : " Krigg (gri) delikleri boyut kapıları
oluşturur ve 2+3 = 5"
Dikkat Dikkat...
İki önermelerden herhangi bir tanesi yanlış ise
p ∧ q bileşik önermesi yanlıştır.
Burada"Ve işlemi"
çarpma işlemi gibi düşünülebilir;
1.0=0 , 0.0=0 vs...
17. Örnek 8
p : "Bu ünite sıkıcıdır."
q : ”Mantık konusu sıkıcı bir konudur. "
önermeleri verilsin.
”Mantık konusu sıkıcı bir konu olmakla birlikte bu
ünite sıkıcı değildir." önermesini mantık işlemleri
ile nasıl ifade ederiz.
Çözüm
”Mantık konusu sıkıcı bir konudur." ifadesi q ile
aynıdır.Bununla beraber anlamına "olmakla
birlikte" " ifadesi bize ve bağlacını kullandırtır.
"Bu ünite sıkıcı değildir." ise (~p) olur.
Sonuç olarak, q ∧ (~p) bileşik önermesi elde
edilmiş olur.
18. Örnek 9
p ile q herhangi iki önermedir.~p ∧q ≡ 1 ise p,q,~q
önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
Çözüm
~p ∧q = 1 ise ~p ≡ 1 ve q ≡ 1 olur.
Buradan p ≡ 0 ve ~q ≡ 0 olur.
O halde , p ≡ 0, q ≡ 1 , ~q ≡ 0 olur.
19.
20.
21. ‘Veya’ işlemi ; p:"Ben akıllıyım " ve
q:"Sen kuvvetlisin" önermelerini
bir kere daha verelim.
Veya bileşik önermesi olarak yazarsak;
"Ben akıllıyım veya sen kuvvetlisin”.
Yeni önerme sembolik olarak p ∨ q şeklinde yazılır
ve "p veya q." diye okunur.
p ∨ qdurumunda doğruluk için ; p doğru olmalı ya da
q doğru olmalı ya da her ikisi de doğru olmalıdır.
Ahmet veya Mehmet gelsin örneği...
22. Veya İşlemi Doğruluk Tablosu
p ∨ q bileşik önermesinin doğruluk tablosu :
p q p∨q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
23. Örnek 10
p: " Ömer 3.problemi çözdü. "
q: " Osman 3.problemi çözdü. "
p ∨ q önermesini yazınız?
Çözüm
p ∨ q : " Ömer 3.problemi çözdü veya Osman
3.problemi çözdü. "
DİKKAT DİKKAT...
Burada her ikiside problemi çözebilir.Fakat
bir tanesinin çözmesi ile problem çözülmüş
olur.Veya lı işlemler toplama işlemi gibi
düşünülebilir; 1+0=1 , 0+0=0, 1+1=1(!)...
24. Örnek 11
p: " 32 + 42 = 52 dir."
q: " 8 < 5 tir "
ve r: " 4 - 5 = 1 " ise
(p∨q)∧r’ bileşik önermesinin doğruluk
değerini bulunuz.
Çözüm
p: " 32 + 42 = 52 dir. " için p ≡ 1.
q: " 8 < 5 tir " için q ≡ 0.
ve r: " 4 - 5 = 1 " için r ≡ 0.
(p∨q)∧r’ ≡ (1 ∨ 0) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1 olur.
25. Örnek 12
p∨(~q)önermesi yanlış bir önermedir.
a.) p , ~p , q , ~q önermelerinin doğruluk
değerlerini bulunuz.
b.) ((~p) ∨ q) ∧ (p ∧ q) önermesinin doğruluk
değerini bulunuz.
26. Çözüm
p∨(~q)önermesi yanlış bir önerme ise bu
durum sadece iki önermenin yanlışlığında
gerçeklendiğini biliyoruz.
O halde; p≡0 ,~q ≡ 0 olur.
a)p ≡ 0,~p ≡ 1,q ≡ 1,~q ≡ 0 bulunur.
b) ((~p) ∨ q) ∧ (p ∧ q) =(1 ∨ 1) ∧ (0 ∧ 1)
∧
=1 ∧ 0 =0 olur.
27. Özet: Olumsuz, Veya İşlemi, Ve İşlemi
Doğruluk
Semboller İfade
Tablosu
p ~p
Olumsuz ~p 1 0 p değil
0 1
Veya p∨ q p
1
1
0
q p∨ q
1
0
1
1
1
1
p veya q
0 0 0
Ve p∧ q 1
1
0
p q p∧ q
1
0
1
1
0
0
p ve q
0 0 0
