3. ÖNERMELER
Doğru yada yanlış bir hüküm
bildiren,ancak aynı anda hem
doğru hem yanlış olmayan
ifadelere
“önerme”
denir.
Önermeler p, q, r gibi harflerle
gösterilir.
4. ÖRNEKLER ve
CEVAPLARI önerme olup
Aşağıdaki ifadelerin
olmadığını bulun.
1. Kedilerin altı ayağı vardır.
2. Buraya gel!
3. 2+3=5
4. Büyük adam !
5. Üçgenin alanı yüksekliği ile
tabanının çarpımını yarısına
eşittir .
6. Çelişkili cümleler önerme değildir.
Örnek: ”BÜYÜK HARFLERLE
YAZILMIŞ OLAN BU CÜMLE
YANLIŞTIR”
Görüldüğü gibi bu cümle bir çelişki
içermektedir. Bu tür cümlelere
PARADOKS denir.
9. Beyza:Şeyda doğru söylüyor
Şeyda:Beyza yalan söylüyor
10. Bir adam, saçları döküldüğü
için doktora gider. doktor,
teşhisi koyar: Stres!
Ama adam saçları
döküldüğü için strese
girmektedir. Strese girdikçe
daha da fazla dökülmektedir.
Daha da fazla döküldükçe de,
stresi aynı hızla artmaktadır...
11.
12.
13. ÖRNEKLER ve
CEVAPLARI 1. Bütün
örümcekler 7
bacaklıdır.
2. Bütün insanlar
Örneklerden hangileri ölümlüdür.
önerme değildir 3. Bugün nereye
gittin?.
4. Dersine
zamanında çalış.
5. Yarın yağmur
yağacak.
14. 1. Önerme
2. Önerme
3. Değil 4. Değil
5. Değil
15. Önermenin Doğruluk
Değeri
Önerme
doğru ise 1 sembolü ile,
yanlış ise 0 sembolü ile
ifade edilir.
Buna önermenin
doğruluk değeri
denir.
21. Aşırı No t p q r
1 1
p ve q iki önerme olsun.
P doğru iken 0
q doğru yada yanlış olabilir. 1 0 1
Bunun gibi p yanlış olduğunda
0
q doğru yada yanlış değer alabilir.
Bu şekilde doğruluk değerlerini 1 1
gösteren bir doğruluk tablosu 0
çizilebilir.
0 0 1
0
22. Önermelerin Denkliği
İki önermenin doğruluk
değerleri aynı ise bu iki
önerme denktir denir.
İki önerme denk ise p ≡ q ile
gösterilir ve “p denktir q ya ”
diye okunur.
23. Aşağıda verilen önermelerin
doğruluk değerlerini
bulmalyım. Hangileri denk,
hangileri denk değildir?
Denkler için “ ≡ “ , denk
olmayanlar için “≢ “
sembolünü kullan.
24. a) En küçük asal sayı 2 dir.
b)En büyük negatif tamsayı -1 dir.
c) 28 bir basamaklı bir sayıdır.
d) En büyük doğal sayı 9 dur.
a ≡ 1,b≡ 1,c ≡ 0,d ≡ 0
Bu ifadelerden şu sonuca varırız..
a ≡b,c≡ d,a ≢ c,a ≢d,b ≢c, b≢ d,
25. Önermenin Değili
Bir önermenin hükmü değiştirilerek
oluşturulan yeni önermeye bu
önermenin değili denir. p önermesi
için p nin değili, p’ veya ~ p ile
gösterilir.
AŞIRI NOT : Bir önermenin
değili onun zıddına
tamamlanmışıdır.
26. Bu bilgilere göre aşağıdaki
tablo oluşur
Bazı Değili
p ~p Semboller
= ≠
1 0 > ≤
≥ <
0 1 ∈ ∉
27. ÖRNEKLER ve
CEVAPLARI
Önermelerin değillerini
bulunuz.
• p: Bugün hava bulutludur.
• ~p: Bugün hava bulutlu
değildir.
28. • q: Bugün cumadır.
• ~q: Bugün Cuma değildir.
• r: 4+5=9
• ~r: 4+5≠9
• s: Murat futbol oynamaz.
• ~s: Murat futbol oynar.
29. Değilinin Değili
Önerme doğru ise değili
yanlıştır.Yanlış bir
önermenin değili ise doğru
bir önermedir.O halde bir
önermenin değilinin değili
kendisine denktir.
31. Örnek 5
“Ben mutlu değilim dersem doğru
olmaz“cümlesini en basit formda
yazınız.
Çözüm
p: “Ben mutluyum" denirse bu
önerme ~(~p) ye denktir .
Dolayısıyla bu ifade kısaca “ben
mutluyum“ demektir.
34. Aşağıdki cümlelerin
gerçek değerini
bulunuz.
a) Pamuk bir hayvandır.
b) Ay bir gezegendir.
c) Dünya hareket etmez.
d) 32<12+6÷2•8
e) 8=24-8•2
35. Aşağıda verilen önerme
çiftlerinin biribirine denk
olup olmadığını bulunuz.
a) p: Kelebek bir böcektir.
q: Gezegenler yıldızdır.
b) r: Dünyanın rotası ekseni
etrafındadır.
s: Üçgenin alanı iki
kenarının çarpımına eşittir.
c) t: 3<5 k: (x-1)2< 0
36. Önermelerin değillerini
bulunuz.
a) Dünyanın en büyük okyanusu
Pasifik okyanusudur.
b) 4≥3.
c) 15 asaldır.
d) 6 Doğal sayıdır.
e) 6•2<13
f) Deniz dalgalıdır.
41. “∧” Bağlacı
p ve q önermeleri “ve ” bağlacı ile
bileşik önerme yapılabilir bu da p ∧
q ile gösterilir.
örnek:
p: Hayvanlar denizde yaşar.
q:2 asal sayıdır.
Buna göre p ∧ q: Hayvanlar denizde
yaşar ve 2 bir asal sayıdır.
42. p ve q iki önerme olsun.her
ikisi de doğru iken doğru
diğer durumlarda yanlış olan
bileşik önermeye p ve q
önermesi denir ve p ∧ q ile
gösterilir.
1) P∧ 0≡0 2)p∧ 1≡p
3)p∧ ∼p≡0
45. Aşağıdaki önermeleri p, q,
r...ile göstererek doğruluk
değerlerini bulunuz.
1. Limon sarıdır ve çilek kırmızıdır.
p: Limon sarıdır. ⇒ p≡1
q: Çilek kırmızıdır. ⇒ q≡1
O halde p∧ q ≡1∧ 1 ≡1
46. 2. Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır ve
bir karenin 5 kenarı vardır.
p:Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır
⇒ p≡1
q: Bir karenin 5 kenarı vardır. ⇒
q≡0
olduğundan p≡1ve q≡0,
p∧ q ≡1 ∧ 0 ≡0
47. 3.5+7=3 ve 9>8
p: 5+7=3⇒ p≡0
q: 9>8 ⇒ q≡1
Olduğundan p≡0 ve
q≡1, p∧ q ≡ 0 ∧ 1
≡0
48. 4. Bir üçgenin 4 açısı ve bir
dörtgenin 3 açısı vardır
p: Bir üçgenin 4 açısı vardır
⇒ p≡ 0
q: Bir dörtgenin 3 açısı
vardır ⇒ q≡0
olduğundan p≡0 ve q≡0,
p ∧ q ≡ 0 ∧ 0 ≡0
49. Şimdi kendini dene
Bileşik önermelerin gerçek
değerini bul.
p≡{[(1∧0)∧1]∧} ∧{1∧[ (1∧1)∧0]}
50.
51. p ve q önermeleri “VEYA ”
bağlacı ile bileşik önerme
yapılabilir bu da p V q ile
gösterilir .
Ör: p: “Ben zekiyim” q:
“Sen güçlüsün”
p V q:
“ Ben zekiyim veya sen
52. p ve p iki önerme olsun.bu
önermelerden ikisi de yanlış
iken yanlış, diğer durumlarda
doğru olan bileşik önermeye
“p veya q” bileşik önermesi
denir ve p V q ile gösterilir.
Bu tanıma göre şu
eşitlikleri yazabiliriz.
1. p V 0 ≡ p 2. p V 1 ≡ 1
3. pV ~ p ≡ 1
54. Örnek
p: “Ahmet işi yapar" ve q: “Ali işi yapar."
önermeleri veriliyor. p V q ne ifade eder?
Çözüm
p V q: “Ahmet veya Ali’den biri işi yapar.”
55. Örnek
p: “Terzi o işi yapar,"
q: “Berber o işi yapar,"
and let r: “Aşçı o işi yapar.“
(p V q) ∧ (~r) bileşik önermesini
bulunuz.
Çözüm
(p V q) ∧ (~r) : " Terzi veya berberden
birisi o işi yapar ve aşçı o işi yapamaz"
56. Örnek
p: "55, 5 e bölünebilir,"
q: "676, 11 e bölünebilir," and
r: "55, 11 e bölünebilir."
Çözüm
Çözüm
Aşağıdaki(~ r) V (( ~q) sembolik olarak
önermeleri
(a) (~ r) V ~q)
(a)
gösteriniz:(p V r) V q ,veya,p V(r V
(b) (p V r) V q ,veya,p V(r V
(b)
(a) “55,q11 e bölünemez veya 676, 11 e
q ))
bölünemez." V r ≡ p V (qV r)
(p V q) V r ≡ p V (qV r)
(p V q)
(b) “55, 5 veya 11 e bölünebilir;veya 676,
11 e bölünebilir."
57. Sembolik Doğruluk
Okunuşu
Form Tablosu
p ~p
Değil
Değili ~p 1
0
0
1
p
Veya p∨ q p
1
1
0
q p∨ q
1
0
1
1
0
1
p ve q
0 0 0
Ve p∧ q p
1
1
0
q p∧ q
1
0
1
1
0
0
p veya
q
0 0 0
59. Augsts De Morgan (1806-
1871)
Mantık analizcisi ve olasılık
teorisyenidir. De Morgan Londra
matematik üniversitesinin ilk
profesörüdür. Aristo mantığının
sağlam temellere oturtmuştur.
74. Aşağıdaki önermelerin tersini
yazınız.
• A) a ⇒ b: “Bugün cuma ise yarın
cumartesidir ”
b ⇒ a: “Yarın Cumartesi ise bugün
cumadır.”
• B) c ⇒ d: “Hava kar yağışlı ise
soğuktur”
d ⇒ c: “Hava soğuk ise kar
yağışlıdır.”
78. Aşağıdaki
önermelerin karşıt
terslerini yazınız.
• A)Eğer “2 tamsayı ise 22 de tamsayıdır”
Eğer “22 tamsayı değilse 2 de tamsayı
değildir”
• B)”Karenin alnı 4cm2 ise bir kenarı 4cm
dir”
“Karenin bir kenarı 4cm değilse alanı
4cm2 değildir.”
85. p ve q iki önerme olsun.
p ve q önermelerinin
doğruluk değerleri aynı
iken aynı, farklı iken
yanlış olan önermeye
p ancak ve ancak q
bileşik önermesi denir
ve
90. 1 . Hangisi bir
önerme değildir?
A) Herkesin bir kız kardeşi vardır.
B) Bütün köpekler hayvandır.
C) Doğru parçasında en az iki nokta
vardır.
D) Sevgili öğrenciler.
E) Bazı insanlar zekidir.
Cevap:D
91. 2 . Eğer dört önermeniz varsa,
kaç tane doğruluk değeri vardır?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64
Cevap: C
92. 3. p:”Eren çok çalışkandır” ve
q:”Esra basketbol oynayamaz”
önermeleri veriliyor.Aşağıdakilerden
hangisi “Eren tembel ve Esra basketbol
oynar”
bileşik önermesini ifade eder?
A)p’ V q’ B)(p’ V q) C)p ∧ q’
D)p’ ⇒ q’ E) p’ ∧ q’
Cevap:D
93. 4. p ⇒ (p ∧ q) ifadesine
aşağıdakilerden hangisi denktir?
A) p ⇒ (p V q)’ B) p ⇒ q C) p V
q’ D)p’ ⇒ q’ E)p ⇒ q’
Cevap:B
94. 5. p ⇒ (q ⇒ p’) ifadesi hangisine
denktir?
A)P V(p V q)’ B)p ⇒ q C)p’ V q’
D) q’ ⇒ p E)p’ ⇒ q
Cevap:C
96. 7 . (p ⇒ q) ⇒ (p ’ ⇒ q)
aşağıdakilerden hangisine
denktir ?
a) (p V q ) ’
b) (p ’ ⇒ q ’ )
c) (p ⇒ q ) ’
d) (p ⋁q )
e) (p ⋁q ) ⇒ (p⋁q)
Cevap: D
97. 8 . 3=5 ⇒ 9=25 şartlı
önermesinin değili nedir?
a) (3≠5) V (9≠25)
b) (3≠5) V (9=25)
c) (3=5) ∧ (9≠25)
d) (3=5) ∧ (9=25)
e) (9=25) V (3=5)
Cevap: C
98. 9 . [p ⇒ (q V r) ] ≡0 denkliği
verildiğine göre hangisi
doğrudur ?
a) p ∧ r
b) r’Vq
c) (pVq) ∧ (p ∧ r)
d) (pVq) ∧ r
e) (p’V r) ∧ (r’ ∧ q)
Answer: B
99. 10 . [p V (q ∧ r)] ∧ [r (p ⇒
q)] ifadesi neye denktir ?
a) 1
b) 0
c) p V q
d) q ∧ r
e) r
Cevap: A
100. 11 . q ’ ∧ (p ’ v r) ’ ≡ 1
denkliği verildiğine göre
p, q, r nin değeri
hangisinde doğru olarak
verilmiştir ?
a)0,1,0
b)0,1,1
c)1,0,0
d)1,1,0
e)0,0,0
Cevap : A
