H εισήγηση του Μιχάλη Νάννου και Νίκου Φραγκάκη στο συνέδριο γεωμετρίας στα Ανώγεια, επιμέλεια του Παύλου Τρύφωνα!!

1. 1ο Διήμερο Γεωμετρίας:
Μηδείς Αγεωμέτρητος Εισίτω
Ανώγεια 17-4-2015
25
ασκήσεις εμπέδωσης
στα θεωρήματα
Μενέλαου, Ceva, Van Aubel
Μιχάλης Νάννος
Επιμέλεια λύσεων: Παύλος Τρύφων
Νίκος Φραγκάκης

2. Άσκηση 1

3. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 2

4. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 3

5. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 4

6. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 5

7. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 6

8. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 7

9. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 8

10. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 9

11. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 10

12. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 11

13. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 12

14. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 13

15. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 14

16. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 15

17. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 16

18. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 17

19. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 18

20. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 19

21. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 20

22. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 21

23. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 22

24. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 23

25. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 24

26. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 25

27. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Απαντήσεις

28. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Προτεινόμενες λύσεις
Άσκηση 1
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΕΔΓ με
διατζμνουςα τθν ΑΒ:
           
ΒΓ ΗΕ ΑΔ 3 ΗΕ 4 ΗΕ 12 ΗΕ
1 1 1 5
ΒΕ ΗΔ ΑΓ 6 ΗΔ 10 ΗΔ 60 ΗΔ
Άσκηση 2
Ασ ονομάςουμε
   ΒΔ ΕΔ ΑΕ 0ρ
Οι ΔΗ , ΒΓ είναι παράλλθλεσ, άρα από το κεϊρθμα του Θαλι
κα ζχουμε
    
ΗΓ ΔΒ ΗΓ ΗΓ 1
(1)
ΓΑ ΑΒ ΓΑ 3 ΓΑ 3
ρ
ρ
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΔΗ με
διατζμνουςα τθν ΕΓ:
 
        
1
ΕΑ ΚΔ ΓΗ 1
1 1 6
ΕΔ ΚΗ ΓΑ 2 3
ρ x
x
ρ

29. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 3
Επειδι Δ / /ΒΓE , από το κεϊρθμα του Θαλι κα ζχουμε
Γ ΒΔ ΓΕ
(1)
ΓΑ ΒΑ ΓΑ 6
E x
x
  

Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΕ με
διατζμνουςα τθν ΔΓ:
 
          
 
      

1
5ΚΕ
ΔΑ ΚΒ ΓΕ 6 6 521 1 1
ΔΒ ΚΕ ΓΑ ΚΕ 6 2 6
6 2
2 12 30 9
6 5
x x
x x x x
x x
x

30. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 4
Από το κεϊρθμα εςωτερικισ διχοτόμου ςτο τρίγωνο ΔΚΓ
ζχουμε:
    
ΗΓ ΚΓ ΗΓ 10 ΗΓ 5
(1)
ΗΔ ΚΔ ΗΔ 6 ΗΔ 3
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΔΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΑΕ:
  
      
1
ΕΒ ΗΓ ΑΔ 2 5 ΑΔ
1 1 (2)
ΕΓ ΗΔ ΑΒ 8 3 ΑΒ
x
Όμωσ,
      
 
ΑΔ 3 ΑΔ 3 ΑΔ 3
2ΑΔ 3ΔΒ
ΔΒ 2 ΑΔ ΔΒ 3 2 ΑΒ 5
Άρα θ ςχζςθ (2) δίνει:

    
2 5 3
1 6
8 3 5
x
x

31. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 5
Από τθ ςχζςθ ΑΓ 2ΓΕ, κάνοντασ χριςθ των ιδιοτιτων των
αναλογιϊν, ζχουμε ότι:
    
 
ΓΕ 1 ΓΕ 1 ΓΕ 1
(1)
ΑΓ 2 ΑΓ ΓΕ 2 1 ΑΕ 3
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΔΕ:
 
        
1
ΔΑ ΗΒ ΕΓ 3 18 1
1 1 9
ΔΒ ΗΓ ΕΑ 2 3
x
x
Άσκηση 6
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΔΕ:
            
ΔΒ ΗΑ ΕΓ 12 ΕΓ 12 1
1 1 1 1 1 6
ΔΑ ΗΓ ΕΒ 2ΕΓ 2
x
x x

32. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 7
Θ ΑΗ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Α, άρα από το κεϊρθμα
εςωτερικισ διχοτόμου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ:

  
ΗΒ ΑΒ ΗΒ 7
(1)
ΗΓ ΑΓ ΗΓ 6
x
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΔΕ:
  
        
1
ΔΑ ΗΒ ΕΓ 7 7 4 49
1 1
ΔΒ ΗΓ ΕΑ 6 10 8
x
x
x
Άσκηση 8
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΔΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΑΕ:
        
ΕΒ ΗΓ ΑΔ 1
1 1 1 16
ΕΓ ΗΔ ΑΒ 4 4
x
x

33. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 9
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΕΓ με
διατζμνουςα τθν ΒΔ:
ΔΓ ΗΑ ΒΕ ΔΓ ΔΓ 10
1 4 1
ΔΑ ΗΕ ΒΓ ΔΑ 10 ΔΑ 4
ΔΑ 4 ΔΑ 4 ΔΑ 4
(1)
ΔΓ 10 ΔΓ ΔΑ 4 10 ΑΓ 5 10
x x
x x
x x x
x x x x

         

    
    
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΔΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΑΕ:
 1
ΕΓ ΗΒ ΑΔ 10 ΑΔ 10 4
1 1 1 1
ΕΒ ΗΔ ΑΓ ΑΓ 5 10
40 5 10 5 30 6
x
x x x
x x x
          

     
Άσκηση 10
Στο τρίγωνο ΑΕΓ , θ ΔΓ είναι διχοτόμοσ και φψοσ, άρα το
τρίγωνο ΑΕΓ είναι ιςοςκελζσ, με ΓΕ=ΑΓ=x.
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΕΒ με
διατζμνουςα τθν ΚΓ:
 
ΔΑ ΔΕ
ΚΒ ΔΑ ΓΕ 5
1 1 1 5 3 4 6
ΚΑ ΔΕ ΓΒ 3 4
x
x x x
x

           


34. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 11
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΝΒ ΛΓ ΚΑ 4 6 2 16
1 1
ΝΓ ΛΑ ΚΒ 5 3 5
x
x
        
Άσκηση 12
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΗΒ ΕΓ ΔΑ 6 2
1 2 1 8
ΗΓ ΕΑ ΔΒ 3
x
x
        
Άσκηση 13
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΗΒ ΕΓ ΔΑ 8 5
1 1 1
ΗΓ ΕΑ ΔΒ 10 2 2
x
x        

35. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 14
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα εςωτερικισ διχοτόμου ςτο τρίγωνο
ΑΒΓ:
ΑΓ ΑΔ ΑΔ 15
(1)
ΒΓ ΒΔ ΒΔ 6x
  

Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
 1
ΗΒ ΕΓ ΔΑ 5 15
1 1 24
ΗΓ ΕΑ ΔΒ 6 10 6
x
x
x
        

Άσκηση 15
Ζχουμε αρχικά ότι ΒΗ ΒΓ ΓΗ 16 x   
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΔΑΗΒ ΕΓ ΔΑ ΗΒ ΕΓ 16 4
1 1 1 6,4
ΗΓ ΕΑ ΔΒ ΗΓ ΔΒ 6
EA x
x
x
 
          

36. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 16
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΗΒ ΕΓ ΔΑ 4
1 2 1 1 8
ΗΓ ΕΑ ΔΒ
x
x
        
Άσκηση 17
Επειδι ΑΓ ΑΒ και ΑΕ ΔΓ , προκφπτει ότι ΑΔ ΒΕ
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
22ΕΒ ΔΑ
2ΑΕ ΔΓ
ΗΒ ΔΓ ΕΑ 6 ΔΓ ΔΑ ΔΑ
1 1 3 3
ΗΓ ΔΑ ΕΒ 2 ΔΑ ΔΓ ΔΓ


 
          
 

37. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 18
Οι γωνίεσ
Λ Λ
ΒΚΗ,ΑΚΕ είναι ίςεσ, ωσ κατακορυφιν .
Άρα ςτο τρίγωνο ΑΚΓ, θ ΚΕ είναι διχοτόμοσ.
Εφαρμόηοντασ το κεϊρθμα εςωτερικισ διχοτόμου ςτο τρίγωνο
ΑΚΓ ζχουμε:
ΕΓ ΚΓ ΕΓ 2
(1)
ΕΑ ΚΑ ΕΑ 3
  
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
 1
ΗΒ ΕΓ ΔΑ 8 2 32
1 2 1
ΗΓ ΕΑ ΔΒ 3 3
x
x
        

38. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 19
Θ ΒΛ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Β, οπότε από το κεϊρθμα
εςωτερικισ διχοτόμου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ ζχουμε:
ΛΓ ΒΓ ΛΓ 12 ΛΓ 6
(1)
ΛΑ ΒΑ ΛΑ 14 ΛΑ 7
    
Θ ΑΜ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Α, οπότε από το κεϊρθμα
εςωτερικισ διχοτόμου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ ζχουμε:
ΓΜ ΑΓ ΓΜ 16 ΓΜ 8
(2)
ΒΜ ΑΒ ΒΜ 14 ΒΜ 7
    
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Van Aubel ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
 
 1
2
ΓΛ ΓΜ ΓΙ 6 8 ΓΙ ΙΚ 1
ΛΑ ΜΒ ΙΚ 7 7 ΙΚ ΓΙ 2
      

39. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 20
Ζχουμε,
ΑΒ ΑΔ ΔΒ
ΑΔ ΑΔ
4 4
ΑΔ 1
4ΑΔ ΑΔ ΔΒ 3ΑΔ ΔΒ
ΔΒ 3

   
     
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Van Aubel ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΑΕ ΑΔ ΑΣ ΑΕ 1 ΑΕ 2
1
ΕΓ ΔΒ ΣΗ ΕΓ 3 ΕΓ 3
      

40. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 21
Αφοφ το Θ είναι το ορκόκεντρο, κα ζχουμε ότι ΑΗ ΒΓ
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Ceva ςτο τρίγωνο ΑBΓ:
ΗΒ ΔΓ ΕΑ
1 (1)
ΗΓ ΔΑ ΕΒ
  
Όμωσ,
ΑΔ ΓΔ ΑΕ ΑΔ
ΑΕ ΒΕ ΒΕ ΓΔ
  
Άρα θ ςχζςθ (1) γίνεται
ΗΒ ΔΓ
ΗΓ

ΔΑ
ΑΔ

ΓΔ
ΗΒ
1 1 ΗΒ ΗΓ
ΗΓ
    
Ζτςι, το ευκφγραμμο τμιμα ΑΗ είναι φψοσ+διάμεςοσ.
Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ, με ΑΒ=ΑΓ.

41. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 22
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΒΟΓ με
διατζμνουςα τθν ΝΚ:
ΚΒ ΜΓ ΝΟ
1 (1)
ΚΓ ΜΟ ΝΒ
  
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΟΔ με
τζμνουςα τθν ΛΜ:
ΛΑ ΝΔ ΜΟ
1
ΛΔ ΝΟ ΜΑ
  
ι ιςοδφναμα
ΛΔ ΝΟ ΜΑ
1 (2)
ΛΑ ΝΔ ΜΟ
  
Από τισ ςχζςεισ (1) και (2) προκφπτει ότι
ΜΑ ΜΓ
ΝΒ ΝΔ
ΚΒ ΜΓ ΝΟ ΛΔ ΝΟ ΜΑ 2 ΛΑ
ΚΒ ΛΑ 6
ΚΓ ΜΟ ΝΒ ΛΑ ΝΔ ΜΟ ΚΒ 3


        

42. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 23
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΕΜ:
ΜΓ ΔΒ ΕΑ
1 (1)
ΜΒ ΔΑ ΕΓ
  
Όμωσ ΜΒ=ΜΓ και
ΑΒ ΑΔ ΔΒ
ΑΔ ΑΔ
3 3
ΔΒ
3ΑΔ ΑΔ ΔΒ 2ΑΔ ΔΒ 2
ΔΑ

   
     
Άρα θ ςχζςθ (1) γίνεται
ΕΑ
1 2 1 2ΕΑ ΕΓ
ΕΓ
    
Ζτςι το ςθμείο Α είναι το μζςο του ΓΕ.
Άρα
ΒΑ ΑΓ ΑΕ 
οπότε το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ορκογϊνιο ςτο Β

43. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 24
Αρχικά ζχουμε ότι
 
ΔΓ ΓΔ 3
3 ΔΓ 3ΔΒ ΔΓ 3 ΒΓ ΓΔ 4ΔΓ 3ΒΓ (1)
ΔΒ ΒΓ 4
         
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΔ με
διατζμνουςα τθν ΜΓ:
 1
ΜΒ ΕΑ ΓΔ ΕΑ 3 ΕΑ 4
1 1 1 (2)
ΜΑ ΕΔ ΓΒ ΕΔ 4 ΕΔ 3
        
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΔΓ με
διατζμνουςα τθν ΑΔ:
ΒΔ ΕΓ ΜΑ 1 ΕΓ 1 ΕΓ
1 1 6 (3)
ΔΓ ΕΜ ΑΒ 3 ΕΜ 2 ΕΜ
        
Από τισ ςχζςεισ (2),(3) ζχουμε
ΕΑ ΕΓ 4 22
6
ΕΔ ΕΜ 3 3
   

44. 25 αςκιςεισ εμπζδωςθσ ςτα κεωριματα Μενελάου – Ceva – Van Aubel
Άσκηση 25
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΓ με
διατζμνουςα τθν ΜΕ:
ΕΓ ΗΑ ΜΒ 3 2 ΜΒ
1 1 ΜΒ 4ΜΓ
ΕΑ ΗΒ ΜΓ 8 3 ΜΓ
ΜΓ ΓΒ 4ΜΓ ΒΓ 3ΜΓ ΔΒ ΓΔ 3ΜΓ
2ΓΔ ΓΔ 3ΜΓ ΓΔ ΜΓ (1)
         
       
   
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΒΔ με
διατζμνουςα τθν ΜΣ:
ΣΔ ΗΑ ΜΒ 1 2 ΜΒ
1 1 (2)
ΣΑ ΗΒ ΜΔ 3 ΜΔx
      
Εφαρμόηουμε το κεϊρθμα Μενελάου ςτο τρίγωνο ΑΔΓ με
διατζμνουςα τθν ΜΕ:
ΕΓ ΣΑ ΜΔ 3 ΜΔ
1 1 (3)
ΕΑ ΣΔ ΜΓ 8 ΜΓ
x      
Από τισ ςχζςεισ (2),(3) ζχουμε
2
2
2 2
1 2 ΜΒ 3 ΜΔ
3 ΜΔ 8 ΜΓ
16 ΜΒ ΜΓ 16 4ΜΓ ΜΓ 64 ΜΓ
9 ΜΔ 9 ΜΔ 9 ΜΔ
8 ΜΓ 8 1 4
3 ΜΔ 3 2 3
x
x
x
x
     
   
       
 
    

45. Mιχάλης Νάννος - ΠΕ03 - 1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας
Παύλος Τρύφων -ΠΕ03 - 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Νίκος Φραγκάκης - ΠΕ03 - 2ο ΓΕΛ Ιεράπετρας