maththermatic

1. สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์
ขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นวิชาที่เป็นพื้นฐานที่สาคัญวิชาหนึ่งของ
คณิตศาสตร์ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการนาความรู้ทางพีชคณิตมาช่วยในการแก้ปัญหาที่
เกี่ยวกับเรขาคณิต ดังนั้นวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์จึงเน้นการแก้ปัญหาด้วยวิธีการทางพีชคณิต ทาให้
การศึกษาเรขาคณิตง่ายและน่าสนใจขึ้น
1. ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
1.1 บนเส้นจานวน
ถ้า A และ B เป็นจุดบนเส้นจานวนที่แทนด้วนจานวนจริง a และ b ตามลาดับแล้ว
ระยะทางระหว่าง A และ B เท่ากับ a - b
สัญลักษณ์ ระยะทางระหว่าง A และ B เขียนแทนด้วย AB หรือ AB ดังนั้น
AB = a - b
1.2 บนระนาบ
ให้ P(x1, y1 ) และ Q(x2 , y2 ) เป็นจุดใด ๆ บนระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และ Q จะหาได้
โดย
กรณี 1 : PQ ขนานกับแกน X (y1 = y2)
PQ = x1 – x2 = x2 – x1
กรณี 2 : PQ ขนานกับแกน Y (x1 = x2)
PQ = y1 – y2 = y2 – y1
กรณี 3 : PQ ไม่ขนานกับทั้งแกน X และแกน Y
จากรูป PR =
QR =
จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้
PQ2 = หรือ PQ =
ดังนั้น PQ = หรือ PQ =
เร
R( )
Q(x2, y2)
P(x1, y1)

2. ทฤษฎีบท 1 ถ้า P(x1, y1) และ Q(x2, y2) เป็นจุดสองจุดใด ๆ บนระนาบ แล้ว
PQ = 2
1 2
2
( x1 x2 ) ( y  y )
แบบฝึกหัด
1. จงหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่กาหนดให้ในข้อต่อไปนี้
1) A(5, 0), B(-4, 0)
2) A(0, 6), B(0, 1)
3) A(4, -2), B(-5-2)
4) A(-1, 3) , B(-1, -4)
5) A(-6, -6) , B(-6, 6)
6) A(8, -5) , B(-8, -5)
7) A(4, 1) , B(3, -2)
8) A(-7, 4) , B(1, -11)
9) A(0, 3) , B(-4, 1)
10) A(-1, -5) , B(2, -3)
11) A(2, -6), B(2, -2)
12) A(-3, 1), B(3, -1)
2. จงหาความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมดังนี้
1) A(1, 2) , B(4, 3) , D(2, 4)
2) A(2, -1) , B(4, 7) , D(5, 2)

3. 3. จงแสดงว่ารูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีจุดยอดมุมตามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก พร้อมทั้งหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
1) A(0, 9) , B(-4, -1) , C(3, 2)
2) A(10, 5) , B(3, 2) , C(6, -5)
3) A(3, -2) , B(-2, 3) , C(6, -5)
4) A(-2, 8) , B(-6, 1) , C(0, 4)
3. จงหาพิกัดของจุดที่สมาชิกตัวหน้าเป็น 3 และอยู่ห่างจาก A(-3, 6) เป็นระยะทาง 10 หน่วย
4. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่จุด (6, 4) และผ่านจุด (3, 8) จงหารัศมีของวงกลมนี้

4. การหาพื้นที่ของรูปสามหลายเหลี่ยม
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)
พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = 2
1
1 1
3 3
2 2
1 1
x y
x y
x y
x y
= 2
1 x1y2 + x2y3 + x3y1 – y1x2 – y2x3 – y3x1
ถ้ากาหนดรูป n เหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมเป็น A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3), …, An(xn, yn)
พื้นที่ของรูป n เหลี่ยม = 2
1
1 1
n n
3 3
2 2
1 1
x y
x y
x y
x y
x y
 
= 2
1
x1y2 + x2y3 + x3y4 + … + xny1 - y1x2 – y2x3 – y3x4 - … - ynx1
หมายเหตุ การหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมต้องวาดรูปประกอบการหาด้วย แล้วเรียงจุดในทิศทาง
ทวนเข็มนาฬิกา
แบบฝึกหัด
จงหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมดังต่อไปนี้
1) A(2, -3) , B(4, 2) , C(-5, -2)
2) A(-3, 4) , B(6, 2) , C(4, -3)

5. 3) A(-8, -2) , B(-4, -6) , C(-1, 5)
4) A(2, 5) , B(7, 1) , C(3, -4) , D(-2, 3)
5) A(0, 4) , B(1, -6) , C(-2, -3) , D(-4, 2)
6) A(1, 5) , B(2, 4) , C(-3, -1) , D(2, -3) , E(5, 1)

6. 2. จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
ทฤษฎีบท 2 กาหนด AB โดยมีจุดปลายที่จุด A(x1, y1) และ B(x2, y2)
P(x, y) เป็นจุดบน AB โดยมีอัตราส่วนการแบ่ง PB
AP = r จะได้
x = r
x rx


1
1 2 , y = r
y ry


1
1 2
ตัวอย่าง 1 AB เป็นเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ A(2, 4), B(3, -6) โดยมีอัตราส่วนการแบ่งเป็น
3
2
จงหา
จุดแบ่งของ AB
วิธีทา ให้ P(x, y) เป็นจุดแบ่งของ AB
x = = =
y = = =
ดังนั้น พิกัดของจุดแบ่ง คือ
บทแทรก กาหนด AB เป็นเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ A(x1, y1), B(x2, y2)
ถ้า P(x, y) เป็นจุดกึ่งกลางของ AB แล้ว
x = 2
x1  x2
, y = 2
y1  y2
ตัวอย่าง 2 จงหาจุดกึ่งกลางระหว่าง A(-2, 5) และ B(6, -3)
วิธีทา ให้ P(x, y) เป็นจุดกึ่งกลางของ AB แล้ว
x = = =
y = = =
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของ AB คือ
ตัวอย่าง 3 จุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น (1, 3) และ (7, 11) จงหา
1) จุดศูนย์กลายของวงกลมนี้
2) ความยาวของรัศมีของวงกลมนี้

7. พิกัดของจุดตัดของเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมเป็น (x1, y1), (x2, y2) และ
(x3, y3) คือ ( 3
x1  x2  x3
, 3
y1  y2  y3
)
ตัวอย่าง 4 จงหาพิกัดของจุดตัดของเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดมุมเป็น A(2, 6),
B(-3, -1) และ C(7, 4)
วิธีทา ให้ P(x, y) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ดังนั้น
x =
=
y =
=
ดังนั้นพิกัดของ P คือ
แบบฝึกหัด
1. จงหาจุดกึ่งกลางของ AB เมื่อกาหนดจุด A และ B ดังต่อไปนี้
1) A(2, 3), B(4, 7)
2) A(-2, -3), B(4, -5)
3) A(-2, 4), B(1, -1)
4) A(0, 0), B(4, -6)
2. จุดกึ่งกลางของ AB อยู่ที่จุด (-1, 2) ถ้าพิกัดของ A คือ (2, -1) จงหาพิกัดของ B
3. จงหาความยาวของเส้นมัธยฐานทั้งสามเส้นของรูปสามเหลี่ยม ABC เมื่อกาหนดจุด A, B และ C ดังนี้
1) A(2, -1), B(4, 3), C(-2, 5)
ให้ D เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ดังนั้นพิกัดของ D คือ
ดังนั้น CD =

8. ให้ E เป็นจุดกึ่งกลางของ BC ดังนั้นพิกัดของ E คือ
ดังนั้น AE =
ให้ F เป็นจุดกึ่งกลางของ AC ดังนั้นพิกัดของ F คือ
ดังนั้น BF =
2) A(0, 4), B(6, 0), C(-2, 2)
ให้ D เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ดังนั้นพิกัดของ D คือ
ดังนั้น CD =
ให้ E เป็นจุดกึ่งกลางของ BC ดังนั้นพิกัดของ E คือ
ดังนั้น AE =
ให้ F เป็นจุดกึ่งกลางของ AC ดังนั้นพิกัดของ F คือ
ดังนั้น BF =
4. จงหาจุดตัดของเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ดังต่อไปนี้
1) A(5, 7), B(1, -3), C(-5, 1)
จุดตัดของเส้นมัธยฐาน =
=
2) A(2, -1), B(6, 7), C(-4, -3)
จุดตัดของเส้นมัธยฐาน =
=
3) A(3, 6), B(-5, 2), C(7, -6)
จุดตัดของเส้นมัธยฐาน =
=
4) A(7, 4), B(3, -6), C(-5, 2)
จุดตัดของเส้นมัธยฐาน =
=
4. จงหาพิกัดของจุดแบ่ง C ของ AB โดยที่แบ่ง AB ออกเป็นอัตราส่วน
CD
AB
= r ดังต่อไปนี้
1) A(-2, 8), B(5, -6), r =
4
3

9. 2) A(-3, -1), B(6 2) , r =
2
5
3) A(0, 0), B(7, 5), r =
2
5
4) A(1, 7), B(6, -3) , r =
3
2
5) A(4, -3), B(1, 4) , r = 2
6) A(2, -5), B(6, 3) , r =
7
3
6. กาหนดจุด A(-4, -2) และ B(8, 6) จงหาจุดบน AB ซึ่งแบ่ง AB ออกเป็น 4 ส่วน แต่ละส่วนมีความยาว
เท่า ๆ กัน

10. 3. ความชันของเส้นตรง
บทนิยาม 1 กาหนดให้  เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยที่ x1  x2 ความชันของ
เส้นตรง  คือ จานวนจริงที่มีค่าเท่ากับ
1 2
1 2
x x
y y


หรือ
2 1
2 1
x x
y y


สัญลักษณ์ ให้ m แทนความชัดของเส้นตรง  ดังนั้น
m =
1 2
1 2
x x
y y


=
2 1
2 1
x x
y y


โดยที่ x1  x2
ถ้า x1 = x2 แล้วเส้นตรง จะไม่มีความชัน
ความชันของเส้นตรง  แบ่งเป็น 3 ลักษณะ
ลักษณะที่ 1 m = 0
m = 0 ก็ต่อเมื่อ y1 – y2 = 0
ก็ต่อเมื่อ y1 = y2
ก็ต่อเมื่อ เส้นตรง  ขนานกับแกน X
ลักษณะที่ 2 m > 0
m > 0 ก็ต่อเมื่อ (y1 – y2 > 0 และ x1 – x2 > 0) หรือ (y1 – y2 < 0 และ x1 – x2 < 0)
ก็ต่อเมื่อ (y1 > y2 และ x1 > x2) หรือ (y1 < y2 และ x1 < x2)
ลักษณะที่ 3 m < 0
m < 0 ก็ต่อเมื่อ (y1 – y2 < 0 และ x1 – x2 > 0) หรือ (y1 – y2 > 0 และ x1 – x2 < 0)
ก็ต่อเมื่อ (y1 < y2 และ x1 > x2) หรือ (y1 > y2 และ x1 < x2)
บทแทรก จุด A, B และ C จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อ
ความชันของ AB = ความชันของ AC
แบบฝึกหัด
1. จงหาความชันของเส้นตรง  ที่ผ่านจุดสองจุดในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) (3, 4), (1, -2)
2) (-5, 3), (2, -3)
3) (6, 0), (6, 3 )
4) (1, 3), (7, 1)

11. 5) (2, 4), (-2, 4)
6) (5, 7), (8, 4)
2. จงหาจานวนจริง x ที่ทาให้เส้นตรงที่ผ่านจุด A และ B มีความชัน m ตามที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A(3, x), B(2, 5) และ m = -2
2) A(-4, 3), B(x, 1) และ m =
4
1
3) A(x, x), B(2, 3) และ m = 5
4) A(2x, -4), B(2, x) และ m = 5
5) A(1 + x, 3), B(2x – 1, 5) และ m =
4
3

3. จงตรวจสอบดูว่าจุด A, B และ C ในข้อต่อไปนี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่
1) A(2, 3), B(-4, 7), C(5, 8)

12. 2) A(4, 1), B(5, -2), C(6, -5)
3) A(-1, -4), B(2, 5), C(7, -2)
4) A(0, 5), B(5, 0), C(6, -1)
5) A(a, 0), B(2a, -b), C(-2, b)
6) A(-3, 4), B(3, 2), C(6, 1)

13. 4. เส้นขนาน
ทฤษฎีบท 4 กาหนดให้ 1 และ 2 เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน Y และให้ m1 และ m2 แทนความ ชันของ 1 และ 2 ตามลาดับ จะได้ว่า
1) ถ้า m1 = m2 แล้ว 1  2
2) ถ้า 1  2 แล้ว m1 = m2
แบบฝึกหัด
1. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้กาหนดจุด A, B, C และ D ให้ 1 เป็นเส้นตรงที่ผ่าน A และ B และ 2 เป็น เส้นตรงที่ผ่าน C และ D จงตรวจดูว่า 1  2 หรือไม่
1) A(-3, 2), B(5, -1), C(2, 3) และ D(10, 0)
2) A(1, -3), B(4, 0), C(2, 2) และ D(3, 1)
3) A(9, 5), B(1, 5), C(5, 2) และ D(-4, 2)
4) A(5, 1), B(0, 7), C(4, 3) และ D(1, -2)
5) A(-6, 5), B(12, 2), C(5, 0) และ D(8, -4)
6) A(3, 3), B(3, 6), C(6, 5) และ D(6, -3)

14. 2. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้ กาหนดจุด A, B, C และ D จงตรวจสอบดูว่ารูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้าน ขนานหรือสี่เหลี่ยมคางหมู หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง
1) A(-5, 3), B(-4, -2), C(1, -1) และ D(0, 4)
2) A(1, 3), B(2, 5), C(6, 17) และ D(5, 15)
3) A(2, 3), B(4, 1), C(0, -8) และ D(-5, -3)
4) A(3, -1), B(2, -6), C(1, 7) และ D(0, -8)
5) A(3, 0), B(3, 5), C(0, 9) และ D(0, 4)

15. 3. จุด A(-2, -3), B(-1, -1), C(3, 11) และ D(x, y) เป็นจุดยอดมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงหาพิกัดของ
D
5. เส้นตั้งฉาก
ทฤษฎีบท 5 กาหนดให้ 1 และ 2 เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน Y โดยมีความชันเท่ากับ m1 และ
m2 ตามลาดับ จะได้ว่า
1) ถ้า 1 ตั้งฉากกับ 2 แล้ว m1m2 = -1
2) ถ้า m1m2 = -1 แล้ว 1 ตั้งฉากกับ 2
หมายเหตุ ถ้ากาหนดความชันของเส้นตรง 1 = m1  0 และ 2 เป็นเส้นตั้งฉากกับ 1 จะได้ว่า
ถ้า m2 เป็นความชันของ 2 แล้ว
m2 =
1
1
 m
แบบฝึกหัด
1. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้ จงตรวจสอบดูว่าเส้นตรง 1 ที่ผ่านจุด A และ B ตั้งฉากกับ 2 ที่ผ่านจุด C และ
D หรือไม่
1) A(-5, 2), B(3, -1), C(4, 2) และ D(7, 10)
2) A(5, 3), B(8, 3), C(7 ,4) และ D(7, -4)

16. 3) A(2, -3), B(-5, 1), C(7, -1) และ D(0, 3)
4) A(2, -3), B(-5, 0), C(4, 5) และ D(0, 2)
2. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้จงตรวจสอบดูว่ารูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ พร้อมทั้ง หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
1) A(8, 6), B(4, 8), C(2, 4)
2) A(0, 9), B(-4, -1), C(3, 2)
3) A(3, -2), B(-2, 3), C(0, 4)
4) A(-2, 8), B(-6, 1), C(0, 4)

17. 3. ให้ A(3, -1), B(6, 0), C(7, 3) และ D(4, 2) เป็นจุดยอดมุมของสี่เหลี่ยมรูปหนึ่ง จงแสดงว่าเส้นทแยง มุมทั้งสองเส้นจะตั้งฉากและแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
4. จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยม ABCD ซึ่งมีจุดยอดมุมอยู่ที่ A(-5, 3), B(-4, -2), C(1, -1) และ D(0, 4) เป็น สี่เหลี่ยมจัตุรัส พร้อมทั้งแสดงด้วยว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นจะตั้งฉากและแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
6. ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง
1. ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y
r = {(x, y)  R  R  x = a}
เรียกเงื่อนไข “x = a” ว่าเป็นสมการขนานแกน Y
2. ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X
r = {(x, y)  R  R  y = b}
เรียกเงื่อนไข “y = b” ว่าเป็นสมการขนานแกน X

18. ตัวอย่าง 5 จงหาความสัมพันธ์ในเซตของจานวนจริงซึ่งมีกราฟเส้นตรงที่ขนานแกน X และขนาน
แกน Y และผ่านจุด A ต่อไปนี้
ขนานแกน Y
1) A(-3, 0)
r1 = {(x, y)  R  R  x = -3}
2) A(3, 4)
r3 =
3) A(0, 4)
r5 =
ขนานแกน X
r2 = {(x, y)  R  R  y = 0}
r4 =
r6 =
3. ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน X และไม่ขนานกับแกน Y
3.1 รูปแบบจุด – ความชัน
เส้นตรง  ผ่านจุด P(x1, y1) และ m เป็นความชันของ l
r = {(x, y)  R  R  y – y1 = m(x – x1)}
3.2 รูปแบบจุดสองจุด
เส้นตรง  ผ่านจุดสองจุดคือ P(x1, y1) และ Q(x2, y2)
กรณี 1 x1 = x2
r = {(x, y)  R  R  x = x1}
กรณี 2 x1  x2
r = {(x, y)  R  R  y y 1  = 
 



1 2
1 2
x x
y y
( x  x1 )}
= {(x, y)  R  R 
x  x1
y y1 =
1 2
1 2
x x
y y


}
หรือ r = {(x, y)  R  R  y y 2  = 
 



1 2
1 2
x x
y y
( x  x2 )}
= {(x, y)  R  R 
x x2
y y2 =
1 2
1 2
x x
y y


}
บทนิยาม 2 1) ถ้า  เป็นเส้นตรงที่ตัดแกน Y ที่จุด (0, b) จะเรียกจานวนจริง b ว่าระยะตัดแกน Y
2) ถ้า  เป็นเส้นตรงที่ตัดแกน X ที่จุด (a, 0) จะเรียกจานวนจริง a ว่าระยะตัดแกน X
กรณี 3 รูปแบบความชัน – ระยะตัดแกน
ให้  เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน Y
m เป็นความชันของ 
b คือระยะตัดแกน Y ของ 

19. สมการของเส้นตรงในรูปแบบความชัน – ระยะตัดแกน คือ
y = mx + b
กรณี 4 รูปแบบระยะตัดแกนทั้งสอง
ให้  เป็นเส้นตรงที่มีระยะตัดแกน X เท่ากับ a
และมีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b โดยที่ a  0 และ b  0
จะได้สมการของ  เป็น  b 1
y
a x
ทฤษฎีบท 6 เส้นตรงทุกเส้นในระบบพิกัดฉากจะมีสมการอยู่ในรูป
Ax + By + C = 0
เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัวซึ่ง A  0 หรือ B  0
ทฤษฎีบท 7 ความสัมพันธ์ของสมการในรูป Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัวซึ่ง
A  0 หรือ B  0 จะมีกราฟเป็นรูปเส้นตรง
หมายเหตุ สมการที่อยู่ในรูป รูป Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัวซึ่ง A  0 หรือ B
 0 เรียงว่าสมการเชิงเส้นของ x และ y
ตัวอย่าง 6 จงหาความชัน และระยะตัดแกน Y ของเส้นตราที่มีสมการดังต่อไปนี้
1) 3x + 2y –10 = 0 2) 4x – 3y –9 = 0
วิธีทา จัดสมการให้อยู่ในรูป y = mx + b
1) 3x + 2y –10 = 0 2) 4x – 3y –9 = 0
ความชันของเส้นตรงเมื่อกาหนดสมการเส้นตรงให้
1. ความชันของเส้นตรงใด ๆ เมื่อกาหนดสมการในรูป y = mx + c จะได้ m เป็นความชัน
ของเส้นตรงนั้น
2. ถ้าสมการของเส้นตรงกาหนดในรูป รูป Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัว
ซึ่ง A  0 หรือ B  0 แล้ว m = B
A  เป็นความชันของเส้นตรงนั้น
กาหนดเส้นตรง  ที่มีสมการ Ax + By + C = 0
1. เส้นตรงแต่ละเส้นที่ขนานกับเส้นตรง  จะมีสมการอยู่ในรูป
Ax + By + k = 0 เมื่อ k เป็นค่าคงตัว
2. เส้นตรงแต่ละเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง  จะมีสมการอยู่ในรูป
-Bx + Ay + k = 0 00000
หรือ Bx - Ay + k = 0 เมื่อ k เป็นค่าคงตัว

20. แบบฝึกหัด
1. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่มีเงื่อนไขตามที่กาหนดให้
1) ขนานแกน X และผ่านจุด (1, 2)
2) ขนานแกน Y และผ่านจุด (2, 3)
3) ขนานแกน X และอยู่เหนือแกน X 5 หน่วย
4) ขนานแกน Y และอยู่เหนือแกน Y 10 หน่วย
5) ผ่านจุดกาเนิดและมีความชันเท่ากับ -2
6) ผ่านจุด (1, 3) และมีความชันเท่ากับ 2
7) ผ่านจุด (-3, 4) และ (2, -3)
8) มีความชันเท่ากับ
2
1
และมีระยะตัดแกน Y เท่ากับ 2
9) มีความชันเท่ากับ
2
1
และมีระยะตัดแกน X เท่ากับ 2
10) ระยะตัดแกน X เท่ากับ –3 และระยะตัดแกน Y เท่ากับ –4

21. 2. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่มีเงื่อนไขตามที่กาหนดให้
1) ขนานแกน Y และอยู่ห่างจากจุด (1, -1) เป็นระยะทาง 2 หน่วย
2) ขนานแกน X และอยู่ห่างจากเส้นตรงที่มีสมการ y = 2 เป็นระยะทาง 5 หน่วย
3) ความชันเท่ากับ 2 และผ่านจุด (-1, 4)
4) ความชันเท่ากับ
3
2
 และผ่านจุด (2, -5)
5) ความชันเท่ากับ 0 และผ่านจุด (2, -3)
6) ไม่มีความชันและผ่านจุด (3, -2)
7) ผ่านจุด (4, -2) และ (2, -4)
8) ผ่านจุ (-4, -3) และ (5, 6)
9) ความชันเท่ากับ
3
2
และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3
10) ความชันเท่ากับ -
2
3
และระยะตัดแกน X เท่ากับ –4
11) ระยะตัดแกน X เท่ากับระยะตัดแกน Y เท่ากับ 2

22. 12) ระยะตัดแกน X เท่ากับ –3 และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 5
3. จงหาความชันของเส้นตรง และจุดที่เส้นตรงในข้อต่อไปนี้ตัดแกน X และ แกน Y
ข้อ สมการ ความชัน ตัดแกน Xที่จุด ตัดแกน Y ที่จุด
1) y = 3 8
2 x 
2) y = 6 15
5  x 
3) 3y = 4x – 9
4) 5x + 2y – 7 = 0
5) 3x – 7y +4 = 0
6) 5 4
x y  = 0
7) 1 + 3 y
= 4 x

4. จงหาสมการเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด A(-3, 2) และ
B(5, 6)
5. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 0) และแบ่งครึ่งเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด A(-7, -4) และ B(1, -2)
6. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (2, -3) และขนานกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด A4, 1) B(-2, 2)

23. 7. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2, 1) และตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 1) และ B(-4, 3)
8. ในโจทย์ข้อต่อไปนี้จงหาความชันและจุดที่เส้นตรงตัดแกน X และตัดกับแกน Y เมื่อกาหนดสมการ
ของเส้นตรงมาให้
ข้อ สมการ ความชัน จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y
1) x - 2y + 10 = 0
2) 3x – 4y – 6 = 0
3) 5x – 6y – 8 = 0
4) 3x – 5y – 15 = 0
5) 2x + 3y – 7 = 0
6) x + 6y + 16 = 0
7) 4x + 3y – 15 = 0
8) 3x + 4y + 24 = 0
9) 2 x
+ 3 y
- 1 = 0
10) 3 x
2 - y 5
4 + 1 = 0
9. จงหาสมการเส้นตรง  ที่ผ่านจุด (-2, 3) และตั้งฉากกับเส้นตรงที่มีสมการ 2x – 3y + 6 = 0
10. จงหาสมการเส้นตรง  ที่ผ่านจุด (2, 3) และขนานกับเส้นตรงที่มีสมการ 2x + 3y - 6 = 0

24. 11. จงหาสมการเส้นตรง  ที่ผ่านจุด (2, 1) และผ่านจุดตัดของสมการ 3x – 4y - 2 = 0 และ 2x – y = 0
12. จงหาสมการเส้นตรง  ที่มีความชันเท่ากับ 4
3 และผ่านจุดตัดของสมการ 2x + 3y - 10 = 0 และ
2x – y – 2 = 0
7. ระยะระหว่างเส้นตรงกับจุด
ทฤษฎีบท 9 ระยะระหว่างเส้นตรง Ax + By + C = 0 กับจุด P(x1, y1) เท่ากับ
d = 2 2
1 1
A B
Ax By C

 
ทฤษฎีบท 10 ระยะห่างระหว่างเส้นขนานที่มีสมการ Ax + By + C = 0 และ Ax + By + D = 0 เท่ากับ
d = A2 B2
C D

 = A2 B2
D C


แบบฝึกหัด
1. จงหาระยะทางระหว่างเส้นตรงกับจุดที่กาหนดให้
1) 2x + 4y – 4 = 0 และ (3, 2)
2) –2x + 3y –6 = 0 และ (-1, -4)
3) 4x + 3y + 12 = 0 และ (1, -2)

25. 4) 5x + 12y + 13 = 0 และ (2, -1)
5) y + 2 = 0 และ (-2, 2)
6) 3x + 4y = 5 และ (2, -1)
7) 3x + 2y + 6 = 0 และ (2, 1)
2. จงหาระยะระหว่างเส้นขนานที่มีสมการ
1) 4x – 3y – 12 = 0 และ 4x – 3y – 2 = 0
2) 2x – y – 2 = 0 และ 4x – 2y + 7 = 0
3) 4x + 5y = 0 และ 4x + 5y = 8
4) 3x – 4y + 15 = 0 และ 3x – 4y + 24 = 0
5) x + 2y – 5 = 0 และ 2x + 4y + 20 = 0
3. จงหาจุดบนแกน X ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรง 3x – 4y – 6 = 0 เป็นระยะทาง 2 หน่วย

26. 4. จงหาจุดบนแกน Y ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรง 4x + 3y – 6 = 0 เป็นระยะทาง 3 หน่วย
5. จงหาจุดบนเส้นตรง 2x + 3y – 6 = 0 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดบนเส้นตรง 3x – 4y + 12 = 0 เป็นระยะทาง 3 หน่วย
6. จงหาสมการของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง 4x + 3y – 12 = 0 และอยู่ห่างจากเส้นตรงนี้เป็นระยะทาง 5 หน่วย
7. จงหาสมการของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง x + 2y – 3 = 0 และอยู่ห่างจากเส้นตรงนี้เป็นระยะทาง 2 หน่วย
8. จงหาสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ 12x + 5y + 3 = 0 และอยู่ห่างจากจุด (1, 2) เป็นระยะทาง 1 หน่วย
9. ถ้าเส้นตรง 4x – 3y + 1 = 0 เป็นเส้นตรงที่อยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นคู่ขนานคู่หนึ่งซึ่งห่างกัน 6 หน่วย จงหาสมการของเส้นตรงที่ขนานกันคู่นี้