1. Phương trình m t ph ng trong không gian
83
PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ C TRƯNG C A M T PH NG:
1. Hai véctơ ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , ; ; ;u a a a v b b b= = là m t c p véc tơ ch phương (VTCP)
c a m t ph ng (α) ⇔ , 0u v ≠ ; không cùng phương và các giá c a chúng
song song ho c n m trên m t ph ng (α)
2. Véctơ ( ); ;n a b c= là véc tơ pháp tuy n (VTPT) c a m t ph ng (α)
⇔ (α) ⊥ giá c a n
3. Nh n xét: M t ph ng (α) có vô s c p véctơ ch phương và vô s véctơ pháp
tuy n ng th i [ ]// ,n u v .
N u
( )
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
 =


=
là m t c p VTCP c a mp(α) thì VTPT là:
[ ] 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
n u v
b b b b b b
 
= =  
 
II. CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH C A M T PH NG
1. Phương trình tham s :
Phương trình mp(α) i qua M0(x0, y0, z0) v i c p VTCP
( )
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
 =


=
là:
( )
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
= + +

= + + ∈

= + +
»
2. Phương trình t ng quát:
2.1. Phương trình chính t c: 0Ax By Cz D+ + + = v i 2 2 2
0A B C+ + > .
N u D = 0 thì 0Ax By Cz+ + = ⇔ (α) i qua g c t a .
N u A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): 0By Cz D+ + = s song song ho c ch a v i tr c x’Ox.
N u A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): 0Ax Cz D+ + = s song song ho c ch a v i tr c y’Oy.
N u A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): 0Ax By D+ + = s song song ho c ch a v i tr c z’Oz.

2. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
84
2.2. Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua M0(x0, y0, z0) v i c p VTCP
( )
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
 =


=
hay VTPT [ ] 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
n u v
b b b b b b
 
= =  
 
là:
( ) ( ) ( )2 3 3 1 1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − =
2.3. Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua 3 i m
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z không th ng hàng có VTPT là:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
, , ,
y y z z z z x x x x y y
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −  = =   
− − − − − − 
nên phương trình là:
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −
c bi t: Phương trình m t ph ng i qua ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c là:
( )1 0
yx z abc
a b c
+ + = ≠
3. Phương trình chùm m t ph ng:
Cho 2 m t ph ng c t nhau
( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2: 0; : 0a x b y c z d a x b y c z dα + + + = α + + + = v i
( ) ( ) ( )1 2∆ = α α∩ .
M t ph ng (α) ch a (∆) là ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 0p a x b y c z d q a x b y c z d+ + + + + + + =
v i 2 2
0p q+ >
III. V TRÍ TƯƠNG I C A 2 M T PH NG
Cho 2 m t ph ng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = có VTPT ( )1 1 1 1, ,n A B C=
và (α2): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = có VTPT ( )2 2 2 2, ,n A B C= .
N u 1 2,n n không cùng phương thì (α1) c t (α2).
N u 1 2,n n cùng phương và (α1), (α2) không có i m chung thì (α1) // (α2)
N u 1 2,n n cùng phương và (α1), (α2) có i m chung thì (α1) ≡ (α2)

3. Phương trình m t ph ng trong không gian
85
IV. GÓC GI A HAI M T PH NG
Góc gi a 2 m t ph ng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và (α2):
2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C
+ +
ϕ= =
+ + + +
v i 1 2,n n là 2 VTPT c a (α1), (α2).
V. KHO NG CÁCH
1. Kho ng cách t M0(x0, y0, z0) n m t ph ng (α): 0Ax By Cz D+ + + = là:
( ) 0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
2. Kho ng cách gi a 2 m t ph ng song song: ( ) ( ) ( ); ;d d M Mα β = β ∀ ∈ α
( ) ( ) ( ); ;d d M Mα β = α ∀ ∈ β
VI. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. L p phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A(2; 1; −1) và vuông góc
v i ư ng th ng xác nh b i 2 i m B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1).
Mp(α) i qua A nh n ( )1; 2;3BC = − làm VTPT nên phương trình mp(α) là:
( ) ( ) ( )1 2 2 1 3 1 0x y z− − − + + = ⇔ 2 3 3 0x y z− + + =
Bài 2. L p phương trình tham s và phương trình t ng quát c a mp(α) i qua
( )2; 1;4A − , ( )3;2; 1B − và vuông góc v i ( ): 2 3 0x y zβ + + − =
HD: ( )1;3; 5AB = − , ( )1;1;2nβ = . Do mp(α) i qua A, B và ( ) ( )α ⊥ β nên (α)
nh n , bAB n làm c p VTCP. Suy ra VTPT c a (α) là:
( )
3 5 5 1 1 3
; ; 11; 7; 2
1 2 2 1 1 1
n
− − 
= = − − 
 
. M t khác (α) i qua ( )2; 1;4A − nên
phương trình mp(α): ( ) ( ) ( )11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0x y z x y z− − + − − = ⇔ − − − = .
Bài 3. L p phương trình mp(α) i qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2 17 0x y z− + − = .
L p phương trình mp(β) i qua 3 i m B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nh n ϕ t o b i 2 mp(α) và (β).
HD: mp(α) // (γ): 2 17 0x y z− + − = có ( )2; 1;1n = − ⇒ (α): 2 0x y z c− + + =
(α) i qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5 0 7c c⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT (α): 2 7 0x y z− + − =

4. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
86
mp(β) nh n 2 véc tơ ( ) ( )0;2; 1 , 1;3; 1BC BD= − = − − làm c p VTCP nên có
VTPT là: ( )
2 1 1 0 0 2
; ; 1;1;2
3 1 1 1 1 3
nβ
− − 
= = 
− − − − 
.
V y phương trình mp(β): ( )1 2 0 2 1 0x y z x y z+ − + = ⇔ + + − =
( ) 2 2
2 1 1 1 1 2 3 1cos cos , 60
6 2 32 1 1 1 1 2
n nβ
⋅ − ⋅ + ⋅ πϕ = = = = ⇒ ϕ = = °
+ + + +
Bài 4. Vi t PT m t ph ng ch a ư ng th ng (∆):
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =

− + − =
và vuông góc v i m t ph ng (P): 2 5 0x y z− + + =
HD: Phương trình chùm m t ph ng ch a (∆) là:
( ) ( ) ( )2 2
2 3 2 3 0 , ; 0m x z n x y z m n m n− + − + − = ∈ + >»
⇔ ( ) ( )3 2 2 3 0m n x ny n m z n+ − + − − =
⇒ mp(α) ch a (∆) có VTPT ( )3 ; 2 ; 2u m n n n m= + − −
M t ph ng (P) có VPPT ( )1; 2;1v = − nên (α) ⊥ (P) thì 0u v⋅ =
( ) ( ) ( )1 3 2 2 1 2 0m n n n m⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 8 0n m⇔ − = .
Cho 1n = suy ra 8m = , khi ó phương trình mp(α) là: 11 2 15 3 0x y z− − − =
Bài 5. Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a Oz và l p v i m t ph ng (α):
2 5 0x y z+ − = m t góc 60°.
HD: M t ph ng (P) ch a Oz ⇒ (P) có d ng: 0mx ny+ = ( 2 2
0m n+ > )
⇒ VTPT ( ); ;0u m n= . M t ph ng (α) có VTPT ( )2;1; 5v = − suy ra
( ) 2 2 2 2
2. 1. 0. 5 1cos , cos60
22 1 5
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +
( ) ( )2 2 2
2 2 10m n m n⇔ + = +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
4 4 4 10 2 3 8 3 0m mn n m n m mn n⇔ + + = + ⇔ + − =
Cho 1n = ⇒ 2 13 8 3 0 3
3
m m m m+ − = ⇔ = − ∨ = .
V y ( ):3 0P x y− = ho c ( ): 3 0P x y+ =

5. Phương trình m t ph ng trong không gian
87
Bài 6. Vi t phương trình t ng quát c a mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t o
v i (Oxy) m t góc 60°.
HD: (α): 0Ax By Cz D+ + + = qua M, N suy ra: 0;3 0C D A D+ = + =
⇒ 3 ; 3C A D A= = − . M t ph ng (Oxy) có VTPT là ( )0;0;1 suy ra
2 2 2
2 2 2 2 2
3 1cos60 36 10
210
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +
2 2
26 26A B B A⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2
0A B C+ + ≠ ⇒ 0A ≠ .
Cho 1A = suy ra mp(α): 26 3 3 0x y z− + − = ho c 26 3 3 0x y z+ + − =
Bài 7. Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) v i a, b, c là 3 s dương thay i
luôn luôn th a mãn 2 2 2
3a b c+ + = . Xác nh a, b, c sao cho kho ng cách t O
n m t ph ng (ABC) t Max.
HD: (ABC): 1 0
yx z
a b c
+ + − = . Suy ra
( ) 2 2 2
1 1 1 1
;d O ABC a b c
= + +
⇒ 2 2 2 2
1 1 1 1
d a b c
= + + ⇒ ( )2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 9 3
3 3
a b c
a b c
 = + + + + ≥ ⋅ = 
 
2 1 1
3 3
d d⇒ ≤ ⇒ ≤ . V i 1a b c= = = thì 1Max
3
d =
Bài 8. Cho chùm m t ph ng ( ) ( ):2 1 1 0mP x y z m x y z+ + + + + + + = .
Ch ng minh r ng: (Pm) luôn i qua (d) c nh ∀m
Tính kho ng cách t O n (d). Tìm m (Pm) ⊥ ( )0 :2 1 0P x y z+ + + =
HD: V i m i m, (Pm) luôn i qua ư ng th ng c nh (d):
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ + + =

+ + + =
M t ph ng 2 1 0x y z+ + + = có VTPT: ( )2;1;1u = và 1 0x y z+ + + = có
VTPT ( )1;1;1v = suy ra (d) có VTCP là: [ ] ( ); 0; 1;1a u v= = − .
M t khác (d) i qua ( )0;0; 1M − ⇒ ( )( )
[ ] 2
2
1 0 0 1,
20 1 1
OM a
d O d
a
⋅ + +
= = =
+ +
( ) ( ) ( ) ( ): 2 1 1 1 0mP m x m y m z m+ + + + + + + = có VTPT ( )1 2; 1; 1n m m m= + + + ;
Trư ng h p c bi t m t ph ng ( )0P có VTPT ( )2 2;1;1n = .
(Pm) ⊥ (P0) thì ( ) ( ) ( )1 2
30 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0
2
n n m m m m m −⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =

6. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
88
Bài 9. Cho 3 i m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1). Vi t phương trình m t
ph ng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là m t hình ch nh t.
Cho S(9; 0; 0). Tính th tích chóp S.OABC. Vi t phương trình m t
ph ng ch a AB và i qua trung i m OS.
HD: ( ) ( )2;2; 1 , 2;1; 3AB AC= − = − ⇒ VTPT ( ), 5;4; 2n AB AC = = − − 
Do (ABC) i qua A(0; 1; 2) nên phương trình m t ph ng (ABC) là:
( ) ( ) ( )5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0x y z x y z− − + − − − = ⇔ − + =
O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0− + = nên O ∈ (ABC).
Ta có: ( )0;1;2OA = , ( )2;2; 1OC = − OC AB⇒ =
0.2 1.2 2.1 0OA OC⋅ = + − = suy ra OABC là hình ch nh t.
G i H là hình chi u c a S lên (OABC) suy ra
1 12 2.
3 3OABC ABC SABCV S SH S SH V= ⋅ = ⋅ ⋅ = 12 ,
6
AB AC AS = ⋅ ⋅ 
Ta có: ( )9; 1; 2AS = − − và ( ), 5;4; 2AB AC  = − − 
⇒ ( ) ( )1 19 5 1 4 2 2 45 15
3 3
V = − − ⋅ − − = − =
Trung i m c a OS là ( )9 ;0;0
2
M ⇒ ( )9 ; 1; 2
2
AM = − −
⇒ M t ph ng ch a AB và i qua M có VTPT là: [ ] ( )1. 5; ; 11
2
n AB AM= = − − −
⇒ Phương trình m t ph ng: 10 22 45 0x y z+ + − = .
Bài 10. L p phương trình c a m t ph ng ( )α thu c chùm t o b i hai m t
ph ng ( ) ( ): 3 7 36 0; :2 15 0P x y z Q x y z− + + = + − − = n u bi t kho ng cách t
g c t a O n α b ng 3.
Gi i
M t ph ng ( )α thu c chùm t o b i (P) và (Q) nên có phương trình d ng:
( ) ( ) ( )2 2
3 7 36 2 15 0 0m x y z n x y z m n− + + + + − − = + >
( ) ( ) ( )2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − = . Ta có

7. Phương trình m t ph ng trong không gian
89
( )( )
( ) ( ) ( )2 2 2
36 15
, 3 3
2 3 7
m n
d O
m n n m m n
−
α = ⇔ =
+ + − + −
2 2 2 2
12 5 59 16 6 19 104 85 0m n m mn n n mn m⇔ − = − + ⇔ − + =
( )( )19 85 0 19 85n m n m n m n m⇔ − − = ⇔ = ∨ =
+ Cho n = m = 1 thì nh n ư c ( )1 : 3 2 6 21 0x y zα − + + =
+ Cho m = 19, n = 85 ta có ( )2 : 189 28 48 591 0x y zα + + − = .
Bài 11. L p phương trình m t ph ng ( )α i qua 2 i m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1)
và kho ng cách t i m ( )10; 0;
2
M n m t ph ng ( )α b ng 6 3 .
Gi i
G i phương trình m t ph ng ( )α là: ( )2 2 2
0 0Ax By Cz D A B C+ + + = + + >
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 ; 5 0 2A A B D B A B C D∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + =
M t khác: ( )( ) 2 2 27 71,
26 3 6 3
d M C D A B Cα = ⇔ + = + +
( ) ( ) ( )2 2 2 2
27 2 49 3C D A B C⇔ + = + + .
T (1) và (2), ta có ( )3 2 , 2 4C A B D B A= − − = −
Th (4) vào (3), ta ư c: ( )22 2 2
27.49 49 3 2A A B A B = + + + 
2 2 175 12 17 0
5
B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = −
+ Ch n A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nh n ư c ( )1 : 5 1 0x y zα + − − =
+ Ch n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( )2 :5 17 19 27 0x y zα − + − =
VII. CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N C T GI I
Bài 1. Vi t PT mp(α) ch a g c t a O và vuông góc v i
( ): 7 0P x y z− + − = , ( ):3 2 12 5 0Q x y z+ − + =
Bài 2. Vi t PT mp(α) i qua M(1; 2;1) và ch a giao tuy n c a
( ) ( ): 1 0, : 2 3 0P x y z Q x y z+ + − = − + =
Bài 3. Vi t phương trình m t ph ng ch a ( )
3 0
:
3 2 1 0
x y z
x y z
− + − =
∆ 
+ + − =
và vuông góc v i m t ph ng (P): 2 3 0x y z+ + − =

8. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
90
Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi t PT mp(ABC).
Tính kho ng cách t g c O n (ABC). Vi t PT m t ph ng:
a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): 2 3 1 0x y z− + + = .
b. Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và ch a giao tuy n c a (α), (ABC)
Bài 5. Xác nh các tham s m, n m t ph ng 5 4 0x ny z m+ + + = thu c
chùm m t ph ng có phương trình:
( ) ( )3 7 3 9 2 5 0x y z x y zα − + − + β − − + =
Bài 6. Cho 2 m t ph ng ( ):2 3 1 0x y zα − + + = , ( ): 5 0x y zβ + − + = và i m
M(1; 0; 5). Tính kho ng cách t M n mp(α).
Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua giao tuy n (d) c a (α) và (β)
ng th i vuông góc v i m t ph ng (Q): 3 1 0x y− + = .
Bài 7. Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua 3 i m A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2),
C(−1; 2; 3). Tính kho ng cách t g c O n (P).
Tính di n tích tam giác ABC và th tích t di n OABC.
Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các i m M, N l n lư t là trung
i m c a OA và BC; P, Q là 2 i m trên OC và AB sao cho 2
3
OP
OC
= và
2 ư ng th ng MN, PQ c t nhau.
Vi t phương trình mp(MNPQ) và tìm t s
AQ
AB
.
Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) v i a, d > 0. G i A’, B’
là hình chi u c a O lên DA, DB. Vi t phương trình m t ph ng ch a 2
ư ng OA’, OB’. Ch ng minh m t ph ng ó vuông góc CD.
Tính d theo a s o góc 45A OB′ ′ = ° .
Bài 10.Tìm trên Oy các i m cách u 2 m t ph ng
( ) ( ): 1 0, : 5 0x y z x y zα + − + = β − + − =
Bài 11.Tính góc gi a 2 m t ph ng (P) và (Q) cùng i qua i m I(2; 1; −3) bi t
(P) ch a Oy và (Q) ch a Oz.
Tìm t p h p các i m cách u 2 m t ph ng (P) và (Q).
Bài 12.Cho ∆OAB u c nh a n m trong m t ph ng (Oxy), ư ng th ng AB // Oy.
i m A n m trên ph n tư th nh t trong mp(Oxy). Cho i m ( )0;0;
3
aS .
Xác nh A, B và trung i m E c a OA. Vi t phương trình m t ph ng
(P) ch a SE và song song v i Ox. Tính ( ),d O P t ó suy ra ( );d Ox SE