1. Física 1Bat VECTORS Exercicis resolts
1. Dibuixa, un a continuació de l’altre els vectors:
2i 3 j
4i 2 j
3i 2 j
9i j
Calcula la resultant de tots ells i la longitud de les diagonals del quadrilàter format.
4i-2j
2i+3j
d1
3i-2j
d2
-9i+j
Resultant =0 (forma un polígon tancat)
d 1 6i j d1 6 2 12 6'08
Diagonals
d 2 7i 4 j d 2 7 2 (4) 2 8'06
2. Un barquer està remant sobre la barca: Es vol mantenir sempre perpendicular a la ribera del riu,
creuant-lo amb una velocitat mitjana de 36 km/h. L’aigua del riu flueix a una velocitat de 9
km/h. Amb quina velocitat ha d’impulsar la barca? En quina direcció?
vbarca sense corrent
vresultant vr 36 j km / h
vc 9 i km / h
vb ?
vr vb vc
36 j v b 9 i
v b 36 j 9 i
vcorrent vb 36 2 ( 9 ) 2 37 '11 km / h
9
arc tg 14 '04 º o 104 '04 º
36
aquí el vector està en el 2n quadrant, per tant ’04º respecte la direcció de la corrent
3. Una barca de vela es mou a una velocitat de 4 km/h en la direcció NNE( nordnordest). Quines
són les components de la velocitat del vaixell en direcció nord i en direcció est ?
N
45º
45º
NE
67'5º
NNE
2
45º
v E 4 cos 67'5º 1'53 km / h
67'5º
E v N 4 sin 67'5º 3'70 km / h
2. Física 1Bat VECTORS Exercicis resolts
Y
v=120 m/s 4. Un objecte es mou de tal forma que la seva
velocitat en cert instant és 120 m/s i forma un
angle de 60º amb l’horitzontal. Calcula les
60º components horitzontal i vertical de la velocitat.
X Expressa el vector velocitat en funció de les
seves components.
v x v cos 120 cos 60º 120 1 / 2 60
3
v y v sin 120 sin 60 120 60 3
2
v 60i 60 3 j
5. La velocitat vAT d’un avió respecte la superfície terrestre és la suma vectorial de la seva
velocitat vAE respecte a l’aire i la velocitat vET de l’aire respecte a terra:
v AT v AE v ET
a) Trobeu el valor i direcció de la velocitat vAT si la velocitat vAE és de 200 km/h cap el nord i la
velocitat del vent és 80 km/h d’Est a Oest
v AE 200 j
vAT
vAE v ET 80i
v AT 200 j 80i
v AT (80) 2 200 2 215'41 km / h
200
arctg 68'2º o 158'2º
vET 80
En aquest cas l’angle és 158’0º respecte l’Est
ja que l’angle correspont al 2n, quadrant.
b) Trobeu la direcció de la velocitat vAE , si la seva magnitud és 200 km/h, la direcció de vAT
és cap el Nord i la velocitat del vent (vET) és 80 km/h i es dirigeix d’Est cap Oest. Quin és
llavors el valor de vAT?
vAT
vAE
v AT v AT j
v AE 200 cos i i 200 sin j
v ET 80i
vET
v AT j 200 cos i i 200 sin j 80i
80
0 200 cos i i 80i ; cos 0'40 ; 66'42º
200
v AT j 200 sin j ; v AT 200 sin 66'42º 183'3 km / h
3. Física 1Bat VECTORS Exercicis resolts
6. Demostreu que la component d’un vector v en una direcció r s’obté multiplicant escalarment aquest
vector pel vector unitari d’aquesta direcció.
v ·u r v·u r cos v cos v r
7. Determineu un vector unitari de la mateixa direcció i sentit que el vector que té el seu origen en
A (3,5,-5) i el seu extrem en B (5,-4,1).
AB B A (5,4,1) (3,5,5) (2,9,6)
AB 2 2 (9) 2 6 2 121 11
(2,9,6) 2 9 6
u AB ( , , )
11 11 11 11
8.Calculeu la component del vector v 6i 7 j 6k en la direcció de la recta r que passa per l’origen
de coordenades i pel punt P(3,-4,0).
OP P O (3,4,0) (0,0,0) 3i 4 j
OP (3,4,0) (3,4,0) 3 4
ur i j
OP 3 2 (4) 2 5 5 5
3 4 18 28
v r v ·u r (6i 7 j 6k )·( i j ) ( ) 2
5 5 5 5
9. Calculeu el vector perpendicular a a=(4,0,3) que tingui de mòdul 5 i estigui situat al pla XZ.
b (bx ,0, bz ); b 5; 5 bx bz
2 2
3b
a·b 0; a ·b (4,0,3)·(bx ,0, bz ); 0 4bx 3bz ; bx z
4
3b
5 ( z ) 2 bz
2
4
2
9bz
5 bz
2
16
5
5 bz ; bz 4; b x 3
4
10. Una partícula experimenta tres desplaçaments consecutius en el pla, com segueix: 4 m al surest, 5 m
a l’est, 6 m en direcció a 60º al nord de l’est. Obteniu la magnitud, direcció i sentit del desplaçament
resultant.
r1 (4 cos(45º ), 4 sin(45º )) (2 2 ,2 2 )
r2 (5 cos 0º ,5 sin 0º ) (5,0)
r3 (6 cos 60º ,6 sin 60º ) (3, 3 3 )
r (2 2 ,2 2 ) (5,0) (3, 3 3 ) (10'83, 2'37)
r 10'83 2 2'37) 2 8'18 m
2'37
arc tg 16'84º al nord de l ' est
10'83
