Репетитор по математике Фельдман Инна Владимировна Индивидуальная подготовка к ГИА и ЕГЭ. сайт ege-ok.ru

1. Репетитор по математике Фельдман Инна Владимировна
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ
ФУНКЦИИ
1

2. 22
Понятие функции

3. 3333
Понятие функции
𝑿 𝒀

4. 44444
Понятие функции
𝑿 𝒀
𝒙 𝒚

5. 55555
Понятие функции
𝑿 𝒀
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)

6. 66666
Понятие функции
𝑿 𝒀
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Область определения
𝑫(𝒚)

7. 77777
Понятие функции
𝑿 𝒀
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Область определения
𝑫(𝒚)
Множество значений
𝑬(𝒚)

8. 88888
Понятие функции
𝑿 𝒀
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Область определения
𝑫(𝒚)
Множество значений
𝑬(𝒚)
Соответствие между числовым множеством X и числовым множеством Y,
при котором каждому элементу множества X соответствует
единственный элемент множества Y называется числовой функцией.

9. 9
Понятие функции
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)

10. 1010
Понятие функции
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Аргумент
(независимая переменная )
Значение функция
(зависимая переменная )

11. 111111
Понятие функции
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟓
Аргумент
(независимая переменная )
Значение функция
(зависимая переменная )

12. 12121212
Понятие функции
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Аргумент
(независимая переменная )
Функция
(зависимая переменная )
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟓
𝟑
𝒚 = 𝒇 𝟑 = 𝟑 𝟓 𝟐𝟒𝟑

13. 13131313
Понятие функции
𝒙 𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Аргумент
(независимая переменная )
Функция
(зависимая переменная )
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟓
𝟑
𝒚 = 𝒇 𝟑 = 𝟑 𝟓 𝟐𝟒𝟑
𝒚 = 𝒇 𝟐𝒌 = (𝟐𝒌) 𝟓
𝟐𝒌 𝟑𝟐𝒌 𝟓

14. 14
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓

15. 15
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓
𝒙 𝒖 𝒚
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙

16. 1616
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓
𝒙 𝒖 𝒚
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒖)
𝒇 𝒖 = 𝒖 𝟓

17. 17171717
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓
𝒙 𝒖 𝒚
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒖)
𝒇 𝒖 = 𝒖 𝟓
𝑿 𝑼 𝒀

18. 18181818
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟓
𝒙 𝒖 𝒚
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒖)
𝒇 𝒖 = 𝒖 𝟓
𝑿 𝑼 𝒀
Пусть функция 𝒖 = 𝒈(𝒙) определена на множестве 𝑿 и 𝑼 – множество
значений этой функции. Пусть областью определения функции 𝒚 = 𝒇 𝒖
является множество 𝑼 (или его подмножество). Поставим каждому числу 𝒙
из множества 𝑿 число 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)). Тем самым на множестве 𝑿 будет задана
функция 𝒚 = 𝒇(𝒈(𝒙)). Ее называют композицией функций или сложной
функцией.

19. 19
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑

20. 2020202020
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑
𝒙 𝒖
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝑿 𝑼

21. 212121212121
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑
𝒙 𝒖 𝒗
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝑿 𝑼
𝒗 = 𝒑(𝒖)
𝒑 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒖)
𝑽

22. 222222222222
Понятие сложной функции
𝒇 𝒙 = (𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙)) 𝟑
𝒙 𝒖 𝒗
𝒖 = 𝒈(𝒙)
𝒈 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 𝒗 = 𝒗 𝟑
𝑿 𝑼 𝒀
𝒚
𝒚 = 𝒇(𝒗)𝒚 = 𝒑(𝒖)
𝒑 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒖)
𝑽

23. 23
Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных
функций
𝒙 𝜶
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒕𝒈𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒆 𝒙
𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙

24. 2424
Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных
функций
𝒙 𝜶
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒕𝒈𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒆 𝒙
𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐

25. 252525
Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных
функций
𝒙 𝜶
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒕𝒈𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒆 𝒙
𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐
𝒚 = 𝒆 𝒙 ∙ (𝟏 − 𝟑𝒙 𝟓)

26. 26262626
Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных
функций
𝒙 𝜶
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒕𝒈𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒆 𝒙
𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐
𝒚 = 𝒆 𝒙 ∙ (𝟏 − 𝟑𝒙 𝟓)
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 + 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)

27. 2727272727
Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных
функций
𝒙 𝜶
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒕𝒈𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒆 𝒙
𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙
𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐
𝒚 = 𝒆 𝒙 ∙ (𝟏 − 𝟑𝒙 𝟓)
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 + 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)
Если аргументом элементарной
функции является не 𝒙, а функция
от 𝒙, следовательно, мы имеем
дело со сложной функцией.

28. 2828282828
Производная сложной функции
𝒚 = 𝒇(𝒈 𝒙 )
𝒙 𝒖 𝒚
𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒖)
𝑿 𝑼 𝒀

29. 292929292929
Производная сложной функции
𝒚 = 𝒇(𝒈 𝒙 )
𝒙 𝒖 𝒚
𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒖)
𝑿 𝑼 𝒀
Производная сложной функции вычисляется по формуле:
𝒇 𝒈 𝒙
′
= 𝒇′ 𝒈 𝒙 ∙ 𝒈′ 𝒙
или
𝒇 ∆
′
= 𝒇′(∆) ∙ ∆′

30. 30
Таблица производных

31. 3131
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎

32. 3232
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙

33. 3333
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙

34. 3434
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙

35. 3535
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙

36. 3636
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙

37. 3737
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏

38. 3838
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙

39. 3939
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏

40. 4040
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐

41. 4141
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐

42. 4242
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= 𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐
)

43. 4343
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= 𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐
)

44. 4444
Таблица производных
(𝒙 𝜶
)′ = 𝜶𝒙 𝜶−𝟏
, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 ′
= 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒕𝒈𝒙 ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
(𝒆 𝒙
)′ = 𝒆 𝒙
(𝒂 𝒙
)′ = 𝒂 𝒙
𝒍𝒏𝒂, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏𝒙 ′
=
𝟏
𝒙
(𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙)′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏𝒂
, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
= −𝟏/ 𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= 𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒙 ′
= −𝟏/(𝟏 + 𝒙 𝟐
)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)

45. 45
Производная сложной функции
4545
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)

46. 4646
Производная сложной функции
4646
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:

47. 4747
Производная сложной функции
4747
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐

48. 4848
Производная сложной функции
4848
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
2. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐

49. 4949
Производная сложной функции
4949
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
2. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
𝒚′
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐 −𝟏
∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′
=

50. 5050
Производная сложной функции
5050
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
2. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
𝒚′
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐 −𝟏
∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′
=
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)−
𝟏
𝟐 ∙ (−𝟐𝒙)

51. 5151
Производная сложной функции
5151
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
2. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
𝒚′
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐 −𝟏
∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′
=
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)−
𝟏
𝟐 ∙ (−𝟐𝒙) = −
𝒙
𝟒 − 𝒙 𝟐

52. 5252
Производная сложной функции
5252
Найти производную функции 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 𝟐
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Запишем корень в виде степени:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
2. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐
𝒚′
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)
𝟏
𝟐 −𝟏
∙ 𝟒 − 𝒙 𝟐 ′
=
=
𝟏
𝟐
∙ (𝟒 − 𝒙 𝟐
)−
𝟏
𝟐 ∙ (−𝟐𝒙) = −
𝒙
𝟒 − 𝒙 𝟐
𝒚′
= −
𝒙
𝟒 − 𝒙 𝟐

53. 5353
Производная сложной функции
5353
Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)

54. 545454
Производная сложной функции
5454
Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:

55. 555555
Производная сложной функции
5555
Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)

56. 565656
Производная сложной функции
5656
Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)
2. Найдем производную:
𝒚′ =
(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)′
𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 =

57. 57575757
Производная сложной функции
5757
Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)
2. Найдем производную:
𝒚′ =
(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)′
𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 =
𝟐𝒙 − 𝟓
𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐

58. 585858
Производная сложной функции
5858
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟑
2. 𝒚′
= 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟐
∙ (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏))′

59. 5959595959
Производная сложной функции
5959
Найти производную функции 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)
2. Найдем производную:
𝒚′ =
(𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙)′
𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐 =
𝟐𝒙 − 𝟓
𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐
𝒚′
=
𝟐𝒙 − 𝟓
𝟏 + (𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙) 𝟐

60. 60606060
Производная сложной функции
6060
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)

61. 6161616161
Производная сложной функции
6161
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟑

62. 6262626262
Производная сложной функции
6262
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟑
2. 𝒚′
= 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟐
∙ (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏))′

63. 6363636363
Производная сложной функции
6363
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟑
2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 )′ =
= 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙
𝟏
𝒙 𝟐 + 𝟏
(𝒙 𝟐 + 𝟏)′ =

64. 646464646464
Производная сложной функции
6464
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟑
2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 )′ =
= 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙
𝟏
𝒙 𝟐 + 𝟏
(𝒙 𝟐 + 𝟏)′ =
= 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙
𝟐𝒙
𝒙 𝟐 + 𝟏

65. 656565656565
Производная сложной функции
6565
Найти производную функции 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟑(𝒙 𝟐 + 𝟏)
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Выявим внешнюю функцию:
𝒚 = (𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝟏)) 𝟑
2. 𝒚′ = 𝟑(𝒍𝒏(𝒙 𝟐 + 𝟏)) 𝟐 ∙ (𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 )′ =
= 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙
𝟏
𝒙 𝟐 + 𝟏
(𝒙 𝟐 + 𝟏)′ =
= 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟏 ) 𝟐 ∙
𝟐𝒙
𝒙 𝟐 + 𝟏
𝒚′
= 𝟑(𝒍𝒏 𝒙 𝟐
+ 𝟏 ) 𝟐
∙
𝟐𝒙
𝒙 𝟐 + 𝟏

66. 66666666666666
Производная сложной функции
6666
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)

67. 6767676767676767
Производная сложной функции
6767
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:

68. 686868686868686868
Производная сложной функции
6868
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 =

69. 696969696969696969
Производная сложной функции
6969
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐

70. 707070707070707070
Производная сложной функции
7070
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐

71. 717171717171717171
Производная сложной функции
7171
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖

72. 727272727272727272
Производная сложной функции
7272
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏

73. 737373737373737373
Производная сложной функции
7373
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏
𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐,

74. 747474747474747474
Производная сложной функции
7474
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏
𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
, 𝒗′
= 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙

75. 757575757575757575
Производная сложной функции
7575
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏
𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
, 𝒗′
= 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
𝒚′
= 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
+

76. 767676767676767676
Производная сложной функции
7676
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏
𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
, 𝒗′
= 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
𝒚′
= 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
∙ 𝒙 =

77. 777777777777777777
Производная сложной функции
7777
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏
𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
, 𝒗′
= 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
𝒚′
= 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
∙ 𝒙 =
= (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏

78. 787878787878787878
Производная сложной функции
7878
Найти производную функции 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Преобразуем выражение:
𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
2. Найдем производную:
𝒚 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
Это производная произведения:
𝒖𝒗 ′ = 𝒖′ 𝒗 + 𝒗′ 𝒖
𝒖 = 𝒙, 𝒖′
= 𝟏
𝒗 = (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
, 𝒗′
= 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
𝒚′
= 𝟏 ∙ (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏 ∙
𝟏
𝒙
∙ 𝒙 =
= (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏
𝒚′
= (𝒍𝒏𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐 𝒍𝒏𝒙 − 𝟏

79. 797979797979797979
Производная сложной функции
7979
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)

80. 80808080808080808080
Производная сложной функции
8080
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:

81. 8181818181818181818181
Производная сложной функции
8181
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)

82. 8282828282828282828282
Производная сложной функции
8282
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)
2. Вынесем показатель степени за знак
логарифма:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)

83. 8383838383838383838383
Производная сложной функции
8383
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)
2. Вынесем показатель степени за знак
логарифма:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)
3. Возьмем производную:
𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′

84. 8484848484848484848484
Производная сложной функции
8484
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)
2. Вынесем показатель степени за знак
логарифма:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)
3. Возьмем производную:
𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝟏
𝒚
∙ 𝒚′
= 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′

85. 8585858585858585858585
Производная сложной функции
8585
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)
2. Вынесем показатель степени за знак
логарифма:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)
3. Возьмем производную:
𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝟏
𝒚
∙ 𝒚′
= 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒚′
= 𝒚 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′

86. 8686868686868686868686
Производная сложной функции
8686
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)
2. Вынесем показатель степени за знак
логарифма:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)
3. Возьмем производную:
𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝟏
𝒚
∙ 𝒚′
= 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒚′
= 𝒚 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′

87. 8787878787878787878787
Производная сложной функции
8787
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
1. Возьмем от обеих частей равенства 𝒍𝒏:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏((𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
)
2. Вынесем показатель степени за знак
логарифма:
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍𝒏(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)
3. Возьмем производную:
𝒍𝒏𝒚 ′ = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝟏
𝒚
∙ 𝒚′
= 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒚′
= 𝒚 ∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′

88. 8888888888888888888888
Производная сложной функции
8888
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′

89. 898989898989898989898989
Производная сложной функции
8989
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖

90. 909090909090909090909090
Производная сложной функции
9090
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙

91. 919191919191919191919191
Производная сложной функции
9191
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,

92. 929292929292929292929292
Производная сложной функции
9292
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
𝒗′
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
=

93. 939393939393939393939393
Производная сложной функции
9393
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
𝒗′
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
=
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐

94. 949494949494949494949494
Производная сложной функции
9494
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
𝒗′
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
=
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ =
𝟏
𝒙
∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 +

95. 959595959595959595959595
Производная сложной функции
9595
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
(∆ 𝜶
)′ = 𝜶∆ 𝜶−𝟏
∙ ∆′, 𝜶 ∈ ℝ, 𝜶 ≠ 𝟎
𝒔𝒊𝒏∆ ′
= 𝒄𝒐𝒔∆ ∙ ∆′
𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −𝒔𝒊𝒏∆ ∙ ∆′
𝒕𝒈∆ ′
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∆
∙ ∆′
𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∆
∙ ∆′
(𝒆∆
)′ = 𝒆∆
∙ ∆′
(𝒂∆
)′ = 𝒂∆
𝒍𝒏𝒂 ∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
𝒍𝒏∆ ′
=
𝟏
∆
∙ ∆′
(𝒍𝒐𝒈 𝒂∆)′ =
𝟏
∆𝒍𝒏𝒂
∙ ∆′, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏
(𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏∆)′ =
𝟏
𝟏 − ∆ 𝟐
∙ ∆′
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔∆ ′
= −∆′/ 𝟏 − ∆ 𝟐
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈∆ ′
= ∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈∆ ′
= −∆′/(𝟏 + ∆ 𝟐
)
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
𝒗′
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
=
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ =
𝟏
𝒙
∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 +
+
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
∙ 𝒍𝒏𝒙

96. 96

97. 97

98. 989898989898989898989898
Производная сложной функции
9898
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
𝒗′
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
=
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ =
𝟏
𝒙
∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 +
+
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
∙ 𝒍𝒏𝒙
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ (
𝟏
𝒙
∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 −
−
𝒍𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒙 𝟐
)

99. 99999999999999999999999999
Производная сложной функции
9999
Найти производную функции 𝒚 = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
𝒚′
= (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙
∙ 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
4. Найдем производную произведения:
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
𝒖𝒗 ′
= 𝒖′
𝒗 + 𝒗′
𝒖
𝒖 = 𝒍𝒏𝒙, 𝒖′ =
𝟏
𝒙
𝒗 = 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ,
𝒗′
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′
=
=
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒍 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ′ =
𝟏
𝒙
∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 +
+
𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙
∙ −
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐
∙ 𝒍𝒏𝒙
𝒚′ = (𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒍𝒏𝒙 ∙ (
𝟏
𝒙
∙ 𝒍𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 −
𝒍𝒏𝒙
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒙 𝟐
)