Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Дискретные структуры
МФТИ, весна 2014
Александр Дайняк
www.dainiak.com
Формальные степенные ряды
Формальный степенной ряд — это запись вида
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
Числа 𝑎0, 𝑎1, … н...
Операции над рядами
Обозначим
𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘
+ ⋯
• Сумма ...
Операции над рядами
Обозначим
𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘
+ ⋯
• Произв...
Операции над рядами
Обозначим
𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘
+ ⋯
Пусть 𝑏0...
Операции над рядами
Производная ряда
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
— это ряд
𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯
с к...
Производящие функции
Производящая функция числовой последовательности 𝑎0, 𝑎1, … — это
сумма ряда
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎...
Производящие функции
Основное правило применения производящих функций:
Любая функция может быть производящей функцией не б...
Радиус сходимости
Для применимости метода нужно проверять, что ряды сходятся в
окрестности нуля.
Радиус сходимости ряда ∑𝑎...
Рациональные производящие функции
Утверждение.
Если последовательность 𝑎 𝑘 удовлетворяет л.р.с. с п.к.,
то производящая фу...
Доказательство утверждения
Пусть п-ть 𝑎 𝑘 удовлетворяет соотношению 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘+𝑟 + ⋯ + 𝑐0 𝑎 𝑘 = 0, или, что то же самое,
𝑐 𝑟 ...
Применение производящих функций
Пусть надо вычислить сумму
𝑘=0
𝑛
𝑘2
𝑛
𝑘
1
2 𝑘
Заметим, что она равняется 𝑔 1 2 , где 𝑔 𝑥 —...
Применение производящих функций
Имеем 𝑔 𝑥 = ∑ 𝑘=0
∞
𝑘2 𝑛
𝑘
𝑥 𝑘
Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑ 𝑘=0
∞ 𝑛
𝑘
𝑥 𝑘
= 1 + 𝑥 𝑛
.
Заметим, что 𝑔 𝑥 = ...
Обобщённая формула бинома
«Обычная» формула бинома для 𝑛 ∈ ℕ:
1 + 𝑥 𝑛 = 1 +
𝑛
1
𝑥 +
𝑛
2
𝑥2 + ⋯ +
𝑛
𝑛
𝑥 𝑛
Обобщённая формул...
Обобщённая формула бинома
1 + 𝑥 𝛼
= 1 + 𝛼
1
𝑥 + 𝛼
2
𝑥2
+ ⋯, где 𝛼
𝑘
=
𝛼 𝛼−1 𝛼−2 ⋅…⋅ 𝛼− 𝑘−1
𝑘!
Пример применения:
1 + 𝑥 1/2...
Обобщённая формула бинома
Ещё немного преобразуем:
1 + 𝑥 1/2 = 1 + 𝑥
𝑘=0
∞
−1 𝑘
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1
𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1
𝑥 𝑘
=...
Числа Каталана
Одно из многочисленных определений:
Число Каталана 𝑎 𝑛 — это количество правильных скобочных
последовательн...
Числа Каталана: рекуррентное соотношение
Рекуррентное соотношение для чисел Каталана:
𝑎 𝑛+1 =
𝑘=0
𝑛
𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘
Обоснование:...
Числа Каталана: производящая функция
Рассмотрим производящую функцию для последовательности
чисел Каталана:
𝐴 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 ...
Числа Каталана: производящая функция
Итак,
𝐴 𝑥
2
= 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 + 𝑎4 𝑥3 + ⋯
Отсюда
𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥
2
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 +...
Числа Каталана: производящая функция
Уравнение для производящей функции:
𝑥 𝐴 𝑥
2
− 𝐴 𝑥 + 1 = 0
Отсюда
𝐴 𝑥 =
1 ± 1 − 4𝑥
2𝑥
...
Числа Каталана: вывод формулы
𝐴 𝑥 =
1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2
2𝑥
где по формуле обобщённого бинома
1 + (−4𝑥) 1 2
=
= 1 +
1
2
−4𝑥 +...
Числа Каталана: вывод формулы
Подставим в выражение для 𝐴 𝑥 ряд для 1 + (−4𝑥) 1 2
:
𝐴 𝑥 =
1 − 1 + (−4𝑥) ∑ 𝑘=0
∞ 2𝑘−1 !
𝑘−1...
Числа Каталана
Итак,
𝑎 𝑘 =
2𝑘
𝑘
𝑘 + 1
Асимптотика:
𝑎 𝑘 ∼
4 𝑘
𝜋 ⋅ 𝑘3 2
Теорема Эйлера
Обозначим 𝑝чёт(𝑁) и 𝑝неч 𝑁 количества разбиений 𝑁
соответственно на чётное и нечётное число различных слага...
Производящая функция для числа
неупорядоченных разбиений
Утверждение.
Если 𝑝 𝑁 — количество неупорядоченных разбиений числ...
Производящая функция для числа
неупорядоченных разбиений
Т.к. 1 − 𝑡 −1 = 1 + 𝑡 + 𝑡2 + ⋯, то
𝑘=1
∞
1 − 𝑥 𝑘 −1
=
𝑖1
𝑥 𝑖1
𝑖2
...
Производящая функция для числа
неупорядоченных разбиений
𝑘=1
∞
1 − 𝑥 𝑘 −1
=
𝑛=0
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
где 𝑎 𝑛 — количество наборов 𝑖1,...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
Итак,
𝑘=1
∞
1
1 − 𝑥 𝑘
=
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛 𝑥 𝑛
Отсюда
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅
𝑘=1
∞
1 − 𝑥 𝑘 = 1
Разложим в ряд произ...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
𝑛=0
∞
𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅
𝑚=0
∞
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 = 1
где
𝑏 𝑚 =
−1 𝑘, если...
Вывод рекуррентного соотношения
для числа неупорядоченных разбиений
𝑗=0
∞
𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 ⋅ 1 +
𝑘=1
∞
−1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 =...
Рекуррентное соотношение для числа
неупорядоченных разбиений
Теорема.
Для любого 𝑚 > 0 выполнено равенство
𝑝 𝑚 =
𝑘>0
−1 𝑘+...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Пусть 𝑓1, 𝑓2, … — последовательность всех простых
нормногочленов над ℤ 𝑝, в по...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом
в виде
𝑓 = 𝑓𝑖1
𝛼 𝑖1
⋅...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Утверждение.
Выполнено равенство
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑖=1
∞
1
1 − 𝑡 𝑑 𝑖
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Доказательство:
Т.к. 1 − 𝑡 𝑑 𝑖
−1
= 1 + 𝑡 𝑑 𝑖 + 𝑡2𝑑 𝑖 + 𝑡3𝑑 𝑖 + ⋯, то
𝑖=1
∞
1 ...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑖=1
∞
1
1 − 𝑡 𝑑 𝑖
Пусть 𝑀 𝑘 — количество простых нормногочленов сте...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑘=1
∞
1
1 − 𝑡 𝑘
𝑀 𝑘
Прологарифмируем обе части:
ln
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑘=1
∞...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
ln
1
1 − 𝑝𝑡
=
𝑘=1
∞
𝑀 𝑘 ln
1
1 − 𝑡 𝑘
Если разложить ln 1 − 𝑥 −1
в ряд, получит...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
𝑗=1
∞
𝑝𝑡 𝑗
𝑗
=
𝑘=1
∞
𝑀 𝑘
𝑗=1
∞
𝑡 𝑘𝑗
𝑗
Коэффициенты при 𝑡 𝑛
для каждого 𝑛 должн...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
𝑝 𝑛 =
𝑘|𝑛
𝑘𝑀 𝑘
Применяя обращение Мёбиуса, получаем следующую теорему.
Теорема...
Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝
Следствие 1.
При каждом 𝑝 и при каждом 𝑛 ≥ 2 существует хотя бы один
неприводи...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Производящие функции

565 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Производящие функции

  1. 1. Дискретные структуры МФТИ, весна 2014 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Формальные степенные ряды Формальный степенной ряд — это запись вида 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ Числа 𝑎0, 𝑎1, … называются коэффициентами ряда.
  3. 3. Операции над рядами Обозначим 𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ 𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ • Сумма рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ с коэффициентами 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 + 𝑏 𝑘 • Разность рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд с коэффициентами 𝑐 𝑘 = 𝑎 𝑘 − 𝑏 𝑘
  4. 4. Операции над рядами Обозначим 𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ 𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ • Произведение рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ с коэффициентами 𝑐 𝑘 = 𝑖=0 𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑘−𝑖
  5. 5. Операции над рядами Обозначим 𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ 𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ Пусть 𝑏0 ≠ 0. • Частное рядов 𝐴 и 𝐵 — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ коэффициенты которого определяются последовательно из соотношений: 𝑐0 ≔ 𝑎0 𝑏0 , 𝑐1 ≔ 𝑎1−𝑏1 𝑐0 𝑏0 , 𝑐2 ≔ 𝑎2−𝑏2 𝑐0−𝑏1 𝑐1 𝑏0 , …
  6. 6. Операции над рядами Производная ряда 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ — это ряд 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ с коэффициентами 𝑐 𝑘 ≔ 𝑘 + 1 𝑎 𝑘+1
  7. 7. Производящие функции Производящая функция числовой последовательности 𝑎0, 𝑎1, … — это сумма ряда 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ (при условии, что в окрестности нуля ряд сходится) Например, производящая функция последовательности 𝑛 0 , 𝑛 1 , 𝑛 2 … — это ряд 𝑛 0 + 𝑛 1 𝑥 + 𝑛 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ Мы знаем, что этот ряд можно «свернуть»: 1 + 𝑥 𝑛
  8. 8. Производящие функции Основное правило применения производящих функций: Любая функция может быть производящей функцией не более чем одной последовательности. А это значит, что если мы взяли две последовательности, на первый взгляд «разные», и доказали, что их производящие функции равны в окрестности нуля, то и сами последовательности совпадают.
  9. 9. Радиус сходимости Для применимости метода нужно проверять, что ряды сходятся в окрестности нуля. Радиус сходимости ряда ∑𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 — это такое 𝑟, что ряд сходится при всех 𝑥, таких, что 𝑥 < 𝑟. (𝑥 в общем случае комплексное) Радиус сходимости помогает найти Теорема Коши: 𝑟 = lim 𝑘→∞ 𝑘 𝑎 𝑘 −1
  10. 10. Рациональные производящие функции Утверждение. Если последовательность 𝑎 𝑘 удовлетворяет л.р.с. с п.к., то производящая функция 𝑓 для 𝑎 𝑘 представима в виде 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 , где 𝑃, 𝑄 ∈ ℝ 𝑥 .
  11. 11. Доказательство утверждения Пусть п-ть 𝑎 𝑘 удовлетворяет соотношению 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘+𝑟 + ⋯ + 𝑐0 𝑎 𝑘 = 0, или, что то же самое, 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘 + 𝑐 𝑟−1 𝑎 𝑘−1 … + 𝑐1 𝑎 𝑘−𝑟+1 + 𝑐0 𝑎 𝑘−𝑟 = 0. Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 . Имеем 𝑐0 𝑥 𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑘=𝑟 ∞ 𝑐0 𝑎 𝑘−𝑟 𝑥 𝑘 𝑐1 𝑥 𝑟−1 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑘=𝑟−1 ∞ 𝑐1 𝑎 𝑘−𝑟+1 𝑥 𝑘 ⋮ 𝑐 𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑘=0 ∞ 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 Отсюда 𝑐0 𝑥 𝑟 + 𝑐1 𝑥 𝑟−1 + ⋯ + 𝑐 𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 + ∑ 𝑘=𝑟 ∞ 𝑐 𝑟 𝑎 𝑘 + 𝑐 𝑟−1 𝑎 𝑘−1 … + 𝑐1 𝑎 𝑘−𝑟+1 + 𝑐0 𝑎 𝑘−𝑟 =0 𝑥 𝑘 , где 𝑃 — многочлен степени не выше 𝑟 − 1 .
  12. 12. Применение производящих функций Пусть надо вычислить сумму 𝑘=0 𝑛 𝑘2 𝑛 𝑘 1 2 𝑘 Заметим, что она равняется 𝑔 1 2 , где 𝑔 𝑥 — производящая функция для последовательности 𝑎 𝑘 = 𝑘2 𝑛 𝑘 то есть 𝑔 𝑥 ≔ 𝑘=0 ∞ 𝑘2 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘
  13. 13. Применение производящих функций Имеем 𝑔 𝑥 = ∑ 𝑘=0 ∞ 𝑘2 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑ 𝑘=0 ∞ 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑛 . Заметим, что 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥𝑓′ 𝑥 ′ , а значит 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 1 + 𝑥 𝑛 ′ ′ = 𝑥 𝑥𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 ′ = = 𝑥𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 − 1 1 + 𝑥 𝑛−2 И теперь легко вычислить 𝑔 1/2 = 𝑛 2 3 2 𝑛−1 + 1 2 𝑛 𝑛 − 1 ⋅ 3 2 𝑛−2
  14. 14. Обобщённая формула бинома «Обычная» формула бинома для 𝑛 ∈ ℕ: 1 + 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑛 1 𝑥 + 𝑛 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 Обобщённая формула бинома для 𝛼 ∈ ℝ: 1 + 𝑥 𝛼 = 1 + 𝛼 1 𝑥 + 𝛼 2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘 + ⋯ Здесь 𝛼 𝑘 — обобщённые биномиальные коэффициенты: 𝛼 𝑘 = 𝛼 𝛼 − 1 𝛼 − 2 ⋅ … ⋅ 𝛼 − 𝑘 − 1 𝑘!
  15. 15. Обобщённая формула бинома 1 + 𝑥 𝛼 = 1 + 𝛼 1 𝑥 + 𝛼 2 𝑥2 + ⋯, где 𝛼 𝑘 = 𝛼 𝛼−1 𝛼−2 ⋅…⋅ 𝛼− 𝑘−1 𝑘! Пример применения: 1 + 𝑥 1/2 = 1 + 1 2 𝑥 + 1 2 1 2 − 1 2! 𝑥2 + 1 2 1 2 − 1 1 2 − 2 3! 𝑥3 + ⋯ = = 1 + 1 2 𝑥 + 1 − 2 2! ⋅ 22 𝑥2 + 1 − 2 1 − 4 3! ⋅ 23 𝑥3 + ⋯ = 1 + 1 2 𝑥 − 1 2! ⋅ 22 𝑥2 + 1 ⋅ 3 3! ⋅ 23 𝑥3 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 4! ⋅ 24 + ⋯ = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘
  16. 16. Обобщённая формула бинома Ещё немного преобразуем: 1 + 𝑥 1/2 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 2 2𝑘 − 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 2 ⋅ 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ −1 𝑘 2𝑘 − 1 ! 2 𝑘−1 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! 2 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 1 + 𝑥 𝑘=0 ∞ 2𝑘 − 1 ! 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! −1 4 𝑥 𝑘
  17. 17. Числа Каталана Одно из многочисленных определений: Число Каталана 𝑎 𝑛 — это количество правильных скобочных последовательностей из 𝑛 пар скобок Пример, при 𝑛 = 3 имеем 𝑎3 = 5: , , , ,
  18. 18. Числа Каталана: рекуррентное соотношение Рекуррентное соотношение для чисел Каталана: 𝑎 𝑛+1 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 Обоснование: прав. ск. посл. внутри 𝑘 пар скобок прав. ск. посл. 𝑛−𝑘 пар скобок Начальные условия: 𝑎0 = 𝑎1 = 1
  19. 19. Числа Каталана: производящая функция Рассмотрим производящую функцию для последовательности чисел Каталана: 𝐴 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ Заметим, что соотношение 𝑎 𝑛+1 = ∑ 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 похоже по форме на то, что возникает при произведении рядов. Рассмотрим 𝐴 𝑥 ⋅ 𝐴 𝑥 = = 𝑎0 2 + 𝑎0 𝑎1 + 𝑎1 𝑎0 𝑥 + 𝑎0 𝑎2 + 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎0 𝑥2 + 𝑎0 𝑎3 + 𝑎1 𝑎2 + 𝑎2 𝑎1 + 𝑎3 𝑎0 𝑥3 + ⋯ = = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 + 𝑎4 𝑥3 + ⋯
  20. 20. Числа Каталана: производящая функция Итак, 𝐴 𝑥 2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2 + 𝑎4 𝑥3 + ⋯ Отсюда 𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥 2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ = 𝐴 𝑥 Получаем уравнение для производящей функции 𝐴: 𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥 2 = 𝐴 𝑥
  21. 21. Числа Каталана: производящая функция Уравнение для производящей функции: 𝑥 𝐴 𝑥 2 − 𝐴 𝑥 + 1 = 0 Отсюда 𝐴 𝑥 = 1 ± 1 − 4𝑥 2𝑥 Теперь воспользуемся обобщённой формулой бинома, чтобы записать 𝐴 𝑥 в виде ряда: 𝐴 𝑥 = 1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2 2𝑥
  22. 22. Числа Каталана: вывод формулы 𝐴 𝑥 = 1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2 2𝑥 где по формуле обобщённого бинома 1 + (−4𝑥) 1 2 = = 1 + 1 2 −4𝑥 + 1 2 1 2 − 1 2! −4𝑥 2 + 1 2 1 2 − 1 1 2 − 2 3! −4𝑥 3 + ⋯ Отсюда уже видно, что на самом деле 𝐴 𝑥 = 1 − 1 + (−4𝑥) 1 2 2𝑥
  23. 23. Числа Каталана: вывод формулы Подставим в выражение для 𝐴 𝑥 ряд для 1 + (−4𝑥) 1 2 : 𝐴 𝑥 = 1 − 1 + (−4𝑥) ∑ 𝑘=0 ∞ 2𝑘−1 ! 𝑘−1 !⋅ 𝑘+1 ! 𝑥 𝑘 2𝑥 Отсюда 𝐴 𝑥 = 2 𝑘=0 ∞ 2𝑘 − 1 ! 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! 𝑥 𝑘 В итоге 𝑎 𝑘 = 2 2𝑘 − 1 ! 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! = 2𝑘 − 1 ! ⋅ 2𝑘 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑘 + 1 ! = 2𝑘 ! 𝑘! ⋅ 𝑘 + 1 ! = 2𝑘 𝑘 𝑘 + 1
  24. 24. Числа Каталана Итак, 𝑎 𝑘 = 2𝑘 𝑘 𝑘 + 1 Асимптотика: 𝑎 𝑘 ∼ 4 𝑘 𝜋 ⋅ 𝑘3 2
  25. 25. Теорема Эйлера Обозначим 𝑝чёт(𝑁) и 𝑝неч 𝑁 количества разбиений 𝑁 соответственно на чётное и нечётное число различных слагаемых. Теорема. 𝑝чёт 𝑁 − 𝑝неч 𝑁 = −1 𝑘, если 𝑁 = 3𝑘2±𝑘 2 0, иначе
  26. 26. Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений Утверждение. Если 𝑝 𝑁 — количество неупорядоченных разбиений числа 𝑁, то для производящей функции последовательности 𝑝 0 , 𝑝 1 , … справедлива формула 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 = 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑥 𝑘
  27. 27. Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений Т.к. 1 − 𝑡 −1 = 1 + 𝑡 + 𝑡2 + ⋯, то 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 −1 = 𝑖1 𝑥 𝑖1 𝑖2 𝑥2𝑖2 𝑖3 𝑥3𝑖3 ⋅ … = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 где 𝑎 𝑛 — количество наборов 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … таких, что 𝑛 = 𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖3 + ⋯
  28. 28. Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 −1 = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 где 𝑎 𝑛 — количество наборов 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … таких, что 𝑛 = 𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖3 + ⋯ Любой такой набор 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … однозначно соответствует разбиению числа 𝑛, в котором 𝑖1 слагаемых равны 1, 𝑖2 слагаемых равны 2, и т.д. Отсюда следует, что 𝑎 𝑛 = 𝑝 𝑛 .
  29. 29. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений Итак, 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑥 𝑘 = 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 Отсюда 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 = 1
  30. 30. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 = 1 Разложим в ряд произведение 𝑘=1 ∞ 1 − 𝑥 𝑘 : 1 − 𝑥 1 − 𝑥2 1 − 𝑥3 ⋅ … = 𝑚=0 ∞ 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 где 𝑏 𝑚 = 𝑝чёт 𝑚 − 𝑝неч 𝑚 .
  31. 31. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 𝑚=0 ∞ 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 = 1 где 𝑏 𝑚 = −1 𝑘, если ∃𝑘: 𝑚 = 3𝑘2±𝑘 2 0, иначе Итак, 𝑛=0 ∞ 𝑝 𝑛 𝑥 𝑛 ⋅ 1 + 𝑘=1 ∞ −1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 = 1
  32. 32. Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений 𝑗=0 ∞ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 ⋅ 1 + 𝑘=1 ∞ −1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 = 1 При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых коэффициенты при всех положительных степенях 𝑥 должны быть нулевыми, отсюда для любого 𝑚 > 0 выполнено 𝑝 𝑚 + 𝑘>0 −1 𝑘 𝑝 𝑚 − 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑝 𝑚 − 3𝑘2+𝑘 2 = 0 (считаем формально, что 𝑝 𝑁 = 0 при любом 𝑁 < 0)
  33. 33. Рекуррентное соотношение для числа неупорядоченных разбиений Теорема. Для любого 𝑚 > 0 выполнено равенство 𝑝 𝑚 = 𝑘>0 −1 𝑘+1 𝑝 𝑚 − 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑝 𝑚 − 3𝑘2+𝑘 2 Несколько первых слагаемых ряда: 𝑝 𝑚 = = 𝑝 𝑚 − 1 + 𝑝 𝑚 − 2 − 𝑝 𝑚 − 5 − 𝑝 𝑚 − 7 + 𝑝 𝑚 − 12 + 𝑝 𝑚 − 15 − ⋯
  34. 34. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Пусть 𝑓1, 𝑓2, … — последовательность всех простых нормногочленов над ℤ 𝑝, в порядке неубывания их степеней. Обозначим 𝑑𝑖 ≔ deg 𝑓𝑖. Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом в виде 𝑓 = 𝑓𝑖1 𝛼 𝑖1 ⋅ … ⋅ 𝑓𝑖 𝑠 𝛼 𝑖 𝑠 где 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖 𝑠 и 𝛼𝑖1 , … , 𝛼𝑖 𝑠 > 0. При этом deg 𝑓 = 𝑑𝑖1 𝛼𝑖1 + ⋯ + 𝑑𝑖 𝑠 𝛼𝑖 𝑠
  35. 35. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом в виде 𝑓 = 𝑓𝑖1 𝛼 𝑖1 ⋅ … ⋅ 𝑓𝑖 𝑠 𝛼 𝑖 𝑠 где 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖 𝑠 и 𝛼𝑖1 , … , 𝛼𝑖 𝑠 > 0. Поэтому для любого 𝑛 число наборов 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , удовлетворяющих уравнению 𝑛 = 𝑑1 𝛼1 + 𝑑2 𝛼2 + 𝑑3 𝛼3 + ⋯ равно 𝑝 𝑛 (т.к. каждому такому набору 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … можно взаимно однозначно сопоставить многочлен степени 𝑛).
  36. 36. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Утверждение. Выполнено равенство 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑖=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑑 𝑖
  37. 37. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Доказательство: Т.к. 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 −1 = 1 + 𝑡 𝑑 𝑖 + 𝑡2𝑑 𝑖 + 𝑡3𝑑 𝑖 + ⋯, то 𝑖=1 ∞ 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 −1 = 𝑗1=0 ∞ 𝑡 𝑑1 𝑗1 𝑗2=0 ∞ 𝑡 𝑑2 𝑗2 𝑗3=0 ∞ 𝑡 𝑑3 𝑗3 … = 𝑘=0 ∞ 𝑎 𝑘 𝑡 𝑘 где 𝑎 𝑘 — количество наборов (𝑗1, 𝑗2, 𝑗3, … ), удовлетворяющих соотношению 𝑘 = 𝑑1 𝑗1 + 𝑑2 𝑗2 + ⋯. Значит, 𝑎 𝑘 = 𝑝 𝑘 , и отсюда 𝑖=1 ∞ 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 −1 = 𝑘=0 ∞ 𝑝 𝑘 𝑡 𝑘 = 𝑘=0 ∞ 𝑝𝑡 𝑘 = 1 1 − 𝑝𝑡
  38. 38. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑖=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑑 𝑖 Пусть 𝑀 𝑘 — количество простых нормногочленов степени 𝑘. Тогда 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑘 𝑀 𝑘
  39. 39. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 1 1 − 𝑡 𝑘 𝑀 𝑘 Прологарифмируем обе части: ln 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 ln 1 1 − 𝑡 𝑘
  40. 40. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 ln 1 1 − 𝑝𝑡 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 ln 1 1 − 𝑡 𝑘 Если разложить ln 1 − 𝑥 −1 в ряд, получится ln 1 − 𝑥 −1 = 𝑗=1 ∞ 𝑥 𝑗 𝑗 Отсюда следует 𝑗=1 ∞ 𝑝𝑡 𝑗 𝑗 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 𝑗=1 ∞ 𝑡 𝑘𝑗 𝑗
  41. 41. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 𝑗=1 ∞ 𝑝𝑡 𝑗 𝑗 = 𝑘=1 ∞ 𝑀 𝑘 𝑗=1 ∞ 𝑡 𝑘𝑗 𝑗 Коэффициенты при 𝑡 𝑛 для каждого 𝑛 должны совпадать в левой и правой частях равенства. Поэтому 𝑝 𝑛 𝑛 = 𝑘|𝑛 𝑀 𝑘 𝑛 𝑘 Окончательно, 𝑝 𝑛 = 𝑘|𝑛 𝑘𝑀 𝑘
  42. 42. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 𝑝 𝑛 = 𝑘|𝑛 𝑘𝑀 𝑘 Применяя обращение Мёбиуса, получаем следующую теорему. Теорема. Число нормногочленов степени 𝑛, неприводимых над ℤ 𝑝, равно 1 𝑛 𝑘|𝑛 𝑝 𝑘 𝜇 𝑛 𝑘 где 𝜇 — функция Мёбиуса.
  43. 43. Количество неприводимых многочленов над ℤ 𝑝 Следствие 1. При каждом 𝑝 и при каждом 𝑛 ≥ 2 существует хотя бы один неприводимый над ℤ 𝑝 нормногочлен степени 𝑛. Следствие 2. Число нормногочленов степени 𝑛, неприводимых над ℤ 𝑝, при 𝑛 → ∞ асимптотически равно 𝑝 𝑛 𝑛 (См. доказательство асимптотики для числа циклических слов)

×