辺彩色

グラフ理論-catupper
辺彩色

問題です
●
プロジェクトがN個、生徒がM人います
●
各生徒はいくつかのプロジェクトに参加し
ています
●
プロジェクトは、それに参加している生徒
全員の課題が終われば完了します
– 進捗はダメダメです

問題です
●
生徒たちはアイドルに励まされるとやる気を出して、一
つだけ課題を終了できます。
– 課題は励ましたアイドルがプロジェクトに提出します
●
飽きぽいので二度目はやる気が出ません
●
プロジェクトリーダーも飽きっぽいので同じアイドルか
ら1個しか課題を受け取りません。
●
アイドルは何人必要でしょうか。

辺彩色とは
●
与えられたグラフの辺に色を付ける
●
ただし、隣接する辺は同じ色で塗ってはいけない
– 隣接する:=頂点を共有する
●
使う色種を小さくしたい
●
右の例は5-辺彩色
●
実は4色でも可能

強力な定理
●
Vizingの定理
– 任意のグラフの辺彩色数は
グラフの最大次数Dに一致するか、
D+1に一致する
●
つよい！

ちなみに
●
頂点彩色は上界として最大次数が与えられるが、下界は
どんなときでも2だったりする
– 二部グラフは好きなだけ次数をあげることができる
●
それにくらべれば値が二通りに絞れる辺彩色の定理は強
い
– さいきょう

さらにおもしろい定理
●
Konigの定理
– 任意の二部グラフの辺彩色数はその最大
次数と一致する

さらにおもしろい定理
●
Konigの定理
– 任意の二部グラフの辺彩色数はその最大
次数と一致する
●
一致する
●
一致する
●
一致する
●
一致する

帰納法で
証明しよう！

証明
●
グラフの辺の数が n 未満の時に定理が成立してると仮定
●
辺の数が n のグラフ G についてひとつの辺 e を選ぶ
– 最大次数はDとする
●
G – eはD色で辺彩色可能
●
とりあえずG - eをD色でぬりわける

This is G(二部グラフ)
●
辺eは頂点XとYを結ぶ
●
最大次数D = 3

eのまわりに注目
●
XもYもD-1色以下で彩色使われてない色がある
●
共通の使われてない色があ
ったら、eはその色
●
無いと仮定して証明を続ける
●
Xにない色を黄色
●
Yにない色を青色
●
とする

Xからてくてく歩く
●
Xには必ず青色があるので, Xからはじまる青黄青黄...と
なる最長のパスを探す

このパスは閉路でない
●
Xには黄色がつながっていないので閉路にはならない

このパスはYで終わらない
●
二部グラフなのでYに入る辺は黄色でないといけない
– Yに黄色はつながっていないので矛盾

パスの青と黄色を入れ替えても良い
●
パスが通る頂点に接続している青と黄色はこのパスに使
われている(再長性より). よって入れ替えても問題ない

いれかえるとうれしい！
●
XとYのつながってない色が異なる

いれかえるとうれしい！
●
XとYのつながってない色が等しい！

青い線がひけるんだなぁ
●
元のグラフ

青い線がひけるんだなぁ
●
いれかえたあと

完成！
●
G-eがD辺彩色可能なら　Gも可能！

Q.E.D.
●
辺の数がDのときとかは自明にD辺彩色可能なので
●
帰納法による題意は示された！
● Q.E.D. !

ところで
冒頭の問題はどう解くのか？

進捗はダメダメです
●
プロジェクトリーダーと生徒を頂点として二部グラフを
作る
●
辺をアイドルとする
●
問題は二部グラフにおける辺彩色となる
●
さっきの定理を証明済みとすると
– 最大次数をもとめるだけ

進捗はダメダメです
●
プロジェクトリーダーと生徒を頂点として二部グラフを
作る
●
辺をアイドルとする
●
問題は二部グラフにおける辺彩色となる
●
さっきの定理を証明済みとすると
– 最大次数をもとめるだけ
●
✌('ω' )✌ 三✌('ω')✌三( 'ω')✌ ✌

わかりやすい例
プロジェクトリーダー
生徒ども

辺がブラック....(察し
課題たち

ご清聴ありがとうございました

グラフ楽しい
グラフ楽しい！！
✌('ω'✌ )三✌('ω')✌三( ✌'ω')✌

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