Orlar determinantes de orden k.

1. orlament de determinants_v2.docx Página 1
METODE DELS ORLATS PER SIMPLIFICAR EL CALCUL DEL RANG D’UNA MATRIU
Donada una matriu d’ordre 3 x4….podem fer 4 menors d’ordre 3. Si algún d’ells es
diferent de zero , el rang de la matriu será 3.










1 3 4
3 2 2
1 1 2










1 3 2
3 2 1
1 1 4










1 4 2
3 2 1
1 2 4










3 4 2
2 2 1
1 2 4
Per no haber de calcular tots els menors d’ordre 3 possibles s’utilitza un mètode
sistemàtic , que és diu ELS MENORS ORLATS, que permetrà no haver de fer
l’estudi de tots els menors d’ordre 3 sinó només els menors d’ordre 3 que surtin
d’orlar un menor d’ordre 2 no nul.
ORLAR és el verb que emprem per descriure el fet d’ampliar un menor d’ordre p≠0 a
ordre p+1 de la següent manera:
Menor d’ordre k d’una matriu A, és el determinant de la matriu que s’obté
considerant nomès k files i k columnes d’A.
Orlar un menor d’ordre k d’una matriu A, és considerar un menor d’ordre (k+1)
obtingut al afegir en aquest menor d’ordre k , un altre fila i un altre columna d’A.
Donat el menor d’ordre 2 0
2 2
1 2
  


 


l’orlem afegin una fila i una
columna en aquest menor d’ordre 2 especificat.










1 3 4
3 2 2
1 1 2










3 4 2
2 2 1
1 2 4
Nomès caldrà comprovar aquest dos menors d’ordre 3 orlats del menor inicial de partida
0
2 2
1 2
  


 


per poder assegurar que si un d’ells és no nul el rang de la matriu es 3. Amb
la qual cosa ens estalviem calcular els 4 menors d’ordre 3 inicials.
1 2
3 4
1 2

2. orlament de determinants_v2.docx Página 2
El método se basa en la propiedad siguiente:
“Si un menor de orden k de una matriz A es distinto de cero,
y todos los menores de orden k + 1,
que pueden formarse orlando éste con la fila h de la matriz y cada una de las columnas que no figuran en el menor,
son nulos, entonces
la fila h es combinación lineal de las filas de la matriz que figuran en el menor."
SISTEMATICA DEL METODE DELS ORLATS PER UNA MATRIU D’ORDRE 4 X 4
Per exemple en una matriu de 4 x 4 orlant el terme a11 .
Partim del menor d’ordre 1 , orlarem amb una línia i una columna més però mantenint fix el menor d’ordre 1.
( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2)
Un cop fets tots el posibles d’ordre 2 pasem al ordre 3.
Partim del (a11, a12 a21 a21) i orlem aquest menor d’odre 2 per tant aquest es manté fix en tots els orlaments
( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 1 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2)

3. orlament de determinants_v2.docx Página 3
Si partim d’un altre menor d’ordre dos inicial (a12 )
Con en el següent cas: Una matriu de 4 x 4 orlant el terme a12 . doncs a11 es nul.
Partint del menor d’ ordre 1 , orlarem amb una línia i una columna més però mantenint fix el menor de ordre 1 escollit com a punt de partida.
( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2)
Un cop fets tots el posibles d’ordre 2 pasem al ordre 3.
Partim del a11, a12 a21 a21 i orlem per tant aquets es manté fix en tots els orlaments
( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2) ( 0 23 1 2 3 4 5 1 1 5 2 1 1 2 2)