1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Ομαδα: ............................ Ημερομηνία..............................
Ονομ/νυμο μαθητών 1. ...........................................
2. ...........................................
3. ...........................................
Η έννοια του ορίου
Περιοχή του Χο εR ονομάζουμε κάθε υποσύνολο του R που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα (α,β) του R
στο οποίο ανήκει το Χο.
 Αν α,βεR και α<Χο<β, τότε τα διαστήματα (α,β), [α,β],(α,β],[α,β) είναι περιοχές του Χο
 Όταν λέμε ότι ο Χ προσεγγίζει τον Χο ή αλλιώς είναι «κοντά» στο Χο, γράφουμε Χ->Χο και
εννοούμε ότι η μεταβλητή Χ κινούμενη πάνω στον άξονα Χ΄Χ, πλησιάζει προς τον Χο και
από τις δύο κατευθύνσεις και η απόσταση ΙΧ-ΧοΙ γίνεται πάρα πολύ μικρή, χωρίς ποτέ να
γίνεται 0, δηλ. χωρίς ποτέ ο Χ να γίνεται ίσος με τον Χο.
1. Εστω η συνάρτηση f με f(x)=(x2-1)/(x-1), Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι :
Α=………………….. Για κάθε χεΑ, μπορούμε να βρούμε την αντίστοιχη τιμή της
συνάρτησης, π.χ f(3)=…………Προφανώς δεν μπορούμε να βρούμε το f(1), αφού ο…….δεν
ανήκει στο Α. Μπορούμε να βρούμε όμως πως συμπεριφέρεται η συνάρτηση για τιμές του χ,
πολύ κοντά στον αριθμό 1.
Συμπληρώστε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης στον παρακάτω πίνακα:
Το χ προσεγγ. το 1 από αρις.->1<-Το χ προσεγγ. Το 1 από δεξιά
Χ 0,9 0,99 0,999 0,9999 1,0001 1,001 1,01 1,1
F(x)
Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι καθώς ο χ πλησιάζει προς τον αριθμό 1 και από τις δύο
κατευθύνσεις και τείνει να γίνει ίσος με τον 1, η αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης πλησιάζει προς τον
αριθμό …………. Και τείνει να γίνει ίση με τον………. Μπορούμε να διαπιστώσουμε και γραφικά τα
παραπάνω. Πράγματι
απλοποιώντας τον τον τύπο της συνάρτησης f έχουμε f(x)= (…..)(…..)/(x-1)=………
Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f.
2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x-1. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της f, και να
εξετάσετε πώς συμπεριφέρονται οι τιμές της συνάρτησης καθώς ο χ πλησιάζει πολύ κοντά
στο 2. Στην περίπτωση αυτή το όριο της f όταν χ->2 είναι ο αριθμός……….. Δηλ.
limf(x)=…….. Παρατηρούμε ακόμη ότι είναι f(2)=……… Επομένως limf(x)=………..=f(2).
3. Εστω η συνάρτηση
{x+1, x<0
f(x)={2 x=0
{-x+1 x>0 Η γραφική παράσταση της f είναι
Καθώς ο χ πλησιάζει πολύ κοντά στο 0 τείνει στο 0 ο f(x) τείνει στον…………….Στην περίπτωση
αυτή λέμε ότι ο αριθμός ……..είνα ι το όριο της συνάρτησης f όταν χ τείνει στο 0. Παρατηρούμε ότι
f(0) =………….. Το οποίο είναι διαφορετικό από το όριο της f.

2. 4. Εστω η συνάρτηση {x+3, x<0
f(x)={
{-x+1 x>=0 Ο χ μπορεί να προσεγγίζει τον 0 και από τις δύο
κατευθύνσεις.
Εστω ότι ο χ<0 . Όταν ο χ πλησιάζει κοντά στο 0 οι τιμές της
συνάρτησης προσεγγίζουν τον αριθμό………….Γράφουμ ε limf(x)=…………..
x->0-
Εστω ότι χ>0 . Όταν ο χ πλησιάζει κοντά στο 0 τείνει στο 0, οι τιμές της συνάρτησης f
προσεγγίζουν τον αριθμό ……….. Γράφουμε limf(x)=…………
x->0+
Τα πιο πάνω λέγονται πλευρικά όρια της συνάρτησης f. Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι
ίσα , λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 0.
Παρατηρήσεις
 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο Χο τότε αποδεικνύεται ότι το όριο αυτό
είναι μοναδικό.
" το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο x 0 , είναι ℓ " ή
" το όριο της f(x) στο x0 είναι ℓ " .
 Για να υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο ΧοεR πρέπει το πεδίο
ορισμού της να περιέχει ένα σύνολο της μορφής: (α,Χο)U(Χο,β) ή (α,Χο) ή (Χο,β)
 Το Χο μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή μπορεί να μην ανήκει
σε αυτό.
 Η τιμή της f στο Χο όταν υπάρχει μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο Χο ή
μπορεί να είναι διαφορετική από αυτό.
 Ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες
1. Για Χ->Χο limf(x)=Llim[(f(x)-L] =0
2. Για Χ->Χο limf(Xo+h=L όταν h->0
3. Για Χ->Χο Iimf(Xot)=L , με Χο διάφορο του μηδενός
Εφαρμογή Εστω η συνάρτηση f(x)=ax2 +bx Αν Χο εR , να αποδείξετε ότι limf(x)=f(Xo) Όταν Χ τείνει
στο Χο
(Υπόδειξη: Αρκεί να αποδείξουμε ότι lim[f(x)-f(Xo)]=0 Όταν Χ->Χο)