第六回北大クラスタリング・セミナーで発表した内容です。 S. E. Schaeffer, Comput. Sci. Rev. 1, 27 (2007). の5.4.2 Maximum flowを紹介しています。

1. 第６回北大クラスタリングセミナー 5.4 Divisive global clustering5.4.2 Maximum flow
担当永幡裕
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2. 5.4 Divisive global clustering
Divisive global clustering→要はトップダウン・再帰的（二）分割
5.4.1 Cut頂点集合Vの分割S,S^c
5.4.2 Maximum flowmaximum-flow に基づくクラスタリング
5.4.3 Spectral methodグラフのスペクトル理論
5.4.4. Betweennessグラフの幾何構造を利用した枝の重み付け
5.4.5 Voltage and potential電子回路解析手法を転用したクラスタリング
5.4.6 Markov chain and random walksMarkov連鎖のイテレーションとspectrsalclustering
5.4.7 Other divisive methodsその他
各サブセクション内の文献は、綺麗にクラスタリングされていない（笑）
各サブセクションは、かなりの分量。これまでやってきた話の１セクショ ンぐらいの文量
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3. 5.4 Divisive global clustering
今回とりあげるのは5.4.2 Maximum flow
minimum cut が高速なのでFlow networkの容量自体を変数として扱 いましょうという話。
結局最小コンダクタンスカットいいからminimum-cutつかっていい 見積与えたいよねという話がほとんど。
取り上げる論文はサブセクションの殆どを割いて書いている
G. W. Flake, R. E. Tarjan, and K. Tsioutsiouliklis, Internet Math. 1, 385 (2004).
balanced minimum cut とGomory-Hu (minimum-cut) tree を組み合わせ た手法。
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4. s-t minimum-cut
各枝に、流量(flow)とその最大量である容量(capacity)が割り振られた、湧 点（source(s)）から沈点（sink(t)）への流れを考える、ネットワークフロー 問題を考える。
最大流最小カット定理（Elias-Feinstein-Shannon とFord-Fulkerson 1956）
L. R. Ford and D. R. Fulkerson, Can. J. Math. 8, 399 (1956) DOI: 10.4153/CJM-1956-045-5
P. Elias, A. Feinstein, and C. Shannon, IEEE Trans. Inf. Theory 2, 117 (1956) DOI: 10.1109/TIT.1956.1056816
“ボトルネック”がsからtへの最大流量を決めている
sからtへの最大流は、頂点集合をsを含む集合とtを含む集合に二分割(cut)し た際の境界にある枝の容量の総和（cut capacity）の最小値に等しい。
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5. balanced minimum cut
問題意識：
クラスタリング（インタネット上のコミュニティの検出）をしたい。
コミュニティ：内部が密で境界が疎な頂点集合
類似した条件はNP困難かNP完全。
minimum-cut は境界が疎なところを検出するのでうまく使えない か？
→ unbalanced cut, trivial cut の問題
→ 仮想的な頂点を入れてそれっぽい手法にした。
[1] G. W. Flake, S. Lawrence, C. L. Giles, and F. M. Coetzee, Computer (Long. Beach. Calif). 35, 66 (2002).
[2] G. W. Flake, S. Lawrence, and C. L. Giles, in Knowl. Discov. Data Min. (ACM Press, New York, New York, USA, 2000), pp. 150?160. 5

6. balanced minimum cut
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7. Gomory-Hu tree (minimum-cut tree)
Gomory-Hu tree (minimum-cut tree)
与えられた頂点数Nのグラフの最小カットの値は高々n-1種類。
全域木で表現できるはずだ。（本当は階層木で書いたほうが、任意 性が少ない）
→ s-t 最小カットの簡潔データ構造
B. Korteand J. Vygen, “Network Flows” in Combinatorial Optimization, 5th ed. (Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2012), pp. 173–209.
組合せ最適化第2版(理論とアルゴリズム)第８章ネットワークフローB. コルテ、J. フィーゲン著、浅野孝夫、浅野泰仁、小野孝男、平田富夫翻訳
の記述をつかって説明します。
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8. Gomory-Hu tree (minimum-cut tree)
휆푠,푡: s-t 最小カットの値とする。
補題８．３０三角関係式
∀푖,푗,푘∈푉(퐺)に対して휆푖푘≥min휆푖푗,휆푗푘
定義８．３１Gomory-Hu tree (minimum cut tree)
次を満たす木TをGomory-Hu treeとする。
푉(푇)=푉(퐺)
∀푠,푡∈푉(퐺)に対して휆푠푡=min 푖,푗∈퐸푃푠푡 푤푖,푗
→路푃푠푡上で枝の重みが最小のものが最小カットの値と一致 8

9. Gomory-Hu tree (minimum-cut tree)
補題８．３２
次の二種類のカット集合퐴, 퐶があったとする。
푠 ∈ 퐴, 푠′, 푡′, 푡 ∈ 퐴푐 , 휆푠,푡 = 푐 퐴
푠, 푠′ ∈ 퐶, 푡′ ∈ 퐶푐 , 휆푠′,푡′ = 푐 퐶
カット関数は劣モジュラなので、
푐 퐴 + 푐 퐶 ≥ 푐 퐴 ∪ 퐶 + 푐 퐴 ∩ 퐶 ≥ 푐 퐴 ∪ 퐶 + 푐 퐴
⇒ 푐 퐶 ≥ 푐(퐴 ∪ 퐶) ≥ 푐(퐶)
よって푐(퐴 ∪ 퐶)が最小の푠′ − 푡′カット
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10. Gomory-Hu algorithm(from Wikipedia)
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ランダムに푠と푡を選んで最小 カット
푆∋푠側を１の頂点に置きな おして最小カット
푇∋푡側を１の頂点に置きな おして最小カット
…

11. 論文本題
G. W. Flake, R. E. Tarjan, and K. Tsioutsiouliklis, Internet Math. 1, 385 (2004).
論文中、色々と書いてあるけど、主な主張は以下の３点
•グラフをk個のウェブコミュニティ*にする問題はNP困難
* sのウェブコミュニティ
•重みαで全ての頂点と連結したartificial sink tを加えたグラフのsの ウェブコミュニティSに対して、以下が成り立つ c푆,푆c 푆c≤훼≤ c푃,푄 min푃,푄
•훼1≥⋯≥훼max⇒푆1⊆푆2⊆⋯⊆푆max
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12. k個のウェブコミュニティにする問題はNP困難
uのウェブコミュニティ
∀푢∈푆⊂푉,s.t.
푤푢,푆>푤푢,푆c
uのkウェブコミュニティ
푝≥ 12,푘∈ℕ,푉= 1 푘푉푖,∀푖,푗∈1,푘⊂푁,푉푖∩푉푗=∅
∀푉푖⊂푉,∀푢∈푉푖,s.t. 푤푢,푉푖≥푝푤푢,푉
BALANCED PARTITION 問題に帰着させる。 cfGray&Johnson
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13. 定理３．３
•重みαで全ての頂点と連結したartificial sink tを加えたグラフのsの ウェブコミュニティSに対して、以下が成り立つ c푆,푆c 푆c≤훼≤ c푃,푄 min푃,푄
Where P∩Q=∅,P∪Q=S
c푆,푆c≤훼푆c
c푆,푆c≥훼min푃,푄
をそれぞれ考えればよい
・훼1≥⋯≥훼max⇒푆1⊆푆2⊆⋯⊆푆maxは面倒臭いので省略
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14. アルゴリズム１
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t t
Gomory-Hu tree と
取り出したコミュニティ
元のネットワークと
artificial sink
훼
훼
훼
훼
훼
注α → ∞, (最小のクラスタサイズ) → 푉
α → 0, (最大のクラスタサイズ) → 1

15. アルゴリズム２ １の再帰的適用
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훼の決め方ががよくわからないので応用は省略します

16. 似ている研究
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S. V. Krivov and M. Karplus, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. 101, 14766 (2004).

17. 似ている研究
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