ワーシャルフロイド法概要・実装

1. Warshall-Floyd 法
2018/12/10
東京工業大学 工学院 経営工学系
松井諒生
1

2. Warshall-Floyd 法
重み付き有向グラフの全ペアの最短経
路問題を多項式時間で解くアルゴリズム
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3. 重み付き有向グラフ
1
3
2
３
4
４
８
５ １０
地点（ノード）を結ぶ線をエッジと呼び、その
エッジに重みと向きがあるグラフ
４
3

4. 最短経路問題
・全点対最短経路問題
重み付きのグラフの中に与えられた二
つのノード間の経路の中で、重み（長さ）
が最も小さい経路を求める問題
・２頂点対最短経路問題
・単一始点最短経路問題
4

5. 多項式時間
入力の長さをNとした時、Nに関
する多項式で表せる時間のこと
例）N２秒 N＋３分
多項式でない式の例として対数式（logN）や指数式eNなどがある
5

6. アルゴリズム
n点あるグラフでi番目⇒j番目の最短経路
1~k-1番目の点のみ途中に通って良い時の最短経路
k番目の点を必ず通って行く経路
の短い方を
1~k番目の点を途中に通って良い時の最短経路
として更新していく
この作業をkを１からnまで変化させて最短経路を求める
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7. プログラムを使わない計算
行列漸化式：
Dk
ij=min(Dk-1
ij ,Dk-1
ik+Dk-1
kj) (Do=W）
W∈Rn×nとして、Wij＝(i番目とj番目を結ぶ辺の長さ)
(Wii=0,辺がないときWij=∞）
＊実際に解いてみる→excel
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8. これをプログラムにする
グラフの表現(2ページのグラフ）
{1:[(2,3),(3,5),(4,10)]
2:[(3,4),(4,4)]
3:[(1,5),(4,8)]
4:[(2,4)]
}
adj=
始点番号
（行）
終点番号
（列）
重み（長さ）
＊辺のないところは入力しない
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9. vs=adj.keys()
dist={(v,u):float(‘inf’) for v in vs for u in vs}
for v in vs:
dist[(v,v)]=0
for (u,d) in adj[v]:
dist[(v,u)]=d
for k in vs
for i in vs
for j in vs
dist[(I,j)]=min(dist[I,j], dist[(I,k)]+dist[(k,j)])
print （dist）
ここで漸化式を解く
（ただし、for文を使うため、数式
に(k-1)の文字は必要ない
ここで初期値
（D0)を決定
最初はすべ
ての長さを
∞としている。
.keys()は辞書の順番にリスト
にするメソッド(vs=[1,2,・・,n])
＊実際に解いてみる→コマンド9