bu ders dinamik dersinin 3. haftasidir. bildiginiz uzere dinamik insaat muhendisliginin en onemli derslerden biridir.

1. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DİNAMİK

2. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK

3. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
KİNETİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
3

4. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
İş ve Enerji
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
DİNAMİK
3.2

5. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
İş
İş
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 1
→
F
A
A'
r
r + d r
→
→ →
d r
→
α
Yörünge
O
A A'
s s + ds
r r + d r
ds
s
→
F
A
d r
→
α
t
n
ds
| d r | = ds
→
Fn
Ft
Ft = F cosα
dU = F • d r
→ →
Elemanter iş
dU = F ds cosα = F (ds cosα)
dU = (F cosα) ds = Ft ds
∫ dU = ∫ Ft ds
U1-2 = ∫ Ft ds
s1
s2
F kuvvetinin
s1 konumundan
s2 konumuna
kadar yaptığı iş
skaler çarpım
}
Ft
s
U1-2
s1 s2
Ft = f(s)
Ft - s grafiğinin
altında kalan alan
↓
d r
→
Ft
U1-2 > 0
→ →
ds cosα
Maddesel noktanın
bu yörüngeyi izlemesini sağlayan
başka kuvvetler de var.
İş, skaler bir büyüklüktür ve birimi Joule'dür. 1 J = 1 N·m
1
2
s1
v1
s2
v2 d r
→
Ft
U1-2 < 0

6. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 2
∫ dU = ∫ Ft ds
Ft
s
s1 s2
Ft = sb.
Kuvvetin teğetsel bileşeninin şiddeti sabit ise:
U1-2
∫ dU = Ft ∫ ds
U1-2 = Ft Δs
→
F Fn
Ft
s1
s2
Δs
1
2
Ft = sb. iken geçerlidir.
Δs
↑
∫ dU = F cosα ∫ ds
Kuvvet sabit ise:
→
F Fn
Ft
s1 s2
Δs
Yörünge
Yörünge
→
F Fn
Ft
s1 s2
1 2
1
2
α
α
U1-2 = F ∫ cosα ds
Δs cosα
Doğrusal harekette
F sabit ise α sabittir,
Ft de sabittir.
→
∫ dU = F ∫ cosα ds
U1-2 = F cosα Δs
U1-2 = Ft Δs
U1-2 = F (Δs cosα)
∫ cosα ds
α
F sabit fakat
α ve Ft değişken
→
s1
s2
s1
s2
s1 konumu ile s2 konumu
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık
dU = F cosα ds
s1 konumu ile s2 konumu
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık
ds
cosα ds
→
Kuvvetin yönü de şiddeti de değişmiyor.
Sabit bir kuvvetin yaptığı iş yörüngenin nasıl bir eğri olduğuna bağlı değildir.
İki konum arasındaki kuvvete paralel olarak ölçülen uzaklığa bağlıdır.
}
Y
örünge

7. T ≥ 0
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Kinetik enerji
Kinetik enerji
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 3
T = –– m v2
2
1
Yer çekimi potansiyel enerjisi
Yer çekimi potansiyel enerjisi
Vg = m g h
h
h = 0
h > 0
keyfi olarak seçilen bir seviye
h daima yukarı doğru pozitiftir.
Vg = 0
düşey
Vg = m g h
Yer çekimi kuvvetine karşı yapılan işe
"yer çekimi potansiyel enerjisi" denir.
Ağırlık kuvveti, yönü de şiddeti de değişmeyen sabit bir kuvvettir.
Ağırlığın yaptığı iş 1 konumundan 2 konumuna kadar hangi yörünge üzerinden gidildiğine bağlı değildir.
Yaptığı iş yörüngeden bağımsız olan böyle kuvvetlere korunumlu kuvvetler denir.
Ağırlığın yaptığı iş, ağırlık kuvveti ile, 1 konumu ile 2 konumu arasındaki düşey uzaklığın çarpımına eşittir.
Aşağıdan yukarıya çıkan bir cisme ağırlığın yaptığı iş negatif iştir.
Ağırlığın yaptığı iş yer çekimi potansiyel enerjisindeki değişimin negatifine eşittir.
Yörünge
h < 0
− (Vg2 − Vg1)
Vg2 = m g h2
Vg1 = m g h1
1
2
W
W
W
düşey
Durmakta olan bir cismi v hızına ulaştırmak için
gerekli olan enerjiye kinetik enerji denir.
Yörünge

8. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 4
Elastik potansiyel enerji
Elastik potansiyel enerji
Yay kuvvetine (F = k x) karşı yapılan işe
"elastik potansiyel enerji" denir.
Yay kuvveti de korunumlu bir kuvvettir. Yaptığı iş yörüngeye bağlı değildir.
Yay kuvvetinin yaptığı iş elastik potansiyel enerjideki değişimin negatifine eşittir.
Ve = ∫ k x dx
0
x
yayın boyundaki
değişme
Ve = 0
x = 0
L + x
Ve = –– k x 2
2
1
x > 0
x
Ve ≥ 0 Ve = –– k x2
2
1
x < 0
L + x
L
x = 0
− (Ve2 − Ve1)
Yörünge
Ve2 = –– k x2
2
2
1
Ve1 = –– k x1
2
2
1
1
2
F
F
Ve = –– k x2
2
1
→
Yörünge

9. Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 5
U1-2 = ∫ ΣFt ds
s1
s2
ΣFt = m at
v dv = at ds
} U1-2 = ∫ m at ds = m ∫ v dv
s1
s2
v1
v2
U1-2 = –– m (v2
2
− v1
2
)
2
1
U1-2 = T2 − T1
T1 + U1-2 = T2
İş - Enerji Denklemi
İş - Enerji Denklemi
Yörünge
→
ΣF
ΣFn
ΣFt
s1
s2
m
v1
v2
E1
E2
İş yapmayan bileşenlerin
toplamı
İş yapan bileşenlerin
toplamı
U1-2 = U1-2'
Maddesel noktaya
etki eden
bütün kuvvetlerin
yaptığı iş
Ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka iş yapan
kuvvetlerin yaptığı toplam iş
Yay kuvvetlerinin
yaptığı iş
Ağırlık kuvvetlerinin
yaptığı iş
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
− (Vg2 − Vg1) − (Ve2 − Ve1) U1-2 = U1-2' − (Vg2 − Vg1) − (Ve2 − Ve1)
E = T + Vg + Ve
Toplam
mekanik
enerji E1 + U1-2' = E2
}
Enerjinin Korunumu
Enerjinin Korunumu
Eğer bir maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin içinde ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvet yoksa toplam mekanik enerji korunur.
U1-2' = 0
} →
E1 = E 2 T1 + Vg1 + Ve1= T 2 + Vg2 + Ve2
E = sb.
1
2
U1-2' = ∫ ΣFt' ds
s1
s2
→
→
→
→
→
→

10. 0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/11
Örnek Problem 3/11
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 6
F = ?
m = 0.6 kg
B
A
Yörünge
F
W
1
2
m
D
v1 = 0
v2 = 4 m/s
t
F
W
F
W
α Eğer hareketi bu şekilde incelemek istersek,
F kuvvetinin yaptığı işi bulmak için verilenler yeterli olmayacaktır.
F kuvvetinin şiddeti sabittir ama yönü değişmektedir.
Dolayısı ile F nin teğetsel bileşeni değişmektedir.
Ayrıca F nin teğetsel bileşenini bulmak için yörüngenin bilinmesi gerekir.
Yörüngenin nasıl bir eğri olduğu da bilinmemektedir.
F kuvvetinin yaptığı işi kolayca bulabilmek için
sistem sınırı yandaki gibi seçilebilir.
B
A
Sistem sınırı
F
W
1
2
m
D
Aktif kuvvet diyagramı Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
(sabit)
Yörünge
Y
ö
r
ü
n
g
e

11. 0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/11
Örnek Problem 3/11
1. Çözüm
1. Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 7
F = 13 N
B
A
Yörünge
F
W
Aktif kuvvet diyagramı
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
s1
s2
v1
v2
1
2
m
U1-2 = ∫ ΣFt ds
s1
s2
U1-2 = F Δs − W ∫ cosα ds
Her iki kuvvet de sabittir.
s1
s2
U1-2 = F Δs − W ∫ cosα ds
s1
s2
Δs = AD − BD
D
Ağırlık kuvveti,
aşağıdan yukarıya çıkan bir cisme
negatif iş yapar.
s1 konumu ile s2 konumu
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık = 400 mm
}
Bu noktanın yer değiştirmesi,
ipin makaralardan geçen boyu
D
A
B
800 mm
200 mm
200
mm
200
mm
825 mm
2
8
3
m
m
Δs = 542 mm
W = m g
T1 + U1-2 = T2
–– m v1
2
+
2
1
U1-2 = –– m v2
2
2
1
0
Ağırlık kuvveti sabittir ve
daima düşeydir. O halde
ağırlık kuvvetinin yaptığı işi
bulmak için
konumlar arasındaki
düşey uzaklık alınacaktır.
Sistem sınırı
İpteki kuvvetin
yaptığı işi
kolayca bulabilmek
için sistem sınırı
bu şekilde
seçilmiştir.
}
Δs
E nin yörüngesi
E
F = ?
m = 0.6 kg
v1 = 0
v2 = 4 m/s
(sabit)

12. 0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/11
Örnek Problem 3/11
2. Çözüm
2. Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 8
F = 13 N
B
A
F
W
Aktif kuvvet diyagramı
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
s1
h2
h1
v2
1
2
m
U1-2' = ∫ ΣFt' ds
s1
s2
U1-2' = F Δs
Δs = AD − BD
D
Bu noktanın yer değiştirmesi,
ipin makaralardan geçen boyu
D
A
B
800 mm
200 mm
200
mm
200
mm
825 mm
2
8
3
m
m
Δs = 542 mm
F Δs = –– m v2
2
+ m g h2
2
1
Ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvetlerin yaptığı toplam iş
→
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0 0
0 0
h = h1 = 0
h = h2 = 400 mm
v1
s2
h
F = ?
m = 0.6 kg
v1 = 0
v2 = 4 m/s
(sabit)
Yörünge
Sistem sınırı
İpteki kuvvetin
yaptığı işi
kolayca bulabilmek
için sistem sınırı
bu şekilde
seçilmiştir.
}

13. Düşey olan sürtünmesiz çubuk üzerinde kaymakta olan 10 kg lık kızak, yayların boyunun 0.1 m
uzamış olduğu A konumundan v1 = 2 m/s lik bir hızla geçmektedir.
Kızağın, B noktasını geçerkenki hızı v2 yi hesaplayınız.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/12
Örnek Problem 3/12
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 9
m = 10 kg
x1 = 0.1 m
v1 = 2 m/s
h1 = 0.3 m
h2 = 0
v2 = ?
W
m
F
B
A
s1
h1
1
2
x1
v1
F
W
W
F F
F F
s2
h2
x2
v2
Ağırlık kuvvetinden ve
yay kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvet olmadığı için enerji korunur.
h = 0
–– m v1
2
+ m g h1 + 2 (–– k x1
2
) = –– m v2
2
+ 2 (–– k x2
2
)
2
1
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0
E1 + U1-2' = E2
0
L + 0.1 = 0.4
Yayların boyu, L :
L = 0.3 m
k = 800 N/m
0.4 m
0.3 m
0.5 m
L + x2 = 0.5
x2 = 0.2 m
2
1
2
1
2
1
v2 = 2.26 m/s
L + x1 = 0.4
h

14. Behcet DAĞHAN
Her birinin kütlesi m olan küçük A ve B cisimleri, kütlesi ihmal edilebilen çubuklarla birbirlerine şekildeki gibi bağlanmış ve
ilk hızsız olarak serbest bırakılmışlardır. O ile aynı düşey hizaya geldiği anda A cisminin hızı ne olur?
Sürtünmeleri ihmal ediniz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/13
Örnek Problem 3/13
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 10
m
vA1 = 0 200 mm
W
W
250 mm
60o
O
m
m
A
B
1
2
1
2
200 mm
250 mm
O
m
m
A
B
1
2
1
2
W
W
hA = 0
hB = 0
hB1 = 450 − (200cos60o
+ 250cosα)
hA1 = 200 − 200 cos60o
= 100 mm
Ağırlık kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvet olmadığı için enerji korunur.
m g hA1 + m g hB1 = –– m vA2
2
+ –– m vB2
2
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
E1 + U1-2' = E2
0
E1 + U1-2' = E2
0
2
1
2
1
α
sinα
–––– = –––––
sin60o
200 250
α = 43.9o
hB1 = 170 mm
AB =
OA =
0
0
0
0
vA2 = ?
B cismi bu konumda
durup geri döner.
Ulaşabileceği en alt konumdadır.
vB2 = 0
2 (9.81) (0.1 + 0.17) = vA2
2
vA2 = 2.3 m/s
vB1 = 0
h
h
μ = 0

15. Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/14
Örnek Problem 3/14
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.2. İş ve Enerji 11
sürtünmeli kısım
k
μk
Δs = s = R
R
m
x1min = δ = ?
Maddesel noktanın yol ile
temasının kesilmesi açısından
en kritik nokta B noktasıdır.
W
N
m
t v2
n
B
a
R
v2 = v2min iken N = 0 ve a = g olur.
x1 = δ
x2 = 0
ΣFn = m an
N + W = m –––
v2
2
R
an = –––
v2
ρ
←
0 + W = m –––––
v2min
2
R
←
v2min
2
= g R = v2
2
E1 + U1-2' = E2
(sabit)
U1-2' = F Δs U1-2' = − μk N R
= − μk m g R
N
m
a
W
y
μk N
sürtünmeli kısım
ΣFy = m ay
←
N − W = 0
W = m g
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
0
0
0
A
1 2
B
h = 0
h
2
–– k x1
2
− μk m g R = –– m v2
2
+ m g h2
2
1
2
1
v1 = 0
–– k δ 2
− μk m g R = –– m (g R) + m g (2 R)
2
1
2
1
v2 = v2min
h1 = 0
h2 = 2 R
δ = –––––––– m g R
√
5 + 2 μk
k
Rijitliği k olan şekildeki yay, sıkıştırılmış ve aniden serbest bırakılmıştır. Böylece m kütleli maddesel nokta,
şekildeki yolu izlemiştir. Yolun düşey düzlemde yer alan yuvarlak kısmında maddesel nokta ile yolun
temasının kesilmemesi için yayın sıkıştırılması gereken minimum mesafe δ yı hesaplayınız. Kinetik
sürtünme katsayısı μk olan s = R uzunluğundaki sürtünmeli kısım dışında yolun yüzeyi sürtünmesizdir.
μk N
}
N = m g
Δs = R
←
←