dinamik 2. hafta

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DİNAMİK

İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK

Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
2
KİNEMATİK

Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
DİNAMİK
2.2

2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 1
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
v =
d r
dt
O
r
r
v
A
Yörünge
v
v d r
//
v =
ds
dt
O
A
A'
ds
d r
r
s
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
=
dt
| d r |
Yön :
Şiddet :
teğet
= s
Hareketin yörüngesi düzlemsel bir eğri ise o harekete düzlemde eğrisel hareket denir.
Mühendislik problemlerinin çoğunu düzlemde eğrisel hareket olarak incelemek yeterli olmaktadır.
Hız
Hız
Yer değiştirme vektörü,
konum vektöründeki
vektörel değişme
Yörünge üzerinde
keyfi olarak seçilen bir orijinden (s = 0) itibaren
yörünge üzerinden ölçülen konum
Yer değiştirme vektörü daima yörüngeye teğettir.
Dolayısıyla:
Aradan geçen zaman dt kadar küçük olduğu için
A noktası ile A' noktası hemen hemen çakışıktır.
Aradaki fark son derece küçüktür.
Dolayısıyla | d r | = ds alınabilir.
konumdaki değişme
v
A A'
t t + dt
r r + d r
s s + ds
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→
→ → →
→
→
→
| d r | = ds
→
→
Yönleri aynıdır.

İvme
Yön :
Şiddet :
a =
d v
dt
a d v
//
a =
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
dt
| d v |
a ≠
dt
dv
A'
v
A
v '
d v
v
v '
v v ' = v + d v
a
dv
| d v | ≠ dv = d | v |
İvme
d v
v
v '
A
Yörünge
a
a =
dt
dv
Bu eşitlik sadece
doğrusal harekette
geçerlidir.
Behcet DAĞHAN
A A'
t t + dt
r r + d r
s s + ds
→
→
→
→
→
→ →
→
→ →
→
→
→ → →
→
→
→
→
→ → →
→ → → →
→
Yönleri aynıdır.
!

Behcet DAĞHAN
O (0,0)
r
v
Yörünge
v A
a
Kartezyen koordinatlar (x,y)
Kartezyen koordinatlar (x,y)
x
y
rx
ry
x
y
i
j
r
vx
vy
vy
vx ax
ay
ax
ay
r = rx + ry = x i + y j
r 2
= x 2
+ y 2
v = vx + vy = vx i + vy j
v2
= vx
2
+ vy
2
a = ax + ay = ax i + ay j
a2
= ax
2
+ ay
2
v = r = x i + y j
vx = x
a = v = vx i + vy j
ax = vx
y = f(x)
tanθ = ––– = –––
dy
dx
ρ =
( 1 + y' 2
)
3/2
| y'' |
vx =
dx dy
dt dt
vy = ax =
dvx dvy
dt dt
ay =
ρ : Eğrilik yarıçapı
teğet
C : Eğrilik merkezi
Yörünge
v
θ
Kartezyen koordinatlarda orijin ve eksenler keyfi olarak seçilebilir.
Geometriden:
y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin eğrilik yarıçapı:
vy
vx
i ve j : Birim vektörler
Birim vektörlerin
yönü ve şiddeti
zamanla
değişmediğinden
dolayı:
Düzlemde eğrisel hareketin, iki tane doğrusal harekete indirgendiği görülmektedir.
a
→
Yörünge
i = 0
→ →
→ →
→
→
→
→
→
→
→ →
→
A (x,y)
→
→
→
→ → → → → → → → →
→ → → → → → → →
→
→
→
j = 0
→ →
vy = y ay = vy
→
→
→
→
→

O (0,0)
r
v
Yörünge
v
a = g
x
y
rx
ry
x
y
r
vx
vy
vy
vx
A
r = rx + ry
r2
= x2
+ y2
v2
= vx
2
+ vy
2
a = ax + ay
vx = v cosθ
y = f(x)
tanθ =
θ>0
Eğik atışın kartezyen koordinatlarda incelenmesi
Eğik atışın kartezyen koordinatlarda incelenmesi
vy
vx
ρ : Eğrilik yarıçapı
teğet
Bu kutunun içindeki bağıntılar
x-y eksenleri yandaki gibi
yatay ve düşey seçilirse geçerlidir.
a = |ay|
a = g = sb.
ay = − g = sb.
v = vx + vy
vy = v sinθ
a = ax + ay
0
θ
ax = 0
O
v
a = g
x
y
vy
vx
A
θ<0
teğet
v0
vy0
vx0
θ0
yatay y = ymax
teğet
a = g
a0 = g
θ = 0
x = vx0 t
vx = vx0 = sb.
y = vy0 t − –– g t2
vy = vy0 − g t
1
2
vx0 = v0 cosθ0
vy0 = v0 sinθ0
v = vx
a2
= ax
2
+ ay
2
düşey
yatay
düşey
düşey
Behcet DAĞHAN
yatay
ρ = ρmin
!
→
→
→
→
→
→
→ → → → → → → → →
→
→ → →
→ →
t = 0

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
a = g
Örnek Problem 2/5
Örnek Problem 2/5
30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülen
menzili s yi hesaplayınız.
v0
x
y
a = g
a0 = g
x = vx0 t
y = vy0 t − g t2
1
2
t = 0
A
s
30 m/s
30o
30o
Bazı öğrenciler x-y eksenlerini seçerken yandaki gibi
eğik düzleme paralel ve dik olarak seçme eğiliminde olurlar.
Fakat bunu yaparken ivme bileşenlerinin değiştiğine dikkat etmeden
x-y eksenlerinin yatay ve düşey seçildiği durumda kullanılan bağıntıları kullanırlar.
Halbuki x-y eksenleri yandaki gibi seçilirse ivme bileşenleri aşağıdaki gibi olur.
a = g
ay = − g cosα
θ0
yatay
α
α
ax = − g sinα
ax = ax0 = − g sinα
ay = ay0 = − g cosα
y = vy0 t − g cosα t2
1
2
x = vx0 t − g sinα t2
1
2
x-y eksenlerinin
bu şekilde seçilmesi
tavsiye edilmez.
s
ax = 0
ay = ay0 = − g
A (0,0)
O
B
Bu bağıntılar,
x-y eksenleri
yukarıdaki gibi seçilirse
geçerli değildir.
Behcet DAĞHAN
B
!
Yerçekiminden kaynaklanan ivme,
daima düşeydir ve aşağıya yönelmiştir.
a = g

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2
ax = ax0 = 0
a = g
vx0 = v0 cosθ0
vy0 = v0 sinθ0
Örnek Problem 2/5
Örnek Problem 2/5
30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülen
menzili s yi hesaplayınız.
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
g = 9.81 m/s2
s = ?
a = a0 (sabit)
a = g
Yerçekiminden
kaynaklanan ivme
daima düşeydir ve
aşağıya yönelmiştir.
v0
A (0,0)
B (xB, yB)
v0 = 30 m/s
θ0 = 60o
x
y
a = g
a0 = g x = vx0 t
vx0 = 30 cos60o
= 15 m/s
y = vy0 t + ay0 t2
1
2
B noktasında:
x = xB
y = yB
t = tB
} xB = vx0 tB yB = vy0 tB − g tB
2
1
2
vy0 = 30 sin60o
= 26 m/s
s = 61.2 m
Çözüm
Çözüm
t = 0
A
B
s
30 m/s
30o
30o
s
30o
30o
xB = s cos30o
yB = s sin30o
tB =
vx0
xB
= vy0 −
g
2
vx0 yB
xB
vx0
xB
}
= vy0 − g tB
1
2
yB
tB
yatay
düşey
Behcet DAĞHAN
O

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2
ax = ax0 = 0
a = g
v0 = 120 m/s
vx0 = v0 cosθ0
vy0 = v0 sinθ0
Örnek Problem 2/6
Örnek Problem 2/6
Bir mermi şekilde görüldüğü gibi A noktasından fırlatılmıştır. Çarptığı B noktasının eğik düzlem
üzerindeki uzaklığı s yi bulunuz. Uçuş süresi t yi de hesaplayınız.
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
A
B
s
800 m
20o
θ = 40o
g = 9.81 m/s2
s = ?
Yerçekiminden
kaynaklanan ivme
daima düşeydir ve
aşağıya yönelmiştir.
v0
A (0,0)
B (xB, yB)
s
800 m
20o
θ0
v0 = 120 m/s
θ0 = 40o
x
y
a = g
a0 = g
x = vx0 t
vx0 = 120 cos40o
= 91.9 m/s
y = vy0 t + ay0 t2
1
2
B noktasında:
x = xB
y = yB
t = tB
}xB = vx0 tB
yB = vy0 tB − g tB
2
1
2
vy0 = 120 sin40o
= 77.1 m/s
tB = t =
vx0
xB
= vy0 − g tB
1
2
yB
tB
= vy0 −
g
2
vx0 yB
xB
vx0
xB s = 1057 m
g xB
2
− 2 vx0 vy0 xB + 2 vx0
2
yB = 0
t = 19.5 s
xB = 800 + s cos20o
yB = − s sin20o
Çözüm
Çözüm
}
t = 0
t1 = tA = 0
t2 = tB = t
Behcet DAĞHAN
a = a0 (sabit)
a = g
O
}Δt = t = ?
t harfi çoğunlukla içinde bulunulan anı göstermek için kullanılır.
Ama bu problemde aradan geçen zaman Δt nin yerine de kullanılmıştır.
Eğer göz önüne alınan zaman aralığının başlangıcı sıfır seçilebilirse o zaman
içinde bulunulan an ile aradan geçen zaman birbirine eşit olur. t = Δt olur.
x = vx0 t
y = vy0 t + ay0 t2
1
2
Buradaki t ler
içinde bulunulan anı
gösterir.
a = g
içinde
bulunulan
an
aradan
geçen
zaman
→
→
→
t = tB = Δt
!

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/7
Örnek Problem 2/7
A pimi, hareketinin belirli bir aralığında, x-yönündeki hızı sabit ve 20 mm/s olan kılavuz
tarafından, sabitlenmiş parabolik yarık içerisinde hareket etmeye zorlanmıştır.
Bütün boyutlar milimetre ve saniye cinsindendir.
x = 60 mm iken A piminin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
v = ?
vx = vx0
Çözüm
Çözüm
vx = 20 mm/s (sabit)
a = ?
y =
x2
160
Yörüngenin denklemi:
160 y = x2
160 y = 2 x x
80 vy = x vx
80 vy = x vx + x vx
80 ay = vx
2
+ x ax
0
x = 60 mm
x = 60 mm iken:
80 vy = 60 (20)
vy | = 15 mm/s
80 ay = vx
2
ay = 5 mm/s2
(sabit)
v2
= vx
2
+ vy
2
a2
= ax
2
+ ay
2
a = 5 mm/s2
(sabit)
80 ay = 202
v2
= 202
+ 152
y, mm
x, mm
60
Yörünge
y = x2
/160
v
22.5
vx
vy
a
a
x = 60 mm
v | = 25 mm/s
A (x,y)
Behcet DAĞHAN
a2
= ax
2
+ 52
0
→
→
a
A
y = vy
x = vx
}
vy = ay
x = vx
}
vx = ax
O (0,0)
y =
x2
160
ax = 0 (sabit)
vx = sb. →

x = (y2
/12) − 3 eğrisinin pozitif y-kolu üzerinde hareket eden bir maddesel nokta t = 0 iken y = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlamıştır.
Hızının y-bileşeni de vy = 2t bağıntısı ile değişmektedir. Yukarıdaki bağıntılarda x ve y metre, t saniye ve vy m/s cinsindendir. y = 9 m iken
bu maddesel noktanın hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/8
Örnek Problem 2/8
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
v = ?
vy = 2t
Çözüm
Çözüm
x = (y2
/12) − 3
a = ?
Yörüngenin denklemi:
y = 9 m iken:
v2
= vx
2
+ vy
2
a2
= ax
2
+ ay
2
a | = 9.22 m/s2
v2
= 92
+ 62
a2
= 92
+ 22
v
vx
vy
a
y = 9 m
v | = 10.8 m/s
A (x,y)
t = 0 iken:
y = y0 = 0
v = v0 = 0
∫ dy = ∫ 2t dt
0
t
0
y
dy = vy dt
y = t2
x = (t4
/12) − 3
vx = x
vx = t3
/3
y = 9 m iken t = 3 s
vx = 9 m/s
vy = 6 m/s
ax = vx
ay = vy
ax = t2
ax = 9 m/s2
ay = 2 m/s2
(sabit)
y = 9 m
ay = 2 m/s2
x = (y2
/12) − 3
y, m
x, m
Yörünge
6
x = (y2
/12) − 3
9
3.75
ax
ay
Behcet DAĞHAN
O (0,0)
}
}
→
→
y = t2
}
vy = 2t
}

v
Yörünge
Normal ve teğetsel eksenler
Normal ve teğetsel eksenler
A
v = vn + vt = vn en + vt et
v = vt = vt et = v et
v =
Yörünge
A
B
C
t
t
t
n
n
n
t
et
n
en
0
v = ρ β
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı
A '
dβ
ds = ρ dβ
ρ dβ
dt
β daima pozitiftir.
Normal ve teğetsel eksenler maddesel nokta ile birlikte hareket ederler.
t-ekseni, daima yörüngeye teğettir ve hareket yönünde pozitiftir.
n-ekseni, ona dik ve yörüngenin içbükey tarafına doğru pozitiftir.
β
β : Eğrilik yarıçapının birim zamanda taradığı açı,
v = v et
v ve ρ daima pozitif olduğu için
dönme yönünden bağımsız olarak
v =
ds
dt
en ve et : Birim vektörler
eğrilik yarıçapının açısal hızı
Behcet DAĞHAN
→
→
→
→
→
→ → → → →
→ → → →
→ →
→
}
ds = ρ dβ
Hız vektörü, daima t-ekseni ile çakışıktır.

A
Yörünge
a
an
at
an
at
v = v et
a = v = v et + v et
et
en
t
n
a = an + at = an en + at et
a2
= an
2
+ at
2
et = β en
an = v β = ρ β2
= –––
v2
ρ
at = v = = ρ β + ρ β
1
1
et
dβ
en
d et
et =
d et
dt
d et // en
d et = |d et | en
d et = (1) dβ en
an daima pozitiftir.
β
β
β : Eğrilik yarıçapının açısal ivmesi
et '
an daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
dv
dt
Eğrisel harekette olduğunu görmüş oluyoruz.
a ≠
dt
dv
Behcet DAĞHAN
1
d et et
a
→
→
→
→
→
→
→
→
→ → →
→
→
→
→
→ →
→ → → → →
→ →
→ → → →
→
→
→
→
→
a = v β en + v et
→ → →
→
v = ρ β
{
↓

Behcet DAĞHAN
A
a
an
at
an
at
v = vt
t
n
a = an + at
a2
= an
2
+ at
2
an = v β = ρ β2
=
v 2
ρ
at = v = ρ β + ρ β
β = α
Çembersel hareketin normal ve teğetsel eksenler ile incelenmesi :
Çembersel hareketin normal ve teğetsel eksenler ile incelenmesi :
+
O
A
Yörünge
v
t
n
β = ω
+
O
R : Çemberin
yarıçapı
β = ω
ρ = R = sb.
v = R ω
v = ρ β
an = v ω = R ω2
=
v 2
R
at = R α
v
Çembersel harekette açısal hız sabit ise :
a = an
a = an
a = v ω = R ω2
=
v 2
R
v ┴ a
Yörünge
ρ = R = sb.
Behcet DAĞHAN
ρ = AC : Eğrilik
yarıçapı
a
→ →
→
→
→
→
→ → →
→ → → →
}
β = ω = sb.
v = sb. at = 0

Buradaki eğrilik yarıçapı ρ ile
konum vektörünün şiddeti r
birbirine karıştırılmamalıdır.
ρ ≠ r
ρ = AC
r = OA
Bir mermi yatayla 30o
lik açı yapan 360 m/s lik bir hızla ateşlenmiştir. Yörüngesinin, ateşlendikten 10 s sonraki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/9
Örnek Problem 2/9
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
ρ = ?
Çözüm
Çözüm
t = 10 s anında:
v0 = 360 m/s
θ0 = 30o
O (0,0)
r
v
Yörünge
a = g
x
y
rx
ry
rx = x
ry = y r
vx
vy
y = f(x)
θ
θ
vy = vy0 − g t
t = 0
vy0 = v0 sinθ0
vy0 = 360 sin30o
vy0 = 180 m/s
vy = 81.9 m/s
g = 9.81 m/s2
t = 10 s anında:
vy > 0 olması merminin çıkış yaptığını gösterir.
an =
v 2
ρ
vx = sb. = vx0 = v0 cosθ0
vx = 360 cos30o
= 311.8 m/s (sabit)
v 2
= vx
2
+ vy
2
v = 322.4 m/s
n
t
an = a cosθ
tanθ =
vy
vx
θ = 14.72o
an = a cosθ
an = 9.49 m/s2
an
v 2
ρ =
ρ = 10 953 m
t = 10 s
v0
vx0
vy0
θ0
Behcet DAĞHAN
A (x,y)
!
→
→
→

Düzlemde eğrisel hareket yapan bir maddesel noktanın konumunun koordinatları zamana bağlı olarak x = 2t2
+ 3t − 1 ve y = 5t − 2 bağıntıları ile verilmiştir.
Burada x ve y metre ve t saniye cinsindendir. t = 1 s anında eğrilik merkezi C nin koordinatlarını bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/10
Örnek Problem 2/10
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Çözüm
Çözüm
a
v 2
= vx
2
+ vy
2
tanθ =
vy
vx
an = a sinθ
an
v 2
ρ =
x = 2t2
+ 3t − 1
y = 5t − 2
t = 1 s anında:
vx = x
vy = y
vx = 4t + 3
vy = 5 m/s (sabit)
ax = x
ay = y
ax = 4 m/s2
(sabit)
ay = 0 (sabit)
t = 1 s anında:
x = 4 m
y = 3 m
vx = 7 m/s
vy = 5 m/s
v
vy
vx
θ
O x, m
y, m
4
3
t
n
yC
xC
A
v 2
= 74 (m/s)2
θ = 35.54o
an = 2.32 m/s2
a 2
= ax
2
+ ay
2
a = 4 m/s2
(sabit)
ρ = 31.83 m
xC = ρ sinθ + 4
θ
yC = − ( ρ cosθ − 3)
xC = 22.5 m
yC = − 22.9 m
Behcet DAĞHAN
a 2
= ax
2
+ ay
2
0
xC = ?
yC = ?
_
ax

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/11
Örnek Problem 2/11
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Çözüm
Çözüm
an =
v 2
ρ
a 2
= an
2
+ at
2
Bir nümerik kontrol cihazına ait bandın hareketinin yönü, şekildeki gibi A ve B makaraları ile değiştirilmektedir.
Bandın hızı, makaralardan 8 m lik kısmının geçmesi esnasında, düzgün bir şekilde 2 m/s den 18 m/s ye çıkmaktadır.
Bandın hızı 3 m/s olduğunda B makarası ile temas eden bant üzerindeki P noktasının ivmesinin şiddetini hesaplayınız.
Δs = 8 m
at = sb.
v1 = 2 m/s
v2 = 18 m/s
rA = 100 mm
rB = 150 mm
v = 3 m/s olduğunda:
a = ?
an =
v 2
rB
v = 3 m/s an = 60 m/s2
v dv = at ds
s1
s2
Bandın, B makarasına
sarılı kısmında bulunan
bir nokta için:
ρ = rB
∫ v dv = at ∫ ds
Bandın hızı düzgün bir
şekilde artıyor.
O halde bandın üzerinde
bulunan bir nokta için:
}
Δs = 8 m
at = 20 m/s2
v1
v2
a = 63.2 m/s2
(sabit)
v = 3 m/s olduğunda:
Behcet DAĞHAN
←
→

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/12
Örnek Problem 2/12
Verilenler:
Verilenler:
İstenenler:
İstenenler:
Çözüm
Çözüm
x-y düzleminde hareket eden bir maddesel noktanın konum vektörü r = 20 t2
i + (20/3) t3
j şeklinde verilmiştir. Buradaki r milimetre ve t saniye
cinsindendir. t = 2 s anında maddesel noktanın bulunduğu konumdaki yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu hesaplayınız.
t = 2 s anında:
a
v 2
= vx
2
+ vy
2
an = a cos(45o
+ 26.6o
)
an
v 2
ρ =
vx = x
vy = y
vx = 40 t ax = 40 mm/s2
(sabit)
ay = 40 t
ax = x
ay = y
v
vy
vx
O x, mm
y, mm t
n
A
v 2
= 12 800 (mm/s)2
an = 28.23 mm/s2
a 2
= ax
2
+ ay
2
ρ = 453 mm
ρ = ?
r = 20 t2
i + (20/3) t3
j
r = x i + y j
x = 20 t2
y = (20/3) t3
r = 20 t2
i + (20/3) t3
j
}
}
x y
vy = 20 t2
t = 2 s anında:
vx = 80 mm/s
ax = 40 mm/s2
(sabit)
ay = 80 mm/s2
vy = 80 mm/s
80
45o
ay
ax
45o
26.6o
an
Hız vektörü daima
t-ekseni ile çakışıktır.
160
3
İvme vektörü ve
n-ekseni daima
yörüngenin içbükey
tarafına yönelmiştir.
r
1
1
1
2
a = 40 √ 5 mm/s2
Behcet DAĞHAN
→ → → →
→ → →
→ → →
→ → →
veya
an = −ax sin45o
+ ay cos45o

v Yörünge
A
v = vr + vθ = vr er + vθ eθ
v = r = r er + r er
er
v 2
= vr
2
+ vθ
2
θ er = θ eθ
er = =
d er
dt
d er = |d er | eθ
θ açısı yönlü bir açıdır. Daima sabit eksenden
hareketli eksene doğru yönlenmiştir.
O
r
θ
eθ
vr
vθ
vr
vθ
r
r
r = r er
v = r er + r θ eθ
er
eθ
1
1
dθ
d er
d er = (1) dθ eθ
d er // eθ
vr = r vθ = r θ
θ : r ekseninin birim zamanda taradığı açı,
r ekseninin açısal hızı
Zaman geçtikçe : θ açısı artıyorsa : θ > 0
θ açısı değişmiyorsa : θ = 0
θ açısı azalıyorsa : θ < 0
Keyfi olarak seçilen
sabitlenmiş bir
referans ekseni
Orijin (pole=kutup)
keyfi olarak seçilen
bir noktadır.
r ekseninin pozitif tarafı, θ açısının ölçüldüğü taraftır.
r ekseni, daima konum vektörü ile çakışıktır.
Maddesel nokta daima r ekseni üzerindedir.
Pozitif tarafta da olabilir negatif tarafta da olabilir.
er '
θ
er ve eθ : Birim vektörler
θ-ekseninin pozitif yönü,
θ-açısı için seçilen
artış yönündedir.
Behcet DAĞHAN
v
1
d er er
Polar koordinatlar (r,θ)
Polar koordinatlar (r,θ)
→ →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→ → →
→ →
→
→
→ →
→ → → → →
←
↓
→ →
→ → → →
→ → →
r : r koordinatında, birim zamanda
meydana gelen değişme,
r koordinatının değişme hızı
r
Koordinat
↓
Konum vektörü
↓
Konum vektörünün şiddeti olan rdaima pozitiftir,
ama koordinat olan r pozitif veya negatif olabilir.
r = OA
__
↓
dθ eθ
→
dt
Yönleri aynıdır.

a
aθ
ar
aθ
ar
a = v = r er + r er + r θ eθ + r θ eθ + r θ eθ
a = ar + aθ = ar er + aθ eθ
Yörünge
A
θ
O
r
θ
r
r
a2
= ar
2
+ aθ
2
v = r er + r θ eθ
eθ = θ ( – er )
eθ =
d eθ
dt
d eθ = | d eθ | ( – er )
– er
eθ
1
1
dθ
d eθ
d eθ = (1) dθ ( – er )
d eθ // ( – er )
a = ( r – r θ 2
) er + ( r θ + 2 r θ ) eθ
ar = r – r θ2
aθ = r θ + 2 r θ
r : r koordinatında birim zamanda meydana gelen değişmedeki
birim zamanda meydana gelen değişme;
r koordinatının değişme ivmesi
θ : r ekseninin birim zamanda taradığı açıdaki birim zamanda meydana
gelen değişme; r ekseninin açısal ivmesi
er = θ eθ
eθ = – θ er
eθ '
θ
θ
er
eθ
Behcet DAĞHAN
↓
1
d eθ eθ
→
→
→
→ →
→ → → → →
→
→
→
→ → →
→ → → → → → →
→ →
→ → →
←
→
→
→ →
→ →
→ →
→ → →
→ →
↓
vr = r
vr = r
dr
vr = ––
dt
dvr
vr = –––
dt
} vr dvr = vr dr
r dr = r dr
}
a
Yönleri aynıdır.
r
ar ≠ vr
aθ ≠ vθ
!

r
θ
v
vθ
vr
v'
vθ'
vr'
dt kadar zaman aralığında hız vektörünün yönünde ve şiddetinde
meydana gelen değişimlerin ivme terimlerindeki karşılıkları
vθ'
vr'
dθ
dθ
ar = r – r θ 2
dr
dθ
r
dθ
r θ
aθ = r θ + r θ + r θ
d(r θ)
d(r θ) = dr θ + r dθ
d vr
d vθ
Yörünge
er
eθ
Behcet DAĞHAN
vr = r
vθ = r θ
→
→
→
→
vr nin boyundaki değişme
vθ nın boyundaki değişme
vr nin yönünü
etkileyen terim
vθ nın yönünü
etkileyen terim
vr nin boyunu
etkileyen terim
vθ nın boyunu
etkileyen terimler
vθ nın yönündeki değişme
vr nin yönündeki değişme
ar ≠ vr
aθ ≠ vθ
!

Verilenler: Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/13 Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/13
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
Bir itfaiye aracının merdiveni, sabit l = 150 mm/s hızı ile uzamakta ve sabit θ = 2 deg/s oranında yükselmektedir.
θ = 50o
ve l = 4 m konumuna erişildiğinde A daki itfaiyecinin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
l = 150 mm/s (sabit)
θ = 2 deg/s (sabit)
θ = 50o
l = 4 m } v = ?
a = ?
r = OA = 6 m + l
r = l (sabit) r = l = 0
θ = 2 deg/s = 2 (π/180) rad/s
θ = 0
v 2
= vr
2
+ vθ
2
a2
= ar
2
+ aθ
2
vr = r
vθ = r θ
ar = r − r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
vr = 150 mm/s
vθ = 104
(π/90) = 349 mm/s
v = 380 mm/s
ar = 0 − 104
(π/90)2
ar = − 104
(π/90)2
ar = − 12.2 mm/s2
aθ = 0 + 2 (150) (π/90)
aθ = 10.5 mm/s2
a = 16 mm/s2
O
θ = 50o
r
θ
r
A
l = 4 m iken
r = 6 + 4 = 10 m
ar
vr
a
aθ
v
vθ
l = 4 m iken
r = OA
Yörünge
→
→
θ = π/90 rad/s (sabit)
r = 104
mm

Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/14 Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/14
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
θ = ?
vr = r
vθ = r θ
ar = r − r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
ar = 0
aθ = 0
O
θ
A
v
r
Doğrusal bir yörünge üzerinde hareket eden A maddesel noktası, şekilde görülen konumdan
v = 100 m/s lik sabit şiddette bir hızla geçmektedir. Bu andaki r, θ, r ve θ değerlerini bulunuz.
r
r2
= 802
+ 802
y
x
30o
80 m
80 m
x = 80 m
y = 80 m
v = 100 m/s (sabit)
α = 30o
r = ?
r = ?
θ = ?
O
A
v
y, m
x, m
15o
80
80
θ = 45o
r
θ
vr
vθ
r = − 96.6 m/s
θ = 0.229 rad/s
r = 80 √ 2 m
Doğrusal harekette hızın şiddeti sabit ise ivme sıfırdır.
İvme sıfır ise, herhangi bir doğrultuya dik izdüşümü de sıfırdır.
0 = r − r θ 2
0 = r θ + 2 r θ
r = 5.92 m/s2
θ = 0.391 rad/s2
vr = − v cos15o
vθ = v sin15o
}
}
}
}
Yörünge
θ = 45o
a = 0
v = sb. → a = 0
r

Behcet DAĞHAN
Şekildeki AB kolu, β açısının sınırlı bir aralığında dönmekte ve A ucu, yarıklı AC kolunun da dönmesine sebep
olmaktadır. β nın 60o
ve sabit olan β nın da 0.6 rad/s olduğu şekilde görülen anda r, r, θ ve θ değerlerini bulunuz.
Örnek Problem 2/15
Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/15
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
θ = ?
θ
r
ar
vr
a
aθ
v
vθ
AB = R = 150 mm
BC = 150 mm
r = ?
r = ?
θ = ?
r = 77.9 mm/s
θ = − 0.3 rad/s
r = − 13.5 mm/s2
θ = 0
150 mm
θ = 60o
β = 0.6 rad/s (sabit)
β = 60o
iken :
β = 60o
β
B
C
A
60o
A noktası AB yarıçaplı çembersel bir yörünge üzerinde sabit bir açısal hız ile
hareket etmektedir. Dolayısıyla A nın hızı da sabit şiddettedir, AB koluna diktir ve
dönme yönündedir. İvmesi de hızına dik ve çemberin merkezi B ye yönelmiştir.
O
r
v = R ω
v = 90 mm/s
30o
a = R ω2
a = 54 mm/s2
ar = r − r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
ar = − a cos60o
aθ = − a sin60o
vr = v cos30o
vθ = − v sin30o
}
}
r = 150 mm R = 150 mm
}
}
β = ω
vr = r
vθ = r θ
ρ = R
Çembersel yörünge
θ
t

Behcet DAĞHAN
Bir roket düşey düzlemde yer alan bir yörüngede ilerlerken A noktasındaki bir radar tarafından izlenmektedir.
Belirli bir anda, radar ölçümleri şunlardır: r = 10.5 km, r = 480 m/s, θ = 0 ve θ = − 0.0072 rad/s2
.
Roketin yörüngesinin bu andaki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Örnek Problem 2/16
Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/16
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
θ
r
vr
aθ
v
r = 10.5 km
θ
A
O
r
aθ = r θ + 2 r θ
θ = 0
r = 480 m/s
θ = − 0.0072 rad/s2
ρ = ?
t
ρ = AC
an
n
aθ = − 75.6 m/s2
an = | aθ | = 75.6 m/s2
vθ = 0 olduğu için
(an daima pozitiftir.)
ρ = 3048 m
Y
ö
r
ü
n
g
e
an =
v 2
ρ
vr = 480 m/s
vr = r
vθ = r θ
}v = 480 m/s
v 2
= vr
2
+ vθ
2
vθ = r θ = 0
0
__
r

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
a
aθ
ar
Yörünge
A
θ
O
r
θ
r
r
ar = r – r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
θ
v
Yörünge
A
θ
r
θ
vr
vθ
r
r
θ
n
t
C
β
vx
vy
y
x
v 2
= vx
2
+ vy
2
= vr
2
+ vθ
2
ρ = AC
n
t
C
ρ = AC
β
vr = r
vθ = r θ
an
at
vx = x
ay
ax
vy = y v = ρ β
a 2
= ax
2
+ ay
2
= an
2
+ at
2
= ar
2
+ aθ
2
ax = vx = x
ay = vy = y
an = v β = ρ β 2
=
v 2
ρ
at = v
v = vx + v y = vt = vr + vθ a = ax + ay = an + at = ar + aθ
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
β daima pozitiftir. an daima pozitiftir.
Hız vektörü daima t-ekseni ile çakışıktır.
v = vt
Behcet DAĞHAN
İvme vektörü daima yörüngenin
içbükey tarafına yönelmiştir.
O
→
→ →
→
→
→ → → → → → → → → → → → →
→
→
→
→ →
→
→
y
x
→ →
r r

Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/17
Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/17
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
an
tanθ = 400/1000
an =
v 2
ρ
v
vθ
θ
O
Behcet DAĞHAN
Düşey olan (r-θ) düzleminde yer alan eğrisel yörüngesinin en alt konumunda iken P uçağının yerden
yüksekliği 400 m ve yatay olan hızı 600 km/h tir. İvmesinin yatay bileşeni yoktur. Yörüngesinin eğrilik
yarıçapı 1200 m dir. O noktasındaki radar tarafından kaydedilen r nın bu andaki değerini bulunuz.
v = 600 km/h
ρ = 1200 m
r = ?
r
n
t
r
θ
a = an
yatay
düşey
İvmenin yatay bileşeni olmadığı için:
an = 23.15 m/s2
θ = 21.8o
θ
ar
θ
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir
ve t-ekseni ile çakışıktır.
Maddesel nokta,
yörüngesinin en alt konumunda bulunduğu için
yörüngesinin teğeti yataydır.
vθ = r θ
vθ = − v sinθ
} θ = − 0.0575 rad/s
r2
= 4002
+ 10002
a
ar = r − r θ 2
ar = a sinθ
} r = 12.16 m/s2
P
r = 1077 m
ρ
Yörünge
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir
a = 23.15 m/s2
↑

Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/18
Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/18
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
an
an =
v 2
ρ
v
vr
θ
O
Behcet DAĞHAN
v = 30 m/s
a = 8 m/s2
r = ?
r
r
θ
ar
vθ = r θ
vθ = v cos30o } θ = 0.325 rad/s
a
ar = r − r θ 2
ar = − a cos60o } r = 4.438 m/s2
P
Göz önüne alınan anda, düzlemde eğrisel hareket yapan P maddesel noktası şekilde görüldüğü gibi O kutbundan
80 m uzaklıktadır. Maddesel noktanın hızı ve ivmesi şekilde verilmiştir. Bu anda r, r, θ ve θ değerlerini, ivmenin
n ve t bileşenlerini ve yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
r = ?
θ = ?
θ = ?
r = 80 m
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir
ve t-ekseni ile çakışıktır.
t
vθ
n
30o
30o
30o
vr = r
r = 15 m/s
vr = v sin30o }
aθ = r θ + 2 r θ
aθ = a sin60o } θ = − 0.0352 rad/s2
aθ
30o
an = a cos30o
an = 6.93 m/s2
at = a sin30o
at = 4 m/s2
an = ?
at = ?
ρ = 129.9 m
ρ = ?
ρ
θ
at
Yörünge
θ
r

Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/19
Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/19
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
vθ
θ = 30o
O
Behcet DAĞHAN
r
r
θ
ar
θ
aθ
ar = r − r θ 2
= − 338 mm/s2
P
Şekildeki robot kolu, aynı anda hem yükselip hem de uzamaktadır. Verilen bir anda, θ = 30o
,
θ = 10 deg/s = sb. l = 0.5 m, l = 0.2 m/s ve l = − 0.3 m/s2
dir. Robot kolun tuttuğu P parçasının
hızının ve ivmesinin şiddetini hesaplayınız. Ayrıca hız ve ivmeyi i ve j birim vektörleri cinsinden yazınız.
v = ?
a = ?
θ = 30o
θ = 10 deg/s (sabit)
θ = (π/18) rad/s
l = 0.5 m
l = 0.2 m/s
l = − 0.3 m/s2
v = vx i + vy j a = ax i + ay j
aθ = r θ + 2 r θ = 70 mm/s2
v 2
= vr
2
+ vθ
2
a 2
= ar
2
+ aθ
2
v = 296 mm/s
a = 345 mm/s2
x
y
vr
θ
vx = vr cosθ − vθ sinθ = 64 mm/s
vy = vr sinθ + vθ cosθ = 289 mm/s
ax = − | ar | cosθ − aθ sinθ = − 328 mm/s2
ay = − | ar | sinθ + aθ cosθ = − 108 mm/s2
θ
i
j
a = − 328 i − 108 j mm/s2
v = 64 i + 289 j mm/s
θ = sb. → θ = 0
θ
vθ = r θ = 218 mm/s
r = 0.75 m + l
r = l = 200 mm/s
r = l = − 300 mm/s2
vr = r = 200 mm/s
v = vx i + vy j
a = ax i + ay j
→ →
→
→
→
→ → →
→ → →
→ → →
→ →
→ → →
→ → →
r = 0.75 + 0.5
= 1.25 m
= 1250 mm
l = 0.5 m iken:
r

Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/20
Verilenler: 1. Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
1. Çözüm
a tanθ =
| at |
an
an = =
v 2
ρ
vy = v0 (sabit)
v
vy
vx
θ
O
Behcet DAĞHAN
Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.
B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğru
kaldırılmaktadır. θ = 30o
iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.
ρ = R = 250 mm
ρ (sabit)
θ = 30o
iken:
v0 = 2 m/s (sabit)
θ
x
y t
A
at
an
v0
ay = vy
} ay = 0
a = ax + ay
0
θ
v 2
R
v0 = v cosθ
}
θ = 30o
iken:
an = 21.33 m/s2
at = − 12.32 m/s2
Yörünge
n
İvme vektörü daima
yörüngenin içbükey
tarafına yönelmiştir.
at nin negatif yönde olduğu
şekilden görülmektedir.
Hız vektörü daima
yörüngeye teğettir ve
t-ekseni ile çakışıktır.
ax
→
→ → →
an = ?
at = ?
R

Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
an = ––– = –––
v 2
ρ
v
v0
O
Behcet DAĞHAN
Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.
B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğru
kaldırılmaktadır. θ = 30o
iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.
ρ = R = 250 mm
ρ (sabit)
θ
A
v 2
R
v0 = v cosθ
θ = 30o
iken:
an = 21.33 m/s2
at = − 12.32 m/s2
θ
v0 = v cosθ
v0 = v cosθ + v (− sinθ θ )
at = v
v = ρ β = R β
β
β = | θ |
Zaman geçtikçe θ azaldığı için θ negatiftir.
Ama β daima pozitiftir, negatif olmaz.
} θ = − 9.24 rad/s
v = − 12.32 m/s2
θ = 30o
iken:
ρ
R
d(cosθ)
dt
d(cosθ)
dθ
dθ
dt
––––––– = ––––––– ––– (Zincir kuralı)
2. Çözüm
2. Çözüm
θ = 30o
iken:
v0 = 2 m/s (sabit)
an = ?
at = ?
Yörünge
0
}
v = 2.31 m/s
θ
→
C

dinamik 2. hafta

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

dinamik 2. hafta