sampling

1. 第七章 整群抽样
第一节 抽样概
述

2. 一、 整群抽样及其适用场合
1. 整群抽样
亦称集团抽样，将总体分为
若干群，从中随机抽取部分
群，对中选的群做全面调查
。

3. 2. 适用场合
1 ）缺少调查单位必要信息而无法直
接编制抽样框、且由调查单位组成的
群是现成的或是很容易划分的；
2 ）调查单位在空间范围上分布面很
广致使调查费用高昂，实施整群有利
于节约调查费用；
3 ）由某些特殊结构的群组成的总体
，实施整群有利于提高调查精度。

4. 二、 特点：
1 ）随机抽取的不是单位，而是
群， 以 群为单 位；一 般采用不重
复抽样；
2 ）抽样调查中没有总体单位的
原始记录可资利用，而又有自然
群存在，设计和组织抽样比较方
便；
3 ）由于调查的单位相对集中，
在样本量相同时，其调查精度低
于简单抽样。单位调查费用较少

5. 三、群划分的原则
1. 群与群之间不重叠；
2. 分群时应尽可能使群内单位标
志值的变异大，使群间差异小；
3. 群规模的大小应考虑调查精度
与费用的平衡，以及抽样实施的
组织管理因素。

6. 第二节 群大小相等
的整群抽样
将总体划为 R 群，每群包含 M
个单位，则：调查总单位数
RM ，从 R 群中抽取 r 群构成
样本，并对中选的 r 群所有的
M 个单位进行全面调查。

7. 一、估计量及其性质
1. 第 i 群的样本平均数：
M
1
xi =
M
∑x
j =1
ij
( i = 1,2,, r; j = 1,2,  M )

8. 样本平均数：
r M r
∑∑ x
i =1 j =1
ij ∑x i
x= = i =1
rM r
是总体平均数的无偏估计量

9. 2. 抽样方差
整群抽样实质是以群代替单位
，以群平均数代替单位标志值
之后的简单抽样调查，抽样方
差计算方法同简单抽样。
因为对中选的群是全面调查，
不存在群内抽样方差，以群间
方差作为抽样方差。

10. 以群间方差作为总体抽样方差
的估计基础
等群的情况下 , 总体群间方差
:
( )
R 2
M ∑ Xi − X
σB =
2 i =1
R −1
M
Xi 1
Xi =
M M
= ∑X ij
其中 j =1
R M
X 1 1 R
X= =
RM RM
∑∑ X ij = R ∑ X i
i =1 j =1 i =1

11. 在缺少总体资料时，常用以样本
的数据替代。
r
样本群间方差 :
M ∑ ( xi − x )
2
s =
2
b
i =1
r −1
其中： xi M
1
xi =
M M
= ∑x
j =1
ij
r M r
x 1 1
x= =
rM rM
∑∑ xij = r ∑ xi
i =1 j =1 i =1

12. 估计量的方差：
1 ）均值估计：
 x 
V ( x ) =V  ÷
M 
1 1− f 1 R
∑( X i − X )
2
= × ×
M 2
r R −1 i =1
1− f M R
( ) 1− f 2
2
= ×
rM R −1 i =1
∑ X i − X = rM σB
1− f 2
用样本数据替代 v ( x ) = sB
rM

13. ˆ
2 ）总值估计 X = RMx
方差估计
R M ( 1− f ) 2
2
( )
ˆ
V X =
r
σB
R M ( 1− f ) 2
2
( )
ˆ
v X =
r
sB
[ 例 ] P146-147

14. 二、抽样效果分析
1. 简单抽样方差 整群抽样方
差 1− f 1− f 2
v( x ) = s 2
v( x ) = sB
n rM
n = rM
< 0 , s < s
2 2
B
2 
sB − s = 0, s = s
2 2
B
2
> 0, s > s 2
2
 B

15. 2. 从总方差分解分析
( )
R M
1 2
σ =
2
∑∑ X ij − X
RM − 1 i =1 j =1
( )
R M
1 2
= ∑∑ ( X ij − X i ) + X i − X 
RM − 1 i =1 j =1  
R ( M − 1) σ w + ( R − 1) σ B
2 2
=
RM − 1
( RM − 1) σ 2 = R ( M − 1) σ w + M ( R − 1) σ B
2 2
抽样方差与群间方差有关，分群时
应扩大群内方差，缩小群间方差，
以提高抽样效果。

16. 3. 由于对中选的群进行全面调查
，
调查的单位相对集中，限制
了样本单位在总体中的均匀
分布，调查中，往往要增加
样本群数，或增多群内样本
单位数，以提高估计精度。

17. 三、群内相关系数与设计效果
群内相关系数
( )(X )
R M
2∑∑ X ij − X ik −X
i =1 j =1
ρw =
( M − 1) ( RM − 1) σ 2
M ( R − 1) σ B − ( RM − 1) σ 2
2
σ B −σ 2
2
= ≈
( M − 1) ( RM − 1) σ 2
( M − 1) σ 2
RM σ w2
σw2
≈ 1− ≈ 1− 2
( RM − 1) σ 2
σ

18. 群内相关系数
ρ w 的取值范围 − 1 ≤ ρw ≤ 1
M −1
用群内相关系数表示，抽样方
差
( )
V x
1− f RM −1
= × 2 σ 1 + ( M −1) ρw 
2
 
r M ( R −1)
1− f
≈ × 1 + ( M −1) ρw 
σ 
2

rM

19. 整群抽样的设计效果
1− f
× 1 + ( M − 1) ρ w 
σ 2

Deff = rM
1− f 2
σ
rM
= 1 + ( M − 1) ρ w
表明同样的样本量，整群抽样
为简单抽样的 ( M − 1) ρ w
1+
倍。

20. 第三节 群大小不相等的
整群抽样估计
一、按简单随机抽样抽群，
采用简单估计量
1. 总值估计 r
R
X = ∑ xi = Rx
ˆ
r i =1
估计是无偏的

21. 方差估计 R
∑( X −X)
2
R 2
( 1− f ) ×
( )
i
ˆ
V X = i =1
r R −1
用样本数据计算 r
∑( x − x )
2
R 2
( 1− f ) ×
( )
i
ˆ
v X = i =1
r r −1
其中 r
f =
R

22. 2. 均值估计
ˆ Xˆ Rx x
X= = =
M0 M0 M
M
估计是无偏的。其中 0 是调
查单位总数，
M 总体群的平
均大小。
M0
M=
R

23. 方差估计 R
∑( X −X)
2
( 1− f ) ×
( )
i
ˆ
V X = i =1
rM 2
R −1
用样本数据计算
R
∑( x − x )
2
( 1− f ) ×
( )
i
ˆ
v X = i =1
rM 2
r −1

24. 二、按简单随机抽样抽群
，采用比率估计量
r
1. 均值估计
ˆ ∑x i
XR = i =1
r
∑m i
估计是有偏的 i =1

25. ∑( X )
R 2
方差估计 − XM i
 ( 1− f )
i
 ˆ
V  XR ÷≈ × i =1
  rM 2 R −1
( X −X)
R 2
( 1− f ) ×∑M i
2
i
= i =1
rM 2 R −1
用样本数据计算
r 2
 ˆ 
ˆ ∑  xi − X R mi ÷
 X  ≈ ( 1 − f ) × i =1  
v R ÷
  rm 2 r −1
( 1 − f ) × r x 2 + X 2 r m2 − 2 X r x m 
ˆˆ
2 ∑ i R∑ i R∑ i i ÷
=
r ( r − 1) m  i =1 i =1 i =1 

26. r
2. 总值估计 ˆ ∑x i
ˆ =M X =M
XR i =1
0 R 0 r
∑m i
方差估计 i =1
( X −X)
R 2
R 2
( 1− f ) ×∑M 2
( )
i i
ˆ
V XR ≈ i =1
r R −1
用样本数据计算 R 2
ˆ
x − X m 
∑ i R i ÷
R ( 1 − f ) i =1 
2
( )
ˆ
v XR ≈
r
×
r −1


27. 三、按 PPS 抽样抽群，采
用汉森 - 赫维茨的估计量
按与群大小 M i 成比例的概率
放回式的抽样 . 第 i 群被抽中的
概率为 i = M i , ( i = 1, 2,L, R )
Z
M0
1. ˆ总值的汉森  1 r xi 
1 r xi - 赫维茨的估计
X HH = ∑ = M 0  ∑ ÷
量 r i =1 zi  r i =1 M i 
 1 r 
= M 0  ∑ xi ÷ = M 0 x
 r i =1 

28. ˆ
X HH 是无偏估计
2
 Xi 
( )
R
1
其方差 V X HH = ×∑ Z i  − X ÷
ˆ
r i =1  Z i 
M0 R
( )
2
= ×∑ M i X i − X
r i =1
用样本数据计算 2
 xi 
( )
r
1
ˆˆ
v X HH = ×∑  − X HH ÷
r ( r − 1) i =1  zi 
M 02 R
×∑ ( xi − x )
2
=
r ( r − 1) i =1

29. 2. 均值的汉森 - 赫维茨的估计
量 ˆ
X 的无偏估计量 ˆ X HH
X HH = =x
M0
估计量的方差及其无偏估计
ˆ
( )
R
X = 1 × M X −X 2
V  HH ÷

∑ i i
 rM 0 i =1
Xˆ  1 r
×∑ ( xi − x )
2
v  HH ÷ =
  r ( r − 1) i =1
[ 例 ] P154-155

30. 第四节 估计总体比例
的
整群抽样
一、群大小相等的情况
r
P 的无偏估计为 1
p = ∑ pi
r i =1
P 的方差为 R
∑( P − P)
2
1 − f i =1 i
V ( p) = ×
r R −1

31. V ( p ) 的无偏估计为
r
∑( p − p)
2
1 − f i =1 i
v ( p) = ×
r r −1
[ 例 ] P157

32. 二、群大小不相等的情况
r 为大样本， P 的 r
近似无偏估计为 ∑t i
pR = i =1
r
∑m
i =1
i
t i ( i = 1, 2, L n )
为随机从
总体抽出 r 群，其中具有某一特
征的调查单位数

33. P 的方差R R
∑ ( T − PM ) ∑ M ( P − P)
2 2 2
1 − f i =1 i i
1 − f i =1 i i
V ( pR ) ≈ × = ×
rM 2
R −1 rM 2
R −1
样本数据计算
r
∑ ( ti − pR mi )
2
1 − f i =1
v ( pR ) ≈ ×
rm 2
r −1
1− f  r 2 r r

2 ∑ i
= × t + pR ∑ mi − 2 pR ∑ ti mi ÷
2 2
r ( r − 1) m  i =1 i =1 i =1 
[ 例 ] P 158-159

34. 课堂练习
1. 简述整群抽样的具体操
作方式和特点。
2. 整群抽样适用于什么场合
？ 3. 比较整群抽样和简单抽
样的效果，并分析如何提高
抽样的效果。

35. 4. 从总方差分解分析，如何
提高整群抽样的效果？
5. P 159 （ 7.1 ）
6. 在整群抽样中，群大小若
不等，估计方法有几种，其
特点是什么？

36. 7. 分别写出不等群抽样三
种估计方法的均值、总值及
其它们的方差估计式。
8. 在等群和不等群情形下估
计总体成数时，其总体成数
P 的方差估计有何不同，请
具体写出它们的计算公式并
说明其特点。