1. 표본들의 분포

2. 용어
• 모수(Parameter)
– 모집단의 특성을 나타내는 수량화된 값
– 일반적으로 모수는 정해져 있지만 잘 알지 못한다.
• 통계량(Statistic)
– 표본으로부터 계산되는 표본의 특성값
– 관측가능한 확률변수들의 실수값 함수로 통계량은 확
률변수
• 표본분포(Sampling Distribution)
– 한 모집단에서 같은 크기로 뽑을 수 있는 모든 표본에
서 통계량을 계산할 때 이 통계량이 이루는 확률분포
한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)

3. 평균의 표본분포
• 다음 4장의 카드에서 두 장을 랜덤하게 뽑아 평
균을 구해봅시다.
1
2
3
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4

4. 평균의 표본분포
𝒙
𝒙𝒑(𝒙)
𝒑(𝒙)
𝒙 𝟐 𝒑(𝒙)
1
1
4
1
4
1
4
2
1
4
2
4
4
4
3
1
4
3
4
9
4
4
1
4
4
4
16
4
𝑝 𝑥 =1
합
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
10
𝑥𝑝 𝑥 =
4
𝑥2
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
통계학 개론, 제 4판, 김우철 외 9인 공저, 영지문화사, p161
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30
𝑝 𝑥 =
4

5. 평균의 표본분포
• 표본추출 방법 : 비복원 추출(without replace)
1
2
3
1
3
4
4
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2
4

6. 평균의 표본분포
• 랜덤표본과 그 평균 – 비복원 추출
가능한 표본
평균표본 𝒙
{1, 2}
1.5
{1, 3}
2.0
{1, 4}
2.5
{2, 3}
2.5
{2, 4}
3.0
{3, 4}
3.5
통계학 개론, 제 4판, 김우철 외 9인 공저, 영지문화사, p162
한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)

7. 평균의 표본분포
• 평균의 표본분포
𝒙
𝒑(𝒙)
𝒙 𝒑(𝒙)
𝒙 𝟐 𝒑(𝒙)
1.5
1/6
1.5 / 6
2.25 / 6
2.0
1/6
2/6
4/6
2.5
2/6
5/6
12.5 / 6
3
1/6
3/6
9/6
3.5
1/6
3.5 / 6
12.25 / 6
𝑝 𝒙 =1
합
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
𝒙𝑝 𝒙 =
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
15
6
𝒙2 𝑝 𝒙 =
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
통계학 개론, 제 4판, 김우철 외 9인 공저, 영지문화사, p162
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40
6

8. 평균의 표본분포
• 표본추출 방법 : 복원 추출(with replace)
1
2
3
4
2
1
2
3
4
2
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9. 평균의 표본분포
• 랜덤표본과 그 평균 – 복원 추출
표본
𝒙
표본
𝒙
표본
𝒙
표본
𝒙
{1, 1}
1.0
{2, 1}
1.5
{3, 1}
2.0
{4, 1}
2.5
{1, 2}
1.5
{2, 2}
2.0
{3, 2}
2.5
{4, 2}
3.0
{1, 3}
2.0
{2, 3}
2.5
{3, 3}
3.0
{4, 3}
3.5
{1, 4}
2.5
{2, 4}
3.0
{4, 4}
3.5
{4, 4}
4.0
통계학 개론, 제 4판, 김우철 외 9인 공저, 영지문화사, p163
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10. 평균의 표본분포
• 평균의 표본분포
𝒙
𝒑(𝒙)
𝒙 𝒑(𝒙)
𝒙 𝟐 𝒑(𝒙)
1.0
1 / 16
1 / 16
1 / 16
1.5
2 / 16
3 / 16
4.5 / 16
2.0
3 / 16
6 / 16
12 / 16
2.5
4 / 16
10 / 16
25 / 16
3.0
3 / 16
9 / 16
27 / 16
3.5
2 / 16
7 / 16
24.5 / 16
4.0
1 / 16
4 / 16
16 / 16
𝑝 𝒙 =1
합
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
40
𝒙𝑝 𝒙 =
16
𝒙2
𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥
통계학 개론, 제 4판, 김우철 외 9인 공저, 영지문화사, p163
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110
𝑝 𝒙 =
16

11. 표본평균의 기대값과 분산
• 우리가 알고자 하는 대상 : 모집단의 특성
• 표본평균의 기대값
– 슬라이드 #4에 있는 {1, 2, 3, 4} 의 평균 𝜇 = 2.5
– 표본평균 𝑋 의 분포는 확률변수
– 기대값 : 확률변수의 평균
• 표본평균들의 평균을 표본평균의 기대값
• 기호 : 𝐸(𝑋)
– 앞선 복원추출과 비복원추출 모두의 기대값은 2.5
• 𝐸 𝑋 = 𝜇
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12. 표본평균의 기대값과 분산
• 표본평균의 분산
– 분산의 간편계산식 : V𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − 𝐸(𝑋)2
– 비복원 추출에서의 분산
• V𝑎𝑟 𝑋 =
𝒙2
𝑝 𝒙 − 𝐸 𝑋
2
=
40
16
2
=
110
16
−
5 2
2
=
5
12
– 복원 추출에서의 분산
• V𝑎𝑟 𝑋 =
𝒙2 𝑝 𝒙 − 𝐸 𝑋
5
2
− ( )2 =
5
8
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13. 표본평균의 기대값과 분산
• 표본평균의 분산과 모집단의 분산과의 관계
– 모분산이 𝜎 2 이고, 크기가 𝑁인 모집단에서 크기 𝑛인 랜
덤표본을 뽑을 때 표본평균 𝑋에 대하여
• 비복원 추출 : 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
• 복원 추출 : 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝑁−𝑛
𝑁−1
∙
𝜎2
𝑛
𝜎2
𝑛
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14. 표본분포의 모양
• 모집단이 정규분포일 경우
모집단의 분포가
정규분포 𝑁 𝜇, 𝜎 2 일때,
표본평균 𝑋는
정규분포 𝑁 𝜇,
를 따른다
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𝜎2
𝑛

15. 표본분포의 모양
• 모집단이 정규분포가 아닐 경우
평균이 𝜇 이고 분산이 𝜎 2 인
무한모집단에서 크기가 𝑛인
랜덤표본을 뽑았을 때
𝑛이 충분히 크면
모집단의 분포 모양에 관계없이
표본평균 𝑋는
근사적으로 정규분포 𝑁 𝜇,
를 따른다
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𝜎2
𝑛

16. 표본비율의 분포
• 관심이 가는 사건의 비율(propotion)
– 성공율, 불량률, 지지율, 사망률 등
– 확률변수 𝑋 =
1,
0,
관심사건의 성공
관심사건의 실패
– 이 때의 확률변수는 각각 베르누이
– 𝑝=
성공의 횟수
𝑛
=
𝑋1 +𝑋2 +𝑋3 +⋯+𝑋 𝑛
𝑛
– 𝑝은 모집단의 성공의 비율 𝑝의 추정량으로
• X는 성공의 횟수, n은 표본의 개수
– 𝑝 역시 확률변수로 기대값과 분산을 갖는다.
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𝑋
𝑛
로 계산

17. 모비율의 분포
• 𝑝의 기대값과 분산
– 𝐸 𝑝 = 𝑝
– Var 𝑝 =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
• 중심극한정리 적용
– 𝑝 은 표본평균의 개념과 동일
– n이 충분히 클 경우 다음이 성립 by C. L. T
𝒑~𝑵(𝒑,
𝒑 𝟏− 𝒑
)
𝒏
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