2. 용어
• 통계적 추론
– 모수에 대한 판단을 내리기 위하여 모집단에서 표본을
추출하여 데이터를 얻고 이 데이터를 기초로 하여 통
계이론에 의한 결론을 내리게 되는 과정
• 통계적 추론의 두 분야
– 추정
• 표본을 이용하여 모집단의 미지의 모수를 추측하는 과정
– 가설검정
• 표본을 이용하여 모집단에 대한 어떤 예상 또는 주장의 옳고
그름을 판정하거나, 주장의 채택 또는 기각을 결정하는 과정
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3. 용어
• 점추정
– 모수를 하나의 값으로 추정
• 구간추정
– 모수에 대한 추정으로 하나의 점이 아닌 구간으로 추정
• 추정량(estimator)
– 모수의 추정에 사용되는 통계량
– 예 : 모평균에 대한 추정량은 표본평균
• 𝑋=
𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋 𝑛
𝑛
=
𝑛
𝑖=1
𝑋𝑖
𝑛
• 추정값(estimate)
– 추정량에 실제 관측값을 대입하여 얻은 값
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4. 점추정
• 모평균의 추정량 : 표본평균
– 𝑋=
𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋 𝑛
𝑛
=
𝑛
𝑖=1
𝑋𝑖
𝑛
– 무한모집단의 경우 모집단의 평균이 𝜇이고 분산이 𝜎 2
일 때 표본평균 𝑋는 다음과 같은 성질을 갖는다.
• 𝐸 𝑋 = 𝜇
• 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝜎2
𝑛
– 불편추정량
• 모수 𝜃의 추정량 𝜃에 대하여 𝐸 𝜃 = 𝜃 가 성립할 때 𝜃을 𝜃의
불편추정량이라 한다.
• 𝑋는 𝜇의 불편추정량
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5. 점추정
• 좋은 추정량…
– 추정량의 표준편차가 작을수록 좋은 추정량
– 불편추정량 𝜃1 과 𝜃2 이 있을때 이 둘중 더 좋은 추정량
은 표준편차가 작은 추정량
• 표준오차(Standard Error, SE)
– 추정량의 표준편차를 표준오차라고 한다.
– 추정량의 정밀도를 나타냄
– 표본평균 𝑋의 표준오차
• 𝑆𝐸 𝑋 =
𝜎
𝑛
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6. 점추정
• 표준오차(계속)
– 일반적으로 표본평균의 표준오차에서 𝜎는 모수로 알
지 못함.
– 표본표준편차 (𝑆)를 𝜎 대신 사용
• 𝑆=
𝑛
𝑖=1
𝑋 𝑖 −𝑋 2
(𝑛−1)
– 따라서 𝑆𝐸 𝑋 의 추정값 𝑆𝐸 𝑋 =
𝑆
𝑛
– 즉, 일반적으로 사용하는 것은 표준오차의 추정값
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7. 점추정
• 모분산과 모표준편차의 추정
𝑛
– 편차의 합 𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑥 = 0
– 편차에 제곱 하여 모두 더한 것을 기억하나요?
𝑛
• 𝑖=1 𝑥 𝑖 − 𝑥 2
• 이를 통계에서는 제곱합(Sum of squares)이라 부릅니다.
– 자유도
• 편차의 합은 0이므로 전체 자료 n 중에 (n-1)개의 편차만 알
면 나머지 하나는 저절로 결정
– 산포의 측도는 제곱합을 자유도로 나눈다.
• 표본분산에서 분모가 n-1 인 이유입니다.
–E
𝑆2
=
𝜎 2,
𝑆2
=
𝑛
𝑖=1
𝑋 𝑖 −𝑋 2
(𝑛−1)
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8. 구간추정
• 신뢰구간
– 모수의 구간추정을 위하여 제시한 하한값과 상한값을
각각 L과 U라고 할 때 범위 (L, U)
• 신뢰수준
– 신뢰구간에 모수의 참값이 포함되는 것을 얼마나 신뢰
할 수 있는 가를 나타내는 정도
– 1 − 𝛼로 나타내며 일반적으로 𝛼를 0.10, 0.05,
0.001 등을 사용한다.
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9. 구간추정
• 신뢰구간의 올바른 이해
여러 표본을 통해
신뢰구간을 구할 경우
실제 모평균이 전체에서 (1-𝛼)%
정도는 포함될 것으로 기대
절대!!!
우리가 구한 신뢰구간이
실제 모평균을
포함할 확률이 아님
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12. 구간추정
• 모평균의 구간추정
– 대표본인 경우 중심극한정리를 통해 𝜎 대신 s를 사용
해도 되나 소표본의 경우는 문제 발생
– t-분포
𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 이 𝑁 𝜇, 𝜎 2 에서의 랜덤표본일 때,
𝑋− 𝜇
t=
𝑆
𝑛
는 자유도 n-1인 t분포를 따른다.
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18. 모비율의 구간추정
• 범주형자료에 대한 추정은 모평균 대신 모비율(p)
에 대한 추정 실시
– 80세 이상 노인의 비율, 불량률, 남학생의 비율 등
• 모비율의 추정량 : 𝑝
– 확률변수 X가 관심이 되는 대상의 수라 하면
𝑋
𝑝= ,
n은 표본의 크기
𝑛
– 모집단으로부터 추출된 표본비율 𝑝은 𝑛𝑝와 𝑛(1 − 𝑝)가
5이상일 경우 근사적으로 정규분포를 따른다.
• 𝒑~𝑵(𝒑,
𝒑 𝟏−𝒑
𝒏
)
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19. 모비율의 구간추정
– 또한 모든 정규분포는 표준정규분포로 바꿀 수 있으므
로
𝑝−𝑝
𝑝(1−𝑝)
𝑛
~ 𝑁(0, 12 )
– 모비율 p의 신뢰구간
𝑝− 𝑧𝛼 2
𝑝 1−𝑝
𝑛
, 𝑝+ 𝑧𝛼 2
𝑝 1−𝑝
𝑛
로 구한다.
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20. 모비율의 구간추정
• 예제) 어떤 종합병원에서 입원환자들의 불만율을 조사하
고자 한다. 입원한 환자들중 임의로 500명을 뽑아 조사
한 결과 불만있는 환자가 20명으로 나타났다. 이 병원 환
자들의 불만율 p의 95% 신뢰구간을 구하여라.
– 𝑝=
20
500
– 𝑝− 𝑧
𝛼
2
= 0.04 이고 대표본(𝑛𝑝와 𝑛(1 − 𝑝)가 5이상)
𝑝 1−𝑝
𝑛
∶ 0.04 − 1.96 ×
0.04 0.96
500
≈ 0.04 − 0.017 = 0.023
–
𝑝+ 𝑧
𝛼
2
𝑝 1−𝑝
𝑛
≈ 0.04 + 0.017 = 0.057
– 신뢰구간은 (0.023(2.3%), 0.057(5.7%))
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21. 표본의 크기 결정
• 모수들의 신뢰구간 추정시 1 − 𝛼를 지나치게 넓
히는 것은 모수 추정에 좋지 않다.
• 이를 위해 적당한 표본의 크기를 결정하여야 한
다.
• 표본의 크기 결정
– 측정할 모수 결정 (𝜇 또는 p)
– 신뢰구간을 구할 신뢰수준(1 − 𝛼) 결정
– 측정할 모수에 따라 추정오차의 한계의 크기 결정
(𝑧 𝛼 2
𝜎
𝑛
, 𝑧𝛼 2
𝑆
𝑛
, 𝑧𝛼 2
𝑝 1−𝑝
𝑛
)
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22. 표본의 크기 결정
• 모평균을 추정하기 위한 표본의 크기
– 추정오차의 한계는 TS 이고 모표준편차를 알때
𝜎
𝑧𝛼
≤ 𝑇𝑆
2
𝑛
𝜎
𝑧𝛼
≤ 𝑛
2 𝑇𝑆
𝜎 2
(𝑧 𝛼
) ≤ 𝑛
2 𝑇𝑆
– 모표준편차를 모를 경우에는 𝜎 대신 표본표준편차 S
사용
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23. 표본의 크기 결정
• 보건소에서 환자 1명당 진료시간의 평균을 추정하려고
한다. 이전 자료를 보면 진료시간의 표준편차는 3분 정도
로 알려져 있을 때 95% 신뢰수준에서 평균진료시간의
오차의 한계를 1분 이내로 유지하려면 환자 몇 명을 표본
으로 하여야 하는가?
– 진료시간의 표준편차는 3분
– 오차의 한계는 1분
– 신뢰수준은 0.95 → 𝑧0.025 = 1.96
3
𝑛 ≥ (1.96 )2 ≈ 34.6
1
즉, 35명 이상
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24. 표본의 크기 결정
• 모평균을 추정하기 위한 표본의 크기
– 추정오차의 한계는 TS 이고 𝑝을 알면
𝑝 1− 𝑝
𝑧𝛼
≤ 𝑇𝑆
2
𝑛
𝑧𝛼
𝑝 1 − 𝑝 ( 2 )2 ≤ 𝑛
𝑇𝑆
– 𝑝을 모를 경우에는𝑝 1 − 𝑝 을 최대로 하는 𝑝 = 0.5 사
용
1 𝑧𝛼2 2
(
) ≤ 𝑛
4 𝑇𝑆
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25. 표본의 크기 결정
• 보건소에서는 다시 내원할 가능성이 있는 내원객의 비율
을 추정하기 위해 표본조사를 하려고 한다. 신뢰수준
95%를 가지고 추정오차의 한계를 10% 이내로 모비율
을 추정하려고 할 때 적당한 표본의 크기는 얼마인가?
– 𝑝을 모르는 상황
– 오차의 한계는 0.1
– 신뢰수준은 0.95 → 𝑧0.025 = 1.96
1 𝑧𝛼2 2
1 1.96 2
n ≥ (
) ≡ (
) ≈ 96.04
4 𝑇𝑆
4 0.1
97명 이상의 환자를 표본으로 추출한다.
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