用 GeoGebra 玩數學
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2016 年 5 月在台北市中山女中的數學研究社介紹怎麼用 GeoGebra 去玩數學。內容包括 GeoGebra 的基本操作, 一些數學的想法, 和怎麼發揮各種創意去玩數學。
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- 12. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 的特色 免費。 界面簡潔、易於使用。 功能非常符合數學學習與教學。 不斷更新 且更新皆十分切中要點。 蔡炎龍 數學 世界
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- 15. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 把圖輸出 有很方便的圖型輸出功能 可以先把視窗調到你要 的大小 再選擇「檔案」 「匯出」 「匯出圖檔」 蔡炎龍 數學 世界
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- 19. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 換成用數學為函數化妝 假設我有個函數 f(x) 我怎麼讓它變化呢 a · f(x + b) + c 每一個「化妝」 會讓函數有什麼不一樣呢 蔡炎龍 數學 世界
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- 22. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 挑戰 函數的變化 想一想 怎麼做出像這樣的函數 蔡炎龍 數學 世界
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- 30. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 分段定義函數 現在我們想畫出一個分段定義函數 f(x) = ⎧ ⎨ ⎩ x, 若 x < 0 x2 , 若 x ≥ 0。 蔡炎龍 數學 世界
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- 32. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 分段定義函數 我們的例子可以用下面的指令畫出來 If[x<0,x,x^2] 蔡炎龍 數學 世界
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- 34. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 參數式的繪圖 起始值 終止值 蔡炎龍 數學 世界
- 35. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 參數式的繪圖 現在我們想畫 (cos(8t) cos(t), cos(8t) sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π, 可以打入 Curve[cos(8t)cos(t),cos(8t)sin(t),t,0,2pi] 蔡炎龍 數學 世界
- 36. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 極座標 極座標 (r, θ) 換算成平常的直角座標系統是 ⎧ ⎨ ⎩ x = r cos(θ) y = r sin(θ) 蔡炎龍 數學 世界
- 37. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 笛卡兒的愛情故事是真的嗎 傳說窮困潦倒的笛卡兒到了瑞典擔任公主克里斯汀娜的數 學老師 後來因相戀觸怒了瑞典國王 將笛卡兒放逐回法國。 不幸的笛卡兒不久染上黑死病 在病榻上寫給公主很多封情 書 但每一封都被國王擋了下來。直到第十三封 上面只有 一行數學式子 r = a(1 − cos(θ)) 國王覺得這是數學沒什麼關係 所以就交給了公主。公主看 到馬上明白 流下了淚水 蔡炎龍 數學 世界
- 38. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 笛卡兒的愛情故事是真的嗎 蔡炎龍 數學 世界
- 39. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 隱函數 蔡炎龍 數學 世界
- 40. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 隱函數 起 隱函數繪圖功能大大改善。例如我們想畫 x3 − 3xy + y3 = 0 只要打入 x^3-3xy+y^3=0 即可。 蔡炎龍 數學 世界
- 41. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 數值滑桿 數值滑桿有第二種很方便的做法。現在我們想觀察 xy 項係 數變化時 函數會有什麼改變。於是我們先令 t=3。 然後打入 x^3-txy+y^3=0 自然會出現一樣的圖。 接著我們在「代數區」 找到 t 變數 將旁邊的「燈」點亮。 耶 數值滑桿出現了 蔡炎龍 數學 世界
- 42. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 一家子的函數 然後我們當然照例留下曲線軌跡 把這「一家子」的曲線 畫出來。 蔡炎龍 數學 世界
- 43. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 定義在某一區間的函數 蔡炎龍 數學 世界
- 44. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 插入圖片 先選擇「插入圖片」工具 再在想插入圖片的地方點一下 選取要插入的圖片檔案。 蔡炎龍 數學 世界
- 45. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 設定控制點 圖形可由一個點控制位置 圖形左下角 兩個點控制大小、 變形。請在圖形的「屬性」中之「位置」設定。 蔡炎龍 數學 世界
- 46. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 設定控制點 蔡炎龍 數學 世界
- 47. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 免費合法的圖片這樣來 https://openclipart.org 蔡炎龍 數學 世界
- 48. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 跳舞的人 蔡炎龍 數學 世界
- 49. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 使用「插入圖片」功能 放一個沒有手的人物圖片上去。 令一個 g(x) 函數。 設定 t 數值滑桿。 用 f(x)=Function[g(x+t),-4,4] 來讓 g(x) 只在某範圍出 現 並且會隨 t 而動。 g(x) 不要顯示 只顯示 f(x)。 加上「手」 並且在「進階」屬性中設好圖層 讓手出現 在身體後方。 變換不同的函數試試。 蔡炎龍 數學 世界
- 50. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 凡走過必留痕跡 蔡炎龍 數學 世界
- 51. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 切線也可以很美麗 隨便畫出一個函數 例如 f(x) = sin(x)。 在這個函數上放上一點 A。 用「切線工具」把 f(x) 在 A 點的切線畫出來。 對切線按住滑鼠右鍵 選 「顯示移動軌跡」。 重點來了 我們現在可以對 A 點按住滑鼠右鍵 選 「開 始動畫」。 蔡炎龍 數學 世界
- 52. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 切線也可以很美麗 蔡炎龍 數學 世界
- 53. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 消除軌跡 我們想消除軌跡 就用「檢視」 「清除所有痕跡」。常用 這個功能的話 也可以記一下快捷鍵 在 是 Ctrl-F 而在 上是 Command-F。 蔡炎龍 數學 世界
- 54. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 直接用「輸入欄位」輸入函數 我們想換個函數玩玩 當然可以在指令區打入 f(x)=x^2 之 類的。另一個看起來更高級的方法是用「輸入欄位」工具 然使用者直接輸入自己要的函數 我們要使用的是「輸入欄位」工具。 蔡炎龍 數學 世界
- 55. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 直接用「輸入欄位」輸入函數 接著在我們想讓使用者輸入的地方點一下 我們要填入 標籤 這是提示用的 比如我們可以打入 f(x)=。 關聯物件 這是我們要和什麼物件聯結 可拉選單找到 我們的 f(x) 蔡炎龍 數學 世界
- 56. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 直接用「輸入欄位」輸入函數 然後我們就能直接輸入函數了 用同樣的方法 我們可以關聯到幾乎所有物件 可以改變變 數值、文字內容等等。 蔡炎龍 數學 世界
- 57. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 在梯子上的貓 原題出自 http://www.malinc.se/math/geogebra/ circlesanddistancesen.php 蔡炎龍 數學 世界
- 58. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 在梯子上的貓 把一個 當然固定長度 的梯子 線段 靠在牆上 軸 靠牆的位置 比如 點 是可以上下拉動的。 找出梯子的中點。 讓 移動 觀察這個中點的軌跡。 梯子上多加幾點 觀察有什麼變化。 事實上梯子本身的軌跡也有意思 蔡炎龍 數學 世界
- 59. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 在梯子上的貓 「在梯子上的貓」中的梯子軌跡 也就是「星型線」。 蔡炎龍 數學 世界
- 60. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 本輪均輪 阿波羅尼士（ ）解釋行星的「逆行 現象」。雖然這不是正確解釋 但我們用 做做看。 先用數值滑桿做出 R r 分別代表大圓 均輪 及小圓 本輪 半徑。 以 0 為圓心 R 為半徑 做一個大圓。 大圓上點一點 A 以此為圓心 r 為半徑 做出一個小圓。 在小圓上放一個點 代表火星 或其他行星 想辦法模 擬行星運動。 修改 R r 及運動速度 觀察火星軌跡的變化。 蔡炎龍 數學 世界
- 61. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 拋物線的定義 定義 給定一個焦點 F 一條準線 L 由此焦點及準線決定的拋物 線為所有點 P(x, y) 的集合 其中 P(x, y) 到準線及焦點的 距離是一樣的。 蔡炎龍 數學 世界
- 62. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 拋物線作圖示範 蔡炎龍 數學 世界
- 63. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 橢圓的定義 定義 給定兩個焦點 F1 F2 及一個常數 K 則我們可以找出所有 的點 P(x, y) 使 PF1 + PF2 = K, 此圖形即為一橢圓形。 蔡炎龍 數學 世界
- 64. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 橢圓作圖 練習 任意點上兩個點 設一個常數 K。試用橢圓定義作圖。 蔡炎龍 數學 世界
- 65. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 數列其實很厲害 蔡炎龍 數學 世界
- 66. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 標準的數列用法 我們假設要用 n 做為數列的檢索值 基本的 sequence 指令 用法如下。 以 n 為變數的物件 n 起始值 終止值 例如 Sequence[2*n,n,1,10] 為前十個偶數。 蔡炎龍 數學 世界
- 67. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 做個網格出來 蔡炎龍 數學 世界
- 68. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 做個網格出來 參考答案 Sequence[Sequence[A+iC+jB,i,-20,20],j,-20,20] 蔡炎龍 數學 世界
- 69. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 分段 做一個正整數數值滑桿 n、及一線段 AB。 拉動數值滑桿 AB 就自動分成 n 段。 蔡炎龍 數學 世界
- 70. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 分段 這裡有意思的是 裡不一定要是數字 物件也可以 Sequence[A+(B-A)/nk,k,1,n-1] 蔡炎龍 數學 世界
- 71. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 轉換的世界 蔡炎龍 數學 世界
- 72. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 設定色彩 在 的物件 我們可以按滑鼠右鍵選「屬性」 「進 階」用輸入「紅」、「藍」、「綠」 三原色強度的方式設 定。強度的範圍是 0 到 1。例如 蔡炎龍 數學 世界
- 73. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 動態色彩 更好的是 這裡 三原色強度可以用函數做「動態色 彩」。選用的函數值當然應該在 0 到 1 中間 但不在這範圍 時 會自動取其小數點部份。我們來試用一下 在繪圖區放上一個點 A 可以讓它大一點、並選擇「顯 示移動蹤跡」。 動態色彩設定 紅 x(A) A 點的 x 座標 綠 y(A) A 點的 y 座標 藍 不設定 這裡的範例可參考影片 http://www.youtube.com/watch?v=n08UMpJJ2es 蔡炎龍 數學 世界
- 74. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 動態色彩 任意拖拉 A 點 看看色彩的變化。 蔡炎龍 數學 世界
- 75. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 在 中的「轉換」 有很多有趣的應用 簡單的是要把一個物件依某個方式複製。 蔡炎龍 數學 世界
- 76. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 我們準備放一個點 A 再加上另一個點為 B 為中心 射出三 條射線 每條射線各隔 120◦ 。 蔡炎龍 數學 世界
- 77. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 放一個點 A 大一點 畫圖用的 、設成「顯示移動蹤 跡」。 使用「射線 過兩點 」工具 以 B 為起點 做出一條射 線 應該會叫做 a。 再來我們用旋轉工具 以 B 為中心 讓 a 轉 120◦ 這樣 會出現另一條射線 叫 a′ 。 最後再用同樣方法做出第三條射線 a′′ 。 蔡炎龍 數學 世界
- 78. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 蔡炎龍 數學 世界
- 79. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 接下來我們要用「線對稱」 把我們的 A 點 先依某個方向 如逆時針方向 對旁邊的射線做「線對稱」 得新點 A′ 。 做好之後再依此由 A′ 得 A′′ 。都完成之後以反方向再做一 次 最後 A 會「生出」包括自己在內的六個點。 蔡炎龍 數學 世界
- 80. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 做好之後如下圖 記得這六個點我們都要「顯示移動蹤跡」 「動態顏色」可自訂 不過或許可以試「紅色」x(A) 「綠色」 y(A) 「藍色」x(A)+y(A)。 蔡炎龍 數學 世界
- 81. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來一點「轉換」 任意拉動 A 點 我們就可以「作畫」了。下面是一個例子。 蔡炎龍 數學 世界
- 82. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 做一個摩天輪 蔡炎龍 數學 世界
- 83. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 方塊轉換 此類的問題還有很多。比方我們可以畫一個圓 在圓上放一 點 C 以此為左下角 做一個正方型。然後我們把這個正方 型以圓心為旋轉中心 轉 90◦ 再繼續以同樣方式造出共計四 個正方型。 蔡炎龍 數學 世界
- 84. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 方塊轉換 四個正方型可上不同顏色 並設成「顯示移動蹤跡」 讓 C 「開始動畫」。 蔡炎龍 數學 世界
- 85. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 指令與自訂工具 蔡炎龍 數學 世界
- 86. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 看一個物件怎麼做的 所有物件其實都有自己相對應的指令 比如我們 想知道一個線段怎麼做出來 在「代數區」找到對應物件 滑鼠點兩下就出來了。 蔡炎龍 數學 世界
- 87. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 找需要的指令 有些指令會做到不是工具做得出來的東西 這時可以按右下 角的「指令明」 找需要的指令及用法。 蔡炎龍 數學 世界
- 88. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 網格 給定兩根線性獨立的向量 畫出這個根向量決定的網格。 提示 使用 sequence 指令 蔡炎龍 數學 世界
- 89. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 看著你的眼睛 試做一隻眼睛 你拉著一個點跑的時候 眼珠會跟那個點轉。 蔡炎龍 數學 世界
- 90. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 來做眼睛工具 我們想做好幾隻瞪著你的眼睛 但每次重覆有點麻煩 這時 可用「自訂工具」。 蔡炎龍 數學 世界
- 91. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 自訂工具 蔡炎龍 數學 世界
- 92. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 自訂工具 蔡炎龍 數學 世界
- 93. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 自訂工具 蔡炎龍 數學 世界
- 94. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 自訂工具 幾點補充明 指令名稱是在命令列時可以下的指令 比如 Eye[C,P] 就是以 C 為眼球中心 P 為控制點畫出眼球。 如果要自己做圖示 標準大小是 32 × 32 大小的圖。 你也可以把自己的工具存起來在不同的 檔使 用。方法是用「工具 管理自製工具」選擇「另存新 檔」 取個名字 會以結尾是 .ggt 的檔案存起 來。以後要用直接拉到工具列就好。 蔡炎龍 數學 世界
- 95. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 畢氏定理與畢氏樹 蔡炎龍 數學 世界
- 96. 數學 世界 簡介 來玩玩函數 參數式和極座標 凡走過必留痕跡 數列其實很厲害 轉換的世界 指令與自訂工具 畢氏定理與畢氏樹 蔡炎龍 數學 世界