Pat 1 พฤศจิกายน 2557

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์ PAT 1 วันเสาร์ที 22 พฤศจิกายน 25571
ตอนที 1 : แบบปรนัย 4 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบทีถูกต้องทีสุด
จํานวน 30 ข้อ (ข้อ 1 – 30) ข้อละ 6 คะแนน
1. กําหนดให้ p, q และ r แทนประพจน์ใดๆ
ให้ S(p, q, r) แทนประพจน์ทีประกอบด้วยประพจน์ p, q และ r
และค่าความจริงของปะพจน์ S(p, q, r) แสดงดังตารางต่อไปนี
p q r ค่าความจริงของ S(p, q, r)
T T T T
T T F T
T F T F
T F F F
F T T T
F T F T
F F T T
F F F T
ประพจน์ S(p,q,r) สมมูลกับประพจน์ข้อใดต่อไปนี
1. (q p) (q r) 2. (q p) (p ~ r)
3. (p ~q) (q r) 4. (p ~ q) (p ~ r)
2. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ {x R 0 x 1}
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ประพจน์ 2 2
x y x y y x มีค่าความจริงเป็นจริง
(ข) ประพจน์ x y x y 1 xy มีค่าความจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

3. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมโดยมีความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C
เท่ากับ a หน่วย b หน่วย และ c หน่วย ตามลําดับ สมมุติว่ามุม A มีขนาดเป็นสามเท่าของมุม B
และ a = 2b
(ก) ABC เป็นรูปสามเหลียมมุมฉาก
(ข) ถ้า a = kc แล้ว k สอดคล้องกับ 3 2
3x 9x x 3 0
4. ให้ a และ b เป็นจํานวนเต็มบวก
นิยาม aRb หมายถึง a หารด้วย b ลงตัว
(ก) ถ้า xRy และ yRz แล้ว xR(y + z) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก x, y และ z
(ข) ถ้า wRx และ yRz แล้ว (wy)R(xz) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก w, x, y และ z

5. กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนจริงบวกทีมากกว่า 1 และสอดคล้องกับ
a b ablog 4 log 4 9log 2
ค่ามากสุดของ
2
5
a b
a
log (ab ) log ( )
b
เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 13.5 2. 11.5
3. 9 4. 7
6.
sin25 sin 85 sin 35
sin75
ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. tan15 2. sin15 sin 75
3. cos20 cos 40 cos80 4. sec420

7. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง
และกําหนดให้ f(x) = ax +
b
x
เมือ x ≠ 0
โดยที y = f(x) เป็นเส้นโค้งทีสัมผัสกับเส้นตรง y = 1 ทีจุด (1, 1)
(ก) f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที x = – 1
(ข) 2 2
x 1
lim(fof)(x) f(2a 2b )
8. ให้ S = {1, 2, 3, ..., 15 } และให้ A เป็นสับเซตของ S โดยมีจํานวนสมาชิกของเซต A เท่ากับ 4
ความน่าจะเป็นทีจะได้เซต A โดยทีสมาชิกในเซต A จัดเรียงเป็นลําดับเลขคณิต ซึงมีผลต่างร่วมเป็น
จํานวนเต็มบวก เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1.
3
455
2.
4
455
3.
1
91
4.
2
91

9. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชิงซ้อน ทีสอดคล้องกับสมการ z 2z 3z 3 45i
เมือ |z| แทนค่าสัมบูรณ์(absolute value) ของ z และ z แทนสังยุค(conjugate) ของ z
ค่าของ 2
z เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 95 2. 225
3. 245 4. 375
10. กําหนดให้ 2 2
y 2x 8x 6 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา
ให้เส้นตรง y = 2 ตัดกับเส้นกํากับของไฮเพอร์โบลาทีจุด A และจุด B เมือจุด B อยู่ทางขวามือ
ของจุด A และเส้นตรง y = 2 ตัดกับกราฟไฮเพอร์โบลาทีจุด P และจุด Q เมือจุด Q อยู่ทาง
ขวามือของจุด P สมการของวงรีทีมีจุดยอดอยู่ทีจุด P และจุด Q โฟกัสของวงรีอยู่ทีจุด A และจุด B
มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. 2 2
2x y 8x 4 2y 4 0 2. 2 2
2x y 8x 2 2y 8 0
3. 2 2
x 2y 4x 4 2y 6 0 4. 2 2
x 2y 4x 4 2y 6 0

11. ให้ C เป็นวงกลมมีสมการ 2 2
x y Dx Ey F 0
มีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์(quadrant) ที 1 และวงกลม C สัมผัสแกน y
ให้ P เป็นพาราโบลามีสมการ 2
Dx y Ey F
ผ่านจุด (–4, –1) และระยะระหว่างจุดยอดกับโพกัสเท่ากับ 1 หน่วย
(ก) 2 2 2
D E F 133
(ข) เส้นตรง 4x + 3y – 7 = 0 สัมผัสกับวงกลม C
12. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียม
โดยทีด้าน AB ยาว 5 หน่วย ด้าน BC ยาว 12 หน่วย และมุม ˆABC เท่ากับ 60
ถ้าเวกเตอร์ u AB เวกเตอร์ v BC และเวกเตอร์ w CA
แล้ว (2u v) w เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 64 2. 109
3. 114 4. 124

13. ให้ A เป็นเอกภพสัมพัทธ์ทีทําให้ประพจน์
2x 2x x 3 0 และ x 2 3 มีค่าความจริงเป็นจริง
และให้ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 2 1
6x 5x 1 0
1. A B 2. A – B มีสมาชิก 2 ตัว
3. (A – B) (B – A) = (–6, 1) 4. (–6, 0) (B – A)
14. ถ้า x และ y เป็นจํานวนจริงบวกและสอดคล้องกับสมการ
2 1 1
2 2
2log (x 2y) log x log y 0
แล้ว
2
x
1
y
1. 2 2. 5
3. 10 4. 17

15. ให้ a, b, c, d และ x เป็นจํานวนเต็มบวกใดๆ
(ก) ถ้า a c
b d
แล้ว a x c x
b d
(ข)
a a x
b b x
16. กําหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจํานวนจริง
โดยทัง f และ g เป็นฟังก์ชันทีสามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ
2
(fog)(x) x 5 สําหรับทุก x ทีอยู่ในโดเมนของ fog
และ 2
g(x)dx x 4x C เมือ C เป็นค่าคงตัว
ถ้า L เป็นเส้นตรงทีสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ณ x = 0
แล้วเส้นตรง L ตังฉากกับเส้นตรงทีมีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. x + y – 3 = 0 2. 2x + y – 7 = 0
3. 3x + y – 5 = 0 4. 5x + y – 2 = 0

17. กําหนดให้ 1L เป็นเส้นตรงผ่านจุด (–2, –4) มีความชันเป็นจํานวนเต็มบวก
และตัดแกน X และแกน Y ทีจุด A และจุด B ตามลําดับ
โดยผลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3 หน่วย
ให้ 2L เป็นเส้นตรงทีขนานกับเส้นตรง 1L และผ่านจุด (0, –13)
ถ้า C เป็นจุดบนเส้นตรง 2L โดยที CA = CB แล้วพืนทีของรูปสามเหลียม ABC
1. 8.5 ตารางหน่วย 2. 7.5 ตารางหน่วย
3. 6.5 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย
18. กําหนดให้ฟังก์ชันจุดประสงค์ 1P 5x 2y และ 2P 4x 3y
โดยมีอสมการข้อจํากัดดังนี
2x + 3y ≥ 6 ,3x – y ≤ 15, –x + y ≤ 4 , 2x + 5y ≤ 27, x ≥ 0 และ y ≥ 0
ให้ ค่ามากทีสุดของ 1P และ 2P เท่ากับ 1M และ 2M ตามลําดับ
และค่าน้อยทีสุดของ 1P และ 2P เท่ากับ 1N และ 2N ตามลําดับ
(ก) 1M มีค่ามากกว่า 2M
(ข) 1N มีค่าน้อยกว่า 2N

19. กําหนดให้ 3 2
f(x) 4x bx cx d เมือ b, c และ d เป็นจํานวนจริง
โดยที
2
2
64
f(x)dx
3
ถ้า g(x) เป็นพหุนามซึง g (x) f(x) และ g (1) g (0) g(0) 0
แล้ว g (x) g (x) g(x) ตรงกับสมการในข้อใดต่อไปนี
1. 4 3 2
x 4x 12x 6x 0 2. 4 3 2
x 8x 12x 6x 0
3. 4 3 2
3x 16x 48x 24x 0 4. 4 3 2
3x 8x 48x 24x 0
20. กําหนดให้ n{a } เป็นลําดับของจํานวนจริง
โดยที 1
1
a
6
และ n n 1 n
1
a a
3
สําหรับ n = 2, 3, 4, ...
(ก) n
n
lim a 0
(ข) อนุกรม 1 2 3a a a ... เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 0.75

21. กําหนดให้ a, b, c และ d เป็นจํานวนจริงบวก โดยที ab = 24 และ cd = 8
(ก) ถ้า d > b แล้ว b d
a c
(c 1) (a 1)
(ข) ถ้า a c แล้ว b d
(0.01) (0.05)
22. นิยาม จํานวนสามหลักลด คือ จํานวน ABC โดยที A, B, C {0,1,...,9} และ A > B > C
จํานวนวิธีสร้างจํานวนสามหลักลด ทีมีค่ามากกว่า 500 มีจํานวนทังหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 119 2. 117
3. 114 4. 110

23. ให้ S เป็นเซตของข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วยจํานวนเต็ม n จํานวนทีแตกต่างกัน
ค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลใน S เท่ากับ 22
ถ้านําค่าตําสุดของข้อมูลออกจาก S จะได้ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 24
ถ้านําค่าสูงสุดของข้อมูลออกจาก S จะได้ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 15
แต่ถ้านําทังค่าตําสุดและค่าสูงสุดออกจาก S จะได้ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 16
(ก) พิสัยของข้อมูลเท่ากับ 96
(ข) n = 9
24. กําหนดให้เส้นตรง L เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y ทีกําหนด ในตารางต่อไปนี
โดยที x เป็นตัวแปรอิสระ
x 1 2 3 4 5
y 9 11 b 17 19
และให้ (3, b) เป็นจุดบนเส้นตรง L เมือ b เป็นจํานวนจริง
(ก) b = 13
(ข) ถ้าค่าของ x เพิมขึน 0.5 แล้วค่าของ y จะเพิมขึน 1.3

25. กําหนดให้ 1 2 nx ,x ,...,x เป็นจํานวนจริงบวก
ข้อมูลชุดที 1 คือ 1 2 nx , x , ..., x และ
ข้อมูลชุดที 2 คือ 1 2 n2x 1, 2x 1 ,..., 2x 1
(ก) สัมประสิทธิของการแปรผันของข้อมูลชุดที 1 มากกว่า สัมประสิทธิของการแปรผันของ
ข้อมูลชุดที 2
(ข) สัมประสิทธิพิสัยของข้อมูลชุดที 1 น้อยกว่า สัมประสิทธิพิสัยของข้อมูลชุดที 2
26. กําหนดให้ A เป็น 2 3 เมทริกซ์ B เป็น 3 2 เมทริกซ์ และ C เป็น 2 2 เมทริกซ์
โดยที 1 6
ABC
1 14
(ก) det(AB) – det(BA) = 0
(ข) ถ้า 1 2
C
1 2
แล้ว 5 7
CAB
6 10

27. คะแนนสอบของนักเรียน 160 คน มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน
มีนักเรียนเพียง 4 คนทีสอบได้คะแนนมากกว่า 84.5 คะแนน นักเรียนทีสอบได้ 55 คะแนนจะอยู่
ตําแหน่งเปอร์เซนไทล์เท่ากับข้อใดต่อไปนี
เมือกําหนดพืนทีใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง 0 ถึง z ดังตารางต่อไปนี
Z 0.3 0.4 0.5 1.0 1.1 1.96 2.0
พืนที 0.1179 0.1554 0.1915 0.3413 0.3643 0.4750 0.4773
1. 19.15 2. 15.54
3. 34.46 4. 30.85
28. ข้อมูลชุดหนึงมี 5 จํานวนทีแตกต่างกัน โดยทีค่าเฉลียของควอร์ไทล์ทีหนึง และควอร์ไทล์ทีสาม
เท่ากับมัธยฐาน ถ้าส่วนเบียงเบนเฉลียเท่ากับ 2.8 และมัธยฐานเท่ากับ 15 แล้วส่วนเบียงเบนควอไทล์
1. 3.5 2. 5.25
3. 7.5 4. 11.25

29. ถ้า
4 4
sin x co s x 1
5 7 12
สําหรับบาง x > 0
แล้วค่าของ
2 2
sin (2x) cos (2x)
5 7
ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1.
1
144
2.
25
126
3.
2
9
4.
1
6
30. กําหนดให้ A, B, C และ D เป็นจํานวนจริงบวก ทีสอดคล้องกับ
B = C + D , D = A + C – B และ A = 2C – B
1. D < A < C < B 2. A < D < C < B
3. D < C < A < B 4. C < A < D < B

ตอนที 2: แบบอัตนัย ระบายคําตอบทีเป็นตัวเลข
จํานวน 15 ข้อ (ข้อ 31 45) ข้อละ 8 คะแนน
31. ให้ S แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S และ n(S) แทนจํานวนสมาชิกของเซต S
ให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U
โดยที A C , A B , B A , B C และ C B
ถ้า n(U) = 20 , n(A ) 12 , n(B ) 9 , n(C ) 15 , n((A B) (B A)) 11
และ n((B C) (C B)) 12 แล้ว n((A B) (C B)) เท่ากับเท่าใด
32. ให้ o o o o o
A cos15 cos87 cos159 cos231 cos303
และ 15 4B sin arctan( ) arccos( )
8 5
ถ้า A + B =
a
b
เมือ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1 แล้วค่าของ a + b เท่ากับเท่าใด

33. ให้ 1z และ 2z เป็นจํานวนเชิงซ้อน โดยที 1 2
z 2 , 3z และ 1 2
1z z
แล้วค่าของ 1 2z z เท่ากับเท่าใด เมือ z แทนค่าสัมบูรณ์ของ z
34. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง โดยที a > 0 และ b > 1
ถ้า a
ab b และ 3a
b ab แล้ว 20a + 14b เท่ากับเท่าใด

35. ให้ a เป็นจํานวนจริงบวก และให้ n{b } เป็นลําดับของจํานวนจริง
โดยที nb (a n 1)(a n) สําหรับ n = 1, 2, 3, ...
ถ้า a สอดคล้องกับ
n 1 2 2 3 n n 1
a 1 a 2 a n 1
...lim
b b b b b b 312
แล้วค่าของ 2
a 57 เท่ากับเท่าใด
36. ถ้า x และ y เป็นจํานวนจริงทีสอดคล้องกับ
t
y 3x 1 10 x 0
2
7 7 y1 y2 x y
แล้วค่าของ x + y เท่ากับเท่าใด

37. กําหนดให้ U {1,2,3,4,5}
ให้ S เป็นเซตของคู่อันดับ (A, B) ทังหมด โดยทีจํานวนสมาชิกของเซต A B เท่ากับ 2
เมือ A และ B เป็นสับเซตของ U
จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับเท่าใด
38. ให้ n{a } เป็นลําดับเลขคณิต โดยที 1a 2 และ 1 2 3a a a ...
สมมุติว่า 2 4 8a ,a ,a เรียงกันเป็นลําดับเรขาคณิต
จงหาค่าของ n ทีทําให้
3 3 3
1 2 n
3 3 3
1 2 n
(a 1) (a 1) ... (a 1) 391
450a a ... a

39. ให้ S แทนเซตคําตอบของสมการ 2
3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x
ถ้าผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต S เท่ากับ a
b
เมือ ห.ร.ม. ของ a และ b เท่ากับ 1
แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด
40. กําหนดให้ 8 cos(2 ) 8 sec(2 ) 65 เมือ o
0 90
ค่าของ 5
160 sin( )sin( )
2 2
เท่ากับเท่าใด

41. ให้ f เป็นฟังก์ชันซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจํานวนจริง
โดยที 2
f(2x 1) 4x 10x a เมือ a เป็นจํานวนจริง และ f(0) = 12
ค่าของ
4
1
f(x)dx เท่ากับเท่าใด
42. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง
ให้ f : R R เป็นฟังก์ชันหนึงต่อหนึง และ g : R R เป็นฟังก์ชัน
โดยที g(x) = 2f(x) + 5 สําหรับทุกจํานวนจริง x
ถ้า a เป็นจํานวนจริงที 1 1
(fog )(1 a) (gof )(1 a) แล้วค่าของ 2
a เท่ากับเท่าใด

43. ให้ A แทนเซตคําตอบของสมการ x x 3 x 3 x 3
(4 2 6) (2 4) (4 2)
ผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต A เท่ากับเท่าใด
44. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง
ให้ f : R R , g : R R และ s : R R เป็นฟังก์ชัน โดยที
f(x) = x + 1 สําหรับทุก x R
2
g(f(x)) x 2x 1 สําหรับทุก x R
และ
2 2
h 0
(g(x h)) (g(x))
s(x) lim
h
สําหรับทุก x R
ค่าของ (sg)(1) เท่ากับเท่าใด

45. ให้ A = {0, 1, 2, ... }
กําหนดให้ a(n,m) A สําหรับทุก n, m A โดยที
(ก) a(n, 0) = n + 1 สําหรับทุก n A
(ข) a(0, m) = a(1, m – 1) สําหรับทุก m A – {0}
(ค) a(n + 1, m + 1) = a( a(n, m + 1), m) สําหรับทุก n, m A
ถ้า x A และ a(x, 2) = 2557 แล้วค่าของ x เท่ากับเท่าใด

เฉลยคําตอบ
ตอนที 1
1. 3 2. 3 3. 2 4. 3 5. 2 6. 2 7. 1 8. 4 9. 2 10. 3
11. 1 12. 4 13. 2 14. 4 15. 4 16. 3 17 1 18. 1 19. 4 20. 2
21. 3 22. 4 23. 4 24. 3 25. 2 26. 4 27. 3 28. 1 29. 2 30. 1
ตอนที 2
31. 7 32. 169 33. 3 34. 66 35. 201
36. 3 37. 270 38. 14 39. 11 40. 55
41. 34.5 42. 36 43. 3.5 44. 4 45. 1277

Pat 1 พฤศจิกายน 2557

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (11)

Similar to Pat 1 พฤศจิกายน 2557

Similar to Pat 1 พฤศจิกายน 2557 (20)

Pat 1 พฤศจิกายน 2557