14. 1.Functia arcsin
Functia f(x) = sinx; f :
(Fig 1.) este bijectiva,
deci este inversabila. Functia inversa f -1 se noteaza f -1(x)=
arcsinx unde arcsinx : [-1,1] →
si a graficului sau
(Fig.2) este simetricul graficului functiei f(x) = sinx, f :
fata de prima bisectoare a axelor de coordonate y=x.
15. Observatii :
Este inversabila orice restrictie a functiei sin cu conditia ca aceasta sa fie bijectiva,dar
numai inversa
restrictiei la intervalul
( f
o
se numeste arcsin.
f -1 )( x ) = x => sin( arcsinx ) , pentru x є [-1,1].
( f -1 0 f ) ( x ) = x => arcsin( sinx ) = x , pentru x є
Functia f -1 este impara,adica arcsin( -x ) = - arcsinx,
x є [-1,1].
16. 2.Functia arccos
In mod analog functia f : [ 0,π ] → [ -1,1 ], f(x) = cosx (Fig.4)
este bijectiva,deci inversabila si atunci functia inversa f -1
notam cu arccos x,unde : f -1( x ) = arccos : [-1,1] → [0, π].
Observatii :
A. Graficul functiei f -1 (x) = arccosx : [ -1,1 ] → [ 0,π ] ( Fig. 5 ) este
simetricul graficului functiei f(x) = cosx, f :[ 0,π ] → [-1,1].fata de prima
bisectoare.
17. B. ( f o f -1 )( x ) = x => cos(arccosx) = x,
C. ( f -1 0 f ) ( x ) = x => arccos(cosx)= x,
D. arccos(-x) = π – arccosx,
x є [-1,1].
x є [ 0,π ]
x є [-1,1]
18. 3.Functia arctg
Functia f :
,f(x) = tgx,este surjectiva,dar nu este
injectiva.Restrictia sa la intervalul
injectiva si deci bijectiva si atunci f :
,fiind monoton crescatoare,este
,f(x)= tgx este
inversabila(Fig. 6)
Inversa sa f -1 se numeste arctgx si se noteaza : f -1
arctgx (Fig. 6 – linia rosie ).Graficul sau este simetricul functiei
f(x) = tgx :
,fata de prima bisectoare.
,
f -1(x) =
19. Se observa ca dreptele
si
sunt asimptote orizontale pentru
graficul functiei arctgx.
Aceste asimptote sunt simetricele asimptotelor verticale
graficului functiei directe. Scriem arctg
ca arctg 0=0 pentru ca tg0 = 0; arctg
arctg
etc.
Observatii :
1.arctg(tgx) = x,
xє
2.tg(arctgx) = x,
xє
3.arctg(-x) = -arctgx, x є
si
si arctg
,pentru ca
ale
. Se deduce usor
;
20. 4.Functia arcctg
Restrictia bijectiva a functiei f(x) = ctgx; f :
este functia f : ( 0,π ) →
,f(x) = ctgx.Inversa sa se numeste
arcctg x si se scrie : f -1( x ) = arcctgx ; f -1 :
→ ( 0,π ).
Graficul sau este simetricul functiei f(x) = ctgx : ( 0,π ) →
fata de prima bisectoare (Fig. 7).
Se observa ca functia arcctgx este pozitiva pe
,iar
graficul sau are dreptele y=0 si y=π asimptote orizontale care
sunt simetricele fata de prima bisectoare a asimptotelor
verticale x=0 si x=π la graficul functiei directe.
Avem : arcctg 0 =
;arcctg
;arcctg
=0;arcctg
Observatii :
1.arcctg(ctgx) = x ,
x є ( 0,π ).
2. ctg(arcctgx) = x,
xє
.