・材料力学の初歩と、有限要素法への発展および解析例 ・東京工業大学 大学院理工学研究科 機械制御システム専攻 中村研究室の簡単な紹介 ・複屈折によって干渉縞ができる理由と、そもそも複屈折が生じる原因（大まかに） スライド中のFEMソフトはANSYSです。 Keywords: Mechanics of Materials, FEM, Birefringence

1. 材料力学と複屈折
Shinsuke Ogawa (@shinsuke_ogawa)
2010/11/13 サイテク学会2010

2. Topics
1. Mechanics of Materials
2. Our Laboratory
3. Birefringence

3. 材料力学
Mechanics of Materials

4. 材料力学とは
• 材料の中の力学
• 「材料」は形状を問わないが、パーツと考えるとわかりやすいかも。
• 目的：材料の強度や安全性を保証し、
効率よく設計するための力学的な方法を求める。
• どのくらい力がかかると壊れるのか？
• どのくらい力がかかると形が変わるのか？
• どのくらい変形すると元に戻らなくなるのか？

5. 力と変位のよく知られた関係
• Robert Hooke: “Ut tensio, sic vis” (1676)
• 「力と変位は比例する」 (Hooke’s law)
• ばねの方程式
𝐹 = 𝑘𝑥
• 単振動の運動方程式
𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

6. ばねに限らず
• 固体っぽい何かを引張るときの、
力と変位の関係を知りたいときあるよね？
• 両端を力𝑊でぐっと引張られている、長い棒がある。
• 中の様子を見てみよう。
※端部はややこしいので考えない。 cf. St. Venant’s principle
𝑊 𝑊

7. 応力 (stress)
• 断面積𝐴のこの断面にかかる力𝐹は、𝐹 = 𝑊が自然な考え。
• すると、この断面で単位断面積あたりにかかる力𝜎を表せる。
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
𝑊
𝐴
• この𝜎を「応力」という。単位は圧力と同じ。
𝑊 𝑊
𝐹 𝐹
𝐴

8. ひずみ (strain)
• もともと長さ𝑙だった棒が、 Δ𝑙のびて𝑙 + Δ𝑙になったとする。
• すると、単位長さあたりののびは次のようにあらわせる。
𝜀 =
Δ𝑙
𝑙
• この𝜀を「ひずみ」という。単位は無次元。
𝑙 Δ𝑙

9. 応力とひずみの関係
• 単位面積あたりの力 vs. 単位長さあたりののび
• Hooke: “Ut tensio, sic vis!”
𝜎 = 𝐸𝜀
• 比例定数𝐸は縦弾性係数と呼ばれる。別名、ヤング率。
• ゴム： 0.1GPa （ひずみが小さいとき）
• ポリプロピレン： 2GPa
• 鉄鋼： 200GPa
• ダイヤモンド： 1000GPa （すべて室温での概算値）
• さて、力とのびの関係は： Δ𝑙 =
𝑙
𝐸𝐴
𝑊

10. 縦がのびれば、横がちぢむ
• 縦の長さが𝑙 → 𝑙 + Δ𝑙に、横の長さが𝑤 → 𝑤 + Δ𝑤に
変化したとすると、縦のひずみと横のひずみの比は？
𝜈 = −
Δ𝑤/𝑤
Δ𝑙/𝑙
• この𝜈はポアソン比と呼ばれる。
• ゴム： 0.5 近く ← 上限は0.5（体積一定の場合）
• 金属やプラスチック： 0.3 前後
• コンクリート： 0.2 前後
• ただし近年の科学技術の発達に伴い、
縦にのびると横にものびる材料も現れている。

11. ここまでのまとめ
• 以上が「引張」の材料力学と、関連する定数の話
• 他によく出てくるのは…
• 曲げ： 「パスタは曲げに弱い」でおなじみ。
• ねじり： チョークをねじってみよう。
• 熱： 温度が上がると膨張しようとする。
• 座屈： 細長いものを圧縮すると、ぐにゃっとつぶれる。
• 微小変形であれば、重ね合わせの原理が適用できる。

12. 弾性と塑性
• Hooke’s lawは常に成立しない。
• 例：ばねを伸ばしすぎると、元の長さまで戻らなくなる。
• 「降伏」が起きて塑性変形したため。
• 弾性では、金属原子の結晶構造
(bcc, fcc etc.) は変わらないが、
その格子間隔が変化している。
• 塑性では、結晶を構成する原子が
流動している（転位）。
応力‐ひずみ線図（概略）
𝜀
𝜎
降伏
破断

13. 弾性論から有限要素法へ
• 任意の形状や物性の材料に対し、任意の荷重をかけたときの
任意の位置での応答を理論的に求めるのは、とても大変だ。
• 単純な引張でも、端部や塑性変形などは扱いづらい。
「シミュレーションでいいじゃない」 (1950s)
• 背景： 近年の科学技術の発達に伴い、数万やそれを遥かに
上回るオーダーの行列の計算が短時間でできるようになった。

14. 有限要素法 (Finite Element Method)
• 材料を有限個の体積（要素）の集まりとしてとらえ、
隣り合う要素の間の関係から方程式を立てる。
• 方程式への入力： 材料定数、境界条件（荷重や変位など）…
• 方程式からの出力： 応力、ひずみ、変位…
• 微分方程式ではなく、差分法に基づく差分方程式で解く。
• 複数の材料でできたものを、材料が複雑につながったものと
考えれば、パーツの集合体もまとめて解析できる（構造解析）。
• なお、差分方程式が立てられればほかの分野でも使える。
• 振動、流体、熱、電磁場 etc.

23. ※境界条件を間違えた

24. 研究室
Our Laboratory

25. 中村研究室
• 中村春夫教授（と秘書）と学生6名の小さな研究室。
• 機械制御システム専攻（機械知能システム学科）、I1-4F
• 研究分野
• 材料力学、およびそれにかかわる逆問題
• 安全と安心
• ゼミは研究報告や英論文の和訳のほかに…
• 哲学ゼミ： 「いまを生き延びるための哲学」に近いがサンデルとは違う
• 人間ゼミ： 実際に味わった生の感動、深い体験、悩みなどを題材に、
学生が自由に発表し議論を交わす輪講 （ウェブサイトより）

26. 哲学ゼミ
• 教授が哲学についてひたすら語るゼミ。
• 学生がテキストを読むが、尐し読むたびに長く語られる。
• 「ゲシュタルトクライス」
• ヴァイツゼッカー、西田幾多郎、木村敏
• 「上に立つ」とはどういうことか。
• 変わること、変えることはとても大事だ。
• 春夏秋冬、生死
導かれる安易な結論：
掃除をしよう。規則正しく生活しよう。まじめに生きよう。

27. 複屈折概説
Birefringence

28. 複屈折とは
• 屈折率が複数の値をとること。それによって…
• 媒質内での光速が変わる。
• 媒質の向こうにあるものが二重に見える。
• 光が2つの振動面に分かれて伝播する。
• 2つの振動面の間に位相差が生じる。
• 位相差による干渉縞を、2枚の「偏光板」を通して
観察することができる（右図）。
• 知らない人に言葉で説明する必要があるときは、
「A. T. フィールドみたいなもんだよ！」がおすすめ。

29. 干渉縞ができる理由 (1)
• クロスニコル（暗視野）。光は𝑧方向に伝播する。
1. 偏光板を通り、光の振動面がある面（𝑥1 𝑧平面）にそろう。
2. 光が複屈折を持つ媒質に入射すると、
その振動面はある直交する2平面（𝑥2 𝑧, 𝑥2⊥ 𝑧平面）になる。
なお、この振動面は媒質中で連続的に変化（回転）しうる。
3. 出射時の振動面は𝑥3 𝑧, 𝑥3⊥ 𝑧平面で、また媒質を通過する
間に、2つの振動面の間で複屈折による位相差𝛿が生じた。
4. 光学特性が伝播方向で均一だった（または薄い）ため、
振動面は変わらなかったとする。 i.e. 𝑥3 = 𝑥2, 𝑥3⊥ = 𝑥2⊥
5. 最後に偏光板を通り、振動面が𝑥1⊥ 𝑧平面に制限された。

30. 干渉縞ができる理由 (2)
各段階での振幅
(1) 𝐴 𝑥1
= 𝑎 sin 𝜔𝑡 とする。
(4) 𝐴 𝑥3
= 𝑎 cos 𝜙 sin 𝜔𝑡
𝐴 𝑥3⊥
= −𝑎 sin 𝜙 sin(𝜔𝑡 + 𝛿)
(5) 𝐴 𝑥1⊥
= −𝑎 sin 2𝜙 sin(
𝛿
2
) cos(𝜔𝑡 +
𝛿
2
)
光の強度の変化： 𝑎2 → 𝑎2 sin2 2𝜙 sin2(
𝛿
2
)
したがって、強度がゼロになるのは、
(1) 𝜙 = 𝑛𝜋/2 材料の異方性、偏光板の角度に依存
(2) 𝛿 = 2𝑚𝜋 材料の厚さや光の波長に依存
𝑥1⊥
𝑥𝑦平面
𝑥1
𝜙
𝑧

31. 複屈折が生じる理由
• （誘電率 or 屈折率 or 応力）テンソルのゆがみ。
• 結晶構造の分極、分子配向による分極
• 応力によるゆがみ
• OPP : oriented polypropylene
• 成形時に引張って「配向させたポリプロピレン」
• 配向するとその方向のヤング率が上がる（引張ってものびにくくなる）。
• 応力による複屈折： 光弾性（こうだんせい）
• スプーンは（たぶん）射出成形で作られたが、あのように融液が流れて
固まったのではなく、冷却の不均一さに起因する残留応力が内部に分
布していると考えられる。