презентацлек

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
Слайд №1
Теория систем и системный анализ – это научная дисциплина,
разрабатывающая общие принципы исследования сложных
объектов с учетом их системного характера, методология
исследования объектов посредством представления их в
качестве систем и анализа этих систем.
Теория иерархических систем – математическая теория,
исследующая
совместное
поведение
элементов
многоуровневой
иерархической
структуры.
Рассматривается «цепочка» из многих элементов, где на
каждом уровне имеется только один элемент – «начальник»
по отношению к элементам нижнего уровня, но
«подчиненный» по отношению к верхним уровням. Каждый
элемент имеет свои формализованные критерии, связанные
с его местом в структуре и его интересами, причем выбор
возможных действий, ограниченный некоторым числом
заданных альтернатив, определяется «управляющей»
информацией сверху и информацией, поступающей от
следующих звеньев снизу.

Слайд №2
ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ И СИСТЕМНОГО
АНАЛИЗА
В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ
Категории систем по характеру иерархического расположения
образующих систему элементов:
1. Одноуровневые одноцелевые системы.
2. Одноуровневые многоцелевые системы.
3. Многоуровневые многоцелевые системы.
Виды систем по количеству вариантов реализации:
1. Однорежимные системы.
2. Многорежимные системы.

Слайд №3

Классификация систем на основе их сложности:
1. Морфологические

системы
–
такие,
которые
при
помощи
сети
структурных

описываются
взаимосвязей.
2. Каскадные системы – показывают пути прохождения
вещества и энергии (информации) в системе.
3. Системы
типа
действие-реакция
объединяют
указанные системы и показывают способ, которым
структура привязана к процессу жизнедеятельности.
4. Управляющие системы – это системы, подобные
указанным в п.3, в которых основные компоненты
контролируются человеком.

Слайд №4

Классификация систем на основе взаимодействия с
внешней средой:
1. Изолированные – это такие системы, границы которых
закрыты для экспорта и импорта вещества и энергии
(информации).
2. Закрытые – это такие системы, границы которых
закрыты для экспорта и импорта вещества, но открыты
для энергии (или информации).
3. Открытые – обмениваются и веществом, и энергией
(информацией) с внешней средой.

Слайд №5
Классификация развивающихся экономических систем:
Развивающиеся экономические
системы

Социально-экономические
системы

Экономикополитические
системы

Природно –
экологические
системы

Экономикодемографические системы

Технико-экономические
системы

Региональные
системы

Отраслевые
системы

Межотраслевые
системы

Слайд №6
Существенные характеристики, присущие всем иерархическим системам:
последовательное вертикальное расположение подсистем, составляющих данную
систему; приоритет действий или право вмешательства подсистем верхнего уровня;
зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения
нижними уровнями своих функций.
Полная система
Вход

Подсистема
уровня n

Вмешательство
Вход

уровня n-1

Вход

уровня 1

Выход
Обратная
связь
Выход
Обратная
cвязь
Выход

Слайд №7
Основные виды иерархий
Введем три понятия уровней: а) уровень описания или абстрагирования; б)
уровень сложности принимаемого решения; в) организационный уровень.
Страты. Уровни описания или абстрагирования
Вход

Страта 2.
Матеметические
операции

Страта 3.
Экономические
факторы

Выход


Вход

Страта 1.
Физические
операции

Обратная
связь

Страта 2.
Обработка информации и
управление

Выход

Обратная
связь

Управление
Сырье

Страта 1.
Физические процессы

Готовая
продукция

Слайд №8
Некоторые общие характеристики стратифицированного описания
системы:
1. Выбор страт, в терминах которых описывается данная система, зависит от
наблюдателя, его знания и заинтересованности в работе системы.
2. Аспекты описания функционирования системы на различных стратах, в
общем случае, не связаны между собой, поэтому принципы и законы,
используемые для характеристики системы на любой страте, не могут быть
выведены из принципов, используемых на других стратах.
3. Существует асимметричная зависимость между условиями
функционирования системы на различных стратах.
4. На каждой страте имеется свой собственный набор терминов, концепций и
принципов.
5. Понимание системы возрастает при последовательном переходе от
одной страты к другой: чем ниже мы опускаемся по иерархии, тем
более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы
поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы .

Слайд №9

Многоэшелонные системы – организационные иерархии.
Иерархия принятия решений

Решающий элемент

Координация

Обратная связь

Управление

Обратная связь
Процесс

Слайд №10
1. Планирование перевозок грузов – важнейшая задача, занимающая особое место среди
других проблем планирования. Пусть используется транспорт нескольких типов,
обслуживающий несколько маршрутов, причем перевозки по каждому из маршрутов
заранее заданы. Известно, сколько груза может перевезти единица транспорта каждого
типа на каждом из маршрутов и сколько единиц транспорта каждого типа имеется.

(

)

1, n,
1, m
Пусть u ij – количество транспорта i-го вида на j-м маршруте i = j = ; l ij –
количество груза, который может перевезти единица i-го транспорта на j-м маршруте; a i
– число единиц транспорта i-го вида; b j – количество груза, который необходимо
перевезти на j-м маршруте. Тогда условия полной перевозки груза будут иметь вид:
n

l ij u ij =
∑ bj,
i=
1

j =.
1, m

Условия использования лишь того транспорта, который имеется в наличии, имеют вид:
m

u ij ≤
a
∑i ,
j=
1

i=
1, n.

Кроме того, имеется условие неотрицательности величин

u ij ≥ i =,
0,
1, n

j =.
1, m

Цель при планировании перевозок грузов – обеспечить минимум затрат на
перевозку, поэтому при выборе плановых решений за критерий оптимальности
принимается следующий:
n, m

J () ∑ →
u =c ij u ij
min,
i, j =
1

(1.1)

где c ij – стоимость эксплуатации единицы i-го транспорта на j-м маршруте.

Слайд №11
2. Проблемы управления запасами возникают при рассмотрении разнообразных
экономических объектов. При анализе розничной торговли рассматриваются оптимальные
запасы некоторого товара в магазине. Управлять запасами приходится и на производстве,
при планировании работы любой производственной единицы, т. к. чрезмерно большой
запас приводит к нерациональному использованию оборотных средств, а нехватка сырья
или инструмента – приводит к перебоям в производстве.
Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.
Количество продукта на складе в момент времени t обозначим u ( t ) , при этом продукт
расходуется с постоянно заданной интенсивностью λ . При управлении запасами обычно
принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса u1 такой, что при
достижении этого уровня запаса посылается заказ на пополнение запаса в количестве

u∗ > 0.

Цель исследования систем хранения запасов состоит в выборе наилучшей
стратегии управления запасами. В задачах управления запасами оптимальными
вариантами управления являются те из них, на которых издержки достигают наименьшего
значения.
Следовательно, цель управления запасами – обеспечить минимальные издержки, поэтому
критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет
вид:

T


∗
c 0 + c1u + ∫ c 2 u ( t ) dt  → min,

(1.2)

0

где T – время производственного цикла; с 0 – стоимость издержек, не зависящая от
объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; с1 –
стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; с 2 – стоимость

1
J [u ] =
T

издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.

Слайд №12
3. При стратегическом планировании организации важной задачей является развитие
материально-технической базы фирмы. При этом цель оптимальности процесса развития
материально-технической базы фирмы можно задать следующим (критерием)
функционалом [5]:
T

J =α∫Vн2 (t )dt −β (T ) → min,
V

(1.3)

0

,
где α β – весовые коэффициенты (α + β =1, α ≥0, β ≥0 ), Vн , V – неосвоенные ОПФ
(капитальные вложения) и освоенные ОПФ соответственно.
Экономический смысл критерия оптимальности заключается в следующем. Минимизация
первого слагаемого в выражении функционала (1.3):
T

J1 =α∫Vн2 (t )dt
0

отражает требование максимальной экономии капитальных вложений. Второе слагаемое в
выражении функционала (1.3)

J 2 =− V (T )
β
V
и его минимизация равносильно максимизации β (t ) значения ОПФ с весовым
коэффициентом β в конце планового периода (0, T ) .

Таким образом, в функционале (1.3) отражены два противоположных требования к
процессу – экономии капиталовложений с одной стороны и увеличению ОПФ
предприятия – с другой.

Слайд №13
4. Выход на потребность в продукции, обусловленной рыночным
спросом, за минимальное время является одной из важных задач
коммерческой организации.
Пусть
– потребность в продукции предприятия, которая здесь
считается известной функцией времени в рассматриваемом интервале
времени.
Здесь в отличие от предыдущей задачи интервал
заранее не
задан. Но задана потребность в конечной продукции как функция времени,
которой требуется достичь как можно быстрее.
Следовательно, целью данной задачи является минимальное время
достижения потребности в продукции, а критерий оптимизационной задачи
примет вид:
(1.4)

Слайд №14
5. При стратегическом планировании важной задачей является
распределение ресурсов между производственными подразделениями.
Пусть некоторая функция Эi (Vнi ) отражает увеличение выпуска
продукции на i-м предприятии за счет реализации на нем капитальных
вложений в объеме Vнi . Показатель Эi (Vнi ) является критерием
эффективности капитальных вложений [5].
Пусть количество предприятий данной организации n, а заданный фонд
капитальных вложений A 0 ≤Vнi ≤ A, i =1, n , при этом в оптимальном плане
весь фонд капитальных вложений должен быть полностью реализован.
Предположим, что все функции Эi (Vнi ) возрастающие, то есть
dЭi dVнi >0, i =1, n , то есть эффективность реализации капитальных
вложений возрастает с увеличением их объема.
Математическая модель распределения капитальных вложений между
предприятиями имеет следующий вид:

(

n

∑Эi (Vнi )
i=
1
n

V
∑ нi
i=
1

)

→ max,
(1.5)

= A, Vнi ≥0, i =1, n.

Следовательно, цель распределения капитальных вложений между
предприятиями – добиться максимума суммарной эффективности при
распределении средств между подразделениями организации.

Слайд №15
6. Как известно, процесс контроля состоит из установки стандартов (установки
конкретных целей), измерения фактически достигнутых результатов и проведения
корректировки в том случае, если достигнутые результаты существенно отличаются от
установленных стандартов.
Отклонения от режима планового развития, вызванные изменениями внешней
окружающей среды организации, характеризуются следующими величинами:

∆V ( t ) = V ( t ) − V ∗ ( t ), ∆Vн ( t ) = Vн ( t ) − Vн ∗ ( t ),
где символ (*) означает режим планового развития.
Тогда целью процесса стабилизации планового развития организации
является минимизация отклонения от режима планового развития ОПФ
организации при минимальных затратах инвестиций. Критерий процесса
стабилизации в этом случае примет вид:
∞

[

]

J = ∫ α∆V 2 ( t ) + β∆Vн2 ( t ) dt → min,
0

где α, β – весовые коэффициенты (α > 0, β > 0, α + β = 1) , T = ∞ –
бесконечный горизонт планирования.

(1.6)

Слайд №16

7. Главная задача организации, занимающейся бизнесом – это получение определенной прибыли пр
ограниченных затратах. Эта ее задача отражается в таких целях, как рентабельность и производительность. Поэтом
целевым критерием системы будет норма рентабельности организации, которая имеет вид [18]:
(1.7)
где

– средняя стоимость ОбПФ,

– средняя стоимость ОПФ,

– цена единично

продукции в момент времени t,
– валовой выпуск в натуральном измерении,
– стоимость ОПФ в момен
времени t,
– стоимость ОбПФ в момент времени t, T – интервал времени (например, один год),
– коэффициен
амортизации ОПФ.
8. Цель оптимального развития экономики однопродуктовой макроэкономической системы – удовлетворени
потребности общества какого-либо региона в данном продукте. Поэтому целевым параметром (критерием) системы
является критерий, предусматривающий рост потребления и возможность наращивать определенный экономически
потенциал к конечному моменту времени, который может быть выражен функционалом следующего вида [5]:
(1.8)

Здесь первое слагаемое представляет собой суммарное взвешенное потребление на промежутке [0,T]
терминальный член имеет смысл накопления производственного потенциала в конечный момент времени. Весовы
коэффициенты
говорят о приоритете, который имеет каждое из этих слагаемых. Если отдается предпочтени
потреблению, то
, а если накоплению производственного потенциала, то
. Подынтегральное выражени
– дисконтированное потребление,
– функция полезности, – коэффициент дисконтирования,
стоимость ОПФ в момент времени T и непроизводственное потребление
.

Слайд №17
Логистическая функция описывается уравнением вида [6]:
(2.1)
где
– численность популяции в единице объема выпуска системы в момент времени t;
– максимальная численность популяции; a, b – константы.
X
Из рис. 2.1 видно, что логистическая кривая начинается в
точке
, симметрична
и имеет точку перегиба с координатами
Константа a определяет положение логистической кривой по
времени (сдвиг влево или вправо),
константа b – наклон кривой. Эти
константы очень легко вычисляются по формулам:

t
0

t1

ln a/b
Рис. 2.1

.

(2.2)

t2

Слайд №18
В модели Риденура предполагается без особой строгости экспоненциальный
закон роста, как общий закон технико-экономического развития. При этом
считается, что степень признания какого-то нового продукта (технологии)
обществом пропорциональна числу потенциальных производителей,
ознакомившихся с ним:
dL
=
AL ,
(2.9)
dt
где A – коэффициент пропорциональности.
Коэффициент A определяется как вероятность того, что человек,
впервые ознакомившись с технологией, станет потенциальным ее
потребителем. Эта вероятность аппроксимируется соотношением:
L 
A=
a
1 −
,
(2.10)


L
 max 
где a – константа. Подставляя выражение (2.10) в формулу (2.9), получим
 L 
dL
=
aL
1 −
.
(2.11)


dt
L
 max 
Решением уравнения
следующего вида:

(2.11)

является

логистическая

Lmax
L( =
t)
,


Lmax
 1 −
1 + − (at )
exp


L0



L(t =
t)
где L0 = 0 – начальное значение величины.

функция
(2.12)

Слайд №19

Свойства ПФ. Приведем общие свойства производственных функций.
0
ПФ всегда неотрицательна: F (V , L, t ) ≥ .
ПФ непрерывна и обращаема в нуль. Будем полагать, что функция
F (V , L, t ) непрерывна по V и L и F (0, L, t ) =F (V ,0, t ) =0 .
ПФ – монотонно возрастающая функция по каждому из аргументов:
∂F
∂F
>0,
>0.
∂
V
∂L
ПФ – дважды дифференцируемая с убывающими темпами роста:
∂2 F
∂2 F
<0,
<0.
2
2
∂
V
∂L
ПФ обладает свойством аддитивности, то есть
F (V1 + 2 , L1 +L2 ) ≥F (V1 , L1 ) +F (V2 , L2 ).
V
Объединение усилий двух систем дает результаты, по крайней мере, не
худшие, чем результаты каждой системы в отдельности. Условия
аддитивности оказываются несправедливыми, если имеется «дефицитность»
факторов производства, которые не учитываются в данной модели.
ПФ обладают свойством мультипликативности, которое дает
возможность отразить эффект масштаба производства. Пусть эти факторы
изменяются в n раз, тогда
+
F (nV , nL, t ) =n α βF (V , L, t )

Слайд №20
1.
Коэффициенты
ресурсам:

Характеристики ПФ.
эластичности
выхода

системы

по

входным

.
2. Предельная норма замещения ресурсов. Под предельной нормой
замещения ресурсов понимают количество фондов, которое необходимо
дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу, если выпуск
продукции
остается
неизменным.
Предельная
норма
замещения
S
определяется из уравнения изокванты (линия равного выпуска продукции):

Отсюда
.
Формула (2.25) показывает взаимосвязь между ресурсами V, L. Знак «–
» означает, что с увеличением V, L должно убывать, чтобы обеспечить
постоянный выпуск системы.
3.
Эластичность
замещения
системы
определяется
следующим
образом:
.
Введем дополнительные обозначения:
– фондовооруженность
труда;
– фондоотдача;
– производительность труда.
Тогда эластичность замещения системы определится так:
.
Следовательно,
эластичность
замещения
системы
показывает,
на
сколько
процентов
надо
изменить
фондовооруженность
системы
при
сохранении
постоянства
выпуска,
чтобы
предельная
норма
замещения
изменилась на 1%.

Слайд №21
Общее дифференциальное уравнение для определения различных
производственных функций.
∂F
∂F
X= V+
L,
∂
V
∂L
∂F
∂F
r = ,w =
где
– предельная производительность факторов
∂
V
∂L
производства.
Выведем формулу для эластичности замещения:
f
−
1
vf v′
f ′(vf ′ −f )
S v
σ=
=
= v v
,
′
∂S ∂v ( f v′)2 −f f v′
vf f v′
′
−
1
2
( f v′)
f ′(vf ′ −f )
σ= v v
.
′
vf f v′
Это общее дифференциальное уравнение для определения ПФ.
Перепишем его в более удобной форме:
σ f v′ −v( f v′)2 + f v′f =0.
vf ′

Слайд №22
= 0.
0
Производственная функция Леонтьева σ, t =Из уравнения (2.30)
получим:
− v′ +f =
v( ) f v′ 0
f 2
и, следовательно, имеем два решения:
=
f = const
а) f v′ 0, ⇒a0 = .
df dv
′ f =⇒
vf v
=, ⇒a1v.
f =
б) − + 0,
f
v
Переходя к полным переменным, получим:
a ) X == ;
Lf a0 L
V
=,
a1V
L
X
X
то есть L =a0 , V =a1 .
Найдем уравнение изокванты ПФ Леонтьева из условия X = const = X0
и получим
L = a 0 ,V = a1 .
X0
X0
б ) X ==
Lf a1L

Слайд №23

σ
σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σσ
σ

Производственная функция Кобба – Дугласа. Рассмотрим сначала общий
≠
0,
≠
1.
случай, когда

2
2u
2u
′
′ ′
′ .
( fu − f fu e u =
e u f e − )(e −−
f u′ e u f u ) +
−
0
−
u
Сокращая на e
, получим:
′
′2
′
f f u′
+ f u ).
()−
1− =
f fu
( 0
Сделаем еще одну замену переменных
dx ′
dP
dP dx
dP
′(
xu = u =
P ()
x u, t )
,
=,
=
P
du
du
dx du
dx
′
′
′
′
′
x = xu =
f ,
xu =
fu ,
f u′
С другой стороны, известно, что
.
Следовательно, выражение можно переписать так:
dP
f P
+2 =
() P
1− ,
f P −
0
dx
dP
f
+ 0,
() =
1− P ≠
f −
P
0.
dx
Теперь уравнение (2.35) можно свести к полному дифференциалу,
воспользовавшись методом интегрирующего множителя, предварительно
записав его в следующем виде:
dP
x
+ .
() =
1−
x −
P
0
dx
Решение уравнения (2.36) будем искать в виде:
P =
x +
Cx 1
.
Подставив значение P, будем иметь
dx
=
x +
Cx 1
.
du
Рассмотрим один из возможных случаев:
dx
1+
C
= ()C1 e (u .
1, t = , x =
0,
=
x 1+ )
C
du
f ( ln v ,
v)
,u =
Учитывая, что x =получим
1+
C
V  C −

C)
⇒ 1V 1+
Lf = C
LC1 
=
L C
f ( 1 e ( ln v = F =
v ) 1+ 1+
= 1v C ,
C
C

L

= функцию Кобба – Дугласа:
1+
C , получим
или, полагая
X =
C1V
L1−
.

σ
α
α
α

σ

Слайд №24

Обобщение производственной функции Кобба – Дугласа, функция
Солоу:
X = αβ γ µ
AV L S R ,
,β ,
где A,α ,γµ константы.
–
≠
0,
Теперь рассмотрим более сложный случай: σ 1, t =
dx
= + 1 σ это уравнение Бернулли.
x Cx
–
du
dx
dx
dv
=+ 1 σ ⇒
x Cx
,
= ,
1σ
dv
v
x+
Cx
а это уравнение легко интегрируется, и решение в неявном виде будет:
1σ
1σ
x 1− =0 v 1− + .
a
a1
V
X
где a 0 , a1 – константы. Для получения ПФ подставим v = L , x = L в
уравнение (2.41), получим:
1σ
1σ
X 1−
V 1−
−0 1− = .
a
a1
1σ
L1−
L 1σ
v

1
=ρ
.
Обозначим 1 −σ − Тогда получим:
1
ρ a
ρ−ρ
X = V − + L−
a
.

(

0

1

)

Это
производственная
функция
с
постоянной
эластичностью
замещения (ПЭЗ).
Обобщением для ПФ ПЭЗ на случай n переменных служит
производственная функция Удзавы:
−
1 β
X =α − + X − + + X −
A
X β α β ... α β
,

(

где

1

1

2

α 2 ,..., α– константы, σ 1
=
1 ,α
n

2

n

n

)

–
1+
β эластичность замещения системы.

Слайд №25
Экзогенная модель инновационной деятельности
Инновационная деятельность проявляется в том, что на смену старой
технологии приходит новая. Технология описывается производственной
функцией системы, следовательно, можно выразить ИД сменой
производственных функций.
В простейшем случае эффект от ИД можно выразить, введя явную
зависимость ПФ от времени:
X =, L, t ) dX dt >
F(
V
,
0.
Здесь учитывается фактический тренд ПФ. Учитываемая таким
образом инновационная деятельность называется экзогенной.
Нейтральная экзогенная модель ИД. Наряду с воздействием ИД на
систему в целом, может быть выдвинут ряд гипотез относительно ее
воздействия на переменные:
f v′f ′ f )
( −
v
df
df
f
r = w =v , S = −σ v
,
f −
v,
=
′ .
dv
dv
df dv
vf f v′
Модель ИД называется Φ
-нейтральной, если существует гладкая
функция, удовлетворяющая уравнению
Φ w, S , σ.
(, v, r ,
x
)0
=

Слайд №26
Нейтральная модель ИД по Хиксу. Гипотеза: при фиксированной
V
фондовооруженности v = L =const предельная норма замещения S =const .
f (v, t ) = (t )g (v )
T
или, переходя от относительных переменных к полным, получим
F (V , L, t ) =T (t )G (V , L ) .

Нейтральная модель ИД по Харроду. Гипотеза: при
фиксированной фондоотдаче (эффективности капиталовложений) величина
предельной производительности основных фондов (фондоемкость) остается
постоянной.
−
1
Переходя к полным переменным и обозначая q через g, получим
TL V
1 TL V
f =q −   , ⇒ f =g   , ⇒ F =G (TL, V ) .
V L
V L
Нейтральная модель ИД по Харроду является трудосберегающей.
Нейтральная модель ИД по Солоу. Гипотеза: производительность труда
постоянна при постоянстве предельной производительности живой силы:
X
dF
x(v, t ) = = f =const, w = =const,
L
dL
или
f =const, w = f −vf v′ =const,
−
1
Обозначая q через g , получим
f (v ) =g (vT ), ⇒ F =G (VT (t ), L ).
Нейтральная модель ИД по Солоу является капиталосберегающей.

Слайд №27
Эндогенная модель инновационной деятельности

ρ
dX ∞∂ X ∂ V ∂ X ∂ L ∂ X ∂ ξ 
 ρ ρ + ρ ρ + ρ
 τ.
=∫
d
∂ V ∂

dt 0  ρ
t
∂ L ∂
ρ
t
∂ξ ∂ 
ρ
t
Уравнение получило название производственный функционал. Задача
моделирования эндогенной ИД сводится к вычислению этого
производственного функционала.
Для вычисления интеграла необходимо задаться типом нейтральности
эндогенной ИД, действующей на систему. Рассмотрим два случая:
∂
X
X = ξ;
(2.58)
∂
ξ
∂
X
∂
X
X = ξ+ V.
(2.59)
∂
ξ
∂
V
Тип нейтральности (2.58) определяет эндогенную ИД, нейтральную по
Хиксу, а тип (2.69) – ИД, нейтральную по Харроду.

Слайд №28
Моделирование технико-экономических систем
Моделирование простого производственного объекта
Рассмотрим
производственный
объект
(ПО),
производящий
однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и
оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая
продукция в натуральном или денежном выражении.
Производственный объект, выпуск которого измеряется одной
скалярной функцией, а вход двумя скалярными функциями, называется
простым производственным объектом.
Vвн

1
V
Tос

1
V
D +λ

V

1
mV

Y

Wвн

1
W
Tос

1
W
D +λ

W

1
mW

X

ОМ

U

Слайд №29
В соответствии с функционально-структурной схемой движение в процессе
производства ОПФ и ОбПФ и выпуск готовой продукции можно записать так:

dV (t )
1
[
=− V V (t ) + V Vвн (t ), V (t ) t = = 0 , t ∈0, T ],
λ
V
0
dt
Tос
dW (t )
1
=− W W (t ) + W Wвн (t ), W (t ) t = = 0 ,
λ
W
0
dt
Tос
X (t ) = (t ) m W (t ) , Y (t ) = (t ) mV (t ) ,
W
V

)
U (t ) =(1 −ρ X (t ) +ρ (t ),
Y
1
Y
 при X (t ) = (t ),
0
Y
 при X (t ) < (t ),

ρ=

V
W
V
W
где λ , λ – коэффициенты выбытия ОПФ и ОбПФ; Tос , Tос – время
освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли; T – горизонт планирования.

Слайд №30
Моделирование сложного производственного объекта
Vн

I

БЗV

Vвн

Производство

Wвн

Wн

U

P

RZ

Т

БЗW

V
b1

1
V
D +λ
1

W
b1

Vн+Vвн

Z

RU

1
W
D +λ
1

Y1
X1

НЭ 1

U1

С1
U

V
bn

Wн+Wвн

W
bn

1
V
D + λn

1
W
D +λn

Yn
Xn

НЭ n

Un

Cn

Слайд №31
Математическая модель отрасли с учетом структур ее подразделений:

dYi (t )
[0 ,
= λYi (t ) +iV [ н (t ) + вн (t )] Yi (t )t = =0i , i =, n, t ∈, T ]
−V
b V
V
,
Y
1
i
0
dt
dX i (t )
= λ X i (t ) +iW [ н (t ) + вн (t )] X i (t )t = = 0i , i =, n,
−W
b W
W
,
X
1
i
0
dt
(1 ρ
U i (t )= − )X i (t )+ Yi (t )
ρ ,
n

U (t ) = C iU i (t )
.
∑
i=
1

Математическая модель замкнутого производственного объекта в
матричной форме:
dY (t )
= Λ (t )+ V [ н (t )+вн (t )] Y (t )t = =0 ,
−V Y
B V
V
,
Y
0
dt
dX (t )
= Λ (t )+ W [ н (t )+ вн (t )] X (t )t = = 0 ,
−W X
B W
W
,
X
0
dt
U (t )= − )X (t )+ Y (t ),
(1 ρ
ρ
U (t ) = (t )
CU ,
Wн (t ) =U (t )
a
,

Vн (t ) = ( − ) (t )
d1 aU ,

P(t ) = − )( − ) (t )
(1 d 1 a U .
Эти уравнения получены без учета запаздывания в освоении ОПФ и
I
T
ОбПФ, т. е. когда Vн (t )=(t ), Wн (t )= (t ).

Слайд №32
Моделирование запаздывания при освоении капитальных вложений
и производственных затрат
Математическую модель замкнутого производственного объекта с
учетом инерционного запаздывания ввода основных фондов и процесса
производства в следующем виде:
dY ()
t
=V Y () B V Vн () Y ()= Y0 ,
− t + t,
Λ
t t 0=
dt
dX ()
t
=W X () B W Wн () X ()= X 0 ,
− t +
Λ
t,
t t 0=
dt
dVн ()
t
′
=I () Vн () Vн ()= Vн 0 ,
ζ t −t ] t t 0 =
[
,
dt
dWн ()
t
′
′
[
=T () Wн () Wн ()= Wн0 ,
ζ t −t ]
,
t t 0=
dt
)
U () ( − () ρ ,
t = ρt +()
1
X
Yt
1 при
t =,
t
 X () Y ()
ρ
=

0 при X () Y ()
t <,
t

U () CU ()
t = t,

T () aU ()
t =t,

′ ин ′
′
=′ ′ ин
=′
где ζ1 τ, ζ 1 τ.

I () d ( − ()
t = a) t ,
1
U
( U
P() ( −1 − ()
t = d ) a) t ,
1

Слайд №33
Моделирование многоотраслевой экономики
Математическую
модель
в
матричной
форме
замкнутой
многоотраслевой экономики:
dYi ( t )
= −ΛVi Yi ( t ) + BiV Vн i ( t ) + Vвн i ( t ) , Yi ( t ) t =t = Y0i , i = 1, s,
0
dt
dX i ( t )
= −ΛW X i ( t ) + BiW Wн i ( t ) + Wвн i ( t ) , X i ( t ) t =t = X 0i , i = 1, s,
i
0
dt
U i ( t ) = CiU i ( t ) , U i ( t ) = (1 − ρ ) X i ( t ) + ρYi ( t ) , i = 1, s,

[

]

[

]

s

Wнi ( t ) = ∑ aij U j ( t ) , i = 1, s,
j =1


Vнi ( t ) = ∑ d ij U

j =1

s

s



l =1



j ( t ) − ∑ a jl U l ( t ) ,



Pi ( t ) = U i ( t ) − ∑ a ij U j ( t ) − ∑ d ij U

j =1
j =1

s

i = 1, s,
s

s

j



l =1



( t ) − ∑ a jl U l ( t ) ,


i = 1, s.

Слайд №34
Пример. Рассмотрим вышеизложенный подход к моделированию на
примере двухпродуктовой модели народного хозяйства.
Э К О Н О М И К А
Vн21
Vн11
V1вн

ОТРАСЛЬ 1

ОПФ1

Y1
U1

ОМ1

W1вн
ОбПФ1

Z1

RU1

V1

RV1

RZ1

X1

P1

Wн1
Wн11
Wн12

RW1
Vн12

ОТРАСЛЬ 2
Vн22
V2вн

W2вн

ОПФ2
U2

ОМ2
ОбПФ2

Z2

RU2

V2
RZ2

X2
Wн2
Wн22
Wн21

RW2

Рис. 2.12

RV2
P2

Слайд №35
Математическая модель в матричной форме замкнутой двухотраслевой
экономики:
dYi ( t )
V
= −Λi Yi ( t ) + BiV Vн i ( t ) + Vвнi ( t ) , Yi ( t ) t =t = Y0i , i =1, 2,
0
dt
dX i ( t )
W
= −Λi X i ( t ) + BiW Wн i ( t ) + Wвнi ( t ) , X i ( t ) t =t = X 0i , i =1, 2,
0
dt
U i ( t ) = (1 − ρ) X i ( t ) + ρYi ( t ), i =1, 2,
1 при X i ( t ) = Yi ( t ),
ρ =
0 при X i ( t ) < Yi ( t ),
U i ( t ) = CiU i ( t ), i =1, 2,

[

]

[

]

Wн1 ( t ) = a11U 1 ( t ) + a12 U 2 ( t ),

Wн 2 ( t ) = a21U 1 ( t ) + a22 U 2 ( t ),

Vн1 ( t ) = [ d11 (1 − a11 ) − d12 a21 ]U 1 ( t ) + [ d12 (1 − a22 ) − d11a12 ]U 2 ( t ),

Vн 2 ( t ) = [ d 22 (1 − a22 ) − d 21a12 ]U 2 ( t ) + [ d 21 (1 − a11 ) − d 22 a21 ]U 1 ( t ),

P1 ( t ) = [(1 − a11 )(1 − d11 ) + d12 a21 ]U 1 ( t ) − [ a12 (1 − d11 ) + d12 (1 − a22 ) ]U 2 ( t ),

P2 ( t ) = [(1 − a22 )(1 − d 22 ) + d 21a12 ]U 2 ( t ) − [ a21 (1 − d 22 ) + d 21 (1 − a11 ) ]U 1 ( t ).

Слайд №36
Динамическое моделирование экономической системы
с учетом деятельности инновационного объекта
Рассмотрим
производственный
объект
(ПО),
производящий
однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и
оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая
продукция в натуральном или денежном выражении. Зададим механизм
воздействия ИД на производственный объект в виде обратной связи с
помощью структурно-функциональной блок-схемы:
Vвн
Wвн

U(t)

ПО

V(t) W(t)
u(t)

СКБ
Величины Vвн (t ) и Wвн (t ) являются внешними поступлениями ОПФ и
ОбПФ в производственный объект, например, за счет получения банковского
кредита. Величина U (t ) – валовой выпуск (готовая
продукция)
подразделения отрасли в стоимостном или натуральном выражении
(
)
U (t ) =1 −ρ X (t ) +ρ (t ).
Y
Величина u (t ) – управляющее воздействие ИД на ПО, которое является
выходной величиной СКБ
u (t ) = (t )U (t ),
ξ

Слайд №37
Модель ПО с обратной связью по ИД:
dY (t ) V
[0
+ Y (t ) = V (t ), Y (t ) t = = 0 , t ∈ , T ],
λ
u
Y
0
dt
dX (t ) W
+ X (t ) = W (t ), X (t ) t = =X 0 ,
λ
u
0
dt
uV (t ) = V (t )Y (t ), uW (t ) = W (t )X (t ),
ξ
ξ
( ρ
U (t ) =1 − )X (t ) +ρ (t ),
Y
1
Y
 при X (t ) = (t ),
ρ=

0
Y
 при X (t ) < (t ),
или, исключая управления,
dY (t )
V
[0
=ξ (t ) − V Y (t ), Y (t ) t = = 0 , t ∈ , T ],
λ
Y
0
dt
dX (t )
W
=ξ (t ) − W X (t ), X (t ) t = =X 0 ,
λ
0
dt
(
)
U (t ) =1 −ρ X (t ) +ρ (t ).
Y

(
(

)

)

Слайд №38
Инновационная
деятельность
увеличивает
эффективность
использования внешних поступлений как основных, так и оборотных
производственных фондов:
dY () V
t
[,T ]
+ () u V () v вн () Y ()= Y0 , t ∈
Y t = +t ,
t
t t 0=
0 ,
dt
dX () W
t
+ () u W () w вн () X ()= X 0 ,
X t =t + t ,
t t 0=
dt
U () (− () Y ()
t = ) t +t ,
1
X

λ

λ

ρ

ρ

V
W
t =t
t =t
где vвн () Vвн ()Tос , wвн () Wвн ()Tос – потоки внешних поступлений ОПФ
V
() t , w t = t w t ; V W
t = t vвн () вн () W () вн () Tос , Tос – время освоения
и ОбПФ; v вн ()
неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли.

µ

Vвн

µ

1

µ
()
t
V

λ
ξ
V
D+
() V
t
u
1

V
Tос

W
µ
()
t

U

λ

W
D+

W
Tос

W

Y

ρ
1−
ρ

Слайд №39
В частном случае, когда величины внешних поступлений ОПФ и ОбПФ
и обобщенные показатели инновационной деятельности постоянны и
V
const и Wвн =
const , ξ =
const и
являются известными величинами ( Vвн =
W
ξ =const ), система уравнений примет вид:
V
dY (t )
exp(ξ t )
V
V
( λ
[
=ξ − )Y (t ) + V V Vвн (t ), Y (t ) t = = 0 , t ∈0, T ],
Y
0
dt
Tос m0
W
dX (t )
exp(ξ t )
(W λ
=ξ − W )X (t ) + W W Wвн (t ), X (t ) t = =X 0 .
0
dt
Tос m0
U (t ) =1 −ρ X (t ) +ρ (t ),
(
)
Y
1
Y
 при X (t ) = (t ),
ρ=
0
Y
 при X (t ) < (t ),

Аналитические зависимости мощности и выпуска ПО с учетом ИД
СКБ:

[(

)]

V
Y (t ) = 0 exp ξ − V t +
Y
λ

[(

Vвн

V
λ Tос mV
0

)]

V

W
X (t ) =X 0 exp ξ − W t +
λ

Wвн

{exp(ξ t ) −exp[(ξ

W
λ Tос mW
0
W

V

V

) ]}

− V t , t ∈0, T ],
λ
[

{exp(ξ t ) −exp[(ξ
W

(
)
U (t ) =1 −ρ X (t ) +ρ (t ),
Y
1
Y
 при X (t ) = (t ),
ρ=
0
Y
 при X (t ) < (t ),

W

) ]}

−W t ,
λ

Слайд №40
Структурно-функциональная динамическая модель
макроэкономической системы с учетом инноваций
Исходя из классических представлений теории управления,
предлагается новая функционально-динамическая модель, в которой
управляющая
роль
инновационной
деятельности
в
развитии
макроэкономической системы учитывается с помощью механизма обратных
связей. При этом новая функционально-динамическая модель развития
системы описывается нелинейными дифференциальными уравнениями
эволюционного типа.
W1
W2
Wm

F (W , ξ)

X(t)

ξ( t )

Φ( X ,W )

Аналитическое описание структурно-функциональной динамической модели:
X (t ) = F (W (t ), ξ(t ) ),
ξ(t ) =Φ(W (t ), X (t ) ),
F (W (t ), ξ(t ) ) ξ =0 = F (W (t ) ).

Слайд №41
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАЗВИВАЮЩИХСЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Исследование устойчивости развивающихся систем
Рассмотрим развивающуюся экономическую систему, описываемую дифференциальными нелинейными
уравнениями второго порядка следующего вида [6]:

dX i
= f i ( X ) , i = 1,2,
dt

где f i ( i = 1,2 ) – непрерывные функции, определяемые в некоторой области R
двухмерного евклидова пространства и имеющие в этой области
производные порядка не ниже первого. Состояние системы в каждый момент
времени определяется парой значений неизвестных ( X 1 , X 2 ) .
Под устойчивостью системы понимается свойство системы
возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения
возмущения, нарушившего указанное равновесие.

Слайд №42

В вопросах суждения об устойчивости развивающихся систем
имеют большое практическое значение общие теоремы
устойчивости, сформулированные А.М. Ляпуновым:
1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых
начальных отклонениях, если отрицательны все вещественные
части корней характеристического уравнения системы,
составленного для ее линейного приближения.
2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы
одна вещественная часть корня характеристического уравнения
ее линейного приближения положительна.
При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос
об устойчивости системы требует в каждом случае
дополнительного исследования.

Слайд №43
η2

η2

η1

а

η1

б

Слайд №44
η

2

v
Z2

u
η

Z1

1

Запишем теперь аналитические выражения для различных типов особых точек:
2
«фокус» ( λ 1 , λ 2 – комплексные величины) µ − 4∆ < 0,
«центр» ( λ 1 , λ 2 – чисто мнимые величины) µ = 0, ∆ > 0 ,
2
«седло» ( λ 1 ,λ 2 – вещественные величины различных знаков) ∆ < 0 , µ − 4∆ > 0,
2
«узел» ( λ 1 , λ 2 – вещественные величины одного знака) ∆ > 0 , µ − 4∆ > 0.
Если коэффициенты линейного оператора L зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра
будут соответственно изменяться µ и ∆ . При изменении соотношения между µ и ∆ происходит изменение фазового
портрета системы.

Слайд №45
Анализ устойчивости макросистем
с учетом инновационной деятельности
Рассмотрим двухмерную макроструктуру, которая хорошо моделирует
взаимодействие двух смежных подотраслей через ИД: разработку и добычу
газа (нефти) и транспорт и распределение газа (нефти).
Уравнения, описывающие такую макроэкономическую структуру:
dX 1
= 1 X 1 +β X 12 +β X 1 X 2 ,
α
11
12
dt
dX 2
2
= 2 X 2 +β X 2 +β X 1 X 2 ,
α
22
21
dt
где
C η −F1
a (C η −F2 )
C η −F2
a (C η −F1 )
α = 11 1
− 12 12 2
, α = 12 2
− 21 11 1
,
1
2
C11 (1 −a12 a 21 ) C12 (1 −a12 a 21 )
C12 (1 −a12 a 21 ) C11 (1 −a12 a 21 )
a12
1
, β =−
,
12
C11 (1 −a12 a 21 )
C12 (1 −a12 a 21 )

β =
11

a 21
1
, β =
,
22
C11 (1 −a12 a 21 )
C12 (1 −a12 a 21 )

β =−
21

•

•

V
Li
η =bi1 i +bi 2 , i = ,2,
1
i
Vi
Li

Слайд №46

Найдем состояния равновесия двухмерной макроструктуры из условия
•

равенства нулю левых частей уравнений, то есть ( X i = 0, i = 1,2 ):
1) X 10 = 0, X 20 = 0;
α2
2) X 10 = 0, X 20 = − ;
β 22
α1
3) X 10 = − , X 20 = 0;
β11
α 2 β12 − α 1 β 22
α 1 β 21 − α 2 β11
, X 20 =
.
4) X 10 =
β11 β 22 − β12 β 21
β11 β 22 − β12 β 21

Слайд №47

0
0
1) X 10 = , X 20 = .
α α
= 1α
В этом случае µ= 1 + 2 , ∆ α 2 ,
1
2
λ2 = µ± µ − ∆
4
1,
2
откуда
λ = 1, λ = 2 .
α
1 α
2
0
0
Если α > , α > , то имеем корни вещественные, одного знака и,
1
2
следовательно, это состояние равновесия представляет собой неустойчивый
«узел».
Физически это означает, что система не может находиться при
нулевом выпуске и при малейших изменениях параметров обязательно
наблюдается интенсивный рост выпуска как в первой, так и во второй
подотрасли.

(

)

Слайд №48
2) X 10 = 0, X 20 = −
Для этого случая

α2
.
β22


α2
α 
α1 − β12 2 ,
µ =α1 − β12
−α2 , ∆ = − 2 
α
β22
β22 


λ1 =α1 −α2 β12 β22 , λ2 = − 2 .
α

Здесь имеем критическую точку λ1 = 0 при α1 = β12

α2
. При
β22

α2
система будет устойчива, а состояние равновесия представляет
β22
α
α1 > β12 2 состояние равновесия
собой устойчивый «узел». При
β22
представляет собой особую точку типа «седло», которое всегда неустойчиво.
α1 < β12

Слайд №49

α
X 10 = 1 ,
−
3)
β
11

X 20 =
0.

В этом случае



µα βα α ∆−2 − α,
= − 1 −,
= 1 β 1 
α
α 21 
2
21
β 1
β

11
11 
λ α α21 β, λ −.
α
1 = − β 11
2
1
2 =1
Здесь имеем критическую точку λ 0 при α α βи система в
1=
2 = β 11
1 21
ней нейтрально устойчива. При α α β система будет устойчива, а
2 < β 11
1 21

состояние равновесия представляет собой устойчивый «узел». При
α α21 βсостояние равновесия представляет собой особую точку типа
2 > β 11
1
«седло», которое всегда неустойчиво.
Как во втором, так и в третьем случае критическая точка является
точкой перехода из устойчивого «узла» к неустойчивому «седлу», и наоборот.

Слайд №50
α 2 β 12 − α 1 β 22
α 1 β 21 − α 2 β 11
, X 20 =
.
β 11 β 22 − β 12 β 21
β 11 β 22 − β 12 β 21
В этом случае
α β ( β − β 21 ) + α 2 β 11 ( β 22 − β 12 )
µ = − 1 22 11
,
β 11 β 22 − β 12 β 21
( α β − α 2 β 11 ) ( α 1 β 22 − α 2 β 12 )
∆ = − 1 21
,.
( β 11 β 22 − β 12 β 21 )
α β ( β − β 21 ) + α 2 β 11 ( β 22 − β 12 )
λ 1,2 = − 1 22 11
±
2( β 11 β 22 − β 12 β 21 )
4) X 10 =

( α β − α 2 β 11 )( α 1 β 22 − α 2 β 12 )
 α β ( β − β 21 ) + α 2 β 11 ( β 22 − β 12 ) 
 + 1 21
±  1 22 11
.


2( β 11 β 22 − β 12 β 21 )
( β 11 β 22 − β 12 β 21 )


Если подкоренное выражение положительно, то состояние равновесия
будет представлять собой устойчивый «узел», при изменении знака
подкоренного выражения состояние равновесия превращается в устойчивый
«фокус».
В критической точке, когда подкоренное выражение равно нулю,
система перескакивает из устойчивого «фокуса» в устойчивый «узел» или
наоборот.
2

Слайд №51
Для проведения исследований устойчивости макроструктуры
необходимо рассмотреть конкретный вариант зависимостей выпусков
макросистем от агрегированных ресурсов и обобщенного показателя ИД.
Рассмотрим модель взаимодействия ИД и производства в виде
модифицированной функции типа Кобба – Дугласа:
i
i
X i =a 0i (Vi )κ (Li )ν exp(ξt ), i = ,2,
1
i
1
где κ ,ν (i = ,2) – эластичность выпуска по соответствующему ресурсу i-й
i
i
макросистемы
V ∂i
X
L ∂i
X
κ= i
, ν= i
, i = ,2.
1
i
i
Xi ∂ i
V
Xi ∂i
L
Для первых трех состояний равновесия макроструктуры легко
определить время попадания системы в критическую точку.
В первом случае из условия равенства нулю одного или двух корней
характеристического уравнения получим:
1 − 12
a
1 − 21
a
t кр =
,
или t кр =
η −a12η
η −a21η
1
2
2
1
во втором случае
(1 −a12 ) +a21 (1 −a21 )
1 − 21
a
t кр =
,
или t кр =
(η −a12η ) +a21 (η −a21η)
η −a21η
1
2
2
1
2
1
в третьем случае
(1 −a21 ) +a12 (1 −a12 )
1 − 12
a
t кр =
,
или t кр =
(η −a21η) +a12 (η −a12η )
η −a12η
2
1
1
2
1
2
и в четвертом случае
(1 −a12 ) +a21 (1 −a21 )
(1 −a21 ) +a12 (1 −a12 ) ,
t кр =
или t кр =
(η −a12η ) +a21 (η −a21η)
(η −a21η) +a12 (η −a12η )
1
2
2
1
2
1
1
2
1
при этом должно выполняться условие a12 a 21 ≠ .

Слайд №52
Анализ влияния инноваций из смежных подотраслей на
устойчивость их взаимного функционирования. Для проведения
исследований устойчивости и прогнозирования возникновения кризисных
ситуаций необходима определенная информация по двум подотраслям –
газодобывающей и газотранспортной, которая сведена в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Газодобывающая подотрасль
Годы Основные фонды Численность работающих
Выпуск
3
V1, млн руб.
L1, тыс. чел.
X1, млрд м
1990
29439
24,573
785
1995
35929
26,974
953
Таблица 2
Годы
1990
1995

Газотранспортная подотрасль
Основные фонды Численность работающих
V2, млн руб.
L2, тыс. чел.
65280
73,719
83200
80,920

Выпуск
3
X2, млрд м км
2011155
2638426

Предполагаем, что коэффициенты αi , βij ( i, j =1,2 )
медленно
изменяются во времени и могут привести макроэкономическую структуру к
критической границе.

Слайд №53

Задавая экспертным путем bij весовые коэффициенты, которые
определяют значимость различных первичных показателей ИД:
b11 = ,45, b12 = ,55, b21 = ,45, b22 = ,55,
0
0
0
0
1
определим η (i = ,2 ) – средневзвешенные темпы роста ресурсов на входе i-й
i
макросистемы по формулам:

η = i1
b
i

•
Vi

Vi

+ i2
b

•
Li

Li

, i = ,2,
1

Так как ξ – обобщенный показатель инновационной деятельности – в
i
i-й макросистеме определяется по формуле
2

ξ =∑ij
a
i
j=
1

•

Xj
− i , i = ,2,
η
1
Xj

изменяя коэффициенты a ij той доли выпуска соответствующей
макросистемы, которая идет на формирование ИД в связанной с ней смежной
макросистеме в диапазоне (0< a ij <1) можно построить границу критической
области.

Слайд №54
a12

a 21

1,0

0,9
0,893
0,8

0,9

0,7

0,7

0,6

0,8
Область
устойчивости

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

0,3

Область
устойчивости

0,3
Область
неустойчивости

0,2
0,1
0

0,2

t кр
10

20

30

40

50

60

70

Область
неустойчивости

0,1
0

tкр
10

20

30

40

50

60

70

Слайд №55
Сбалансированный рост
в однопродуктовой макроэкономической системе
Рассмотрим однопродуктовую модель развития региона или отрасли.
Взаимосвязь производства и потребления, а также динамику таких
экзогенных факторов, как рабочая сила и основные производственные
фонды, можно отразить с помощью моделей агрегированных систем.
Наиболее простая модель взаимодействия между производством и
потреблением предложена Ф. Рамсеем [6]. Уравнения модифицированной
модели можно записать в следующем виде:
X (t ) = aX (t ) + Z (t ), Z (t ) =Vн (t ) + P(t ),
X (t ) = F (V , L, t ), L(t ) = L0 exp(ηt ),
•

V
V (t ) =−Λ V (t ) + qVн (t ), V ( 0 ) =V0 ,

Слайд №56
Другая форма уравнения модели:
•

( η
)

V
v( − ( qd ( a ) , t , v( v0 .
t) Λ 1 −
= v t)
+
+ f () 0)
v
=
Под сбалансированным ростом понимается такой процесс
экономического развития, при котором технико-экономические показатели
растут с постоянным темпом. Оказывается, что темпы роста этих показателей
не только постоянны, но и равны.
Найдем стационарные (равновесные) точки системы из условия

( η
)
Λ

•

v( 0, ⇒ = ,
t)
= qd ( a ) , t
1−
f () V +
v
v

∗
t)
= ∗
t)
=
откуда получаем два искомых решения v( 0 , v( v . Очевидно, точка v
существует не всегда. Действительно, при
v >1 −< ,
0, qd ( a ) , t
f () V +
v
v

( η
)
Λ
)
v <1 −> ,
0, qd ( a ) , t ( +
f ()Λ
v
η
v
V

∗
точка v отсутствует.

Слайд №57
Рассмотрим случай, когда возможно нетривиальное решение.
Из рис. 3.6 видно, что для всех
x
∗
0< v< v
точек
справедливо
V
неравенство qd ( 1 − a ) f ( v, t ) > Λ + η v,
то есть

(

(

•

)

)

v( t ) = qd ( 1 − a ) f ( v, t ) − ΛV + η v > 0,
следовательно, v( t ) будет непрерывно
расти во времени. В момент времени
v( t ) = v ∗ этот рост прекратится.
∗
При v( t ) > v выражение
•

(

)

(Λ

V

)

+η v

qd ( 1 − a ) f ( v, t )

v∗

v

v( t ) = qd ( 1 − a ) f ( v, t ) − ΛV + η v < 0,
Рис. 3.6
поэтому опять v будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет величины
v ∗ . Причем малые случайные возмущения не приводят к существенным
∗
∗
отклонениям от v . Это означает, что равновесная точка v( t ) = v устойчива.

Слайд №58

Таким образом, если v( t ) = v , то получаем:
V ( t ) = v( t ) L( t ) = v ∗ L0 exp( η t ) ,
∗

( )

X ( t ) = f ( v, t ) L( t ) = f v ∗ , t L0 exp( η t ) ,

( )

P( t ) = p( t ) L( t ) = ( 1 − d )( 1 − a ) f v ∗ , t L0 exp( η t ) ,

( )

Vн ( t ) = ( 1 − a ) X ( t ) − P( t ) = d ( 1 − a ) f v ∗ , t L0 exp( η t ) ,

( )

Z ( t ) = ( 1 − a ) X ( t ) = ( 1 − a ) f v ∗ , t L0 exp( η t ) .
Такую ситуацию будем называть режимом сбалансированного роста.
Режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему
сходятся все траектории модели при постоянной доле капиталовложений d .

Слайд №59
АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Исследование оптимального развития однопродуктовой макромодели
экономической системы
Рассмотрим экономику, модель которой описывается следующими уравнениями:
•

v(t ) = (λ+ )v(t ) +q(1 − )(1 − ) f (v, t ),
− η
u
a

v(0 ) = 0 .
v
Ограничение на управление u =d :
0≤ ≤,
u 1
а ограничения на ОПФ заменим ограничениями на фондовооруженность:
v(t ) ≥ з (t ).
v
Задача оптимизации данной экономики состоит в том, чтобы найти
такое управление процессом развития, которое обеспечило бы наибольшее
среднедушевое потребление на рассматриваемом интервале времени [0,T] с
учетом дисконтирования потребления, то есть
T
P(t )
J =∫
exp(− t ) dt.
δ
L(t )
0

Слайд №60
v
v ∗ ( 0)
v0
u

t
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1,0
0,8442
0,5

t
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Слайд №61

Однопродуктовая макросистема. Пусть управляемая система представляет
собой экономику региона или отрасли, моделируемую с помощью
однопродуктовой модели, то есть процесс экономического развития задается
уравнением
•

(
v(t ) =−λ+η) v(t ) +q[(1 −a ) f (v, t ) − p(t )],
v(0 ) =v0 ,

где p(t ) – управляющая функция.
Допустимым управлением назовем любую кусочно-непрерывную
функцию p(t ) , которая удовлетворяет уравнению и граничному условию
(
0 ≤ p(t ) ≤(1 −d )(1 −a ) f (v, t ), t ∈0, T ).

Слайд №62
Теперь надо уточнить понятие оптимальности. Очевидно, критериев
оптимальности может быть множество. Рассмотрим наиболее общий
критерий – функционал благосостояния системы в виде:
T

J =∫g [ p (t )]exp(− t ) dt.
δ
0

Задача оптимизации состоит в выборе такого управления p(t ) в
заданном интервале времени, чтобы соответствующее ему решение
уравнения доставляло максимум функционалу.
В случае конечного горизонта планирования должны выполняться
v
условия на конце траектории v(T ) = 1 . Для бесконечного горизонта
планирования интеграл благосостояния может оказаться расходящимся,
поэтому необходимо задавать ограничения на начальные условия
v(0) = 0 ≤ ,
v
v
то есть начальная капиталовооруженность должна быть меньше предельно
достижимой.

Слайд №63
Двухпродуктовая макросистема. Наряду с однопродуктовой моделью
можно построить и многопродуктовые. Рассмотрим для примера
двухпродуктовую модель. Пусть имеются различные виды основных
производственных фондов и однородный труд. Тогда максимально
возможное потребление по аналогии можно записать в виде ПФ:
(
P() Φ , V2 , Vн1 , Vн 2 )
t = , V1
L
,
•
q1Vн1 = V1 ,
V 1+

•
q2Vн 2 =+2 ,
V2 V

λ
λ q1Vн1 – часть потока выпуска,
где
которая идет на увеличение ОПФ типа 1, q 2Vн 2 – часть потока выпуска,
которая идет на увеличение ОПФ типа 2.
t
Предполагая, что P() – однородная функция, и взяв ее удельное
значение, получим
(
v() ϕv 2 , v н1 , v н2 )
t =1 ,
v
.
Модель развития двухпродуктовой экономики имеет вид
dv1
=н1 −
q1v
γ dv2 =н2 −,
v1 ,
q2 v
γ
v2
dt
dt
v1 () v10 , v2 () v20 ,
0 =
0 =
t =
1, 2
где vн j () Vн j L , j = – управляющие функции.

Слайд №64
Введем, как и ранее, критерий – функционал благосостояния системы в
виде:

T

(
J =∫g [ϕv1 , v 2 , v н1 , v н2 )]exp(− t )dt + [v1 (T ), v 2 (T )].
δ
G
0

Тогда задачу оптимизации можно сформулировать так: среди
1
допустимых управлений v н j , j = ,2 , найти такое, чтобы соответствующее
ему решение системы уравнений доставляло максимум функционалу.
Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом
максимума. Функция Гамильтона в этом случае будет

(
H = (− t ){g [ϕv1 , v2 , vн1 , vн2 )] + 1 (q1vн1 − v1 ) + 2 (q2 vн2 − v2 )},
exp δ
b
γ
b
γ
b
δ
b
δ
где ψ(t ) = 1 (t )exp(− t ), ψ (t ) = 2 (t )exp(− t ).
1
2
Оптимальное управление определим так:
∂
H
∂
H
=,
0
=,
0
∂ н1
v
∂ н2
v

Слайд №65

Вводя эластичность замещения σ( c ) функции полезности, получим:
′

′
dp
1 q1ϕv1 dϕv н1 dt
=
−
+γ +δ  p( t ),

′
′
dt σ( p )  ϕv н1
ϕv н1



′

′
dp
1 q2ϕv 2 dϕv н2 dt
=
−
+γ +δ  p( t ).

′
′
dt σ( p )  ϕv н2
ϕv н2



Сопоставляя два уравнения, видим
′
′
′
′
q1ϕv1 dϕvн1 dt q 2ϕv2 dϕvн2 dt
−
=
−
.
′
′
′
′
ϕvн1
ϕvн1
ϕvн2
ϕvн2
Это и есть основное условие эффективности.

Слайд №66
Оптимальное управление запасами товаров и сырья
Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.
Количество продукта на складе в момент времени t обозначим
, при этом
продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью
. При
управлении запасами обычно принимается следующая стратегия: выбирается
уровень запаса
такой, что при достижении этого уровня запаса посылается
заказ на пополнение запаса в количестве
. Пусть заказ выполняется через
некоторый заранее известный промежуток времени
(рис. 4.2).
Тогда по истечении отрезка
времени продолжительностью
после выполнения заказа уровень
запасов увеличится на величину
. Запишем уравнение
для запаса
, полагая, что в
начальный момент времени запас
был равен
:
Рис. 4.2
за период

.

где

,
– полное число поставок

Слайд №67
Обозначим через
потребление товара за период между
моментом проведения заказа и моментом получения заказанного количества
товаров. Поскольку интенсивность потребления постоянна и равна
, то
. Поэтому в момент получения заказанного товара его количество
достигает на складе величины
, которая подсчитывается по формуле:
. Будем для определенности считать, что в начальный момент
времени уровень запаса равнялся
. Тогда уровень запаса товара достигнет
первый

раз

величины

в

момент

,

определяемый

соотношением

. В момент
подается заказ, который удовлетворяется через
промежуток времени , т. е.
становится равным
и все повторяется
сначала.
Число
легко определить, исходя из количества полных циклов за
период времени
, т. е.
, где
обозначает целую часть числа.
При этом время производственного цикла
(4.53)
Поэтому
(4.54)

Слайд №68

Таким образом, получаем, что количество запасов в момент времени t
описывается соотношением
(4.55)
Критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией
издержек, которая имеет вид:
(4.56)
где – стоимость издержек, не зависящая от объема заказа и возникающая в
связи с самим фактом произведения заказа;
– стоимость издержек,
пропорциональная количеству заказанного товара;
– стоимость издержек,
связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.

№69

Слайд

4.4. Планирование оптимального развития основных фондов предприятия
Уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [4]:
(4.82)
Начальное значение ОПФ будем считать заданным
Следовательно,
описывает состояние процесса
а функцию
будем считать управлением.
Критерий оптимальности:

развития

(4.83)
ОПФ,

(4.84)
где

– весовые коэффициенты
Ставится следующая задача: среди всех допустимых управлений
найти такое, чтобы функционал (4.84) достигал наименьшего значения с учетом
связей (4.82), (4.83).
Введем функцию Гамильтона
(4.85)
где
– множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной
системы
(4.86)

№70
Так как на управление ограничения
управление можно определить из условия

отсутствуют,

Слайд

оптимальное
(4.87)

Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы
подставим в (4.82) оптимальное управление (4.87) и с учетом сопряженной
системы (4.86) получим

(4.88)
Однако эту задачу можно разрешить аналитическим путем, так как
второе уравнение системы (4.88) содержит только
и может быть
проинтегрировано независимо от первого уравнения. Интегрируя его, получим
(4.89)
где
– постоянная интегрирования, которая определяется из условия
откуда получим
(4.90)

№71

Слайд

Теперь подставим решение (4.90) в уравнение (4.88), получим
дифференциальное уравнение относительно
:
(4.91)

презентацлек

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to презентацлек

Similar to презентацлек (20)

More from student_kai

More from student_kai (20)

презентацлек