Prezent lab

Н.Р.Суркин ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
Лабораторный практикум

Слайд №1

ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Цель работы: ознакомление с принципами технологического прогнозирования с
использованием экстраполяции.
Экстраполяция – наиболее общий метод прогнозирования, основанный на системе
логических рассуждений, а именно различных типов зависимостей важнейших
параметров от данных за прошлые годы. Здесь предполагается, что существующая
тенденция (тренд) в научно-техническом прогрессе в прошлом, что она с некоторыми
изменениями, возможно, сохранится и в будущем и что для процесса научнотехнического развития, в общем, не характерны разрывы и скачки.
Арифметический тренд – изменение рассматриваемого параметра на постоянную
величину в течение каждого периода.
Логарифмический тренд – изменение рассматриваемого параметра на фиксированное
число процентов в течение каждого периода.
Модифицированный экспоненциальный тренд – рассматриваемый пара-метр изменяются
на постоянный процент от изменения, происшедшего в прошлый период. Здесь кривая
приближается к своему верхнему пределу или асимптоте.
Логистический тренд – кривая роста, которая имеет верхнюю и нижнюю асимптоты.
Параметр характеризуется одной скоростью роста на ранних стадиях, затем скорость
возрастает, а потом постоянно падает. В результате получается S – образная кривая.


Слайд №2

Критерий выравнивания имеет вид





S a0 , a1 ,..., a n    f t j   Q j 2 .
N

j 1

(1.1)

Как видно, величина S равна сумме квадратов отклонений наблюдаемых
величин Q j от «теоретических» величин f t j , определяемых, например, так:

 

f t   a0   a j t j   j .
N

(1.2)

j 1

Параметры a0 , a1 ,..., an необходимо оценить, исходя из представления о
N

том, что     j в среднем равно нулю. Если ошибки  j подчиняются
j 1

нормальному распределению, то этот критерий может рассматриваться как
статистический принцип максимального правдоподобия.


Слайд №3

Практическая часть работы
Рассмотрим динамику объема транспорта газа с учетом его возможного
изменения в будущем. Попытаемся подобрать различные математические
зависимости к эмпирическим данным в один и тот же период времени.
Вариант 1. Пусть уравнение аппроксимации имеет вид:

Q  a0 t a1 .

(1.6)

Параметры a 0 и a1 из (1.6) будем определять, используя методы
наименьших квадратов.
Имеющиеся Q на 1 января соответствующего года, а также Q*,
полученные по формуле (1.11), сведем в таблицу 1.1.
Вариант 2. Пусть уравнение аппроксимации имеет вид
t
Q  a0 a1 .

(1.12)

Полученные расчетные данные сведем в табл. 1.1 и оценим прогноз
на 1985, 1990 и 1995 гг. в сравнении с плановыми показателями.
Вариант 3. Пусть уравнение аппроксимации имеет вид:
Q  a0  a1t.
(1.16)
Расчетные значения объема транспортировки газа, полученные по
формуле (1.19), сведем в табл. 1.1. Затем произведем оценку аппроксимации
имеющихся статистических данных по сравнению с плановыми за 1985, 1990
и 1995 гг.


Слайд №4

Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с методикой расчета.
2. Вычислить

коэффициенты аппроксимирующего уравнения (1.6)
методом наименьших квадратов.
3. Записать формулу (1.11).
4. По формуле (1.11) вычислить объемы транспортировки газа с 1965 г.
по 1985 г. и записать в табл. 1.1.
5. Вычислить абсолютную и относительную погрешность по годам по
формулам (1.20) и (1.22) и записать в табл. 1.1.
6. Вычислить среднюю квадратичную погрешность по формуле (1.23).
7. Определить доверительный интервал для уровня значимости   1% и
  5% по формулам (1.24) и (1.25).
8. Оценить точность прогнозирования объема добычи газа, исходя из
требований (   5%, t i   3  при   1% ;   5%, t i   1,96  при   5% ).

9. Провести аналогичные расчеты с п.2 по п. 8 уравнений аппроксимации

(1.12) и (1.16).
10. Сравнить результаты вычислений и сделать выводы.

Н.Р.Суркин ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №5
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ
РАЗВИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ
Цель работы: ознакомление с прямым методом А.М. Ляпунова при исследовании
устойчивости нелинейных систем.
В вопросах суждения об устойчивости развивающихся систем имеют большое
практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные
А.М. Ляпуновым. Эти теоремы позволяют установить значение и сферу
применения нелинейных уравнений, то есть правомерность отнесения к
линейным системам большинства реальных систем.
Теоремы формулируются следующим образом.
1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых начальных
отклонениях, если отрицательны все вещественные части корней
характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного
приближения.
2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы одна вещественная
часть корня характеристического уравнения ее линейного приближения
положительна.


Слайд №6

Рассмотрим двухмерную макроструктуру, которая хорошо моделирует
взаимодействие двух смежных отраслей через инновационную деятельность
(ИД), например, разработку и добычу нефти (газа) и транспортировка и
распределение нефти (газа).
Уравнения, описывающие такую макроэкономическую структуру, имеют
вид [1]:

dX 1
2
 f1  X 1 , X 2    1 X 1   11 X 1   12 X 1 X 2 ,
dt
dX 2
2
 f 2  X 1 , X 2    2 X 2   22 X 2   21 X 1 X 2 ,
dt
где

1 

(2.1)

C111  F1
a C   F2 
C12 2  F2
a C   F1 
 12 12 2
, 2 
 21 11 1
,
C11 1  a12 a 21 
C12 1  a12 a 21 
C12 1  a12 a 21  C11 1  a12 a 21 
a12
1
11 
,  12  
,
C11 1  a12 a 21 
C12 1  a12 a 21 
(2.2)
a 21
1
 21  
,  22 
,
C11 1  a12 a 21 
C12 1  a12 a 21 


i  bi1



Vi
Li
 bi 2
,
Vi
Li

i  1,2.


Слайд №7

Практическая часть работы
Для проведения исследований устойчивости макроструктуры
необходимо рассмотреть конкретный вариант зависимостей выпусков
макросистем от агрегированных ресурсов и обобщенного показателя ИД.
Рассмотрим модель взаимодействия ИД и производства в виде
модифицированной функции типа Кобба – Дугласа:

X i  a0i Vi  i Li  i expi t , i  1,2,

(2.9)

где  i , i i  1,2 – эластичность выпуска по соответствующему ресурсу i-й
макросистемы

i 

Vi X i
L X i
, i  i
, i  1,2.
X i Vi
X i Li

(2.10)


Слайд №8

Для
проведения исследований
устойчивости
и
возникновения
кризисных ситуаций необходима определенная информация по двум
отраслям, которая сведена в табл. 2.1 и 2.2.
Газодобывающая отрасль
Годы

1990
(базовый)
1995

Таблица 2.1

Основные фонды
V1, млн руб

Численность работающих
L1, тыс. чел

29439

24573

X1, млрд м3
785,0

35929

26974

953,0

Газотранспортная отрасль
Годы
1990
(базовый)
1995

Выпуск

Таблица 2.2

Основные фонды
V2, млн руб.
65280

Численность
работающих L2, тыс. чел.
73719

Выпуск
X2, млрд м3 км
2011155

83200

80920

2638426


Слайд №9

1. Ознакомиться с методикой исследования.
2. Вычислить производные по формулам (2.12) с

использованием

исходных данных из табл. 2.1 и 2.2.
3. Вычислить коэффициенты  i ,  ij i, j  1,2 по формулам (2.13) – (2.14)

с учетом соотношений (2.2), (2.9) – (2.12).
4. Оценить зависимость коэффициентов макроструктуры от времени по
формулам (2.15) – (2.17).
5. Исследовать устойчивость системы для 4 состояний равновесия, когда
X i не зависят от t (т. е. необходимо положить t  1 в формулах (2.15) – (2.17)).
6. Определить время попадания макроструктуры в кризис, т. е. время

выхода макросистемы на границу области устойчивости в первых трех случаях.
7. Провести анализ полученных результатов и сделать вывод.


Слайд №10

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ТОВАРОВ И СЫРЬЯ
Цель работы: ознакомление с прямыми методами оптимизации при анализе
решений экономических задач.
Проблемы управления запасами возникают при рассмотрении разнообразных
экономических объектов. При анализе розничной торговли рассматриваются
оптимальные запасы некоторого товара в магазине. Управлять запасами
приходится и на производстве при планировании работы любой
производственной единицы, т. к. чрезмерно большой запас приводит к
нерациональному использованию оборотных средств, а нехватка сырья или
инструмента – к перебоям в производстве.
Цель исследования систем хранения запасов, состоит в выборе наилучшей
стратегии управления запасами, т. е. в выборе наиболее подходящего уровня
заказа и количества заказываемого продукта . В задачах управления запасами
оптимальными вариантами управления являются те из них, на которых
издержки достигают наименьшего значения.


Слайд №11

Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.
Количество продукта на складе в момент времени t обозначим ut  , при этом
продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью  . При управлении
запасами обычно принимается следующая стратегия: выбирается уровень
запаса u1 такой, что при достижении этого уровня запаса посылается заказ на
пополнение запаса в количестве u   0 . Пусть заказ выполняется через
некоторый заранее известный промежуток времени   0 (рис. 3.1).
Тогда по истечении отрезка
ut 
времени продолжительностью 
после выполнения заказа уровень
u2
запасов увеличится на величину





u  u 2  u0 . Запишем уравнение
для запаса ut  , полагая, что в
начальный момент времени запас
был равен u 2 :



u1
u0
T

ut   u 2  t  u  nt ,
где nt  – полное число поставок за период 0, t .

t
Рис. 3.1

Обозначим через

u   u1  u0

Слайд №12

потребление товара за период между

моментом проведения заказа и моментом получения заказанного количества
товаров. Поскольку интенсивность потребления постоянна и равна  , то

u    . Поэтому в момент получения заказанного товара его количество
достигает на складе величины u 2 , которая подсчитывается по формуле

u 2  u1  u   u  . Будем для определенности считать, что в начальный
момент времени уровень запаса равнялся u 2 . Тогда уровень запаса товара
достигнет

первый

раз

величины

u1

в

момент

 ,

определяемый

соотношением    u 2  u1   . В момент   подается заказ, который

удовлетворяется через промежуток времени  , т. е. ut  становится равным
u 2 и все повторяется сначала.

Число nt  легко определить, исходя из количества полных циклов за
период времени 0, t , т. е. nt   t T , где  обозначает целую часть числа.
При этом

T  u 2  u0    u   .

(3.1)

Поэтому



Слайд №13



nt   t T   t u  .
(3.2)
Таким образом, получаем, что количество запасов в момент времени t
описывается соотношением





ut   u   u0  t  u  t u  .

(3.3)

Критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией
издержек, которая имеет вид:
T

1

J u  c0  c1u   c2ut dt ,
T
0


(3.4)

где с 0 – стоимость издержек, не зависящая от объема заказа и возникающая в
связи с самим фактом произведения заказа; с1 – стоимость издержек,
пропорциональная количеству заказанного товара; с 2 – стоимость издержек,
связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.


Слайд №14

1. Подставить в критерий (3.4) количество запасов (3.3) и вычислить
интеграл с учетом выражения (3.1).
2. Определить оптимальное управление u  из необходимого условия
оптимальности целевой функции (3.4).
3. Проверить достаточное условие минимума издержек.
4. Определить оптимальный запас товаров u1 для осуществления нового
заказа и время заказа   .
5. Вычислить время производственного цикла T , минимальное значение
(3.4) критерия издержек.
6. Проанализировать полученные результаты и сделать вывод.
Пример решения подобной задачи приведен в приложении.


Слайд №15

ПЛАНИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ОСНОВНЫХ ФОНДОВ
ПРЕДПРИЯТИЯ
Цель работы: ознакомление с принципом максимума Л.С. Понтрягина при
анализе решений экономических задач.
Одной из задач стратегического планирования организации является
планирование развития материально-технической базы фирмы.
Постановка задачи. Обозначим через V t  величину основных
производственных фондов (ОПФ) предприятия в году t. В процессе
воспроизводства ОПФ их количество будет расти за счет капитальных
вложений I t , а уменьшаться за счет физического и морального износа.
Величина выбытия ОПФ
в году t равна V t  , с коэффициентом
ежегодного выбывания ОПФ, равном  .
Тогда уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [1]:

dV t 
 V t   qI t , t  0,T ,
(4.1)
dt
где T – горизонт планирования; q  1 T ос – параметр модели; T ос – время
освоения капитальных вложений;  – коэффициент амортизации ОПФ.


Слайд №16

Начальное значение ОПФ будем считать заданным

V t  t 0  V0 , V t   0.

(4.2)

Следовательно, V t  описывает состояние процесса развития ОПФ,
а функцию ut   qI t  будем считать управлением.
Критерий оптимальности процесса развития материально-технической
базы фирмы можно задать следующим функционалом:
T

J    u 2 t dt  V T  

min,

(4.3)

0

где  ,  – весовые коэффициенты     1,   0,   0.
Экономический смысл критерия
оптимальности
следующем. Первое слагаемое в выражении (4.3):

заключается

в

T

J 1    u 2 t dt,
0

и минимизация этого функционала отражает требование максимальной
экономии капитальных вложений. Второе слагаемое в выражении (4.3)
J 2  V T  ,

а минимизация такого функционала равносильна максимизации V t  значения
ОПФ с весовым коэффициентом  в конце планового периода 0, T  .


Слайд №17

Таким образом, в функционале (3.3) отражены два противоположных
требования к процессу – экономия капиталовложений, с одной стороны, и
увеличение ОПФ предприятия – с другой.
Ставится следующая оптимизационная задача: среди всех допустимых
управлений ut   qI t  найти такое, чтобы функционал (4.3) достигал
наименьшего значения с учетом связей (4.1), (4.2).
Для решения этой задачи воспользуемся
максимума Л.С. Понтрягина [1, 3].
Введем функцию Гамильтона:

методом

H  u 2 t    t  V t   ut ,

–

принципом

(4.4)

где  t  – множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной
системы

d t 
H

  t ,
dt
V t 
 t  t T   .

Так как на управление ограничения
управление можно определить из условия

H
 0,
u



ut   qI t  

отсутствуют,

1
 t .
2

(4.5)
(4.6)
оптимальное
(4.7)


Слайд №18

1. Найти общее решение уравнения (4.11).
2. Определить постоянную интегрирования C2 из начальных условий.

3. Записать V t  и ut  с учетом найденной константы интегрирования.
4. Вычислить значения всех коэффициентов.
5. Произвести вычисления V t  и ut  для 10 моментов времени из
интервала 0, T  .
6. Построить графики V t  , ut  и сделать выводы по результатам
вычислений.
7. Проанализировать полученные результаты и сделать вывод.
Пример решения подобной задачи приведен в приложении.

Prezent lab

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Prezent lab

Similar to Prezent lab (20)

More from student_kai

More from student_kai (20)

Prezent lab